Finding the Area Between Curves That Intersect at More Than Two Points · Encontrando a Área entre Curvas que Se Interceptam em Mais de Dois Pontos
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| subintervals/ˌsʌbɪnˈtɜːvlz/ | subintervalos |
When the curves keep crossing
- Sometimes two curves cross more than twice, and the "top" curve swaps along the way.
- A single top-minus-bottom integral would then get the sign wrong on part of the region.
- The fix: split the region at each crossing and integrate each piece separately.
- Add the pieces' (positive) areas to get the total.
Quando as curvas continuam se cruzando
- Às vezes, duas curvas cruzam mais de duas vezes, e a curva "superior" alterna no caminho.
- Uma única integral superior-menos-inferior então ficaria com o sinal errado em parte da região.
- A solução: divida a região em cada ponto de cruzamento e integre cada parte separadamente.
- Some as áreas (positivas) das partes para obter o total.
Find every intersection first
- Solve $f(x)=g(x)$ completely — find all the crossing points on the interval, not just the outer two.
- These crossings are the boundaries of the subintervals 子区间 where the ordering is fixed.
- Order them left to right along the $x$-axis.
- Each adjacent pair of crossings frames one piece of the region.
Encontre todas as interseções primeiro
- Resolva $f(x)=g(x)$ completamente — encontre todos os pontos de cruzamento no intervalo, não apenas os dois externos.
- Essas interseções são os limites dos subintervalos 子区间 onde a ordem é fixa.
- Ordene-os da esquerda para a direita ao longo do eixo $x$.
- Cada par adjacente de interseções delimita uma parte da região.
A cubic crossing a line 3 times · Um cúbico cruzando uma linha 3 vezes
y = ax³ + bx
$y=x^3$ and · e $y=x$ cross at $-1,0,1$; the top curve switches at $0$, so the area needs two pieces. · $y=x^3$ e $y=x$ cruzam em $-1,0,1$; a curva superior muda em $0$, então a área precisa de duas partes.
Where do $y=x^3$ and · e $y=x$ cross? · Onde $y=x^3$ e $y=x$ se cruzam?
$x^3=x\Rightarrow x(x-1)(x+1)=0$.
The intersection points divide the region into ____ where the ordering is fixed. · Os pontos de interseção dividem a região em ____ onde a ordem é fixa.
On each subinterval one curve is consistently on top. · Em cada subintervalo, uma curva fica consistentemente no topo.
Split where top and bottom switch
- On each subinterval, one curve is consistently on top — test a point to see which.
- Set up a separate integral of (upper $-$ lower) for each subinterval, using the correct top curve there.
- Because the top curve switches between pieces, the integrands differ from piece to piece.
- The full area is the sum of these separate integrals.
Divida onde o superior e o inferior trocam
- Em cada subintervalo, uma curva fica consistentemente acima — teste um ponto para ver qual.
- Monte uma integral separada de (superior $-$ inferior) para cada subintervalo, usando a curva correta no topo naquele trecho.
- Como a curva superior troca entre as partes, os integrandos diferem de parte para parte.
- A área total é a soma dessas integrais separadas.
You split the region at each intersection because... · Você divide a região em cada interseção porque...
Where curves swap, part of the region would count negative. · Onde curvas trocam, parte da região contaria como negativa.
Using one integral of $f-g$ across all crossings (curves swapping) gives... · Usar uma única integral de $f-g$ através de todas as interseções (curvas trocando) resulta em...
Sign-cancellation understates the true area. · A subtração de sinais subestima a verdadeira área.
Add the absolute areas
- Each subinterval integral, done with the correct top-minus-bottom, is positive.
- Sum them: $A=\displaystyle\sum \int_{\text{piece}} (\text{upper}-\text{lower})\,dx$.
- Equivalently, $A=\displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ — the absolute gap, integrated.
- Both viewpoints give the same total geometric area.
Some as áreas absolutas
- Cada integral de subintervalo, feita com o correto superior-menos-inferior, é positiva.
- Some-os: $A=\displaystyle\sum \int_{\text{piece}} (\text{upper}-\text{lower})\,dx$.
- Equivalentemente, $A=\displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ — a diferença absoluta, integrada.
- Ambas as perspectivas fornecem a mesma área geométrica total.
For · A favor $y=x^3$ and · e $y=x$ on $[-1,1]$, each piece has area $\tfrac14$. Find the total area. · Para $y=x^3$ e $y=x$ em $[-1,1]$, cada parte tem área $\tfrac14$. Encontre a área total.
$\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
Integrating $|f(x)-g(x)|$ over the whole interval gives the same total area as splitting. · Integrar $|f(x)-g(x)|$ sobre todo o intervalo dá a mesma área total que dividir.
The absolute value handles the switching automatically. · O valor absoluto lida com a troca automaticamente.
Do not use one integral of $f-g$ across all crossings — where the curves swap, part of the region contributes a negative value and cancels real area. You must split at every intersection and take upper-minus-lower correctly on each piece (or integrate $|f-g|$). Find all the crossings, not just the endpoints.
Não use uma única integral de $f-g$ através de todas as interseções — onde as curvas trocam, parte da região contribui com um valor negativo e cancela área real. Você deve dividir em cada interseção e aplicar superior-menos-inferior corretamente em cada parte (ou integrar $|f-g|$). Encontre todas as interseções, não apenas as extremidades.
Area between $y=x^3$ and $y=x$ on $[-1,1]$.
- Crossings: $x^3=x\Rightarrow x(x^2-1)=0\Rightarrow x=-1,0,1$ — three points.
- On $(-1,0)$: $x^3>x$ (test $-0.5$). On $(0,1)$: $x>x^3$ (test $0.5$). The top curve switches at $0$.
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
Área entre $y=x^3$ e $y=x$ em $[-1,1]$.
- Cruzamentos: $x^3=x\Rightarrow x(x^2-1)=0\Rightarrow x=-1,0,1$ — três pontos.
- Em $(-1,0)$: $x^3>x$ (teste $-0.5$). Em $(0,1)$: $x>x^3$ (teste $0.5$). A curva superior troca em $0$.
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
When curves intersect more than twice, find all intersection points, split the region into subintervals, and integrate upper minus lower on each (the top curve switches between them). Sum the pieces — equivalently, integrate $|f(x)-g(x)|$. One straight integral of $f-g$ would wrongly cancel area.
Quando curvas se intersectam mais de duas vezes, encontre todos os pontos de interseção, divida a região em subintervalos e integre superior menos inferior em cada um (a curva superior troca entre eles). Some as partes — equivalentemente, integre $|f(x)-g(x)|$. Uma única integral direta de $f-g$ cancelaria incorretamente a área.