| Learning Objective | Essential Knowledge |
|---|---|
2.1.A |
|
2.1.B |
|
Exponential and Logarithmic Functions · Fungsi Eksponensial dan Logaritma
AP Precalculus · AP Pra-Kalkulus · Topic 2 · Topik 2
14:05
Fungsi Eksponensial & Logaritma
Berikut adalah dua cara agar suatu besaran tumbuh. Garis biru tumbuh secara stabil, menambahkan jumlah yang sama setiap langkah. Yang lain adalah penggandaan — mengalikan dengan faktor yang sama…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narasi bahasa Inggris · Subtitle bahasa Inggris + 中文 disematkan langsung
2.1
Change in Arithmetic and Geometric Sequences · Perubahan dalam Barisan Aritmatika dan Geometri
Syllabus · Silabus
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
A sequence 数列 is a function from the whole numbers to the real numbers, so its graph is discrete points, not a curve.
- An arithmetic sequence 等差数列 has a common difference 公差 $d$ (a constant rate of change): $a_n = a_0 + dn$, or from a known term, $a_n = a_k + d(n-k)$.
- A geometric sequence 等比数列 has a common ratio 公比 $r$ (a constant proportional change): $g_n = g_0\,r^{\,n}$, or $g_n = g_k\,r^{\,(n-k)}$.
An increasing arithmetic sequence grows by the same amount each step; an increasing geometric sequence grows by a larger amount each step.
Worked example. An arithmetic sequence with $a_0=3$ and $d=5$ has $a_4=3+5(4)=23$. A geometric sequence with $g_0=2$ and $r=3$ has $g_4=2\cdot3^4=162$ – addition versus multiplication makes the geometric one pull far ahead.
Bahasa Indonesia
Sebuah jujukan adalah fungsi daripada nombor bulat kepada nombor nyata, jadi grafnya ialah titik-titik diskrit, bukan lengkung.
- Sebuah jujukan aritmetik mempunyai beza umum $d$ (laju perubahan tetap): $a_n = a_0 + dn$, atau dari sebutan yang diketahui, $a_n = a_k + d(n-k)$.
- Sebuah jujukan geometri mempunyai nisbah umum $r$ (perubahan berkadar tetap): $g_n = g_0\,r^{\,n}$, atau $g_n = g_k\,r^{\,(n-k)}$.
Jujukan aritmetik yang meningkat bertambah dengan jumlah yang sama setiap langkah; jujukan geometri yang meningkat bertambah dengan jumlah yang lebih besar setiap langkah.
Contoh berkerja. Jujukan aritmetik dengan $a_0=3$ dan $d=5$ mempunyai $a_4=3+5(4)=23$. Jujukan geometri dengan $g_0=2$ dan $r=3$ mempunyai $g_4=2\cdot3^4=162$ – penambahan berbanding pendaraban menjadikan yang geometri jauh mendahului.
Explore · Jelajahi
Compare arithmetic and geometric growth · Bandingkan pertumbuhan aritmatika dan geometris
An arithmetic sequence adds a fixed step each term (linear); a geometric sequence multiplies by a fixed ratio (exponential). Change the ratio and watch the terms explode or decay. · Aritmatika menambah langkah tetap setiap suku (linear); geometris mengalikan dengan rasio tetap (eksponensial). Ubah rasionya dan saksikan suku-suku meledak atau memudar.
2.2
Change in Linear and Exponential Functions · Perubahan dalam Fungsi Linear dan Eksponensial
Syllabus · Silabus
English
Learning Objective 2.2.A: Construct functions of the real numbers that are comparable to arithmetic and geometric sequences.
- 2.2.A.1 Linear functions of the form $f(x) = b + mx$ are similar to arithmetic sequences of the form $a_n = a_0 + dn$, as both can be expressed as an initial value ($b$ or $a_0$) plus repeated addition of a constant rate of change, the slope ($m$ or $d$).
- 2.2.A.2 Similar to arithmetic sequences of the form $a_n = a_k + d(n - k)$, which are based on a known difference, $d$, and a $k$th term, linear functions can be expressed in the form $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ based on a known slope, $m$, and a point, $(x_i, y_i)$.
- 2.2.A.3 Exponential functions of the form $f(x) = ab^x$ are similar to geometric sequences of the form $g_n = g_0 r^n$, as both can be expressed as an initial value ($a$ or $g_0$) times repeated multiplication by a constant proportion ($b$ or $r$).
- 2.2.A.4 Similar to geometric sequences of the form $g_n = g_k r^{(n-k)}$, which are based on a known ratio, $r$, and a $k$th term, exponential functions can be expressed in the form $f(x) = y_i r^{(x - x_i)}$ based on a known ratio, $r$, and a point, $(x_i, y_i)$.
- 2.2.A.5 Sequences and their corresponding functions may have different domains.
Bahasa Indonesia
Tujuan Pembelajaran 2.2.A: Membangun fungsi bilangan real yang dapat dibandingkan dengan barisan aritmetika dan barisan geometri.
- 2.2.A.1 Fungsi linear berbentuk $f(x) = b + mx$ mirip dengan barisan aritmatika berbentuk $a_n = a_0 + dn$, karena keduanya dapat dinyatakan sebagai nilai awal ($b$ atau $a_0$) ditambah penambahan berulang dari laju perubahan konstan, yaitu kemiringan ($m$ atau $d$).
- 2.2.A.2 Mirip dengan barisan aritmetika dengan bentuk $a_n = a_k + d(n - k)$, yang didasarkan pada beda yang diketahui, $d$, dan suku ke-$k$, fungsi linear dapat dinyatakan dalam bentuk $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ berdasarkan kemiringan yang diketahui, $m$, dan sebuah titik, $(x_i, y_i)$.
- 2.2.A.3 Fungsi eksponensial berbentuk $f(x) = ab^x$ mirip dengan barisan geometri berbentuk $g_n = g_0 r^n$, karena keduanya dapat dinyatakan sebagai nilai awal ($a$ atau $g_0$) dikalikan dengan perkalian berulang oleh proporsi konstan ($b$ atau $r$).
- 2.2.A.4 Mirip dengan barisan geometri berbentuk $g_n = g_k r^{(n-k)}$, yang didasarkan pada rasio yang diketahui, $r$, dan suku ke-$k$, fungsi eksponensial dapat dinyatakan dalam bentuk $f(x) = y_i r^{(x - x_i)}$ berdasarkan rasio yang diketahui, $r$, dan sebuah titik, $(x_i, y_i)$.
- 2.2.A.5 Barisan dan fungsi yang bersesuaian mungkin memiliki domain yang berbeda.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Sequences have continuous cousins:
- Linear functions $f(x)=b+mx$ mirror arithmetic sequences – an initial value plus repeated addition of the slope $m$. Point form: $f(x)=y_i+m(x-x_i)$.
- Exponential functions $f(x)=ab^x$ mirror geometric sequences – an initial value times repeated multiplication by the base $b$. Point form: $f(x)=y_i\,r^{\,(x-x_i)}$.
