적분의 적용

AP 미적분학 AB · 주제 8

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8.1

함수의 평균값

Syllabus

지속적 이해 (CHA-4): 정적분은 구간 내에서의 변화량 축적 문제를 해결할 수 있게 해준다.

학습 목표 CHA-4.B: 정적분을 사용하여 함수의 평균값을 구한다.

CHA-4.B.1 연속함수 $f$가 구간 $[a, b]$에서의 평균값은 $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$입니다.

출처: College Board AP Course and Exam Description

연속 함수 $f$의区间 $[a,b]$에서의 평균값은 적분을 구간 길이로 나눈 값입니다:

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

이는区间 $[a,b]$ 위에서 함수 $f$ 아래 면적과 같은 직사각형의 일정한 높이를 의미합니다. 이를 변화의 평균율(변화량 *$f$*를 구간으로 나옴)이나 몇 개의 값에 대한 리만 합 평균과 혼동하지 마십시오. 시험에서는 이들을 명확히 구분합니다. 맥락에 맞는 단위를 표기하십시오(예: 차량당 시간당 평균율 "vehicles per hour").

해설 예제. $f(x)=x^2$의 $[0,3]$에서의 평균 값은

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

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함수의 평균값

y = ax³ + bx² + cx + d

$f$의 $[a,b]$에서의 평균값은 적분을 너비로 나눈 값으로, 곡선 아랫면적과 같은 면적을 가진 사각형의 일정 높이에 해당합니다.

8.2

적분을 이용한 위치, 속도, 가속도

Syllabus

지속적 이해 (CHA-4): 정적분은 구간 내에서의 변화량 축적 문제를 해결할 수 있게 해준다.

학습 목표 CHA-4.C: 직선 운동이 포함된 문제에서 정적분을 사용하여 위치와 변화율의 값을 구할 수 있다.

CHA-4.C.1 시간 구간에서 직선 운동을 하는 입자에 대해, 속도의 정적분은 해당 시간 구간의 변위를 나타내며, 속력(steady speed)의 정적분은 해당 시간 구간의 이동 거리를 나타낸다.

출처: College Board AP Course and Exam Description

적분은 단원 4의 운동 링크를 반대로 만듭니다. 직선 운동을 하는 입자가 $[t_1,t_2]$ 구간 동안 이동할 때:

변위(displacement) (위치의 순변화) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
이동한 총 거리 $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – 속력을 적분하여 방향 변화가 상쇄되지 않고 합산되게 합니다.
후속 시간 $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$에서의 위치; 가속도 $= v(t_1)+\int a$으로부터의 속도.

절대값을 동반한 변위와 이동 거리의 차이는 전형적인 채점 포인트입니다.

어휘 연습하기

English	한국어
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	평균값
Displacement/dɪˈspleɪsmənt/	치환 반응
Total distance travelled/ˈtəʊtl ˈdɪstəns ˈtrævld/	이동한 총 거리

8.3

적용 맥락에서의 적분 함수와 정적분

Syllabus

지속적 이해 (CHA-4): 정적분은 구간 내에서의 변화량 축적 문제를 해결할 수 있게 해준다.

학습 목표 CHA-4.D: 적분 함수와 정적분을 사용하여 변화율을 적분하는 의미를 해석할 수 있다.

CHA-4.D.1 적분으로 정의된 함수는 변화율의 적분(누적)을 나타낸다.
CHA-4.D.2 어떤 양의 변화율(steady rate)의 정적분은 그 양에 대한 순변화(net change)를 주어진 구간에 대해 제공한다.

학습 목표 CHA-4.E: 응용 맥락에서 정적분을 사용하여 순변화를 구할 수 있다.

CHA-4.E.1 정적분은 다양한 응용 맥락에서 누적과 순변화에 대한 정보를 표현하는 데 사용할 수 있다.

