Finding the Area of the Region Bounded by Two Polar Curves · Encontrando a Área da Região Delimitada por Duas Curvas Polares
The region between two polar curves
- Just as with $x,y$ curves, you can find the area between two polar curves.
- Take the area inside the outer curve and subtract the area inside the inner curve.
- Each is a $\tfrac12\int r^2\,d\theta$ integral; the answer is their difference.
- The trick is finding where the curves cross to set the angle limits.
A região entre duas curvas polares
- Assim como com curvas $x,y$, você pode encontrar a área entre duas curvas polares.
- Pegue a área dentro da curva externa e subtraia a área dentro da curva interna.
- Cada uma é uma integral $\tfrac12\int r^2\,d\theta$; a resposta é a diferença delas.
- O truque é encontrar onde as curvas se cruzam para definir os limites angulares.
Find the intersection angles first
- Set the two curves equal, $f(\theta)=g(\theta)$, and solve for the intersection angles.
- These angles are the limits of integration $\alpha,\beta$ for the enclosed region.
- (Polar intersections can be sneaky — a point may be reached at different $\theta$; sketch to be sure.)
- The region of interest lies between these angles.
Encontre os ângulos de interseção primeiro
- Iguale as duas curvas, $f(\theta)=g(\theta)$, e resolva para os ângulos de interseção.
- Esses ângulos são os limites de integração $\alpha,\beta$ para a região delimitada.
- (Interseções polares podem ser traiçoeiras — um ponto pode ser alcançado em diferentes $\theta$; esboce para ter certeza.)
- A região de interesse fica entre esses ângulos.
The area between two polar curves is $\tfrac12\int_\alpha^\beta(\ ?\ )\,d\theta$ where the integrand is... · A área entre duas curvas polares é $\tfrac12\int_\alpha^\beta(\ ?\ )\,d\theta$ onde o integrando é...
Outer squared minus inner squared. · Externo ao quadrado menos interno ao quadrado.
To set the angle limits, find the ____ angles by solving $f(\theta)=g(\theta)$. · Para definir os limites angulares, encontre os ângulos ____ resolvendo $f(\theta)=g(\theta)$.
Where the curves cross bounds the region. · Onde as curvas se cruzam delimita a região.
Outer squared minus inner squared
- On the interval, identify which curve is outer (larger $r$) and which is inner.
- The area between them is:
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\big[r_{\text{outer}}\big]^2-\big[r_{\text{inner}}\big]^2\Big)\,d\theta$$
- Square each radius, subtract, halve, integrate — the polar washer.
Externo ao quadrado menos interno ao quadrado
- No intervalo, identifique qual curva é externa (maior $r$) e qual é interna.
- A área entre elas é:
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\big[r_{\text{outer}}\big]^2-\big[r_{\text{inner}}\big]^2\Big)\,d\theta$$
- Eleve cada raio ao quadrado, subtraia, divida por dois, integre — a lavadora polar.
Between two polar curves · Entre duas curvas polares
The area between two polar curves subtracts the inner sectors from the outer — $\tfrac12\int(r_\text{out}^2-r_\text{in}^2)\,d\theta$. · A área entre duas curvas polares subtrai os setores internos dos externos — $\tfrac12\int(r_\text{out}^2-r_\text{in}^2)\,d\theta$.
Over the interval, the outer curve is the one with the... · Sobre o intervalo, a curva externa é aquela com o...
Outer = farther from the origin = larger $r$. · Externo = mais distante da origem = maior $r$.
Square first, then subtract
- Just like Cartesian washers, it's $r_{\text{out}}^2-r_{\text{in}}^2$, not $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$.
- Square each radius before subtracting.
- Check which curve is outer on the interval — it can swap, needing a split.
- The $\tfrac12$ and the squares are both essential.
Eleve ao quadrado primeiro, depois subtraia
- Assim como as lavadoras cartesianas, é $r_{\text{out}}^2-r_{\text{in}}^2$, não $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$.
- Eleve cada raio ao quadrado antes de subtrair.
- Verifique qual curva é externa no intervalo — ela pode inverter, exigindo uma divisão.
- O ⟨$\tfrac12$⟩ e os quadrados são ambos essenciais.
Area inside $r=2$, outside $r=1$: $\tfrac12\int_0^{2\pi}(4-1)\,d\theta$ (as a multiple of $\pi$). · Área dentro de $r=2$, fora de $r=1$: $\tfrac12\int_0^{2\pi}(4-1)\,d\theta$ (como múltiplo de $\pi$).
$\tfrac12\cdot3\cdot2\pi=3\pi$.
You square each radius before subtracting, not $(r_\text{out}-r_\text{in})^2$. · Você eleva cada raio ao quadrado antes de subtrair, não $(r_\text{out}-r_\text{in})^2$.
It is · É $r_\text{out}^2-r_\text{in}^2$. · É $r_\text{out}^2-r_\text{in}^2$.
If the outer and inner curves swap over the interval, you should split the integral at the crossing. · Se as curvas externa e interna trocarem de lugar sobre o intervalo, você deve dividir a integral no ponto de interseção.
A split keeps outer-minus-inner correct on each piece. · Uma divisão mantém externo-menos-interno correto em cada parte.
The integrand is $r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2$ — square before subtracting, never $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$. Get the intersection angles right (sketch the curves), and confirm which curve is outer over the interval; if they trade places, split the integral at the crossing.
O integrando é $r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2$ — eleve ao quadrado antes de subtrair, nunca $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$. Obtenha os ângulos de interseção corretos (esboce as curvas) e confirme qual curva é externa sobre o intervalo; se elas trocarem de lugar, divida a integral na interseção.
Find the area inside $r=2$ but outside $r=1$ (an annulus).
- Outer $r=2$, inner $r=1$, over all angles $0$ to $2\pi$.
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}\big(2^2-1^2\big)\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}3\,d\theta=\dfrac12\cdot3\cdot2\pi=3\pi$.
- (Matches the ring area $\pi(2^2-1^2)=3\pi$.) ✓
Encontre a área dentro de $r=2$ mas fora de $r=1$ (uma coroa circular).
- Externo $r=2$, interno $r=1$, sobre todos os ângulos de $0$ a $2\pi$.
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}\big(2^2-1^2\big)\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}3\,d\theta=\dfrac12\cdot3\cdot2\pi=3\pi$.
- (Corresponde à área do anel $\pi(2^2-1^2)=3\pi$.) ✓
The area between two polar curves is $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2\big)\,d\theta$. First find the intersection angles for the limits, identify outer vs. inner, and square each radius before subtracting — never $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$.
A área entre duas curvas polares é $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2\big)\,d\theta$. Primeiro encontre os ângulos de interseção para os limites, identifique externo vs. interno, e eleve cada raio ao quadrado antes de subtrair — nunca $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$.