The difference: linear = repeated addition, exponential = repeated multiplication. (A sequence and its function may have different domains.)
Bahasa Indonesia
Jujukan memiliki sepupu berterusan:
- Fungsi linear $f(x)=b+mx$ meniru jujukan aritmetik – nilai awal ditambah dengan penambahan berulang kecerutan $m$. Bentuk titik: $f(x)=y_i+m(x-x_i)$.
- Fungsi eksponen $f(x)=ab^x$ meniru jujukan geometri – nilai awal didarabkan dengan pendaraban berulang asas $b$. Bentuk titik: $f(x)=y_i\,r^{\,(x-x_i)}$.
Perbezaan: linear = penambahan berulang, eksponen = pendaraban berulang. (Jujukan dan fungsinya mungkin mempunyai domain yang berbeza.)
2.3
Exponential Functions · Fungsi Eksponensial
Syllabus · Silabus
English
Learning Objective 2.3.A: Identify key characteristics of exponential functions.
- 2.3.A.1 The general form of an exponential function is $f(x) = ab^x$, with the initial value $a$, where $a \neq 0$, and the base $b$, where $b > 0$, and $b \neq 1$. When $a > 0$ and $b > 1$, the exponential function is said to demonstrate exponential growth. When $a > 0$ and $0 < b < 1$, the exponential function is said to demonstrate exponential decay.
- 2.3.A.2 When the natural numbers are input values in an exponential function, the input value specifies the number of factors of the base to be applied to the function's initial value. The domain of an exponential function is all real numbers.
- 2.3.A.3 Because the output values of exponential functions in general form are proportional over equal-length input-value intervals, exponential functions are always increasing or always decreasing, and their graphs are always concave up or always concave down. Consequently, exponential functions do not have extrema except on a closed interval, and their graphs do not have points of inflection.
- 2.3.A.4 If the values of the additive transformation function $g(x) = f(x) + k$ of any function $f$ are proportional over equal-length input-value intervals, then $f$ is exponential.
Bahasa Indonesia
Tujuan Pembelajaran 2.3.A: Mengidentifikasi karakteristik utama fungsi eksponensial.
- 2.3.A.1 Bentuk umum dari fungsi eksponensial adalah $f(x) = ab^x$, dengan nilai awal $a$, di mana $a \neq 0$, dan basis $b$, di mana $b > 0$, dan $b \neq 1$. Ketika $a > 0$ dan $b > 1$, fungsi eksponensial dikatakan menunjukkan pertumbuhan eksponensial. Ketika $a > 0$ dan $0 < b < 1$, fungsi eksponensial dikatakan menunjukkan peluruhan eksponensial.
- 2.3.A.2 Ketika bilangan alam menjadi nilai input dalam fungsi eksponensial, nilai input menentukan jumlah faktor basis yang akan diterapkan pada nilai awal fungsi tersebut. Domain fungsi eksponensial adalah semua bilangan real.
- 2.3.A.3 Karena nilai output fungsi eksponensial dalam bentuk umumnya proporsional sepanjang interval nilai input yang sama panjang, fungsi eksponensial selalu naik atau selalu turun, dan grafiknya selalu cekung ke atas atau selalu cekung ke bawah. Akibatnya, fungsi eksponensial tidak memiliki nilai ekstrem kecuali pada interval tertutup, dan grafiknya tidak memiliki titik belok.
- 2.3.A.4 Jika nilai dari fungsi transformasi aditif $g(x) = f(x) + k$ dari sembarang fungsi $f$ bersifat proporsional sepanjang interval nilai input yang sama panjang, maka $f$ adalah eksponensial.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The general exponential function 指数函数 is $f(x)=ab^x$ with initial value 初始值 $a\neq 0$ and base 底数 $b>0,\ b\neq 1$. Domain: all real numbers.
- $a>0,\ b>1$ gives exponential growth 指数增长; $a>0,\ 0
- Outputs are proportional over equal-length input intervals. So an exponential is always increasing or always decreasing, and always concave up or always concave down – it has no extrema (except on a closed interval) and no points of inflection.
Bahasa Indonesia
Fungsi eksponen umum ialah $f(x)=ab^x$ dengan nilai awal $a\neq 0$ dan asas $b>0,\ b\neq 1$. Domain: semua nombor nyata.
- $a>0,\ b>1$ memberikan pertumbuhan eksponen; $a>0,\ 0
- Output adalah berkadar merentasi selang input sepanjang yang sama. Jadi eksponen sentiasa meningkat atau sentiasa menurun, dan sentiasa cekung ke atas atau sentiasa cekung ke bawah – ia tidak mempunyai ekstremum (kecuali pada selang tertutup) dan tiada titik belokan.
Explore · Jelajahi
Explore an exponential curve · Jelajahi kurva eksponensial
y = a·e^(bx) + c
An exponential function changes by a constant factor over equal steps, so it rises (or decays) ever faster. The constant $c$ sets the horizontal asymptote it hugs. · Fungsi eksponensial berubah oleh faktor konstan pada langkah yang sama, sehingga naik (atau memudar) semakin cepat. Konstanta $c$ menetapkan asimtot horizontal yang disentuhnya.
Vocabulary · Kosa kata
Train · Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| sequence/ˈsiːkwəns/ | urutan |
| arithmetic sequence/əˈrɪθmətɪk ˈsiːkwəns/ | barisan aritmatika |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | beda tetap |
| geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ | barisan geometri |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | rasio tetap |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | fungsi eksponensial |
| initial value/ɪˈnɪʃl ˈvæljuː/ | nilai awal |
| base/beɪs/ | basis |
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | pertumbuhan eksponensial |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | peluruhan eksponensial |
| root/ruːt/ | akar |
| exponential regression/ˌekspəˈnenʃl rɪˈɡreʃn/ | regresi eksponensial |
| natural base/ˈnætʃərəl beɪs/ | Basa alami |
| residual plot/rɪˈsɪdʒuːəl plɒt/ | diagram residual |
| residual/rɪˈsɪdʒuːəl/ | residual |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | fungsi komposit |
| identity function/aɪˈdentɪti ˈfʌŋkʃn/ | Fungsi identitas |
| invertible/ɪnˈvɜːtɪbl/ | Invertibel |
2.4
Exponential Function Manipulation · Manipulasi Fungsi Eksponensial
Syllabus · Silabus
English
Learning Objective 2.4.A: Rewrite exponential expressions in equivalent forms.
- 2.4.A.1 The product property for exponents states that $b^m b^n = b^{(m+n)}$. Graphically, this property implies that every horizontal translation of an exponential function, $f(x) = b^{(x+k)}$, is equivalent to a vertical dilation, $f(x) = b^{(x+k)} = b^x b^k = ab^x$, where $a = b^k$.
- 2.4.A.2 The power property for exponents states that $\left(b^m\right)^n = b^{(mn)}$. Graphically, this property implies that every horizontal dilation of an exponential function, $f(x) = b^{(cx)}$, is equivalent to a change of the base of an exponential function, $f(x) = \left(b^c\right)^x$, where $b^c$ is a constant and $c \neq 0$.
