Funções Trigonométricas e Polares

Objetivo de Aprendizagem 3.1.A: Construir gráficos de relações periódicas com base em representações verbais.

• 3.1.A.1 Uma relação periódica pode ser identificada entre dois aspectos de um contexto se, à medida que os valores de entrada aumentam, os valores de saída demonstram um padrão repetitivo em intervalos sucessivos de comprimento igual.
• 3.1.A.2 O gráfico de uma relação periódica pode ser construído a partir do gráfico de um único ciclo da relação.

Objetivo de Aprendizagem 3.1.B: Descrever características-chave de uma função periódica com base em uma representação verbal.

• 3.1.B.1 O período da função é o menor valor positivo $k$ tal que $f(x + k) = f(x)$ para todo $x$ no domínio. Consequentemente, o comportamento de uma função periódica é completamente determinado por qualquer intervalo de largura $k$.
• 3.1.B.2 O período pode ser estimado investigando valores de saída sucessivos de comprimento igual e encontrando onde o padrão começa a se repetir.
• 3.1.B.3 Funções periódicas assumem características de outras funções, como intervalos de aumento e diminuição, concavidades diferentes e várias taxas de variação. No entanto, com funções periódicas, todas as características encontradas em um período da função estarão em todos os períodos da função.

Objetivo de Aprendizagem 3.2.A: Determinar o seno, cosseno e tangente de um ângulo usando a circunferência unitária.

• 3.2.A.1 No plano cartesiano, um ângulo está em posição normal quando o vértice coincide com a origem e um dos raios coincide com o eixo $x$ positivo. O outro raio é chamado de raio terminal. Medidas de ângulo positivas e negativas indicam rotações a partir do eixo $x$ positivo no sentido anti-horário e horário, respectivamente. Ângulos em posição normal que compartilham um raio terminal diferem por um número inteiro de voltas completas.
• 3.2.A.2 A medida em radianos de um ângulo em posição normal é a razão entre o comprimento do arco de um círculo centrado na origem subtendido pelo ângulo e o raio desse mesmo círculo. Para uma circunferência unitária, que tem raio $1$, a medida em radianos é a mesma que o comprimento do arco subtendido.
• 3.2.A.3 Dado um ângulo em posição normal e um círculo centrado na origem, há um ponto, $P$, onde o raio terminal intercepta o círculo. O seno do ângulo é a razão entre o deslocamento vertical de $P$ em relação ao eixo $x$ à distância entre a origem e o ponto $P$. Portanto, para uma circunferência unitária, o seno do ângulo é a coordenada $y$ do ponto $P$.
• 3.2.A.4 Dado um ângulo em posição normal e um círculo centrado na origem, há um ponto, $P$, onde o raio terminal intercepta o círculo. O cosseno do ângulo é a razão entre o deslocamento horizontal de $P$ em relação ao eixo $y$ à distância entre a origem e o ponto $P$. Portanto, para uma circunferência unitária, o cosseno do ângulo é a coordenada $x$ do ponto $P$.
• 3.2.A.5 Dado um ângulo em posição normal, a tangente do ângulo é a inclinação (se existir) do raio terminal. Como a inclinação do raio terminal é a razão entre o deslocamento vertical e o deslocamento horizontal sobre qualquer intervalo, a tangente do ângulo é a razão entre a coordenada $y$ e a coordenada $x$ do ponto em que o raio terminal intercepta a circunferência unitária; alternativamente, é a razão entre o seno e o cosseno do ângulo.

Objetivo de Aprendizagem 3.3.A: Determinar as coordenadas de pontos em um círculo centrado na origem.

• 3.3.A.1 Dado um ângulo de medida $\theta$ em posição normal e um círculo com raio $r$ centrado na origem, há um ponto, $P$, onde o raio terminal intercepta o círculo. As coordenadas do ponto $P$ são $(r\cos\theta, r\sin\theta)$.
• 3.3.A.2 A geometria de triângulos isósceles retângulos e equiláteros, considerando os sinais dos valores com base no quadrante do ângulo, pode ser usada para encontrar valores exatos para o cosseno e o seno de ângulos que são múltiplos de $\dfrac{\pi}{4}$ e $\dfrac{\pi}{6}$ radianos e cujos raios terminais não estão sobre um eixo.

