Simple harmonic motion · Movimento harmônico simples
| English | Português |
|---|---|
| simple harmonic motion/ˈsɪmpl hɑːˈmɒnɪk ˈməʊʃn/ | movimento harmônico simples |
| displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | deslocamento |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | equilíbrio |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | amplitude |
| period/ˈpɪərɪəd/ | período |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | frequência |
| angular frequency/ˈæŋɡjʊlə ˈfriːkwənsi/ | frequência angular |
The lamp that taught the world to keep time
- In 1583 a student in Pisa cathedral, bored during a sermon, timed a swinging lamp against his own pulse. Whether the lamp swung wide or narrow, each swing took the same time.
- That is not obvious and it is not true of most motions. It is true whenever the restoring force grows in proportion to how far the thing has been displaced, and that one condition defines the whole topic.
- Galileo's observation became the pendulum clock, and every clock for the next 300 years.
- This lesson is simple harmonic motion 简谐运动: its defining equation, the words that describe it, and how to read $\omega$ off a graph.
A lâmpada que ensinou o mundo a guardar tempo
- Em 1583 um estudante na catedral de Pisa, entediado durante um sermão, cronometrou uma lâmpada oscilante contra seu próprio pulso. Se a lâmpada oscilasse largo ou estreito, cada oscilação levava o mesmo tempo.
- Isso não é óbvio e não é verdade para a maioria dos movimentos. É verdadeiro sempre que a força restauradora cresce em proporção à distância que o objeto foi deslocado, e essa única condição define todo o tópico.
- A observação de Galileo tornou-se o relógio de pêndulo, e todo relógio nos próximos 300 anos.
- Esta lição é movimento harmônico simples 简谐运动: sua equação definidora, as palavras que o descrevem, e como ler $\omega$ num gráfico.
The definition
- A body moves with simple harmonic motion when its acceleration is proportional to its displacement 位移 from a fixed point, and always directed towards that point.
- Both halves are needed for both marks. "Proportional to displacement" alone describes a force pushing it further away just as well.
- In symbols, with the minus sign carrying "towards the equilibrium position":
Displaced right, accelerating left; displaced left, accelerating right
A definição
- Um corpo move-se com movimento harmônico simples quando sua aceleração é proporcional ao seu deslocamento 位移 de um ponto fixo, e sempre direcionada para aquele ponto.
- Ambas as metades são necessárias para ambas as marcas. "Proporcional ao deslocamento" sozinho descreve uma força empurrando-o para longe tão bem quanto.
- Em símbolos, com o sinal de menos carregando "em direção à posição de equilíbrio":
Deslocado para a direita, acelerando para a esquerda; deslocado para a esquerda, acelerando para a direita
In simple harmonic motion, the acceleration is: · No movimento harmônico simples, a aceleração é:
That is exactly $a = -\omega^{2}x$ — bigger displacement, bigger pull back; always toward the middle. · Isso corresponde exatamente a $a = -\omega^{2}x$ — maior deslocamento, maior força restauradora; sempre em direção ao centro.
A full definition of simple harmonic motion needs which statements? Select all · todos that apply. · Uma definição completa de movimento harmônico simples requer quais afirmações? Selecione todas as que se aplicam.
Those two statements are the definition and carry both marks. The constant period is a consequence of them, and the speed is certainly not constant. · Essas duas primeiras afirmações constituem a definição e valem ambas as marcas. O período constante é uma consequência delas, e a velocidade certamente não é constante.
The vocabulary
- Displacement $x$: distance from the equilibrium 平衡 position, with a direction. Amplitude 振幅 $x_0$: the maximum displacement.
- Period 周期 $T$: the time for one complete oscillation. Frequency 频率 $f = 1/T$: oscillations per second, in hertz.
- Angular frequency 角频率 $\omega$: connects the two, $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$. Given any one of $\omega$, $f$ and $T$ you can find the others, and most questions start by doing exactly that.
O vocabulário
- Deslocamento $x$: distância da posição de equilíbrio 平衡, com uma direção. Amplitude 振幅 $x_0$: o deslocamento máximo.