출처: College Board AP Course and Exam Description

적분으로 정의된 함수는 변화율을 축적합니다. **순변화 정리(net change theorem)**는 일상적인 도구입니다: 구간에서의 변화율에 대한 정적분은 해당 물량의 순변화를 줍니다:

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

따라서 "$t=5$ 시점 수조에 있는 물의 양" = 초기 양 + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$입니다. 부호(나가는 것은 마이너스)와 단위를 주의하세요. 많은 다중 부분 FRQ는 이 개념을 기반으로 만들어지는데, 종종 "전체 ...를 구하는 적분 식을 쓰되 계산하지 마라"와 함께 나옵니다.

어휘 연습하기

English	한국어
net change/net tʃeɪndʒ/	순변화
cross section/krɒs ˈsekʃn/	단면
triangle/ˈtraɪæŋɡl/	삼각형
semicircle/ˈsemɪsɜːkl/	반원

8.4

곡선 사이의 면적 구하기 (x에 대한 함수)

Syllabus

지속적 이해(CHA-5): 정적분은 구간에 따른 면적이나 부피의 누적 변화 관련 문제를 해결할 수 있게 한다.

학습 목표 CHA-5.A: 정적분을 사용하여 평면상의 면적을 계산할 수 있다.

CHA-5.A.1 평면상의 영역의 면적은 정적분을 통해 계산할 수 있다.

출처: College Board AP Course and Exam Description

함수 $y=f(x)$(상단)와 $y=g(x)$(하단) 사이의 영역 면적은 $[a,b]$ 구간에서 다음과 같습니다:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

먼저 교차점을 찾아 적분 범위를 설정하고, 항상 아래쪽을 위쪽에서 뺍니다.

해설 예시. $y=x$와 $y=x^2$ 사이의 면적을 구하십시오. 두 곡선은 $x=0$과 $x=1$에서 교차하며, $(0,1)$ 구간에서는 선 $y=x$이 위쪽에 있으므로

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

두 곡선 사이의 면적은 위쪽 minus 아래쪽의 적분입니다 — 그림자 영역은 한 교점 $a$에서 다음 교점 $b$까지 이어지며, 그 면적은 $\int_a^b(\text{top}-\text{bottom})\,dx$입니다.

8.5

곡선 사이의 면적 구하기 (y에 대한 함수)

Syllabus

지속적 이해(CHA-5): 정적분은 구간에 따른 면적이나 부피의 누적 변화 관련 문제를 해결할 수 있게 한다.

학습 목표 CHA-5.A: 정적분을 사용하여 평면상의 면적을 계산할 수 있다.

CHA-5.A.2 평면상의 영역의 면적은 x-함수나 y-함수를 사용하여 계산할 수 있다. $x$ $y$

출처: College Board AP Course and Exam Description

일부 영역은 수평slice로 설명하는 것이 더 쉽습니다: $y$에 대해 적분하십시오:

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

전체 영역에 걸쳐 단일한 위/아래(또는 좌/우) 쌍을 유지하도록 $x$-slice 또는 $y$-slice를 선택하십시오.

8.6

교차가 두 번 이상인 곡선 사이의 면적

Syllabus

지속적 이해(CHA-5): 정적분은 구간에 따른 면적이나 부피의 누적 변화 관련 문제를 해결할 수 있게 한다.

학습 목표 CHA-5.A: 정적분을 사용하여 평면상의 면적을 계산할 수 있다.

CHA-5.A.3 평면상의 특정 영역의 면적은 두 개 이상의 정적분의 합으로 계산하거나 두 함수의 차이의 절댓값의 정적분을 평가하여 구할 수 있다.

출처: College Board AP Course and Exam Description

곡선이 두 번 이상 교차하면, 특정 구간에서는 한 함수가 위쪽에 있고 다른 구간에서는 다른 함수가 위쪽에 있습니다. 각 교차점에서 적분의 합으로 나누거나 차이의 절댓값을 적분하십시오:

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

적분을 쓰기 전에 각 하위 구간에서 어떤 곡선이 높은지 확인하십시오.

