Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of x · Encontrando a Área entre Curvas Expressas como Funções de x
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| area between two curves/ˈeərɪə bɪˈtwiːn tuː kɜːvz/ | área entre duas curvas |
The area trapped between two curves
- A single integral gives the area between a curve and the $x$-axis. What about the area between two curves?
- Slice the region into thin vertical strips; each strip's height is the gap between the curves.
- Add up (integrate) those heights across the interval — that's the area between two curves 曲线间面积.
- The recipe is "top minus bottom, integrated."
A área aprisionada entre duas curvas
- Uma única integral dá a área entre uma curva e o eixo $x$. E a área entre duas curvas?
- Corte a região em tiras verticais finas; a altura de cada tira é a lacuna entre as curvas.
- Some (integre) essas alturas ao longo do intervalo — essa é a área entre duas curvas 曲线间面积.
- A receita é "topo menos fundo, integrado".
Top minus bottom
- If $f$ is the upper curve and $g$ the lower on $[a,b]$:
-
$$A=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$$
- Each vertical strip has height $f(x)-g(x)$ and width $dx$.
- Always subtract upper minus lower, so the height (and the area) stays positive.
Topo menos fundo
- Se $f$ é a curva superior e $g$ a inferior em $[a,b]$:
-
$$A=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$$
- Cada tira vertical tem altura $f(x)-g(x)$ e largura $dx$.
- Sempre subtraia topo menos fundo, para que a altura (e a área) permaneça positiva.
A line above a parabola · Uma linha acima de uma parábola
y = ax² + bx + c
Between the intersection points the line sits above the parabola — the vertical gap, integrated, is the enclosed area. · Entre os pontos de interseção, a linha fica acima da parábola — o gap vertical, integrado, é a área envolvida.
The area between an upper curve $f$ and lower curve $g$ on $[a,b]$ is... · A área entre uma curva superior $f$ e uma curva inferior $g$ em $[a,b]$ é...
Upper minus lower, integrated. · Superior menos inferior, integrado.
Find the limits from intersections
- The bounds $a$ and $b$ are usually where the curves cross — set $f(x)=g(x)$ and solve.
- Those intersection $x$-values are the left and right edges of the enclosed region.
- Between them, decide which curve is on top (test a point).
- Then integrate the top-minus-bottom difference over $[a,b]$.
Encontre os limites pelas interseções
- Os limites $a$ e $b$ geralmente são onde as curvas cruzam — iguale $f(x)=g(x)$ e resolva.
- Esses valores de interseção $x$ são as bordas esquerda e direita da região fechada.
- Entre eles, decida qual curva está em cima (teste um ponto).
- Então integre a diferença topo-fundo sobre $[a,b]$.
Where do $y=x+2$ and · e $y=x^2$ intersect? · Onde $y=x+2$ e $y=x^2$ se intersectam?
$x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
To decide which curve is on top between intersections, you... · Para decidir qual curva está no topo entre as interseções, você...
Plug in a test point to see which is higher. · Substitua um ponto de teste para ver qual está mais alto.
The limits of integration come from setting the two curves ____. · Os limites de integração vêm de igualar as duas curvas ____.
Solve $f(x)=g(x)$ for the intersection $x$-values. · Resolva $f(x)=g(x)$ para os valores de interseção $x$.
It works even below the axis
- Because you take upper minus lower, the formula handles regions below the $x$-axis automatically.
- The $-g(x)$ term lifts everything, so no separate "signed area" bookkeeping is needed.
- A region entirely under the axis still gives a positive area with top-minus-bottom.
- That's the advantage of the gap-height approach.
Funciona até abaixo do eixo
- Como você toma topo menos fundo, a fórmula lida automaticamente com regiões abaixo do eixo $x$.
- O termo $-g(x)$ eleva tudo, então não há necessidade de contabilidade separada de "área signada".
- Uma região inteiramente sob o eixo ainda resulta em área positiva com topo-fundo.
- Essa é a vantagem da abordagem de altura de lacuna.
The area between $y=x+2$ and · e $y=x^2$ is $\int_{-1}^2 (x+2-x^2)\,dx$. Compute it (a decimal). · A área entre $y=x+2$ e $y=x^2$ é $\int_{-1}^2 (x+2-x^2)\,dx$. Calcule-a (um decimal).
The integral evaluates to $\tfrac92=4.5$. · A integral avalia-se em $\tfrac92=4.5$.
Integrating lower minus upper gives the negative of the true area. · Integrar inferior menos superior dá o negativo da verdadeira área.
Reversing the order flips the sign. · Inverter a ordem inverte o sinal.
Always subtract upper minus lower — if you reverse it, you get a negative of the true area. Check which curve is on top by testing an $x$-value between the intersections (they can swap, which is the next lesson). And the limits come from setting the curves equal, not from the $x$-axis.
Sempre subtraia topo menos fundo — se inverter, obtém o negativo da área verdadeira. Verifique qual curva está em cima testando um valor de $x$ entre as interseções (elas podem trocar de lugar, que é a próxima lição). E os limites vêm de igualar as curvas, não do eixo $x$.
Find the area between $y=x+2$ and $y=x^2$.
- Intersections: $x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
- On $(-1,2)$ the line is on top (test $x=0$: line $=2>0=$ parabola).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^2\big)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}+2x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}=\tfrac{9}{2}$.
Encontre a área entre $y=x+2$ e $y=x^2$.
- Interseções: $x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
- Em $(-1,2)$ a linha está em cima (teste $x=0$: linha $=2>0=$ parábola).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^2\big)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}+2x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}=\tfrac{9}{2}$.
The area between two curves (functions of $x$) is $A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$, integrating upper minus lower over vertical strips. Find $a,b$ where the curves intersect, decide which is on top, and integrate the gap. Top-minus-bottom keeps the area positive automatically.
A área entre duas curvas (funções de $x$) é $A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$, integrando superior menos inferior sobre fatias verticais. Encontre $a,b$ onde as curvas se intersectam, decida qual está acima e integre a diferença. Superior-menos-inferior mantém a área positiva automaticamente.