Applying the Power Rule · Aplicando a Regra da Potência
| English | Português |
|---|---|
| power/ˈpaʊə/ | potência |
| Power Rule/ˈpaʊə ruːl/ | Regra da Potência |
| integer/ˈɪntɪdʒə/ | inteiro |
A shortcut that replaces the limit
- Computing every derivative from the limit definition is slow. There's a pattern.
- For powers of $x$, one rule does it instantly: the Power Rule 幂法则.
-
$$\frac{d}{dx}\big[x^n\big]=n\,x^{\,n-1}$$
- "Bring the exponent down as a coefficient, then subtract one from the exponent."
Um atalho que substitui o limite
- Calcular toda derivada pela definição de limite é lento. Existe um padrão.
- Para potências de $x$, uma regra faz isso instantaneamente: a Regra da Potência 幂法则.
-
$$\frac{d}{dx}\big[x^n\big]=n\,x^{\,n-1}$$
- "Traga o expoente para baixo como coeficiente, depois subtraia um do expoente."
A power and its tangent slope · Uma potência e sua inclinação tangencial
y = x²
For · A favor $y=x^2$ the power rule gives slope $2x$ — move the point and check the tangent slope matches $2x$. · Para $y=x^2$, a regra da potência dá inclinação $2x$ — mova o ponto e verifique se a inclinação tangencial corresponde a $2x$.
Watch it work
- $\dfrac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ — the $3$ drops in front, the exponent goes $3\to2$.
- $\dfrac{d}{dx}[x]=1\cdot x^0=1$ — the derivative of $x$ is $1$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^{10}]=10x^9$.
- It matches the limit definition (we found $\frac{d}{dx}[x^2]=2x$) but takes one line.
Observe funcionando
- $\dfrac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ — o $3$ cai na frente, o expoente vai para $3\to2$.
- $\dfrac{d}{dx}[x]=1\cdot x^0=1$ — a derivada de $x$ é $1$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^{10}]=10x^9$.
- Combina com a definição de limite (encontramos $\frac{d}{dx}[x^2]=2x$), mas leva uma linha.
What is $\dfrac{d}{dx}[x^5]$? · O que é $\dfrac{d}{dx}[x^5]$?
Bring down $5$, reduce exponent: $5x^{5-1}=5x^4$. · Desça $5$, reduza o expoente: $5x^{5-1}=5x^4$.
If $f(x)=x^4$, find $f'(2)$. · Se $f(x)=x^4$, encontre $f'(2)$.
$f'(x)=4x^3$, so $f'(2)=4\cdot8=32$. · $f'(x)=4x^3$, logo $f'(2)=4\cdot8=32$.
It works for any exponent
- $n$ can be a negative or a rational (fractional) exponent, not just a positive integer 整数.
- Negative: $\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$.
- Rational: $\dfrac{d}{dx}\big[x^{1/2}\big]=\tfrac12 x^{-1/2}$.
- Same rule every time — bring down $n$, reduce the exponent by one.
Funciona para qualquer expoente
- $n$ pode ser um expoente negativo ou racional (fracionário), não apenas um inteiro 整数 positivo.
- Negativo: $\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$.
- Racional: $\dfrac{d}{dx}\big[x^{1/2}\big]=\tfrac12 x^{-1/2}$.
- Mesma regra sempre — traga para baixo $n$, reduza o expoente em um.
$\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{\square}$. The exponent $\square$ is ____. · $\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{\square}$. O expoente $\square$ é ____.
Reduce $-2$ by one: $-2-1=-3$. · Reduza $-2$ em um: $-2-1=-3$.
The Power Rule differentiates which of these directly (after rewriting)? · A Regra da Potência diferencia diretamente qual destes (após reescrita)?
All are powers of $x$ after rewriting; $5^x$ is an exponential, not a power of $x$. · Todos são potências de $x$ após reescrita; $5^x$ é exponencial, não uma potência de $x$.
Rewrite first, then differentiate
- Radicals and reciprocals hide powers — rewrite them as $x^n$ before applying the rule.
- $\sqrt{x}=x^{1/2}$, so $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]=\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt x}$.
- $\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$, so $\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac1{x^3}\right]=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}$.
- Turning every term into a power is the key setup step.
Reescreva primeiro, depois diferencie
- Radicais e recíprocos escondem potências — reescreva-as como $x^n$ antes de aplicar a regra.
- $\sqrt{x}=x^{1/2}$, logo $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]=\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt x}$.
- $\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$, logo $\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac1{x^3}\right]=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}$.
- Transformar cada termo em uma potência é o passo de configuração chave.
Rewrite and differentiate: $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]$ equals... · Reescreva e diferencie: $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]$ é igual a...
$\sqrt x=x^{1/2}\Rightarrow \tfrac12 x^{-1/2}=\tfrac1{2\sqrt x}$.
The Power Rule applies to $2^x$, giving $x\cdot 2^{x-1}$. · A Regra da Potência aplica-se a $2^x$, resultando em $x\cdot 2^{x-1}$.
The Power Rule needs a variable base with constant exponent; $2^x$ is an exponential (next lesson). · A Regra da Potência precisa de uma base variável com expoente constante; $2^x$ é exponencial (próxima aula).
The Power Rule is for a variable base with a constant exponent ($x^n$). It does not apply to a constant base with a variable exponent — $\frac{d}{dx}[2^x]\neq x\,2^{x-1}$. (That is an exponential, handled in the next lesson.) And don't forget to reduce the exponent: $\frac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$, not $-2x^{-2}$.
A Regra da Potência é para uma base variável com expoente constante ($x^n$). Ela não se aplica a uma base constante com expoente variável — $\frac{d}{dx}[2^x]\neq x\,2^{x-1}$. (Isso é exponencial, tratado na próxima aula.) E não esqueça de reduzir o expoente: $\frac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$, não $-2x^{-2}$.
Differentiate $g(x)=\sqrt[3]{x^2}+\dfrac{1}{x}$.
- Rewrite as powers: $g(x)=x^{2/3}+x^{-1}$.
- Power rule term by term: $\tfrac23 x^{-1/3}$ and $-1\cdot x^{-2}$.
- $g'(x)=\tfrac23 x^{-1/3}-x^{-2}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\dfrac1{x^2}$.
Diferencie $g(x)=\sqrt[3]{x^2}+\dfrac{1}{x}$.
- Reescreva como potências: $g(x)=x^{2/3}+x^{-1}$.
- Regra da potência termo a termo: $\tfrac23 x^{-1/3}$ e $-1\cdot x^{-2}$.
- $g'(x)=\tfrac23 x^{-1/3}-x^{-2}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\dfrac1{x^2}$.
The Power Rule $\frac{d}{dx}[x^n]=n\,x^{n-1}$ works for any constant exponent — integer, negative, or rational. Rewrite radicals and reciprocals as powers first, then bring the exponent down and reduce it by one. It replaces the limit definition for power functions.
A Regra da Potência $\frac{d}{dx}[x^n]=n\,x^{n-1}$ funciona para qualquer expoente constante — inteiro, negativo ou racional. Reescreva radicais e recíprocos como potências primeiro, depois traga o expoente para baixo e reduza-o em um. Ela substitui a definição de limite para funções potenciais.