Objetivo de Aprendizagem 3.4.A: Construir representações das funções seno e cosseno usando a circunferência unitária.

• 3.4.A.1 Dado um ângulo de medida $\theta$ em posição normal e uma circunferência unitária centrada na origem, há um ponto, $P$, onde o raio terminal intercepta o círculo. A função seno, $f(\theta) = \sin\theta$, fornece a coordenada $y$, ou o deslocamento vertical em relação ao eixo $x$, do ponto $P$. O domínio da função seno é todos os números reais.
• 3.4.A.2 À medida que os valores de entrada, ou medidas de ângulo, da função seno aumentam, os valores de saída oscilam entre $-1$ e $1$, assumindo todos os valores intermediários e rastreando a distância vertical dos pontos na circunferência unitária em relação ao eixo $x$.
• 3.4.A.3 Dado um ângulo de medida $\theta$ em posição normal e uma circunferência unitária centrada na origem, há um ponto, $P$, onde o raio terminal intercepta o círculo. A função cosseno, $f(\theta) = \cos\theta$, fornece a coordenada $x$, ou o deslocamento horizontal em relação ao eixo $y$, do ponto $P$. O domínio da função cosseno é todos os números reais.
• 3.4.A.4 À medida que os valores de entrada, ou medidas de ângulo, da função cosseno aumentam, os valores de saída oscilam entre $-1$ e $1$, assumindo todos os valores intermediários e rastreando a distância horizontal dos pontos na circunferência unitária em relação ao eixo $y$.

Objetivo de Aprendizagem 3.5.A: Identificar características principais das funções seno e cosseno.

• 3.5.A.1 Uma função senoidal é qualquer função que envolve transformações aditivas e multiplicativas de $f(\theta) = \sin\theta$. As funções seno e cosseno são ambas funções senoidais, com $\cos\theta = \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$.
• 3.5.A.2 O período e a frequência de uma função senoidal são recíprocos. O período de $f(\theta) = \sin\theta$ e $g(\theta) = \cos\theta$ é $2\pi$, e a frequência é $\dfrac{1}{2\pi}$.
• 3.5.A.3 A amplitude de uma função senoidal é metade da diferença entre seus valores máximo e mínimo. A amplitude de $f(\theta) = \sin\theta$ e $g(\theta) = \cos\theta$ é $1$.
• 3.5.A.4 A linha central do gráfico de uma função senoidal é determinada pela média aritmética dos valores máximo e mínimo da função. A linha central dos gráficos de $y = \sin\theta$ e $y = \cos\theta$ é $y = 0$.
• 3.5.A.5 À medida que os valores de entrada aumentam, os gráficos de funções senoidais oscilam entre côncavo para baixo e côncavo para cima.
• 3.5.A.6 O gráfico de $y = \sin\theta$ possui simetria rotacional em relação à origem e, portanto, é uma função ímpar. O gráfico de $y = \cos\theta$ possui simetria reflexiva em relação ao eixo $y$ e, portanto, é uma função par.

Objetivo de Aprendizagem 3.6.A: Identificar a amplitude, o deslocamento vertical, o período e o deslocamento de fase de uma função senoidal.