- 2.4.A.3 The negative exponent property states that $b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$.
- 2.4.A.4 The value of an exponential expression involving an exponential unit fraction, such as $b^{(1/k)}$ where $k$ is a natural number, is the $k$th root of $b$, when it exists.
Bahasa Indonesia
Tujuan Pembelajaran 2.4.A: Menulis kembali ekspresi eksponensial dalam bentuk ekuivalen.
- 2.4.A.1 Sifat perkalian untuk eksponen menyatakan bahwa $b^m b^n = b^{(m+n)}$. Secara grafis, sifat ini mengimplikasikan bahwa setiap translasi horizontal dari fungsi eksponensial, $f(x) = b^{(x+k)}$, setara dengan peregangan vertikal, $f(x) = b^{(x+k)} = b^x b^k = ab^x$, di mana $a = b^k$.
- 2.4.A.2 Sifat pangkat untuk eksponen menyatakan bahwa $\left(b^m\right)^n = b^{(mn)}$. Secara grafis, sifat ini mengimplikasikan bahwa setiap peregangan horizontal dari fungsi eksponensial, $f(x) = b^{(cx)}$, setara dengan perubahan basis fungsi eksponensial, $f(x) = \left(b^c\right)^x$, di mana $b^c$ adalah konstanta dan $c \neq 0$.
- 2.4.A.3 Sifat eksponen negatif menyatakan bahwa $b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$.
- 2.4.A.4 Nilai dari ekspresi eksponensial yang melibatkan pecahan unit eksponensial, seperti $b^{(1/k)}$ di mana $k$ adalah bilangan alam, adalah akar ke-$k$ dari $b$, jika ada.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The exponent rules reshape exponential expressions and connect to graph transformations:
- Product: $b^m b^n = b^{m+n}$. A horizontal shift $b^{x+k}$ equals a vertical stretch $ab^x$ with $a=b^k$.
- Power: $(b^m)^n = b^{mn}$. A horizontal stretch $b^{cx}$ equals a base change $(b^c)^x$.
- Negative exponent: $b^{-n}=\dfrac{1}{b^n}$.
- Unit-fraction exponent: $b^{1/k}=\sqrt[k]{b}$ (the $k$th root 方根).
Bahasa Indonesia
Aturan eksponen membentuk semula ungkapan eksponen dan sambungkan kepada transformasi graf:
- Hasil darab: $b^m b^n = b^{m+n}$. Alihan mendatar $b^{x+k}$ bersamaan dengan regangan menegak $ab^x$ dengan $a=b^k$.
- Kuasa: $(b^m)^n = b^{mn}$. Regangan mendatar $b^{cx}$ bersamaan dengan perubahan asas $(b^c)^x$.
- Eksponen negatif: $b^{-n}=\dfrac{1}{b^n}$.
- Eksponen pecahan unit: $b^{1/k}=\sqrt[k]{b}$ (akar ke-$k$).
2.5
Exponential Function Context and Data Modeling · Konteks Fungsi Eksponensial dan Pemodelan Data
Syllabus · Silabus
English
Learning Objective 2.5.A: Construct a model for situations involving proportional output values over equal-length input-value intervals.
- 2.5.A.1 Exponential functions model growth patterns where successive output values over equal-length input-value intervals are proportional. When the input values are whole numbers, exponential functions model situations of repeated multiplication of a constant to an initial value.
- 2.5.A.2 A constant may need to be added to the dependent variable values of a data set to reveal a proportional growth pattern.
- 2.5.A.3 An exponential function model can be constructed from an appropriate ratio and initial value or from two input-output pairs. The initial value and the base can be found by solving a system of equations resulting from the two input-output pairs.
- 2.5.A.4 Exponential function models can be constructed by applying transformations to $f(x) = ab^x$ based on characteristics of a contextual scenario or data set.
- 2.5.A.5 Exponential function models can be constructed for a data set with technology using exponential regressions.
- 2.5.A.6 The natural base $e$, which is approximately $2.718$, is often used as the base in exponential functions that model contextual scenarios.
Bahasa Indonesia
Tujuan Pembelajaran 2.5.A: Membangun model untuk situasi yang melibatkan nilai output proporsional sepanjang interval nilai input yang sama panjang.
- 2.5.A.1 Fungsi eksponensial memodelkan pola pertumbuhan di mana nilai output berturut-turut sepanjang interval nilai input yang sama panjang bersifat proporsional. Ketika nilai input adalah bilangan bulat, fungsi eksponensial memodelkan situasi perkalian berulang dari suatu konstanta terhadap nilai awal.
- 2.5.A.2 Mungkin perlu menambahkan suatu konstanta ke nilai variabel terikat dari sekumpulan data untuk mengungkapkan pola pertumbuhan yang proporsional.
- 2.5.A.3 Model fungsi eksponensial dapat dibangun dari rasio dan nilai awal yang sesuai, atau dari dua pasangan input-output. Nilai awal dan basis dapat ditemukan dengan menyelesaikan sistem persamaan yang dihasilkan dari dua pasangan input-output tersebut.
- 2.5.A.4 Model fungsi eksponensial dapat dibangun dengan menerapkan transformasi pada $f(x) = ab^x$ berdasarkan karakteristik skenario konteks atau sekumpulan data.
- 2.5.A.5 Model fungsi eksponensial dapat dibangun untuk sekumpulan data menggunakan teknologi melalui regresi eksponensial.
- 2.5.A.6 Basis alami $e$, yang nilainya kira-kira $2.718$, sering digunakan sebagai basis dalam fungsi eksponensial yang memodelkan skenario kontekstual.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Exponentials model quantities that grow by a constant proportion over equal intervals (repeated multiplication).
- Build a model from a ratio and an initial value, or from two points (solve the system for $a$ and $b$).
- Sometimes a constant must be added to the data to reveal the proportional pattern.
- Use exponential regression 指数回归 on technology to fit a data set.
- The natural base 自然底数 $e\approx 2.718$ is the standard base for real-world models.
Bahasa Indonesia
Eksponen memodelkan kuantiti yang bertambah dengan nisbah tetap merentasi selang yang sama (pendaraban berulang).
- Bina model daripada nisbah dan nilai awal, atau daripada dua titik (selesaikan sistem untuk $a$ dan $b$).
- Kadangkala pemalar mesti ditambah kepada data untuk mendedahkan corak berkadar.
- Gunakan regresi eksponen pada teknologi untuk menyesuaikan set data.
- Asas semula jadi $e\approx 2.718$ adalah asas standard untuk model dunia sebenar.
2.6
Competing Function Model Validation · Validasi Model Fungsi Kompetitif
Syllabus · Silabus
English
Learning Objective 2.6.A: Construct linear, quadratic, and exponential models based on a data set.
- 2.6.A.1 Two variables in a data set that demonstrate a slightly changing rate of change can be modeled by linear, quadratic, and exponential function models.
- 2.6.A.2 Models can be compared based on contextual clues and applicability to determine which model is most appropriate.
Learning Objective 2.6.B: Validate a model constructed from a data set.
