Motion in Two or Three Dimensions · Movimento em Duas ou Três Dimensões
| English | Português |
|---|---|
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | independente |
| projectile motion/prəˈdʒektaɪl ˈməʊʃn/ | movimento de projétil |
A thrown ball does two things at once
- Throw a ball forward and it sails ahead and falls to the ground.
- Amazingly, these two motions do not interfere -- they happen side by side.
- Drop one ball and throw another horizontally: they hit the floor at the same time.
- Splitting motion into independent directions is the key to two dimensions.
Uma bola lançada faz duas coisas ao mesmo tempo
- Lançar uma bola para frente e ela voa para a frente e cai no chão.
- Surpreendentemente, esses dois movimentos não interferem -- eles acontecem lado a lado.
- Solte uma bola e lance outra horizontalmente: elas tocam o piso no mesmo instante.
- Dividir o movimento em direções independentes é a chave para duas dimensões.
Components are independent
- Horizontal and vertical motion are independent 独立的 -- each obeys its own equations.
- Gravity pulls only down, so it changes the vertical motion but not the horizontal.
- Solve each direction as its own 1-D problem, then combine.
Componentes são independentes
- O movimento horizontal e vertical são independentes 独立的 -- cada um obedece suas próprias equações.
- A gravidade puxa apenas para baixo, então ela muda o movimento vertical, mas não o horizontal.
- Resolva cada direção como seu próprio problema 1-D, depois combine.
A ball dropped from a height and one thrown horizontally from the same height hit the ground at the same time. · Uma bola solta de uma altura e outra lançada horizontalmente da mesma altura tocam o chão ao mesmo tempo.
Horizontal and vertical motion are independent -- both have the same vertical drop, so the same fall time. · O movimento horizontal e vertical são independentes -- ambos têm a mesma queda vertical, então o mesmo tempo de queda.
Projectile motion
- Projectile motion 抛体运动 is the classic case: constant horizontal velocity, constant downward acceleration $g$.
- Horizontally: $x = v_x t$ (no acceleration).
- Vertically: it accelerates just like a dropped object.
Movimento de projéteis
- Movimento de projéteis 抛体运动 é o caso clássico: velocidade horizontal constante, aceleração descendente constante $g$.
- Horizontalmente: $x = v_x t$ (sem aceleração).
- Verticalmente: ele acelera exatamente como um objeto solto.
A ball is thrown horizontally from a $5\ \text{m}$ table ($g = 10$). How long until it lands (in s)? · Uma bola é lançada horizontalmente de uma mesa $5\ \text{m}$ ($g = 10$). Quanto tempo leva até pousar (em s)?
Looking at the vertical direction, $5 = \tfrac{1}{2}(10)t^2$, so $t^2 = 1$ and · e $t = 1\ \text{s}$. The horizontal speed does not matter for the time. · Olhando para a direção vertical, $5 = \tfrac{1}{2}(10)t^2$, então $t^2 = 1$ e $t = 1\ \text{s}$. A velocidade horizontal não importa para o tempo.
During projectile flight (ignoring air resistance), the horizontal velocity... · Durante o voo do projétil (ignorando resistência do ar), a velocidade horizontal...
Gravity acts only vertically, so there is no horizontal acceleration -- $v_x$ is constant. · A gravidade atua apenas verticalmente, então não há aceleração horizontal -- $v_x$ é constante.
Vector kinematics
- In 2-D and 3-D, position, velocity, and acceleration are all vectors: $\vec{r}$, $\vec{v}$, $\vec{a}$.
- Each component follows the same calculus chain, $x \to v_x \to a_x$.
- The full motion is just several 1-D motions bundled together.
Cinemática vetorial
- Em 2-D e 3-D, posição, velocidade e aceleração são todos vetores: $\vec{r}$, $\vec{v}$, $\vec{a}$.
- Cada componente segue a mesma cadeia de cálculo, $x \to v_x \to a_x$.
- O movimento completo é apenas vários movimentos 1-D agrupados juntos.
Motion in two dimensions · Movimento em duas dimensões
Launch a projectile and see the horizontal and vertical motions play out independently. · Lance um projétil e veja os movimentos horizontal e vertical ocorrendo independentemente.
The horizontal and vertical parts of a projectile's motion share only the ____. · As partes horizontal e vertical do movimento de um projétil compartilham apenas a ____.
Time is the only shared variable; otherwise each direction is solved on its own. · Tempo é a única variável compartilhada; caso contrário, cada direção é resolvida separadamente.
Putting it together
- Find the time from one direction (often the vertical), then use it in the other.
- The horizontal range depends on both the launch speed and how long the projectile is in the air.
- Recombine the component velocities to get the true speed and direction.
Juntando tudo
- Encontre o tempo de uma direção (geralmente a vertical), depois use-o na outra.
- O alcance horizontal depende tanto da velocidade de lançamento quanto do tempo que o projétil fica no ar.
- Recombine as velocidades dos componentes para obter a velocidade e direção reais.
From that $5\ \text{m}$ table, the ball's horizontal speed is $4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. How far from the base does it land (in m)? · Daquela mesa $5\ \text{m}$, a velocidade horizontal da bola é $4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. A que distância da base ela pousa (em m)?
Using $t = 1\ \text{s}$ from before, $x = v_x t = 4 \times 1 = 4\ \text{m}$. · Usando $t = 1\ \text{s}$ de antes, $x = v_x t = 4 \times 1 = 4\ \text{m}$.
Select all · todos true statements about projectile motion. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre movimento de projéteis.
The two directions are independent -- constant $v_x$, downward $g$ -- and do not affect each other. · As duas direções são independentes -- constante $v_x$, descendente $g$ -- e não afetam um ao outro.
A ball is thrown horizontally at $5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ from a $20\ \text{m}$ cliff ($g = 10$).
- Vertical: $20 = \tfrac{1}{2}gt^2$ gives $t = 2\ \text{s}$ to land.
- Horizontal: $x = v_x t = 5 \times 2 = 10\ \text{m}$ from the base.
Uma bola é lançada horizontalmente a $5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ de um penhasco de $20\ \text{m}$ ($g = 10$).
- Vertical: $20 = \tfrac{1}{2}gt^2$ dá $t = 2\ \text{s}$ para aterrissar.
- Horizontal: $x = v_x t = 5 \times 2 = 10\ \text{m}$ desde a base.
The horizontal and vertical parts share only time. Do not mix a horizontal velocity into a vertical equation. The vertical motion decides when it lands; the horizontal motion decides how far -- keep them in separate columns.
As partes horizontal e vertical compartilham apenas tempo. Não misture uma velocidade horizontal em uma equação vertical. O movimento vertical decide quando ele aterrissa; o movimento horizontal decide quanto longe -- mantenha-os em colunas separadas.
In two dimensions, horizontal and vertical motion are independent and share only the time. Projectile motion has constant horizontal velocity and downward acceleration $g$. Treat $\vec{r}$, $\vec{v}$, $\vec{a}$ component by component -- each is its own 1-D problem, then recombine.
Em duas dimensões, o movimento horizontal e vertical são independentes e compartilham apenas o tempo. Movimento de projéteis tem velocidade horizontal constante e aceleração descendente $g$. Trate $\vec{r}$, $\vec{v}$, $\vec{a}$ componente por componente -- cada um é seu próprio problema 1-D, depois recombine.