• 3.6.A.1 Funções que podem ser escritas na forma $f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ ou $g(\theta) = a\cos(b(\theta + c)) + d$, onde $a, b, c,$ e $d$ são números reais e $a \neq 0$, são funções senoidais e representam transformações das funções seno e cosseno. As transformações aditivas e multiplicativas são as mesmas para o seno e o cosseno, pois a função cosseno é um deslocamento de fase da função seno em $-\dfrac{\pi}{2}$ unidades.
• 3.6.A.2 O gráfico da transformação aditiva $g(\theta) = \sin\theta + d$ da função seno $f(\theta) = \sin\theta$ é uma translação vertical do gráfico de $f$, incluindo sua linha central, em $d$ unidades. A mesma transformação aplicada à função cosseno produz o mesmo resultado.
• 3.6.A.3 O gráfico da transformação aditiva $g(\theta) = \sin(\theta + c)$ da função seno $f(\theta) = \sin\theta$ é uma translação horizontal, ou deslocamento de fase, do gráfico de $f$ em $-c$ unidades. A mesma transformação aplicada à função cosseno produz o mesmo resultado.
• 3.6.A.4 O gráfico da transformação multiplicativa $g(\theta) = a\sin\theta$ da função seno $f(\theta) = \sin\theta$ é uma dilatação vertical do gráfico de $f$ e difere na amplitude por um fator de $|a|$. A mesma transformação aplicada à função cosseno produz o mesmo resultado.
• 3.6.A.5 O gráfico da transformação multiplicativa $g(\theta) = \sin(b\theta)$ da função seno $f(\theta) = \sin\theta$ é uma dilatação horizontal do gráfico de $f$ e difere no período por um fator de $\left|\dfrac{1}{b}\right|$. A mesma transformação aplicada à função cosseno produz o mesmo resultado.
• 3.6.A.6 O gráfico de $y = f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ tem amplitude de $|a|$ unidades, período de $\left|\dfrac{1}{b}\right|2\pi$ unidades, deslocamento vertical da linha central de $d$ unidades a partir de $y = 0$, e deslocamento de fase de $-c$ unidades. As mesmas transformações aplicadas à função cosseno produzem os mesmos resultados.

Objetivo de Aprendizagem 3.7.A: Construir modelos de funções senoidais para fenômenos periódicos.

• 3.7.A.1 O menor intervalo de valores de entrada sobre o qual os valores de saída máximos ou mínimos começam a se repetir, ou seja, o intervalo de valores de entrada entre máximos consecutivos ou mínimos consecutivos, pode ser usado para determinar ou estimar o período e a frequência de um modelo de função senoidal.
• 3.7.A.2 Os valores de saída máximo e mínimo podem ser usados para determinar ou estimar a amplitude e o deslocamento vertical de um modelo de função senoidal.
• 3.7.A.3 Um par real de valores de entrada-saída pode ser comparado a pares de valores de entrada-saída gerados por um modelo de função senoidal para determinar ou estimar um deslocamento de fase para o modelo.
• 3.7.A.4 Modelos de funções senoidais podem ser construídos para um conjunto de dados usando tecnologia, estimando valores-chave ou utilizando regressão senoidal.
• 3.7.A.5 Funções senoidais que modelam um conjunto de dados frequentemente são úteis apenas dentro de seu domínio contextual e podem ser usadas para prever valores da variável dependente a partir de valores da variável independente.

Objetivo de Aprendizagem 3.8.A: Construir representações da função tangente usando o círculo unitário.

• 3.8.A.1 Dado um ângulo de medida $\theta$ na posição padrão e um círculo unitário centrado na origem, há um ponto, $P$, onde o raio terminal intersecta o círculo. A função tangente, $f(\theta) = \tan\theta$, fornece a inclinação (coeficiente angular) do raio terminal.
• 3.8.A.2 Como a inclinação do raio terminal é a razão entre a variação nos valores de $y$ e a variação nos valores de $x$ entre quaisquer dois pontos no raio, a função tangente também é a razão entre a função seno e a função cosseno. Portanto, $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, onde $\cos\theta \neq 0$.

Objetivo de Aprendizagem 3.8.B: Descrever características-chave da função tangente.

• 3.8.B.1 Como os valores de inclinação do raio terminal se repetem a cada meia volta do círculo, a função tangente tem um período de $\pi$.
• 3.8.B.2 A função tangente demonstra comportamento assintótico periódico nos valores de entrada $\theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, para valores inteiros de $k$, porque $\cos\theta = 0$ nesses valores.
• 3.8.B.3 A função tangente cresce e seu gráfico muda de côncavo para baixo para côncavo para cima entre assíntotas consecutivas.