8.7

단면이 정사각형 및 직사각형인 부피

Syllabus

지속적 이해(CHA-5): 정적분은 구간에 따른 면적이나 부피의 누적 변화 관련 문제를 해결할 수 있게 한다.

학습 목표 CHA-5.B: 알려진 단면을 가진 입체의 부피를 정적분을 사용하여 계산할 수 있다.

CHA-5.B.1 정사각형 및 직사각형 단면을 가진 입체의 부피는 정적분과 해당 도형의 면적 공식으로 구할 수 있다.

출처: College Board AP Course and Exam Description

도자기 장인이 용기를 만들다: 회전 입체는 평면 영역을 회전시켜 형성되는 부피입니다

입체에 축에 수직인 알려진 단면이 있다면, 그 부피는 단면 면적의 적분입니다.

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

정사각형 단면의 한 변이 영역의 높이 $s(x)=f(x)-g(x)$인 경우, $A(x)=[s(x)]^2$를 사용합니다. 높이가 $k\cdot s(x)$인 직사각형 단면의 경우, $A(x)=k\,[s(x)]^2$을 사용합니다. 고사 문제에서 "고체의 밑면...단면은 정사각형/직사각형"이라는 표현은 정확히 이 내용을 의미합니다.

8.8

단면을 이용한 부피: 삼각형과 반원

Syllabus

지속적 이해(CHA-5): 정적분은 구간에 따른 면적이나 부피의 누적 변화 관련 문제를 해결할 수 있게 한다.

학습 목표 CHA-5.B: 알려진 단면을 가진 입체의 부피를 정적분을 사용하여 계산할 수 있다.

CHA-5.B.2 삼각형 단면을 가진 입체의 부피는 정적분과 해당 도형의 면적 공식으로 구할 수 있다.
CHA-5.B.3 반원 및 기타 기하학적으로 정의된 단면을 가진 입체의 부피는 정적분과 해당 도형의 면적 공식으로 구할 수 있다.
- *CHA-5.B.3 참고 예시:
  - 단면이 원인 깔대기의 부피는 원의 면적 공식과 정적분을 사용하여 구할 수 있다 (2016 AB Exam FRQ #5(b) 참조).
  - 단면적(steady area)이 함수로 정의된 입체의 부피는 알려진 면적(steady area) 함수와 정적분을 사용하여 구할 수 있다 (2009 AB Exam FRQ #4(c) 참조).

출처: College Board AP Course and Exam Description

같은 방법이지만 다른 면적 공식입니다. 한 변의 길이가 $s$인 정삼각형의 경우, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; 지름이 $s$인 반원의 경우, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$입니다. 도형의 주요 길이를 영역의slice 길이 $s(x)$와 같게 설정한 후, $A(x)$에 대해 적분합니다.

8.9

원판법(Disc Method)을 이용한 부피 (x축 또는 y축 기준)

Syllabus

지속적 이해(CHA-5): 정적분은 구간에 따른 면적이나 부피의 누적 변화 관련 문제를 해결할 수 있게 한다.

학습 목표 CHA-5.C: 정적분을 사용하여 회전체의 부피를 계산한다.

CHA-5.C.1 x축 또는 y축周围的人回전 입체의 부피는 원반법을 사용하여 정적분으로 구할 수 있다. $x$ $y$

출처: College Board AP Course and Exam Description

회전체: 원판법

영역을 축에 대해 회전하면 회전체가 됩니다. 영역이 축에 닿아 있다면, 각 slice는 반지름이 $r$ = 함수 값인 원판이 됩니다:

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

$x$축에 대해 회전할 때는 $r=f(x)$를 사용하고 $x$에 대해 적분하며, $y$축에 대해 회전할 때는 $x$를 $y$의 함수로 표현하여 $y$에 대해 적분합니다.