- 2.6.B.1 A model is justified as appropriate for a data set if the graph of the residuals of a regression, the residual plot, appear without pattern.
- 2.6.B.2 The difference between the predicted and actual values is the error in the model. Depending on the data set and context, it may be more appropriate to have an underestimate or overestimate for any given interval.
Bahasa Indonesia
Tujuan Pembelajaran 2.6.A: Membangun model linear, kuadrat, dan eksponensial berdasarkan sekumpulan data.
- 2.6.A.1 Dua variabel dalam sekumpulan data yang menunjukkan laju perubahan yang sedikit berubah dapat dimodelkan oleh model fungsi linear, kuadrat, dan eksponensial.
- 2.6.A.2 Model dapat dibandingkan berdasarkan petunjuk kontekstual dan keterapannya untuk menentukan model mana yang paling tepat.
Tujuan Pembelajaran 2.6.B: Memvalidasi model yang dibangun dari sekumpulan data.
- 2.6.B.1 Sebuah model dianggap sesuai untuk suatu himpunan data jika grafik residual dari regresi, yaitu plot residual, tampak tanpa pola.
- 2.6.B.2 Selisih antara nilai yang diprediksi dan nilai aktual adalah kesalahan dalam model. Bergantung pada himpunan data dan konteksnya, mungkin lebih sesuai untuk memiliki estimasi kurang atau lebih tinggi untuk interval tertentu.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
When a rate of change shifts only slightly, linear, quadratic, and exponential models may all seem to fit. Choose using context and fit quality:
- A model is appropriate if its residual plot 残差图 shows no pattern (a residual 残差 is actual minus predicted).
- The error is the gap between predicted and actual; context decides whether an over- or under-estimate is safer.
Bahasa Indonesia
Apabila laju perubahan berubah sedikit sahaja, model linear, kuadratik, dan eksponen mungkin semuanya nampak sesuai. Pilih berdasarkan konteks dan kualiti padanan:
- Model adalah sesuai jika plot baki menunjukkan tiada corak (baki ialah actual dikurangkan ramalan).
- Ralat adalah jurang antara ramalan dan actual; konteks menentukan sama ada anggaran berlebihan atau kurang adalah lebih selamat.
2.7
Composition of Functions · Komposisi Fungsi
Syllabus · Silabus
English
Learning Objective 2.7.A: Evaluate the composition of two or more functions for given values.
- 2.7.A.1 If $f$ and $g$ are functions, the composite function $f \circ g$ maps a set of input values to a set of output values such that the output values of $g$ are used as input values of $f$. For this reason, the domain of the composite function is restricted to those input values of $g$ for which the corresponding output value is in the domain of $f$. $(f \circ g)(x)$ can also be represented as $f(g(x))$.
- 2.7.A.2 Values for the composite function $f \circ g$ can be calculated or estimated from the graphical, numerical, analytical, or verbal representations of $f$ and $g$ by using output values from $g$ as input values for $f$.
- 2.7.A.3 The composition of functions is not commutative; that is, $f \circ g$ and $g \circ f$ are typically different functions; therefore, $f(g(x))$ and $g(f(x))$ are typically different values.
- 2.7.A.4 If the function $f(x) = x$ is composed with any function $g$, the resulting composite function is the same as $g$; that is, $g(f(x)) = f(g(x)) = g(x)$. The function $f(x) = x$ is called the identity function. When composing two functions, the identify function acts in the same way as $0$, the additive identity, when adding two numbers and $1$, the multiplicative identity, when multiplying two numbers.
Learning Objective 2.7.B: Construct a representation of the composition of two or more functions.
- 2.7.B.1 Function composition is useful for relating two quantities that are not directly related by an existing formula.
- 2.7.B.2 When analytic representations of the functions $f$ and $g$ are available, an analytic representation of $f(g(x))$ can be constructed by substituting $g(x)$ for every instance of $x$ in $f$.
- 2.7.B.3 A numerical or graphical representation of $f \circ g$ can often be constructed by calculating or estimating values for $(x, f(g(x)))$.
Learning Objective 2.7.C: Rewrite a given function as a composition of two or more functions.
- 2.7.C.1 Functions given analytically can often be decomposed into less complicated functions. When properly decomposed, the variable in one function should replace each instance of the function with which it was composed.
- 2.7.C.2 An additive transformation of a function, $f$, that results in vertical and horizontal translations can be understood as the composition of $g(x) = x + k$ with $f$.
- 2.7.C.3 A multiplicative transformation of a function, $f$, that results in vertical and horizontal dilations can be understood as the composition of $g(x) = kx$ with $f$.
Bahasa Indonesia
Tujuan Pembelajaran 2.7.A: Menilai komposisi dua fungsi atau lebih untuk nilai-nilai yang diberikan.
- 2.7.A.1 Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi-fungsi, maka fungsi komposit $f \circ g$ memetakan sekumpulan nilai input ke sekumpulan nilai output sedemikian rupa sehingga nilai output dari $g$ digunakan sebagai nilai input bagi $f$. Karena alasan ini, domain fungsi komposit dibatasi hanya pada nilai-input dari $g$ di mana nilai output yang bersesuaian berada dalam domain $f$. $(f \circ g)(x)$ juga dapat direpresentasikan sebagai $f(g(x))$.
- 2.7.A.2 Nilai-nilai untuk fungsi komposit $f \circ g$ dapat dihitung atau diestimasi dari representasi grafis, numerik, analitik, atau verbal dari $f$ dan $g$ dengan menggunakan nilai output dari $g$ sebagai nilai input untuk $f$.
- 2.7.A.3 Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif; artinya, $f \circ g$ dan $g \circ f$ biasanya merupakan fungsi-fungsi yang berbeda; oleh karena itu, $f(g(x))$ dan $g(f(x))$ biasanya merupakan nilai yang berbeda.
- 2.7.A.4 Jika fungsi $f(x) = x$ dikomposisikan dengan fungsi apa pun $g$, fungsi komposit yang dihasilkan sama dengan $g$; artinya, $g(f(x)) = f(g(x)) = g(x)$. Fungsi $f(x) = x$ disebut fungsi identitas. Saat mengkomposisikan dua fungsi, fungsi identitas bertindak sama seperti $0$, identitas penjumlahan, saat menjumlahkan dua bilangan, dan $1$, identitas perkalian, saat mengalikan dua bilangan.
Tujuan Pembelajaran 2.7.B: Membangun representasi komposisi dua fungsi atau lebih.
- 2.7.B.1 Komposisi fungsi berguna untuk menghubungkan dua kuantitas yang tidak saling terkait secara langsung melalui rumus yang sudah ada.
- 2.7.B.2 Ketika representasi analitik dari fungsi-fungsi $f$ dan $g$ tersedia, representasi analitik dari $f(g(x))$ dapat dibangun dengan mensubstitusikan $g(x)$ untuk setiap kemunculan $x$ dalam $f$.
- 2.7.B.3 Representasi numerik atau grafis dari $f \circ g$ sering kali dapat dibangun dengan menghitung atau mengestimasi nilai-nilai untuk $(x, f(g(x)))$.