Objetivo de Aprendizagem 3.9.A: Construir representações analíticas e gráficas da inversa das funções seno, cosseno e tangente em um domínio restrito.

• 3.9.A.1 Para funções trigonométricas inversas, os valores de entrada e saída são invertidos em relação às suas funções trigonométricas correspondentes, de modo que o valor de saída de uma função trigonométrica inversa é frequentemente interpretado como uma medida de ângulo e a entrada é um valor no alcance da função trigonométrica correspondente.
• 3.9.A.2 As funções trigonométricas inversas são chamadas de arcosseno, arcocosseno e arcotangente (também representadas como $\sin^{-1}x, \cos^{-1}x,$ e $\tan^{-1}x$). Como as funções trigonométricas correspondentes são periódicas, elas são apenas invertíveis se tiverem domínios restritos.
• 3.9.A.3 A fim de definir suas respectivas funções inversas, o domínio da função seno é restringido a $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, o do cosseno a $[0, \pi]$, e o da tangente a $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Objetivo de Aprendizagem 3.10.A: Resolver equações e desigualdades envolvendo funções trigonométricas.

• 3.10.A.1 Funções trigonométricas inversas são úteis na resolução de equações e desigualdades envolvendo funções trigonométricas, mas as soluções podem precisar ser modificadas devido a restrições de domínio.
• 3.10.A.2 Como as funções trigonométricas são periódicas, há frequentemente infinitas soluções para equações trigonométricas.
• 3.10.A.3 Em equações e desigualdades trigonométricas originárias de um cenário contextual, há frequentemente uma restrição de domínio que pode ser implícita no contexto, o que limita o número de soluções.

Objetivo de Aprendizagem 3.11.A: Identificar características-chave de funções que envolvem quocientes das funções seno e cosseno.

• 3.11.A.1 A função secante, $f(\theta) = \sec\theta$, é o recíproco da função cosseno, onde $\cos\theta \neq 0$.
• 3.11.A.2 A função cossecante, $f(\theta) = \csc\theta$, é o recíproco da função seno, onde $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.3 Os gráficos das funções secante e cossecante possuem assíntotas verticais onde o cosseno e o seno são zero, respectivamente, e possuem contradomínio de $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
• 3.11.A.4 A função cotaangente, $f(\theta) = \cot\theta$, é o recíproco da função tangente, onde $\tan\theta \neq 0$. Equivalentemente, $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$, onde $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.5 O gráfico da função cotaangente possui assíntotas verticais para valores do domínio onde $\tan\theta = 0$ e é decrescente entre assíntotas consecutivas.

Objetivo de Aprendizagem 3.12.A: Reescrever expressões trigonométricas em formas equivalentes usando a identidade pitagórica.

• 3.12.A.1 O Teorema de Pitágoras pode ser aplicado a triângulos retângulos com pontos na circunferência unitária nas coordenadas $(\cos\theta, \sin\theta)$, resultando na identidade pitagórica: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
• 3.12.A.2 A identidade pitagórica pode ser manipulada algebricamente em outras formas envolvendo funções trigonométricas, como $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$, e pode ser usada para estabelecer outras relações trigonométricas, como $\arcsin x = \arccos\left(\sqrt{1 - x^2}\right)$, com restrições de domínio apropriadas.

Objetivo de Aprendizagem 3.12.B: Reescrever expressões trigonométricas em formas equivalentes usando identidades de soma de seno e cosseno.

• 3.12.B.1 A identidade de soma para o seno é $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.2 A identidade de soma para o cosseno é $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.3 As identidades de soma para seno e cosseno também podem ser usadas como identidades de diferença e de ângulo duplo.
• 3.12.B.4 Propriedades das funções trigonométricas, identidades trigonométricas conhecidas e outras propriedades algébricas podem ser usadas para verificar outras identidades trigonométricas.

