The Fundamental Theorem of Calculus and Accumulation Functions · O Teorema Fundamental do Cálculo e Funções de Acumulação
| English | Português |
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| Fundamental Theorem of Calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ | Teorema Fundamental do Cálculo |
| accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/ | função acumulativa |
The bridge between area and slope
- Differentiation (slopes) and integration (areas) look unrelated — but they are inverses.
- The Fundamental Theorem of Calculus 微积分基本定理 (FTC) is that stunning connection.
- Its first part is about a function defined by an integral, called an accumulation function 累积函数.
- Take its derivative and — magically — you get the integrand back.
A ponte entre área e inclinação
- Diferenciação (inclinações) e integração (áreas) parecem não relacionadas — mas são inversas.
- O Teorema Fundamental do Cálculo 微积分基本定理 (TFC) é essa conexão deslumbrante.
- Sua primeira parte trata de uma função definida por uma integral, chamada função acumuladora 累积函数.
- Tire sua derivada e — magicamente — você recupera o integrando.
The accumulation function
- Fix a lower limit $a$ and let the upper limit vary: $$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$
- $g(x)$ is the accumulated (signed) area under $f$ from $a$ up to $x$.
- As $x$ moves right, $g$ collects more area; the variable of integration $t$ is just a placeholder.
- $g$ is a genuine function of $x$ — you can graph it, differentiate it, and analyze it.
A função acumuladora
- Fixe um limite inferior $a$ e deixe o limite superior variar: $$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$
- $g(x)$ é a área acumulada (assinalada) sob $f$ de $a$ até $x$.
- À medida que $x$ se move para a direita, $g$ coleta mais área; a variável de integração $t$ é apenas um marcador.
- $g$ é uma verdadeira função de $x$ — você pode grafá-la, diferenciá-la e analisá-la.
Area accumulating up to x · Área acumulando até x
y = t² + 1 (integrand) · y = t² + 1 (integrando)
As the upper limit slides right, $g(x)$ collects more area; its instantaneous growth rate is exactly $f(x)$. · À medida que o limite superior desliza para a direita, $g(x)$ coleta mais área; sua taxa de crescimento instantâneo é exatamente $f(x)$.
A function of the form $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ is called an ____ function. · Uma função da forma $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ é chamada de função de ____.
It accumulates signed area up to $x$. · Ela acumula área com sinal até $x$.
In $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, the variable $t$ is... · Em $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, a variável $t$ é...
$t$ is a dummy variable; $x$ is the actual input of $g$. · $t$ é uma variável fictícia; $x$ é a entrada real de $g$.
FTC Part 1: the derivative undoes the integral
- The first part of the FTC says:
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$$g'(x)=\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$
- In words: the derivative of the accumulation function is the integrand itself.
- Rate of area accumulation at $x$ = the height $f(x)$ there. Beautifully simple.
TFC Parte 1: a derivada desfaz a integral
- A primeira parte do TFC diz:
-
$$g'(x)=\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$
- Em palavras: a derivada da função acumuladora é o próprio integrando.
- Taxa de acumulação de área em $x$ = a altura $f(x)$ ali. Simples e belíssimo.
By FTC Part 1, $\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=$ · Pela Parte 1 do TFC, $\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=$
The derivative of the accumulation function is the integrand $f(x)$. · A derivada da função de acumulação é o integrando $f(x)$.
For · A favor $g(x)=\int_2^x (t^2+1)\,dt$, find $g'(3)$. · Para $g(x)=\int_2^x (t^2+1)\,dt$, encontre $g'(3)$.
$g'(x)=x^2+1$, so $g'(3)=10$. · $g'(x)=x^2+1$, logo $g'(3)=10$.
With a chain-rule twist
- If the upper limit is a function $u(x)$, the chain rule kicks in:
- $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\cdot u'(x)$.
- Plug the upper limit into $f$, then multiply by the derivative of that upper limit.
- (A variable lower limit flips the sign, since swapping limits negates the integral.)
Com um toque da regra da cadeia
- Se o limite superior for uma função $u(x)$, a regra da cadeia entra em ação:
- $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\cdot u'(x)$.
- Substitua o limite superior em $f$, depois multiplique pela derivada desse limite superior.
- (Um limite inferior variável inverte o sinal, já que trocar limites nega a integral.)
For · A favor $\dfrac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt$, the answer is... · Para $\dfrac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt$, a resposta é...
Chain rule: plug in the upper limit, times its derivative $2x$. · Regra da cadeia: substitua o limite superior, vezes sua derivada $2x$.
When the upper limit is $u(x)$, you multiply the integrand-at-$u$ by $u'(x)$. · Quando o limite superior é $u(x)$, você multiplica o integrando-em-$u$ por $u'(x)$.
That chain-rule factor is required. · Esse fator da regra da cadeia é necessário.
FTC Part 1 gives $g'(x)=f(x)$ only when $x$ is the plain upper limit. If the upper limit is $u(x)$ (like $x^2$), you must multiply by $u'(x)$: $\frac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt = f(x^2)\cdot 2x$. Forgetting that chain-rule factor is the classic mistake.
A TFC Parte 1 fornece $g'(x)=f(x)$ apenas quando $x$ é o limite superior simples. Se o limite superior for $u(x)$ (como $x^2$), você deve multiplicar por $u'(x)$: $\frac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt = f(x^2)\cdot 2x$. Esquecer esse fator da regra da cadeia é o erro clássico.
Let $g(x)=\displaystyle\int_2^x (t^2+1)\,dt$. Find $g'(x)$ and $g'(3)$.
- By FTC Part 1: $g'(x)=x^2+1$ (just the integrand with $t\to x$).
- $g'(3)=3^2+1=10$.
- (No need to compute the integral itself — the derivative reads it straight off.)
Seja $g(x)=\displaystyle\int_2^x (t^2+1)\,dt$. Encontre $g'(x)$ e $g'(3)$.
- Pelo TFC Parte 1: $g'(x)=x^2+1$ (apenas o integrando com $t\to x$).
- $g'(3)=3^2+1=10$.
- (Não há necessidade de calcular a integral em si — a derivada a lê diretamente.)
An accumulation function $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ collects signed area up to $x$. FTC Part 1: $g'(x)=f(x)$ — differentiating an accumulation function returns the integrand. If the upper limit is $u(x)$, multiply by $u'(x)$ (chain rule).
Uma função acumuladora $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ coleta área assinalada até $x$. TFC Parte 1: $g'(x)=f(x)$ — diferenciar uma função acumuladora retorna o integrando. Se o limite superior for $u(x)$, multiplique por $u'(x)$ (regra da cadeia).