Tujuan Pembelajaran 2.7.C: Menulis ulang suatu fungsi yang diberikan sebagai komposisi dari dua fungsi atau lebih.
- 2.7.C.1 Fungsi-fungsi yang diberikan secara analitik sering kali dapat diuraikan menjadi fungsi-fungsi yang lebih sederhana. Ketika diuraikan dengan benar, variabel dalam satu fungsi harus menggantikan setiap kemunculan fungsi yang dengannya fungsi tersebut dikomposisikan.
- 2.7.C.2 Transformasi aditif pada suatu fungsi, $f$, yang menghasilkan translasi vertikal dan horizontal dapat dipahami sebagai komposisi dari $g(x) = x + k$ dengan $f$.
- 2.7.C.3 Transformasi perkalian pada suatu fungsi, $f$, yang menghasilkan dilatasi vertikal dan horizontal dapat dipahami sebagai komposisi dari $g(x) = kx$ dengan $f$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The composite function 复合函数 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ feeds $g$'s output into $f$. Its domain is the inputs of $g$ whose outputs lie in $f$'s domain.
- Composition is not commutative: $f(g(x))$ and $g(f(x))$ usually differ.
- To build $f(g(x))$ analytically, substitute $g(x)$ for every $x$ in $f$.
- The identity function 恒等函数 $f(x)=x$ leaves any function unchanged under composition.
- A function can also be decomposed into simpler pieces – useful for seeing an additive shift as composing with $x+k$, or a dilation as composing with $kx$.
Bahasa Indonesia
Fungsi komposit $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ memasukkan output $g$ ke dalam $f$. Domainnya ialah input bagi $g$ yang outputnya terletak dalam domain $f$.
- Komposisi tidak komutatif: $f(g(x))$ dan $g(f(x))$ biasanya berbeza.
- Untuk membangun $f(g(x))$ secara analitis, substitusikan $g(x)$ untuk setiap $x$ dalam $f$.
- Fungsi identiti $f(x)=x$ meninggalkan sebarang fungsi tidak berubah di bawah komposisi.
- Fungsi juga boleh dipecahkan kepada bahagian yang lebih mudah – berguna untuk melihat alihan tambah sebagai komposisi dengan $x+k$, atau dilatasi sebagai komposisi dengan $kx$.
2.8
Inverse Functions · Fungsi Invers
Syllabus · Silabus
English
Learning Objective 2.8.A: Determine the input-output pairs of the inverse of a function.
- 2.8.A.1 On a specified domain, a function, $f$, has an inverse function, or is invertible, if each output value of $f$ is mapped from a unique input value. The domain of a function may be restricted in many ways to make the function invertible.
- 2.8.A.2 An inverse function can be thought of as a reverse mapping of the function. An inverse function, $f^{-1}$, maps the output values of a function, $f$, on its invertible domain to their corresponding input values; that is, if $f(a) = b$, then $f^{-1}(b) = a$. Alternately, on its invertible domain, if a function consists of input-output pairs $(a, b)$, then the inverse function consists of input-output pairs $(b, a)$.
Learning Objective 2.8.B: Determine the inverse of a function on an invertible domain.
- 2.8.B.1 The composition of a function, $f$, and its inverse function, $f^{-1}$, is the identity function; that is, $f\left(f^{-1}(x)\right) = f^{-1}(f(x)) = x$.
- 2.8.B.2 On a function's invertible domain, the function's range and domain are the inverse function's domain and range, respectively. The inverse of the table of values of $y = f(x)$ can be found by reversing the input-output pairs; that is, $(a, b)$ corresponds to $(b, a)$.
- 2.8.B.3 The inverse of the graph of the function $y = f(x)$ can be found by reversing the roles of the $x$- and $y$-axes; that is, by reflecting the graph of the function over the graph of the identity function $h(x) = x$.
- 2.8.B.4 The inverse of the function can be found by determining the inverse operations to reverse the mapping. One method for finding the inverse of the function $f$ is reversing the roles of $x$ and $y$ in the equation $y = f(x)$, then solving for $y = f^{-1}(x)$.
- 2.8.B.5 In addition to limiting the domain of a function to obtain an inverse function, contextual restrictions may also limit the applicability of an inverse function.
Bahasa Indonesia
Tujuan Pembelajaran 2.8.A: Menentukan pasangan input-output dari invers suatu fungsi.
- 2.8.A.1 Pada domain yang ditentukan, suatu fungsi, $f$, memiliki fungsi invers, atau invertibel, jika setiap nilai output dari $f$ dipetakan dari sebuah nilai input yang unik. Domain suatu fungsi dapat dibatasi dengan berbagai cara agar fungsi tersebut menjadi invertibel.
- 2.8.A.2 Fungsi invers dapat dipikirkan sebagai pemetaan terbalik dari fungsi tersebut. Fungsi invers, $f^{-1}$, memetakan nilai output dari suatu fungsi, $f$, pada domain invertibelnya ke nilai input yang bersesuaian; artinya, jika $f(a) = b$, maka $f^{-1}(b) = a$. Secara alternatif, pada domain invertibelnya, jika suatu fungsi terdiri dari pasangan input-output $(a, b)$, maka fungsi inversnya terdiri dari pasangan input-output $(b, a)$.
Tujuan Pembelajaran 2.8.B: Menentukan invers dari suatu fungsi pada domain yang invertibel.
- 2.8.B.1 Komposisi dari suatu fungsi, $f$, dan fungsi inversnya, $f^{-1}$, adalah fungsi identitas; artinya, $f\left(f^{-1}(x)\right) = f^{-1}(f(x)) = x$.
- 2.8.B.2 Pada domain invertibel suatu fungsi, range dan domain fungsi tersebut berturut-turut merupakan domain dan range dari fungsi inversnya. Invers dari tabel nilai dari $y = f(x)$ dapat ditemukan dengan membalikkan pasangan input-output; artinya, $(a, b)$ berkorespondensi dengan $(b, a)$.
- 2.8.B.3 Invers dari grafik fungsi $y = f(x)$ dapat ditemukan dengan membalikkan peran sumbu $x$- dan $y$-; artinya, dengan mencerminkan grafik fungsi tersebut terhadap grafik fungsi identitas $h(x) = x$.
- 2.8.B.4 Invers dari fungsi dapat ditemukan dengan menentukan operasi invers untuk membalikkan pemetaan. Salah satu metode untuk menemukan invers dari fungsi $f$ adalah membalikkan peran $x$ dan $y$ dalam persamaan $y = f(x)$, kemudian menyelesaikan untuk $y = f^{-1}(x)$.
- 2.8.B.5 Selain membatasi domain suatu fungsi untuk mendapatkan fungsi invers, pembatasan kontekstual juga dapat membatasi penerapan fungsi invers.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
A function is invertible 可逆 on a domain where each output comes from a unique input (you may restrict the domain to force this). The inverse function 反函数 $f^{-1}$ reverses the mapping: if $f(a)=b$ then $f^{-1}(b)=a$.