- Período 周期 $T$: o tempo para uma oscilação completa. Frequência 频率 $f = 1/T$: oscilações por segundo, em hertz.
- Frequência angular 角频率 $\omega$: conecta as duas, $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$. Dado qualquer uma de $\omega$, $f$ e $T$ você pode encontrar as outras, e a maioria das questões começa fazendo exatamente isso.
Swing a pendulum · Balouçar um pêndulo
Set it swinging, then change the start angle — the time for one swing stays the same (that is what makes it a good clock). Now make the string longer, or move to the Moon, and watch the period change. · Faça-o baloiçar, depois alterne o ângulo inicial — o tempo para um balanço permanece o mesmo (é isso que o torna um bom relógio). Agora, aumente o comprimento da corda ou mova-se para a Lua, e observe o período mudar.
An oscillation has a period of $2.0\ \text{s}$. What is its angular frequency $\omega$? · Uma oscilação tem período $2.0\ \text{s}$. Qual é sua frequência angular $\omega$?
$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = \pi \approx 3.14\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
Displacement with time
- Starting from the equilibrium position at $t = 0$: $x = x_0 \sin(\omega t)$. Starting from an extreme: $x = x_0 \cos(\omega t)$.
- Which you use depends only on where the motion starts. Read the question's opening condition before choosing.
- The graph is a sine curve of amplitude $x_0$ and period $T$, and the motion repeats exactly.
One period, one full cycle, and then the same again
Deslocamento com o tempo
- Começando da posição de equilíbrio em $t = 0$: $x = x_0 \sin(\omega t)$. Começando de um extremo: $x = x_0 \cos(\omega t)$.
- Qual você usa depende apenas de onde o movimento começa. Leia a condição inicial da questão antes de escolher.
- O gráfico é uma curva senoidal de amplitude $x_0$ e período $T$, e o movimento se repete exatamente.
Um período, um ciclo completo, e depois o mesmo novamente
Speed anywhere in the motion
- The speed at displacement $x$, without needing the time:
- At the centre, $x = 0$, this gives the maximum speed $v_{\text{max}} = \omega x_0$. At the extremes, $x = \pm x_0$, it gives zero.
- That is the pattern to hold on to: fastest in the middle, momentarily at rest at each end, and the acceleration is the other way round, zero in the middle and greatest at the ends.
Velocidade em qualquer lugar do movimento
- A velocidade no deslocamento $x$, sem precisar do tempo:
- No centro, $x = 0$, isso dá a velocidade máxima $v_{\text{max}} = \omega x_0$. Nos extremos, $x = \pm x_0$, isso dá zero.
- Esse é o padrão a manter: mais rápido no meio, momentaneamente parado em cada extremidade, e a aceleração é o contrário, zero no meio e máxima nas extremidades.
In SHM the speed is greatest at the ____ position. · No MHS, a velocidade é máxima na posição ____.
At the middle all the energy is kinetic, so the speed is maximum ($v = \omega x_0$). · No meio, toda a energia é cinética, logo a velocidade é máxima ($v = \omega x_0$).
At the extremes of the motion ($x = \pm x_0$), the speed is zero. · Nos extremos do movimento ($x = \pm x_0$), a velocidade é zero.
The oscillator stops for an instant at each end before reversing — speed zero, acceleration maximum. · O oscilador para momentaneamente em cada extremo antes de inverter o sentido — velocidade zero, aceleração máxima.
An oscillator has amplitude $0.10\ \text{m}$ and · e $\omega = 10\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. What is its maximum speed? · Um oscilador tem amplitude $0.10\ \text{m}$ e $\omega = 10\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. Qual é sua velocidade máxima?
Maximum speed $= \omega x_0 = 10 \times 0.10 = 1.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. · Velocidade máxima $= \omega x_0 = 10 \times 0.10 = 1.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Match each quantity to where in the oscillation it is greatest. · Relacione cada grandeza ao local onde ela é máxima durante a oscilação.
