Find the Area of a Polar Region or the Area Bounded by a Single Polar Curve · Encontrando a Área de uma Região Polar ou a Área Limitada por Uma Única Curva Polar
| English | Português |
|---|---|
| area/ˈeərɪə/ | área |
| sectors/ˈsektəz/ | setores |
Area swept by a polar curve
- For $y=f(x)$ we sliced area into vertical rectangles. A polar curve sweeps around the origin instead.
- So we slice the region into thin pie-shaped sectors 扇形, each a sliver of a circle.
- Adding up those sector areas gives the area 面积 enclosed by the polar curve.
- The result is a clean integral in $\theta$.
Área varrida por uma curva polar
- Para $y=f(x)$ cortamos a área em retângulos verticais. Uma curva polar varre ao redor da origem em vez disso.
- Então cortamos a região em setores finos em forma de fatia de pizza 扇形, cada um uma fatia fina de círculo.
- Somando as áreas desses setores, obtemos a área 面积 delimitada pela curva polar.
- O resultado é uma integral limpa em $\theta$.
The polar area formula
- A thin sector at angle $\theta$ has radius $r=f(\theta)$ and tiny angle $d\theta$; its area is $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
- Add them from $\theta=\alpha$ to $\theta=\beta$:
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$$
- Square the radius, halve, and integrate over the angle interval.
A fórmula da área polar
- Um setor fino no ângulo $\theta$ tem raio $r=f(\theta)$ e ângulo pequeno $d\theta$; sua área é $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
- Some-os de $\theta=\alpha$ a $\theta=\beta$:
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$$
- Eleve o raio ao quadrado, divida por dois e integre sobre o intervalo de ângulos.
The area enclosed by $r=f(\theta)$ is... · A área delimitada por $r=f(\theta)$ é...
Half the integral of $r^2$. · Metade da integral de $r^2$.
Why the $\tfrac12 r^2$
- The area of a full circular sector of radius $r$ and angle $\Delta\theta$ is $\tfrac12 r^2\,\Delta\theta$.
- Our thin slices are exactly these sectors with $\Delta\theta\to d\theta$.
- Summing them (integrating) accumulates the swept-out region.
- It's the polar analog of "sum thin rectangles," using pie slices instead.
Por que o $\tfrac12 r^2$
- A área de um setor circular completo de raio $r$ e ângulo $\Delta\theta$ é $\tfrac12 r^2\,\Delta\theta$.
- Nossas fatias finas são exatamente esses setores com $\Delta\theta\to d\theta$.
- Somá-las (integrando) acumula a região varrida.
- É o análogo polar de "somar retângulos finos", usando fatias de pizza em vez disso.
Thin sectors sweep the area · Setores finos varrem a área
A polar region is summed from thin pie-slice sectors, each of area $\tfrac12 r^2\,d\theta$. · Uma região polar é somada a partir de setores finos em forma de fatia de pizza, cada um de área $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
The polar area formula sums the areas of thin circular ____. · A fórmula da área polar soma as áreas de pequenos ____ circulares.
Each sector has area $\tfrac12 r^2\,d\theta$. · Cada setor tem área $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
Choosing the angle limits
- The limits $\alpha,\beta$ are the angles over which the curve sweeps the region once.
- For one full loop of a simple curve, that's often $0$ to $2\pi$ — but many curves close in less.
- A petal of a rose $r=\cos(3\theta)$ sweeps between consecutive zeros of $r$.
- Pick limits that trace the region exactly once (no double-counting).
Escolhendo os limites angulares
- Os limites $\alpha,\beta$ são os ângulos sobre os quais a curva varre a região uma única vez.
- Para uma volta completa de uma curva simples, isso é frequentemente de $0$ a $2\pi$ — mas muitas curvas se fecham antes.
- Uma pétala de uma rosa $r=\cos(3\theta)$ varre entre zeros consecutivos de $r$.
- Escolha limites que percorram a região exatamente uma vez (sem contagem dupla).
Find the area enclosed by $r=2$: $\tfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta$ (as a multiple of $\pi$, enter the number). · Encontre a área delimitada por $r=2$: $\tfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta$ (como múltiplo de $\pi$, insira o número).
$\tfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
The polar area formula includes a factor of $\tfrac12$ and squares $r$. · A fórmula da área polar inclui um fator de $\tfrac12$ e eleva $r$ ao quadrado.
$A=\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
The angle limits $\alpha,\beta$ should be chosen so the curve traces the region... · Os limites angulares $\alpha,\beta$ devem ser escolhidos para que a curva trace a região...
Tracing more than once double-counts area. · Traçar mais de uma vez duplica a área.
The polar formula gives $4\pi$ for $r=2$, which matches... · A fórmula polar fornece $4\pi$ para $r=2$, o que corresponde...
$\pi(2)^2=4\pi$ — the two agree. · $\pi(2)^2=4\pi$ — os dois concordam.
The formula is $\tfrac12\int r^2\,d\theta$ — don't forget the $\tfrac12$ or the square on $r$. And choose $\alpha,\beta$ so the curve traces the region exactly once: overshooting the angle range double-counts area (a full rose petal, for instance, needs the angles between two consecutive $r=0$ values, not $0$ to $2\pi$).
A fórmula é $\tfrac12\int r^2\,d\theta$ — não esqueça o $\tfrac12$ ou o quadrado em $r$. E escolha $\alpha,\beta$ para que a curva percorra a região exatamente uma vez: exceder a faixa angular conta a área duas vezes (uma pétala de rosa inteira, por exemplo, precisa dos ângulos entre dois valores consecutivos de $r=0$, e não de $0$ a $2\pi$).
Find the area enclosed by $r=2$ (a circle of radius $2$).
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}(2)^2\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta=\dfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
- This matches the familiar circle area $\pi r^2=\pi(2)^2=4\pi$. ✓
Encontre a área delimitada por $r=2$ (um círculo de raio $2$).
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}(2)^2\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta=\dfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
- Isso corresponde à área familiar do círculo $\pi r^2=\pi(2)^2=4\pi$. ✓
The area enclosed by a polar curve $r=f(\theta)$ is $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$ — summing thin sectors $\frac12 r^2\,d\theta$. Keep the $\frac12$ and the square, and choose the angle limits so the region is traced exactly once.
A área delimitada por uma curva polar $r=f(\theta)$ é $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$ — somando setores finos $\frac12 r^2\,d\theta$. Mantenha o $\frac12$ e o quadrado, e escolha os limites angulares para que a região seja percorrida exatamente uma vez.