- $f\big(f^{-1}(x)\big)=f^{-1}\big(f(x)\big)=x$ (composition gives the identity).
- Domain and range swap: reverse each $(a,b)$ to $(b,a)$ in a table; reflect the graph over the line $y=x$.
- To find a formula: swap $x$ and $y$ in $y=f(x)$, then solve for $y$. Context may further limit where the inverse applies.
Bahasa Indonesia
Sebuah fungsi dapat dibalik pada domain di mana setiap output berasal dari input yang unik (Anda dapat membatasi domain untuk memaksakan hal ini). Fungsi invers $f^{-1}$ membalikkan pemetaan: jika $f(a)=b$ maka $f^{-1}(b)=a$.
- $f\big(f^{-1}(x)\big)=f^{-1}\big(f(x)\big)=x$ (komposisi menghasilkan identitas).
- Domain dan range ber Tukar: balikkan setiap $(a,b)$ menjadi $(b,a)$ dalam tabel; refleksikan grafik terhadap garis $y=x$.
- Untuk menemukan rumus: tukar $x$ dan $y$ dalam $y=f(x)$, kemudian selesaikan untuk $y$. Konteks mungkin lebih lanjut membatasi di mana invers berlaku.
Vocabulary · Kosa kata
Train · Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | fungsi invers |
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | logaritma |
| common logarithm/ˈkɒmən ˈlɒɡərɪθəm/ | Logaritma biasa |
| natural logarithm/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəm/ | logaritma natural |
| logarithmic function/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ˈfʌŋkʃn/ | fungsi logaritma |
| change-of-base/tʃeɪndʒ ɒv beɪs/ | perubahan-basis |
| semi-log plot/ˈsemi lɒɡ plɒt/ | grafik semi-log |
2.9
Logarithmic Expressions · Ekspresi Logaritma
Syllabus · Silabus
English
Learning Objective 2.9.A: Evaluate logarithmic expressions.
- 2.9.A.1 The logarithmic expression $\log_b c$ is equal to, or represents, the value that the base $b$ must be exponentially raised to in order to obtain the value $c$. That is, $\log_b c = a$ if and only if $b^a = c$, where $a$ and $c$ are constants, $b > 0$, and $b \neq 1$. (when the base of a logarithmic expression is not specified, it is understood as the common logarithm with a base of $10$)
- 2.9.A.2 The values of some logarithmic expressions are readily accessible through basic arithmetic while other values can be estimated through the use of technology.
- 2.9.A.3 On a logarithmic scale, each unit represents a multiplicative change of the base of the logarithm. For example, on a standard scale, the units might be $0, \; 1, \; 2, \; \ldots$, while on a logarithmic scale, using logarithm base $10$, the units might be $10^0, \; 10^1, \; 10^2, \; \ldots$.
Bahasa Indonesia
Tujuan Pembelajaran 2.9.A: Menilai ekspresi logaritma.
- 2.9.A.1 Ekspresi logaritma $\log_b c$ sama dengan, atau merepresentasikan, nilai yang harus dipangkatkan secara eksponensial oleh basis $b$ untuk memperoleh nilai $c$. Artinya, $\log_b c = a$ jika dan hanya jika $b^a = c$, di mana $a$ dan $c$ adalah konstanta, $b > 0$, dan $b \neq 1$. (ketika basis ekspresi logaritma tidak disebutkan, hal itu dimaknai sebagai logaritma umum dengan basis $10$)
- 2.9.A.2 Nilai dari beberapa ekspresi logaritma dapat dengan mudah diakses melalui aritmatika dasar, sementara nilai lainnya dapat diestimasi melalui penggunaan teknologi.
- 2.9.A.3 Pada skala logaritma, setiap unit mewakili perubahan perkalian dari basis logaritma. Misalnya, pada skala standar, unitnya mungkin $0, \; 1, \; 2, \; \ldots$, sedangkan pada skala logaritma, dengan menggunakan basis logaritma $10$, unitnya mungkin $10^0, \; 10^1, \; 10^2, \; \ldots$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The logarithm 对数 answers "what exponent?": $\log_b c = a$ means exactly $b^a = c$ (with $b>0,\ b\neq 1$). An unwritten base means the common logarithm 常用对数 (base $10$). On a logarithmic scale, each unit is a multiplicative step of the base (…, $10^0,10^1,10^2,$ …).
Bahasa Indonesia
Logaritma menjawab "eksponen apa?": $\log_b c = a$ berarti tepat $b^a = c$ (dengan $b>0,\ b\neq 1$). Basis yang tidak tertulis berarti logaritma umum (basis $10$). Pada skala logaritma, setiap unit adalah langkah multiplikatif dari basis (…, $10^0,10^1,10^2,$ …).
2.10
Inverses of Exponential Functions · Invers Fungsi Eksponensial
Syllabus · Silabus
English
Learning Objective 2.10.A: Construct representations of the inverse of an exponential function with an initial value of 1.
- 2.10.A.1 The general form of a logarithmic function is $f(x) = a\log_b x$, with base $b$, where $b > 0$, $b \neq 1$, and $a \neq 0$.
- 2.10.A.2 The way in which input and output values vary together have an inverse relationship in exponential and logarithmic functions. Output values of general-form exponential functions change proportionately as input values increase in equal-length intervals. However, input values of general-form logarithmic functions change proportionately as output values increase in equal-length intervals. Alternately, exponential growth is characterized by output values changing multiplicatively as input values change additively, whereas logarithmic growth is characterized by output values changing additively as input values change multiplicatively.
- 2.10.A.3 $f(x) = \log_b x$ and $g(x) = b^x$, where $b > 0$ and $b \neq 1$, are inverse functions. That is, $g(f(x)) = f(g(x)) = x$.
- 2.10.A.4 The graph of the logarithmic function $f(x) = \log_b x$, where $b > 0$ and $b \neq 1$, is a reflection of the graph of the exponential function $g(x) = b^x$, where $b > 0$ and $b \neq 1$, over the graph of the identity function $h(x) = x$.
- 2.10.A.5 If $(s, \; t)$ is an ordered pair of the exponential function $g(x) = b^x$, where $b > 0$ and $b \neq 1$, then $(t, \; s)$ is an ordered pair of the logarithmic function $f(x) = \log_b x$, where $b > 0$ and $b \neq 1$.
Bahasa Indonesia
Tujuan Pembelajaran 2.10.A: Membangun representasi dari invers dari fungsi eksponensial dengan nilai awal 1.
- 2.10.A.1 Bentuk umum dari fungsi logaritma adalah $f(x) = a\log_b x$, dengan basis $b$, di mana $b > 0$, $b \neq 1$, dan $a \neq 0$.
- 2.10.A.2 Cara nilai input dan output bervariasi bersama memiliki hubungan terbalik dalam fungsi eksponensial dan logaritma. Nilai output dari fungsi eksponensial bentuk umum berubah secara proporsional saat nilai input bertambah dalam interval sepanjang yang sama. Namun, nilai input dari fungsi logaritma bentuk umum berubah secara proporsional saat nilai output bertambah dalam interval sepanjang yang sama. Alternatifnya, pertumbuhan eksponensial dikarakteristikkan oleh nilai output yang berubah secara multiplikatif saat nilai input berubah secara aditif, sedangkan pertumbuhan logaritmik dikarakteristikkan oleh nilai output yang berubah secara aditif saat nilai input berubah secara multiplikatif.
