Summation of series · Soma de séries
| English | Português |
|---|---|
| summation/sʌˈmeɪʃn/ | somatória |
| method of differences/ˈmeθəd ɒv ˈdɪfrənsɪz/ | método das diferenças |
| telescope/ˈtelɪskəʊp/ | telescópio |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | convergir |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | soma para o infinito |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | frações parciais |
The sum that Gauss solved at age 10
- Young Gauss's teacher set the class the task of adding $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$, expecting an hour's work. Gauss saw the pattern instantly: pair the first and last ($1 + 100 = 101$), the second and second-to-last ($2 + 99 = 101$), and so on — 50 pairs of 101 = 5050.
- Summation 求和 formulas turn long additions into simple algebra.
A soma que Gauss resolveu aos 10 anos
- O professor do jovem Gauss deu à turma a tarefa de somar $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$, esperando uma hora de trabalho. Gauss percebeu o padrão instantaneamente: pareie o primeiro com o último ($1 + 100 = 101$), o segundo com o penúltimo ($2 + 99 = 101$), e assim por diante — 50 pares de 101 = 5050.
- Fórmulas de somatória 求和 transformam adições longas em álgebra simples.
Standard summation results
Worked example. $\sum_{r=1}^{10} r^2 = \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6} = \dfrac{2310}{6} = 385$.
Summing 1 to n by pairing the ends: the total is n(n+1)/2
Resultados padrão de somatória
Exemplo resolvido. $\sum_{r=1}^{10} r^2 = \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6} = \dfrac{2310}{6} = 385$.
Somando 1 a n pareando as extremidades: o total é n(n+1)/2
Summation of series · Soma de séries
Sₙ = Σ uₖ
Add the terms one by one — the partial sum climbs toward its limit. · Some os termos um por um — a soma parcial sobe em direção ao seu limite.
Using Σr = ½n(n+1), what is the sum of the first 5 integers? · Usando Σr = ½n(n+1), qual é a soma dos primeiros 5 inteiros?
½ × 5 × 6 = 15 (= 1+2+3+4+5).
Using Σr² = (1/6)n(n+1)(2n+1), what is the sum of the first 3 squares? · Usando Σr² = (1/6)n(n+1)(2n+1), qual é a soma dos primeiros 3 quadrados?
(1/6)(3)(4)(7) = 84/6 = 14 (= 1+4+9).
Using Σr³ = ¼n²(n+1)², what is the sum of the first 3 cubes? · Usando Σr³ = ¼n²(n+1)², qual é a soma dos primeiros 3 cubos?
¼ × 9 × 16 = 36 (= 1+8+27). Note: 36 = 6² = (1+2+3)². · ¼ × 9 × 16 = 36 (= 1+8+27). Nota: 36 = 6² = (1+2+3)².
Complete the standard result: Σr (from 1 to n) = ______ n(n+1). · Complete o resultado padrão: Σr (de 1 até n) = ______ n(n+1).
The sum of the first n integers is ½n(n+1). · A soma dos primeiros n inteiros é ½n(n+1).
Splitting sums
- Split a sum into standard pieces:
- $\sum_{r=1}^{n}(2r+1) = 2\sum r + \sum 1 = 2 \times \dfrac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n(n+2)$.
$\sum r^3 = (\sum r)^2$. This beautiful identity means the sum of cubes equals the square of the sum of the first $n$ integers. It's easy to verify: $\sum_{r=1}^{3} r^3 = 1 + 8 + 27 = 36 = 6^2 = (1+2+3)^2$.
Separação de somas
- Separe uma soma em peças padrão:
- $\sum_{r=1}^{n}(2r+1) = 2\sum r + \sum 1 = 2 \times \dfrac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n(n+2)$.
$\sum r^3 = (\sum r)^2$. Esta bela identidade significa que a soma dos cubos é igual ao quadrado da soma dos primeiros $n$ inteiros. É fácil verificar: $\sum_{r=1}^{3} r^3 = 1 + 8 + 27 = 36 = 6^2 = (1+2+3)^2$.
Σ(2r+1) from r=1 to n = n(n+2). For n=4, find the sum. · Σ(2r+1) de r=1 até n = n(n+2). Para n=4, encontre a soma.
4 × 6 = 24. Check: 3+5+7+9 = 24. · 4 × 6 = 24. Verificação: 3+5+7+9 = 24.
The method of differences 差分法
- If each term is $f(r) - f(r+1)$, almost everything cancels (telescopes 裂项相消).
- From the sum to $n$ terms you can see if a series converges 收敛 and find its sum to infinity 无穷和.
O método das diferenças 差分法
- Se cada termo é $f(r) - f(r+1)$, quase tudo cancela (telescopes 裂项相消).
- Da soma até $n$ termos, você pode ver se uma série converge 收敛 e encontrar sua soma infinita 无穷和.
In the method of differences, if each term is f(r) − f(r+1), most terms cancel (telescope). · No método das diferenças, se cada termo for f(r) − f(r+1), a maioria dos termos se cancela (telescópica).
Consecutive terms cancel, leaving only the first and last pieces. · Termos consecutivos se cancelam, restando apenas a primeira e a última peça.
Σ 1/(r(r+1)) from r=1 to ∞ telescopes to 1 − 1/(n+1). As n→∞, the sum to infinity is? · Σ 1/(r(r+1)) de r=1 até ∞ telescopia para 1 − 1/(n+1). Quando n→∞, a soma infinita é?
As n→∞, 1/(n+1)→0, so the sum approaches 1. · Quando n→∞, 1/(n+1)→0, então a soma aproxima-se de 1.
Worked example — method of differences
- Find $\sum_{r=1}^{n} \dfrac{1}{r(r+1)}$.
- Partial fractions 部分分式: $\dfrac{1}{r(r+1)} = \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{r+1}$.
- Sum telescopes: $\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$.
- As $n \to \infty$: sum to infinity $= 1$.
- A series is convergent when its sum to $n$ terms approaches a limit.
Exemplo resolvido — método das diferenças
- Encontre $\sum_{r=1}^{n} \dfrac{1}{r(r+1)}$.
- Frações parciais 部分分式: $\dfrac{1}{r(r+1)} = \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{r+1}$.
- Soma telescópica: $\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$.
- Quando $n \to \infty$: soma infinita $= 1$.
- Uma série é convergente quando sua soma até $n$ termos se aproxima de um limite.
You've got it
- $\sum r = \tfrac12 n(n+1)$, $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$, $\sum r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2$
- split sums into standard pieces
- method of differences telescopes $f(r) - f(r+1)$
Entendeu?
- $\sum r = \tfrac12 n(n+1)$, $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$, $\sum r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2$
- separar somas em peças padrão
- método das diferenças telescopia $f(r) - f(r+1)$