Energia no movimento harmônico simples
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| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | equilíbrio |
| damping/ˈdæmpɪŋ/ | amortecimento |
Para onde vai a energia no topo de um balanço
- No ponto mais alto de um balanço, você está, por um instante, completamente parado. Sua energia cinética é exatamente zero.
- Um momento depois você se move mais rápido do que em qualquer outro ponto do arco. Ninguém te empurrou; a energia nunca desapareceu.
- Estava no reservatório de potencial, e voltou direto para fora. Uma oscilação é esse intercâmbio, repetido por tanto tempo quanto a atrito permitir.
- Esta lição é sobre a energia de um oscilador: como ela troca, por que o total é constante e por que o total depende do quadrado da amplitude.
A troca
- Na posição de equilíbrio 平衡位置, a velocidade é maior, logo a energia cinética é máxima e a energia potencial está em seu mínimo.
- Nas extremidades, o oscilador está momentaneamente parado, logo a energia cinética é zero e a energia potencial está em seu máximo.
- No meio, as duas trocam continuamente. A troca acontece duas vezes por oscilação completa, pois o oscilador passa pelo centro duas vezes.
Duas curvas em fase oposta, e uma linha plana acima delas
A energia cinética de um oscilador é maior:
A velocidade é máxima no meio, logo a EC atinge pico lá enquanto a EP está no mínimo.
Nas posições extremas do movimento, toda a energia é potencial.
O oscilador está momentaneamente parado ali, logo EC = 0 e toda a energia é potencial.
O total é constante
- Sem amortecimento 阻尼, nenhuma força resistiva removendo energia, a energia total permanece constante. Isso é conservação de energia aplicada ao oscilador.
- O lugar mais fácil de avaliá-lo é no centro, onde tudo é cinético e a velocidade é $\omega x_0$:
- Em um gráfico contra o deslocamento, a energia cinética é uma parábola voltada para baixo, a energia potencial uma voltada para cima, e sua soma é uma linha horizontal.
As duas parábolas somam uma constante em todo o deslocamento
Energia no MHS
EC + EP = constante
A energia transita entre cinética (máxima no centro) e potencial (máxima nos extremos).
Sem amortecimento, a energia total de um oscilador permanece constante.
A energia apenas troca entre EC e EP; a soma é conservada.
Energia e amplitude
- Como $E = \tfrac12 m\omega^2 x_0^2$, a energia total é proporcional ao quadrado da amplitude.
- Dobre a amplitude e a energia será quatro vezes maior. Triplique e a energia será nove vezes.
- Esta é a relação que a prova testa com mais frequência, e responder "dobro" para uma amplitude dobrada é o erro mais comum no subtema.
Se a amplitude dobrar, a energia total de um oscilador torna-se:
$E \propto x_0^{2}$, logo dobrar $x_0$ resulta em $2^{2} = 4$ vezes a energia.
A amplitude de um oscilador sem amortecimento é dobrada. O que acontece com sua energia total?
E é proporcional ao quadrado da amplitude, de E = m omega^2 x0^2 / 2. Responder "o dobro" é o erro mais comum neste subtópico.
Exemplo resolvido: encontre a energia total
- Um oscilador de massa $0.20\ \text{kg}$ tem frequência angular $10\ \text{rad/s}$ e amplitude $0.050\ \text{m}$. Encontre sua energia total e sua energia cinética em um deslocamento de $0.030\ \text{m}$.
- Total: $E = \tfrac12 m \omega^2 x_0^2 = \tfrac12 \times 0.20 \times 10^2 \times 0.050^2 = 0.025\ \text{J}$.
- Em $x = 0.030\ \text{m}$: $v = \omega\sqrt{x_0^2 - x^2} = 10\sqrt{0.050^2 - 0.030^2} = 0.40\ \text{m/s}$, logo $E_{\text{k}} = \tfrac12 \times 0.20 \times 0.40^2 = 0.016\ \text{J}$.
- A energia potencial lá é a diferença, $0.025 - 0.016 = 0.009\ \text{J}$. Usar o total constante para obter a segunda energia é mais rápido e seguro do que uma fórmula separada.