Objetivo de Aprendizagem 3.12.C: Resolver equações usando representações analíticas equivalentes de funções trigonométricas.

• 3.12.C.1 Uma forma equivalente específica envolvendo expressões trigonométricas pode tornar informações mais acessíveis.
• 3.12.C.2 Formas trigonométricas equivalentes podem ser úteis na resolução de equações e desigualdades trigonométricas.

Objetivo de Aprendizagem 3.13.A: Determinar a localização de um ponto no plano usando coordenadas retangulares e polares.

• 3.13.A.1 O sistema de coordenadas polares baseia-se em uma grade de círculos centrados na origem e em linhas que passam pela origem. As coordenadas polares são definidas como um par ordenado, $(r, \theta)$, tal que $|r|$ representa o raio do círculo no qual o ponto está localizado, e $\theta$ representa a medida de um ângulo em posição normal cujo raio terminal inclui o ponto. No sistema de coordenadas polares, o mesmo ponto pode ser representado de muitas maneiras.
• 3.13.A.2 As coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas polares, $(r, \theta)$, podem ser convertidas em coordenadas no sistema de coordenadas retangulares, $(x, y)$, usando $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$.
• 3.13.A.3 As coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas retangulares, $(x, y)$, podem ser convertidas em coordenadas no sistema de coordenadas polares, $(r, \theta)$, usando $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ e $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$ para $x > 0$ ou $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi$ para $x < 0$.
• 3.13.A.4 Um número complexo pode ser compreendido como um ponto no plano complexo e pode ser determinado por suas correspondentes coordenadas retangulares ou polares. Quando o número complexo tem as coordenadas retangulares $(a, b)$, ele pode ser expresso como $a + bi$. Quando o número complexo tem coordenadas polares $(r, \theta)$, ele pode ser expresso como $(r\cos\theta) + i(r\sin\theta)$.

Objetivo de Aprendizagem 3.14.A: Construir gráficos de funções polares.

• 3.14.A.1 O gráfico da função $r = f(\theta)$ em coordenadas polares consiste em pares entrada-saída de valores onde os valores de entrada são medidas de ângulo e os valores de saída são raios.
• 3.14.A.2 O domínio da função polar $r = f(\theta)$, dado graficamente, pode ser restrito a uma porção desejada da função selecionando pontos finais correspondentes ao ângulo e raio desejados.
• 3.14.A.3 Ao graficar funções polares na forma de $r = f(\theta)$, mudanças nos valores de entrada correspondem a mudanças na medida do ângulo a partir do eixo $x$ positivo, e mudanças nos valores de saída correspondem a mudanças na distância da origem.

Objetivo de Aprendizagem 3.15.A: Descrever características do gráfico de uma função polar.

• 3.15.A.1 Se uma função polar, $r = f(\theta)$, é positiva e crescente ou negativa e decrescente, então a distância entre $f(\theta)$ e a origem está aumentando.
• 3.15.A.2 Se uma função polar, $r = f(\theta)$, é positiva e decrescente ou negativa e crescente, então a distância entre $f(\theta)$ e a origem está diminuindo.
• 3.15.A.3 Para uma função polar, $r = f(\theta)$, se a função muda de crescente para decrescente ou decrescente para crescente em um intervalo, então a função tem um extremo relativo no intervalo correspondente a um ponto relativamente mais próximo ou mais distante da origem.
• 3.15.A.4 A taxa média de variação de $r$ com respeito a $\theta$ sobre um intervalo de $\theta$ é a razão entre a mudança nos valores do raio e a mudança em $\theta$ sobre um intervalo de $\theta$. Graficamente, a taxa média de variação indica a taxa na qual o raio está mudando por radiano.
• 3.15.A.5 A taxa média de variação de $r$ com respeito a $\theta$ sobre um intervalo de $\theta$ pode ser usada para estimar valores da função dentro do intervalo.