Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of y · Encontrando a Área entre Curvas Expressas como Funções de y
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| horizontal slice/ˌhɒrɪˈzɒntl slaɪs/ | fatia horizontal |
Slice sideways instead of up-and-down
- Some regions are awkward with vertical strips — a sideways-opening parabola, say.
- The fix: slice into horizontal strips and integrate with respect to $y$ instead of $x$.
- Everything from the last lesson turns 90°: curves become functions of $y$, and you subtract right minus left.
- Same idea, rotated: add up horizontal gap-widths.
Cortar lateralmente em vez de cima para baixo
- Algumas regiões são incômodas com fatias verticais — uma parábola que abre para o lado, por exemplo.
- A solução: corte em fatias horizontais e integre em relação a $y$ em vez de $x$.
- Tudo da última aula gira 90°: as curvas tornam-se funções de $y$, e você subtrai direita menos esquerda.
- Mesma ideia, rotacionada: some as larguras das diferenças horizontais.
Right minus left
- Write the boundaries as functions of $y$: $x=f(y)$ (rightmost) and $x=g(y)$ (leftmost).
-
$$A=\int_c^d \big(f(y)-g(y)\big)\,dy$$
- Each horizontal slice 水平切片 has width $f(y)-g(y)$ and height $dy$.
- Subtract rightmost minus leftmost so the width stays positive.
Direita menos esquerda
- Escreva os limites como funções de $y$: $x=f(y)$ (mais à direita) e $x=g(y)$ (mais à esquerda).
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$$A=\int_c^d \big(f(y)-g(y)\big)\,dy$$
- Cada fatia horizontal 水平切片 tem largura $f(y)-g(y)$ e altura $dy$.
- Subtraia direita menos esquerda para que a largura permaneça positiva.
A sideways-opening parabola · Uma parábola de abertura lateral
y = ax² + bx + c
When curves open sideways, horizontal slices (right minus left, integrated in $y$) are the clean choice. · Quando curvas abrem lateralmente, fatias horizontais (direita menos esquerda, integradas em $y$) são a escolha mais limpa.
With horizontal slices, the area is $\int_c^d(\ ?\ )\,dy$ where... · Com fatias horizontais, a área é $\int_c^d(\ ?\ )\,dy$ onde...
Horizontal strips: right curve minus left curve. · Fatias horizontais: curva direita menos curva esquerda.
Bounds are now $y$-values
- The limits $c$ and $d$ are the lowest and highest $y$ of the region — often the curves' intersection $y$-values.
- Solve $f(y)=g(y)$ (in terms of $y$) for those bounds.
- Between them, test which curve is farther right.
- Then integrate the right-minus-left width from $c$ to $d$.
Os limites agora são valores de $y$
- Os limites $c$ e $d$ são o menor e o maior $y$ da região — geralmente os valores de interseção $y$ das curvas.
- Resolva $f(y)=g(y)$ (em termos de $y$) para esses limites.
- Entre eles, teste qual curva está mais à direita.
- Então integre a largura direita-menos-esquerda de $c$ a $d$.
For a $dy$ integral, the limits of integration are... · Para uma integral de $dy$, os limites de integração são...
Integrating in $y$ means $y$-limits. · Integrar em $y$ significa limites $y$.
Where do $x=y^2$ and · e $x=y+2$ intersect (in $y$)? · Onde $x=y^2$ e $x=y+2$ se intersectam (em $y$)?
$y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
When to choose $dy$ over $dx$
- Prefer horizontal slices when the curves are naturally $x=$(function of $y$), or when vertical slices would need splitting.
- A region bounded on the left and right by different curves (but top/bottom by single points) is a $dy$ situation.
- If the "upper" curve would change midway with vertical slices, horizontal slices may avoid the split.
- Pick whichever orientation makes each strip span one clean curve to one clean curve.
Quando escolher $dy$ em vez de $dx$
- Prefira fatias horizontais quando as curvas forem naturalmente $x=$(função de $y$), ou quando fatias verticais exigissem divisão.
- Uma região limitada à esquerda e à direita por curvas diferentes (mas superior/inferior por pontos únicos) é uma situação de $dy$.
- Se a curva "superior" mudasse ao meio com fatias verticais, fatias horizontais podem evitar a divisão.
- Escolha a orientação que faça cada fatia abranger uma curva limpa até uma curva limpa.
The area bounded by $x=y^2$ and · e $x=y+2$ is $\int_{-1}^2 (y+2-y^2)\,dy$. Compute it (a decimal). · A área delimitada por $x=y^2$ e $x=y+2$ é $\int_{-1}^2 (y+2-y^2)\,dy$. Calcule-a (um decimal).
It evaluates to $\tfrac92=4.5$. · Ela avalia-se em $\tfrac92=4.5$.
For a horizontal-slice integral, you should write each boundary as $x$ in terms of $y$. · Para uma integral de fatia horizontal, você deve escrever cada fronteira como $x$ em termos de $y$.
The strips run horizontally, so express $x$ as a function of $y$. · As fatias correm horizontalmente, então expresse $x$ como uma função de $y$.
Horizontal slices are preferable when... · Fatias horizontais são preferíveis quando...
Sideways curves suit $dy$ integration. · Curvas laterais adequam-se à integração de $dy$.
With horizontal slices you integrate right minus left in terms of $y$, and the limits are $y$-values (not $x$-values). Mixing them up — using $x$-limits with a $dy$ integral, or subtracting top-minus-bottom sideways — gives a wrong answer. Rewrite each boundary curve as $x$ in terms of $y$ first.
Com fatias horizontais você integra direita menos esquerda em termos de $y$, e os limites são valores de $y$ (não valores de $x$). Misturá-los — usar limites de $x$ com uma integral de $dy$, ou subtrair topo-em-baixo lateralmente — dá uma resposta errada. Reescreva cada curva de fronteira como $x$ em termos de $y$ primeiro.
Find the area bounded by $x=y^2$ and $x=y+2$.
- Intersections (in $y$): $y^2=y+2\Rightarrow y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
- On $(-1,2)$ the line $x=y+2$ is farther right (test $y=0$: $2>0$).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((y+2)-y^2\big)\,dy=\tfrac{9}{2}$.
Encontre a área delimitada por $x=y^2$ e $x=y+2$.
- Interseções (em $y$): $y^2=y+2\Rightarrow y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
- Em $(-1,2)$, a reta $x=y+2$ está mais à direita (teste $y=0$: $2>0$).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((y+2)-y^2\big)\,dy=\tfrac{9}{2}$.
For curves given as functions of $y$, use horizontal slices: $A=\int_c^d\big(f(y)-g(y)\big)\,dy$, integrating rightmost minus leftmost with $y$-limits from the intersections. Choose $dy$ when it lets each strip run cleanly from one curve to another without splitting.
Para curvas dadas como funções de $y$, use fatias horizontais: $A=\int_c^d\big(f(y)-g(y)\big)\,dy$, integrando direita mais à direita menos esquerda mais à esquerda com limites de $y$ vindos das interseções. Escolha $dy$ quando isso permitir que cada fatia corra limpa de uma curva a outra sem divisões.