Um oscilador tem $m = 0.20\ \text{kg}$, $\omega = 10\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ e amplitude $0.10\ \text{m}$. Qual é sua energia total?
$E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_0^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0.20 \times 10^{2} \times 0.10^{2} = 0.10\ \text{J}$.
Um oscilador de massa 0.20 kg tem omega = 10 rad/s e amplitude 0.050 m. Qual é a sua energia total, em joules?
E = m omega^2 x0^2 / 2 = 0.20 x 100 x 0.0025 / 2 = 0.025 J. Avaliar no centro, onde toda a energia é cinética, é o caminho mais rápido.
Se a energia total é 0.025 J e a energia cinética em algum deslocamento é 0.016 J, a energia potencial lá é ____ J.
A total é constante, logo a energia potencial é simplesmente a total menos a cinética. Essa subtração é mais rápida e segura do que usar uma fórmula separada.
Exemplo resolvido: lendo os gráficos de energia
- Esboce como a energia cinética, a energia potencial e a energia total de um oscilador sem amortecimento variam com o deslocamento.
- Energia cinética: máxima em $x = 0$, caindo para zero em $x = \pm x_0$, uma parábola voltada para baixo.
- Energia potencial: zero em $x = 0$, subindo até o máximo em $x = \pm x_0$, uma parábola voltada para cima, e a imagem espelhada da primeira.
- Total: uma linha horizontal no valor de qualquer máximo, já que as duas curvas sempre somam a mesma quantidade.
- Contra o tempo em vez do deslocamento, ambas as curvas ainda têm formato parabólico na energia, mas agora oscilam com dobro da frequência do deslocamento, porque os picos de energia ocorrem duas vezes por ciclo.
Relacione cada forma de energia de um oscilador sem amortecimento ao seu gráfico contra o deslocamento.
As duas parábolas são imagens espelhadas, logo somam o mesmo valor em qualquer deslocamento. Essa linha plana representa a conservação de energia desenhada explicitamente.
Traçado contra o tempo, a energia cinética de um oscilador repete-se com o dobro da frequência do deslocamento.
O oscilador passa pelo centro duas vezes por ciclo, logo a energia cinética atinge pico duas vezes por ciclo enquanto o deslocamento atinge pico apenas uma vez.
Energia contra o tempo corre com dobro da frequência
- Plote o deslocamento contra o tempo e você terá um ciclo por período. Plote a energia cinética contra o tempo e você terá dois.
- A razão é o quadrado. A energia cinética depende de $v^2$, e $v$ passa por sua magnitude máxima duas vezes em cada ciclo, uma vez em cada sentido.
- Então ambas as curvas de energia completam dois máximos por oscilação, e sua frequência é dupla que a do deslocamento.
- As duas curvas são reflexos exatos uma da outra sobre a linha de metade do total, e sua soma é uma linha horizontal na energia total.
- Uma questão de esboço aqui é pontuada em três coisas: a frequência dobrada, as duas curvas estarem defasadas pela metade seu período, e o total plano.
A energia cinética de um oscilador varia com o dobro da frequência de seu deslocamento.
EC depende de v squared, e a velocidade atinge seu máximo duas vezes por ciclo, uma em cada direção. A energia potencial faz o mesmo, e as duas somam uma linha plana.
Marcas que escapam
- A energia é proporcional ao quadrado da amplitude. Dobrar a amplitude dá quatro vezes a energia, não o dobro.
- A energia cinética é máxima no centro, a potencial nas extremidades. Não troque-as.
- Contra o tempo, as curvas de energia se repetem com dobro da frequência do deslocamento, porque há dois picos de energia por oscilação.
- O total é constante apenas quando não há amortecimento. Diga isso quando a questão mencionar forças resistivas.
Entendeu?
- a energia cinética é máxima no centro e zero nas extremidades; a energia potencial faz o oposto, e elas trocam duas vezes por ciclo
- sem amortecimento o total é constante: $E = \tfrac12 m\omega^2 x_0^2$, mais facilmente avaliado no centro onde tudo é cinético
- contra o deslocamento as energias são duas parábolas opostas cuja soma é uma linha horizontal
- $E \propto x_0^2$: ** dobre a amplitude, quatro vezes a energia**