Speed and acceleration peak at opposite places, and they are never both maximum at the same instant. · A velocidade e a aceleração atingem picos em locais opostos, e nunca são ambas máximas no mesmo instante.
Worked example: from period to maximum speed
- A mass oscillates with a period of $2.0\ \text{s}$ and an amplitude of $0.10\ \text{m}$. Find its maximum speed and its maximum acceleration.
- First $\omega$: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = 3.14\ \text{rad/s}$. Almost every SHM question begins here.
- Maximum speed, at the centre: $v_{\text{max}} = \omega x_0 = 3.14 \times 0.10 = 0.31\ \text{m/s}$.
- Maximum acceleration, at the extremes: $a_{\text{max}} = \omega^2 x_0 = 3.14^2 \times 0.10 = 0.99\ \text{m/s}^2$.
- Note where each maximum occurs. A question asking "at what displacement" wants the centre for speed and the extremes for acceleration.
Exemplo resolvido: do período à velocidade máxima
- Uma massa oscila com um período de $2.0\ \text{s}$ e uma amplitude de $0.10\ \text{m}$. Encontre sua velocidade máxima e sua aceleração máxima.
- Primeiro $\omega$: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = 3.14\ \text{rad/s}$. Quase toda questão de MSO começa aqui.
- Velocidade máxima, no centro: $v_{\text{max}} = \omega x_0 = 3.14 \times 0.10 = 0.31\ \text{m/s}$.
- Aceleração máxima, nas extremidades: $a_{\text{max}} = \omega^2 x_0 = 3.14^2 \times 0.10 = 0.99\ \text{m/s}^2$.
- Observe onde cada máximo ocorre. Uma pergunta perguntando "em que deslocamento" quer o centro para a velocidade e as extremidades para a aceleração.
An oscillation has period 2.0 s and amplitude 0.10 m. What is its maximum speed in m/s? · Uma oscilação tem período 2.0 s e amplitude 0.10 m. Qual é a sua velocidade máxima em m/s?
omega = 2 pi / T = 3.14 rad/s, and v_max = omega x0 = 0.31 m/s, which occurs at the centre. The maximum acceleration, at the ends, is omega squared times x0 = 0.99 m/s^2. · omega = 2 pi / T = 3.14 rad/s, e v_max = omega x0 = 0.31 m/s, o que ocorre no centro. A aceleração máxima, nas extremidades, é omega ao quadrado vezes x0 = 0.99 m/s^2.
Reading the acceleration-displacement graph
- Because $a = -\omega^2 x$, a graph of acceleration against displacement is a straight line through the origin with a negative gradient.
- The gradient is $-\omega^2$, so $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$ and then $T = 2\pi/\omega$.
- This is the standard way an exam gives you $\omega$ without stating it. A straight line through the origin with negative gradient is also the standard way of asking you to show that a motion is simple harmonic.
Straight, through the origin, negative: all three matter
Lendo o gráfico de aceleração versus deslocamento
- Como $a = -\omega^2 x$, um gráfico de aceleração contra deslocamento é uma linha reta que passa pela origem com uma inclinação negativa.
- A inclinação é $-\omega^2$, logo $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$ e então $T = 2\pi/\omega$.
- Esta é a forma padrão como uma prova fornece $\omega$ sem declará-lo. Uma linha reta que passa pela origem com inclinação negativa também é a forma padrão de pedir para você mostrar que um movimento é harmônico simples.
Reta, pela origem, negativa: todas as três coisas importam
On an acceleration-against-displacement graph for SHM, the gradient equals: · Em um gráfico de aceleração versus deslocamento para MHS, a inclinação é igual a:
$a = -\omega^{2}x$ is a straight line of gradient $-\omega^{2}$, so $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$. · $a = -\omega^{2}x$ é uma linha reta de inclinação $-\omega^{2}$, logo $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$.
Worked example: is it simple harmonic?
- Measurements of a trolley's acceleration at various displacements give a straight line through the origin with gradient $-25\ \text{/s}^2$. Show that the motion is simple harmonic and find the period.