원반법: y=f(x)를 축에 대해 회전하면 반지름 f(x)인 원반이 생성됨 — 원판법: y=f(x)를 축에 대해 회전하면 반지름이 f(x)인 원판이 생깁니다

해설 예제. $y=\sqrt{x}$ 아래 영역을 $x=0$부터 $x=4$까지 $x$축에 대해 회전합니다. 각 원판의 반지름은 $r=\sqrt{x}$이므로,

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

축에 대한 영역 회전은 회전체를 생성함 — 영역을 축에 대해 회전하면 회전체가 생깁니다

어휘 연습하기

English	한국어
solid of revolution/ˈsɒlɪd ɒv ˌrevəˈluːʃn/	회전체
disc/dɪsk/	원판

8.10

원판법을 이용한 부피 (다른 축 기준)

Syllabus

지속적 이해(CHA-5): 정적분은 구간에 따른 면적이나 부피의 누적 변화 관련 문제를 해결할 수 있게 한다.

학습 목표 CHA-5.C: 정적분을 사용하여 회전체의 부피를 계산한다.

CHA-5.C.2 평면상의 모든 수평선 또는 수직선을 중심으로 회전하는 회전체의 부피는 원반법과 정적분을 사용하여 구할 수 있다.

출처: College Board AP Course and Exam Description

어떤 수평선 또는 수직선 $y=k$ 또는 $x=k$에 대해 회전할 때, 반지름은 곡선에서 해당 직선까지의 거리입니다. 예를 들어 $r(x)=|f(x)-k|$입니다. 반지름을 주의 깊게 설정한 후, $V=\pi\int r^2$을 적용합니다.

8.11 8.12

와셔법(Washer Method)을 이용한 부피

Syllabus

지속적 이해(CHA-5): 정적분은 구간에 따른 면적이나 부피의 누적 변화 관련 문제를 해결할 수 있게 한다.

학습 목표 CHA-5.C: 정적분을 사용하여 회전체의 부피를 계산한다.

CHA-5.C.3 $x$축 또는 $y$축을 중심으로 회전하며 단면이 고리 모양인 회전체의 부피는 와셔법과 정적분을 사용하여 구할 수 있다.

지속적 이해(CHA-5): 정적분은 구간에 따른 면적이나 부피의 누적 변화 관련 문제를 해결할 수 있게 한다.

학습 목표 CHA-5.C: 정적분을 사용하여 회전체의 부피를 계산한다.

CHA-5.C.4 평면상의 모든 수평선 또는 수직선을 중심으로 회전하며 단면이 고리 모양인 회전체의 부피는 와셔법과 정적분을 사용하여 구할 수 있다.

출처: College Board AP Course and Exam Description

와셔법을 이용한 부피

영역이 축에 닿아 있지 않을 때, 각 slice는 외반지름이 $R$이고 내반지름이 $r$인 와셔(링 모양)가 됩니다:

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$는 축에서 더 멀리 있는 경계까지의 거리이며, $r$는 더 가까운 경계까지의 거리입니다. 축이 아닌 다른 직선에 대해 회전할 때에도 두 반지름은 모두 해당 직선까지의 거리로 측정됩니다. 이는 매우 흔한 고사 변형 문제입니다(예: $y=-2$축에 대해 회전).

어휘 연습하기

English	한국어
washer/ˈwɒʃə/	와셔(링 반지름)

8.11 8.12

시험 팁

곡선 사이의 면적은 $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$입니다 — 적분 구간의 경계점(교점)을구하고 상단 minus 하단을 유지하십시오.
회전체의 부피를 구하려면 면적이 $\pi r^2$인 원판/와셔 단면을 모두 더하거나(또는 $\pi(R^2-r^2)$), 적분합니다.
$f$의 $[a,b]$ 구간에서의 평균값은 $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$입니다.
누적 변화량은 속도의 $\int$입니다: 총량 = 초기 값 $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$ + 적분값.
적분은 "무한히 작은 조각들을 모두 더하는 것"을 의미합니다 — 피적분식을 하나의 얇은 slice로 설정하십시오.

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