- 2.10.A.3 $f(x) = \log_b x$ dan $g(x) = b^x$, di mana $b > 0$ dan $b \neq 1$, adalah fungsi-fungsi invers. Artinya, $g(f(x)) = f(g(x)) = x$.
- 2.10.A.4 Grafik fungsi logaritma $f(x) = \log_b x$, di mana $b > 0$ dan $b \neq 1$, adalah pencerminan dari grafik fungsi eksponensial $g(x) = b^x$, di mana $b > 0$ dan $b \neq 1$, terhadap grafik fungsi identitas $h(x) = x$.
- 2.10.A.5 Jika $(s, \; t)$ adalah pasangan terurut dari fungsi eksponensial $g(x) = b^x$, di mana $b > 0$ dan $b \neq 1$, maka $(t, \; s)$ adalah pasangan terurut dari fungsi logaritma $f(x) = \log_b x$, di mana $b > 0$ dan $b \neq 1$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The logarithm is the inverse of the exponential: $y=b^x$ and $y=\log_b x$ undo each other, so their graphs are reflections over $y=x$. Hence $\log_b(b^x)=x$ and $b^{\log_b x}=x$. The natural logarithm 自然对数 $\ln x = \log_e x$ is the inverse of $e^x$.
Bahasa Indonesia
Logaritma adalah invers dari eksponensial: $y=b^x$ dan $y=\log_b x$ saling meniadakan, sehingga grafiknya adalah refleksi terhadap $y=x$. Oleh karena itu $\log_b(b^x)=x$ dan $b^{\log_b x}=x$. Logaritma alami $\ln x = \log_e x$ adalah invers dari $e^x$.
2.11
Logarithmic Functions · Fungsi Logaritma
Syllabus · Silabus
English
Learning Objective 2.11.A: Identify key characteristics of logarithmic functions.
- 2.11.A.1 The domain of a logarithmic function in general form is any real number greater than zero, and its range is all real numbers.
- 2.11.A.2 Because logarithmic functions are inverses of exponential functions, logarithmic functions are also always increasing or always decreasing, and their graphs are either always concave up or always concave down. Consequently, logarithmic functions do not have extrema except on a closed interval, and their graphs do not have points of inflection.
- 2.11.A.3 The additive transformation function $g(x) = f(x + k)$, where $k \neq 0$, of a logarithmic function $f$ in general form does not have input values that are proportional over equal-length output-value intervals. However, if the input values of the additive transformation function, $g(x) = f(x + k)$, of any function $f$ are proportional over equal-length output value intervals, then $f$ is logarithmic.
- 2.11.A.4 With their limited domain, logarithmic functions in general form are vertically asymptotic to $x = 0$, with an end behavior that is unbounded. That is, for a logarithmic function in general form, $\lim\limits_{x \to 0^+} a\log_b x = \pm\infty$ and $\lim\limits_{x \to \infty} a\log_b x = \pm\infty$.
Bahasa Indonesia
Tujuan Pembelajaran 2.11.A: Identifikasi karakteristik utama dari fungsi logaritma.
- 2.11.A.1 Domain dari fungsi logaritma dalam bentuk umum adalah semua bilangan real yang lebih besar dari nol, dan range-nya mencakup seluruh bilangan real.
- 2.11.A.2 Karena fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponensial, fungsi logaritma juga selalu naik atau selalu turun, dan grafiknya selalu cekung ke atas atau selalu cekung ke bawah. Akibatnya, fungsi logaritma tidak memiliki nilai ekstrem kecuali pada interval tertutup, dan grafiknya tidak memiliki titik belok.
- 2.11.A.3 Fungsi transformasi aditif $g(x) = f(x + k)$, di mana $k \neq 0$, dari fungsi logaritma $f$ dalam bentuk umum tidak memiliki nilai input yang proporsional pada interval nilai output dengan panjang yang sama. Namun, jika nilai input dari fungsi transformasi aditif, $g(x) = f(x + k)$, dari sembarang fungsi $f$ proporsional pada interval nilai output dengan panjang yang sama, maka $f$ bersifat logaritmik.
- 2.11.A.4 Dengan domainnya yang terbatas, fungsi logaritma dalam bentuk umum memiliki asimtot vertikal terhadap $x = 0$, dengan perilaku ujung yang tak terbatas. Artinya, untuk fungsi logaritma dalam bentuk umum, $\lim\limits_{x \to 0^+} a\log_b x = \pm\infty$ dan $\lim\limits_{x \to \infty} a\log_b x = \pm\infty$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The logarithmic function 对数函数 $f(x)=\log_b x$ has domain $x>0$ and range all reals. It is always increasing (for $b>1$) or always decreasing (for $0
Bahasa Indonesia
Fungsi logaritma $f(x)=\log_b x$ memiliki domain $x>0$ dan range semua bilangan real. Fungsi ini selalu meningkat (untuk $b>1$) atau selalu menurun (untuk $0
Explore · Jelajahi
Explore a logarithmic curve · Jelajahi kurva logaritma
y = a·ln(x − b) + c
A logarithm is the inverse of an exponential: it grows without bound but ever slower, with a vertical asymptote where its input hits zero. · Logaritma adalah invers dari eksponensial: tumbuh tanpa batas tetapi semakin lambat, dengan asimtot vertikal saat inputnya menyentuh nol.
2.12
Logarithmic Function Manipulation · Manipulasi Fungsi Logaritma
Syllabus · Silabus
English
Learning Objective 2.12.A: Rewrite logarithmic expressions in equivalent forms.
- 2.12.A.1 The product property for logarithms states that $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$. Graphically, this property implies that every horizontal dilation of a logarithmic function, $f(x) = \log_b(kx)$, is equivalent to a vertical translation, $f(x) = \log_b(kx) = \log_b k + \log_b x = a + \log_b x$, where $a = \log_b k$.
- 2.12.A.2 The power property for logarithms states that $\log_b x^n = n\log_b x$. Graphically, this property implies that raising the input of a logarithmic function to a power, $f(x) = \log_b x^k$, results in a vertical dilation, $f(x) = \log_b x^k = k\log_b x$.
- 2.12.A.3 The change of base property for logarithms states that $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$, where $a > 0$ and $a \neq 1$. This implies that all logarithmic functions are vertical dilations of each other.
- 2.12.A.4 The function $f(x) = \ln x$ is a logarithmic function with the natural base $e$; that is, $\ln x = \log_e x$.
Bahasa Indonesia
Tujuan Pembelajaran 2.12.A: Tuliskan ulang ekspresi logaritma dalam bentuk ekuivalen.
