Defining Convergent and Divergent Infinite Series · Definindo Séries Infinitas Convergentes e Divergentes
| English | Português |
|---|---|
| infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/ | série infinita |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | converge |
| diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/ | diverge |
| partial sum/ˈpɑːʃl sʌm/ | soma parcial |
Adding up infinitely many numbers
- Can you add up infinitely many terms and get a finite total? Sometimes yes.
- An infinite series 无穷级数 is the sum $a_1+a_2+a_3+\cdots$ of the terms of a sequence.
- It converges 收敛 if the running total approaches a finite number, and diverges 发散 otherwise.
- This unit is all about deciding which — and, when it converges, to what.
Somando infinitamente muitos números
- Você pode somar infinitamente muitos termos e obter um total finito? Às vezes sim.
- Uma série infinita 无穷级数 é a soma $a_1+a_2+a_3+\cdots$ dos termos de uma sequência.
- Ela converge 收敛 se o total acumulado se aproxima de um número finito, e diverge 发散 caso contrário.
- Esta unidade trata inteiramente de decidir qual — e, quando converge, para quê.
Partial sums are the key
- Add the terms one at a time: the partial sum 部分和 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ is the total of the first $n$ terms.
- These partial sums form their own sequence $S_1,S_2,S_3,\dots$.
- The series' value is defined as the limit of the partial sums: $\displaystyle\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
- So an infinite sum is really a limit — the same limit idea from Unit 1.
Soma parcial é a chave
- Some os termos um por um: a soma parcial 部分和 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ é o total dos primeiros $n$ termos.
- Essas somas parciais formam sua própria sequência $S_1,S_2,S_3,\dots$.
- O valor da série é definido como o limite das somas parciais: $\displaystyle\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
- Então uma soma infinita é realmente um limite — a mesma ideia de limite da Unidade 1.
Terms of a converging series · Termos de uma série convergente
The terms of $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ shrink geometrically, so the partial sums settle at a finite limit. · Os termos de $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ diminuem geometricamente, então as somas parciais se estabilizam em um limite finito.
The value of an infinite series is defined as the limit of its... · O valor de uma série infinita é definido como o limite de seu(s)...
$\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
The sum of the first $n$ terms, $S_n$, is called the $n$th ____ sum. · A soma dos primeiros $n$ termos, $S_n$, é chamada de $n$-ésima ____ soma.
The series is the limit of these partial sums. · A série é o limite dessas somas parciais.
Converge vs. diverge
- Converges: the partial sums $S_n$ approach a finite limit $L$ — that $L$ is the series' sum.
- Diverges: the partial sums grow without bound, or bounce and never settle.
- $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ converges (to $2$); $1+1+1+\cdots$ diverges.
- Convergence is about the partial sums settling down, not the terms.
Convergir vs. divergir
- Converge: as somas parciais $S_n$ se aproximam de um limite finito $L$ — esse $L$ é a soma da série.
- Diverge: as somas parciais crescem sem limite, ou oscilam e nunca se estabilizam.
- $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ converge (para $2$); $1+1+1+\cdots$ diverge.
- Convergência trata-se das somas parciais se estabilizando, e não dos termos.
The partial sums of $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ climb toward what limit? · As somas parciais de $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ tendem a qual limite?
A geometric series with ratio $\tfrac12$ sums to $2$. · Uma série geométrica com razão $\tfrac12$ soma para $2$.
Which series clearly diverges? · Qual série claramente diverge?
Terms don't shrink to $0$, so it diverges. · Os termos não diminuem até $0$, logo diverge.
A series converges when its partial sums... · Uma série converge quando suas somas parciais...
Convergence = partial sums approach a finite $L$. · Convergência = somas parciais aproximam-se de um $L$ finito.
Terms shrinking is necessary, not enough
- For a series to converge, its terms must shrink to $0$ — otherwise the total can't settle.
- But shrinking terms alone don't guarantee convergence (the harmonic series $\sum\tfrac1n$ has terms $\to0$ yet diverges).
- So "$a_n\to0$" is a necessary condition, not a sufficient one.
- The tests in this unit are the tools for the harder cases.
Termos diminuindo é necessário, mas não suficiente
- Para que uma série convirja, seus termos devem diminuir até $0$ — caso contrário, o total não pode se estabilizar.
- Mas termos diminuindo sozinhos não garantem convergência (a série harmônica $\sum\tfrac1n$ tem termos $\to0$ e yet diverges).
- Então "$a_n\to0$" é uma condição necessária, não suficiente.
- Os testes nesta unidade são as ferramentas para os casos mais difíceis.
If the terms $a_n\to 0$, the series must converge. · Se os termos $a_n\to 0$, a série deve convergir.
Necessary but not sufficient — e.g. $\sum\tfrac1n$ diverges. · Necessário, mas não suficiente — ex.: $\sum\tfrac1n$ diverge.
A series is a limit of partial sums, not just "the terms." Terms going to $0$ is necessary for convergence but not sufficient — $\sum\frac1n$ has terms $\to0$ yet diverges. Don't conclude convergence just because the terms shrink; you need one of the convergence tests.
Uma série é um limite de somas parciais, não apenas "os termos". Termos indo para $0$ é necessário para convergência, mas não suficiente — $\sum\frac1n$ tem termos $\to0$ e yet diverges. Não conclua convergência apenas porque os termos diminuem; você precisa de um dos testes de convergência.
Does $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ converge?
- Partial sums: $S_1=1$, $S_2=1.5$, $S_3=1.75$, $S_4=1.875,\dots$
- They climb toward $2$ and never pass it.
- The limit is $2$, so the series converges to $2$.
A série $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ converge?
- Somas parciais: $S_1=1$, $S_2=1.5$, $S_3=1.75$, $S_4=1.875,\dots$
- Elas sobem em direção a $2$ e nunca a ultrapassam.
- O limite é $2$, então a série converge para $2$.
An infinite series $\sum a_n$ is the limit of its partial sums $S_n=a_1+\cdots+a_n$: it converges to $L$ if $S_n\to L$ (finite), and diverges otherwise. Terms shrinking to $0$ is necessary but not sufficient for convergence.
Uma série infinita $\sum a_n$ é o limite de suas somas parciais $S_n=a_1+\cdots+a_n$: ela converge para $L$ se $S_n\to L$ (finito), e diverge caso contrário. Termos diminuindo até $0$ é necessário, mas não suficiente para convergência.