변환 및 벡터

변환은 도형의 위치나 크기를 바꿉니다. 원본은 *물체(object)*이고 결과물은 *이미지(image)*입니다. 네 가지 유형이 있습니다. 하나를 설명하라고 할 때는 유형을 명시하고 아래에 있는 모든 세부 사항을 제시해야 합니다.

반사

반사는 거울선을 기준으로 도형을 뒤집는 것입니다. 각 이미지의 점은 물체의 점과 같은 거리에位於하며, 선의 반대편에 있습니다.

• 대칭축의 식을 제시하여 설명하십시오 (코어 과정은 수직 또는 수평선; 확장 과정은 $y = x$과 같은 임의의 선 허용).

해설 예제. 점 $(3, 2)$를 $y$축에 대해 반사합니다. $x$의 부호만 바뀝니다: 이미지는 $(-3, 2)$입니다. ($x$축에 대해서는 $(3, -2)$가 됩니다.))

회전

회전은 도형을 고정된 점인 회전 중심을 기준으로 $90^{\circ}$의 배수만큼 돌립니다.

• 이를 설명하려면 중심, 각도, 방향(시계 방향 또는 반시계 방향)을 제시합니다.

해설 예제. 원점을 중심으로 $(3, 1)$를 $90^{\circ}$만큼 반시계 방향으로 회전합니다. 규칙은 $(x, y) \to (-y, x)$이므로, 이미지는 $(-1, 3)$입니다.

확대

확대는 고정된 중심으로부터 비율 인자 $k$에 의해 크기를 변경합니다. 중심에서의 각 거리는 $k$배가 됩니다.

• 이를 설명하려면 중심과 비율 인자를 제시합니다. 분수 비율 인자(0과 1 사이)는 도형을 작게 만듭니다. 에క్스텐디드에서는 $k$가 음수일 수도 있으며(이미지가 중심의 반대쪽에 나타납니다).

해당 문제. 원점에서 $(1, 2)$을 확대 배율 $2$로 확대하십시오. 좌표를 모두 곱하면: 이미지는 $(2, 4)$입니다.

*확대는 중심에서의 모든 거리를 비율 인자(여기서 $2$)배로 합니다.

평이동

평이동은 회전이 없이 행렬 벡터 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$로 도형을 이동합니다($x$ 오른쪽, $y$ 위쪽).

해설 예시. $(5, 3)$을 $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$만큼 평행이동하십시오: $2$만큼 왼쪽으로 이동하고 $4$만큼 위쪽으로 이동하여 $(3, 7)$를 얻으십시오.

*평이동은 모든 점을 동일한 행렬 벡터로 이동시키며, 회전이 없습니다.

(에ಕ್스텐디드: 두 변형을 결합하고 동일한 효과를 내는 단일 변형을 묻는 문제가 나올 수 있습니다.)

벡터는 크기와 방향을 모두 가집니다. 수직 벡터(column vector)로 ⟨$\overrightarrow{AB}$⟩ ($A$에서 $B$까지)라 쓰거나, 굵은 글씨로 $\mathbf{a}$라 표기할 수 있습니다.

• 더하거나 빼기: 수와 아랫수를 separately 계산합니다.
• 스칼라(일반적인 숫자)에 곱하기: 두 수를 모두 곱합니다.

해설 예제. $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$이고 $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$이라면,

벡터의 크기(길이)는 피타고라스 정리에 의해 구합니다. $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$에 대해,

해설 예제. $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$의 크기는 $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$입니다.

*$\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$의 크기는 수평 및 수직 분포에 대한 피타고라스 정리로부터 구합니다.

벡터는 유방향 선분(화살표)으로 그려질 수 있습니다. 한 점의 위치 벡터는 원점 $O$에서 해당 점까지의 벡터입니다.

핵심 개념: $A$에서 $B$까지의 벡터는

여기서 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$는 $A$과 $B$의 위치 벡터입니다.

두 벡터가 평행인 것은其中一个가 다른 하나의 스칼라 배수인 경우입니다(예: $\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{CD}$). 세 점이 일직선 상(collinear)인 것은它們 사이의 벡터가 평행하며 공통점을 공유하는 경우입니다. 임의의 벡터를 두 공면 벡터로 표현할 수 있습니다.

해설 예제. $O$는 원점이며, $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$과 $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$이 있습니다. $M$는 $AB$의 중점입니다. $\overrightarrow{OM}$를 $\mathbf{a}$과 $\mathbf{b}$의 식으로 구하세요.

• 각 변형을 완전히 설명하십시오: 평이동(벡터), 반사(반사축), 회전(중심, 각도 및 방향), 확대(중심과 비율 인자).
• 음수 비율 인자는 이미지를 중심을 통해 뒤집으며, 분수 비율 인자(0과 1 사이)는 작게 만듭니다.
• 벡터를 끝머리-시작머리로 더합니다 — 윗수를 더한 후, 아랫수를 더합니다. 벡터의 크기는 성분에 대한 피타고라스 정리에서 나옵니다.
• $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$(끝 - 시작). 두 벡터가 평행인 것은其中一个가 다른 하나의 스칼라 배수인 경우입니다.