- The graph is a straight line, so $a \propto x$; it passes through the origin, so there is no constant term; and its gradient is negative, so the acceleration is directed towards the equilibrium position. Those three facts are the definition, so the motion is simple harmonic.
- The gradient is $-\omega^2 = -25$, so $\omega = 5.0\ \text{rad/s}$ and $T = \dfrac{2\pi}{5.0} = 1.3\ \text{s}$.
Exemplo resolvido: é harmônico simples?
- Medições da aceleração de um carrinho em vários deslocamentos fornecem uma linha reta que passa pela origem com inclinação $-25\ \text{/s}^2$. Mostre que o movimento é harmônico simples e encontre o período.
- O gráfico é uma linha reta, logo $a \propto x$; ele passa pela origem, logo não há termo constante; e sua inclinação é negativa, logo a aceleração é direcionada para a posição de equilíbrio. Esses três fatos são a definição, logo o movimento é harmônico simples.
- A inclinação é $-\omega^2 = -25$, logo $\omega = 5.0\ \text{rad/s}$ e $T = \dfrac{2\pi}{5.0} = 1.3\ \text{s}$.
An acceleration-displacement graph for an oscillator is a straight line through the origin of gradient -25 per second squared. What is the period, in seconds? · Um gráfico de aceleração versus deslocamento para um oscilador é uma linha reta pela origem com inclinação -25 por segundo quadrado. Qual é o período, em segundos?
The gradient is minus omega squared, so omega = 5.0 rad/s and T = 2 pi / 5.0 = 1.3 s. Straight, through the origin and negative is also the proof that the motion is simple harmonic. · A inclinação é menos omega ao quadrado, então omega = 5.0 rad/s e T = 2 pi / 5.0 = 1.3 s. Linear, passando pela origem e negativo também comprova que o movimento é harmônico simples.
Marks that slip away
- The definition needs both halves: proportional to displacement and directed towards a fixed point. The minus sign is what carries the second.
- $\omega$ is in rad s$^{-1}$, not hertz. Convert with $\omega = 2\pi f$ before substituting.
- Speed is greatest at the centre; acceleration is greatest at the extremes. They are never both maximum at once.
- Choose sine or cosine from where the motion starts, not by habit.
Marcas que escapam
- A definição precisa de ambos os meios: proporcional ao deslocamento e direcionado para um ponto fixo. O sinal de menos é o que carrega o segundo.
- $\omega$ está em rad s$^{-1}$, não hertz. Converta com $\omega = 2\pi f$ antes de substituir.
- A velocidade é maior no centro; a aceleração é maior nas extremidades. Elas nunca são máximas ao mesmo tempo.
- Escolha seno ou cosseno de onde o movimento começa, não por hábito.
You've got it
- SHM: acceleration proportional to displacement and directed towards a fixed point, so $a = -\omega^2 x$
- $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$, and almost every question starts by finding $\omega$
- $x = x_0\sin\omega t$ from the centre or $x_0\cos\omega t$ from an extreme; $v = \pm\omega\sqrt{x_0^2 - x^2}$, so $v_{\text{max}} = \omega x_0$ at the centre and $a_{\text{max}} = \omega^2 x_0$ at the ends
- an acceleration-displacement graph that is straight, through the origin and negative proves SHM, and its gradient is $-\omega^2$
Entendeu?
- MSO: aceleração proporcional ao deslocamento e direcionada para um ponto fixo, logo $a = -\omega^2 x$
- $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$, e quase toda questão começa encontrando $\omega$
- $x = x_0\sin\omega t$ do centro ou $x_0\cos\omega t$ de uma extremidade; $v = \pm\omega\sqrt{x_0^2 - x^2}$, logo $v_{\text{max}} = \omega x_0$ no centro e $a_{\text{max}} = \omega^2 x_0$ nas extremidades
- um gráfico de aceleração versus deslocamento que é reto, passa pela origem e é negativo prova MSO, e sua inclinação é $-\omega^2$