- 2.12.A.1 Sifat perkalian logaritma menyatakan bahwa $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$. Secara grafis, sifat ini mengimplikasikan bahwa setiap dilatasi horizontal dari fungsi logaritma, $f(x) = \log_b(kx)$, setara dengan translasi vertikal, $f(x) = \log_b(kx) = \log_b k + \log_b x = a + \log_b x$, di mana $a = \log_b k$.
- 2.12.A.2 Sifat pangkat logaritma menyatakan bahwa $\log_b x^n = n\log_b x$. Secara grafis, sifat ini mengimplikasikan bahwa pengangkatan input fungsi logaritma dengan suatu pangkat, $f(x) = \log_b x^k$, menghasilkan dilatasi vertikal, $f(x) = \log_b x^k = k\log_b x$.
- 2.12.A.3 Sifat perubahan basis logaritma menyatakan bahwa $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$, di mana $a > 0$ dan $a \neq 1$. Ini mengimplikasikan bahwa semua fungsi logaritma adalah dilatasi vertikal satu sama lain.
- 2.12.A.4 Fungsi $f(x) = \ln x$ adalah fungsi logaritma dengan basis alami $e$; yaitu, $\ln x = \log_e x$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The log properties reverse the exponent rules:
$$\log_b(xy)=\log_b x+\log_b y,\quad \log_b\!\frac{x}{y}=\log_b x-\log_b y,\quad \log_b(x^n)=n\log_b x.$$
The change-of-base 换底 formula lets you compute any log with technology: $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}=\dfrac{\ln x}{\ln b}$.
Bahasa Indonesia
Sifat log membalikkan aturan eksponen:
$$\log_b(xy)=\log_b x+\log_b y,\quad \log_b\!\frac{x}{y}=\log_b x-\log_b y,\quad \log_b(x^n)=n\log_b x.$$
Rumus perubahan basis memungkinkan Anda menghitung logaritma apa pun dengan teknologi: $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}=\dfrac{\ln x}{\ln b}$.
2.13
Exponential and Logarithmic Equations and Inequalities · Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponensial dan Logaritma
Syllabus · Silabus
English
Learning Objective 2.13.A: Solve exponential and logarithmic equations and inequalities.
- 2.13.A.1 Properties of exponents, properties of logarithms, and the inverse relationship between exponential and logarithmic functions can be used to solve equations and inequalities involving exponents and logarithms.
- 2.13.A.2 When solving exponential and logarithmic equations found through analytical or graphical methods, the results should be examined for extraneous solutions precluded by the mathematical or contextual limitations.
- 2.13.A.3 Logarithms can be used to rewrite expressions involving exponential functions in different ways that may reveal helpful information. Specifically, $b^x = c^{(\log_c b)(x)}$.
Learning Objective 2.13.B: Construct the inverse function for exponential and logarithmic functions.
- 2.13.B.1 The function $f(x) = ab^{(x-h)} + k$ is a combination of additive transformations of an exponential function in general form. The inverse of $y = f(x)$ can be found by determining the inverse operations to reverse the mapping.
- 2.13.B.2 The function $f(x) = a\log_b(x - h) + k$ is a combination of additive transformations of a logarithmic function in general form. The inverse of $y = f(x)$ can be found by determining the inverse operations to reverse the mapping.
Bahasa Indonesia
Tujuan Pembelajaran 2.13.A: Selesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial dan logaritma.
- 2.13.A.1 Sifat-sifat eksponen, sifat-sifat logaritma, dan hubungan invers antara fungsi eksponensial dan logaritma dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan yang melibatkan eksponen dan logaritma.
- 2.13.A.2 Saat menyelesaikan persamaan eksponensial dan logaritma yang ditemukan melalui metode analitis atau grafis, hasil harus diperiksa untuk solusi ekstraneous yang dilarang oleh batasan matematis atau kontekstual.
- 2.13.A.3 Logaritma dapat digunakan untuk menulis ulang ekspresi yang melibatkan fungsi eksponensial dengan cara berbeda yang mungkin mengungkapkan informasi yang bermanfaat. Secara khusus, $b^x = c^{(\log_c b)(x)}$.
Tujuan Pembelajaran 2.13.B: Bangun fungsi invers untuk fungsi eksponensial dan logaritma.
- 2.13.B.1 Fungsi $f(x) = ab^{(x-h)} + k$ adalah kombinasi dari transformasi aditif dari fungsi eksponensial dalam bentuk umum. Invers dari $y = f(x)$ dapat ditemukan dengan menentukan operasi invers untuk membalikkan pemetaan.
- 2.13.B.2 Fungsi $f(x) = a\log_b(x - h) + k$ adalah kombinasi dari transformasi aditif dari fungsi logaritma dalam bentuk umum. Invers dari $y = f(x)$ dapat ditemukan dengan menentukan operasi invers untuk membalikkan pemetaan.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
To solve, use the fact that exponentials and logs are inverses:
- Isolate the exponential, then take a log of both sides (bring the exponent down with the power property).
- Isolate the log, then exponentiate both sides.
- Always check for extraneous solutions – the argument of a log must stay positive.
Worked example. Solve $2\cdot3^x=54$. Divide by $2$: $3^x=27=3^3$, so $x=3$. When the sides are not tidy powers, take logs instead: $5^x=20$ gives $x=\dfrac{\ln 20}{\ln 5}\approx1.86$.
Bahasa Indonesia
Untuk menyelesaikan, gunakan fakta bahwa eksponensial dan logaritma adalah invers:
- Isolasi eksponensial, lalu ambil logaritma kedua sisi (turunkan eksponen dengan sifat pangkat).
- Isolasi logaritma, lalu eksponensiasi kedua sisi.
- Selalu periksa untuk solusi ekstras – argumen logaritma harus tetap positif.
Contoh terpecahkan. Selesaikan $2\cdot3^x=54$. Bagi dengan $2$: $3^x=27=3^3$, sehingga $x=3$. Ketika sisi-sisinya bukan pangkat yang rapi, ambil logaritma sebagai gantinya: $5^x=20$ memberikan $x=\dfrac{\ln 20}{\ln 5}\approx1.86$.
2.14
Logarithmic Function Context and Data Modeling · Konteks dan Pemodelan Data Fungsi Logaritma
Syllabus · Silabus
English
Learning Objective 2.14.A: Construct a logarithmic function model.
- 2.14.A.1 Logarithmic functions are inverses of exponential functions and can be used to model situations involving proportional growth, or repeated multiplication, where the input values change proportionally over equal-length output-value intervals. Alternately, if the output value is a whole number, it indicates how many times the initial value has been multiplied by the proportion.
- 2.14.A.2 A logarithmic function model can be constructed from an appropriate proportion and a real zero or from two input-output pairs.
- 2.14.A.3 Logarithmic function models can be constructed by applying transformations to $f(x) = a\log_b x$ based on characteristics of a context or data set.
- 2.14.A.4 Logarithmic function models can be constructed for a data set with technology using logarithmic regressions.
- 2.14.A.5 The natural logarithm function is often useful in modeling real-world phenomena.
- 2.14.A.6 Logarithmic function models can be used to predict values for the dependent variable.
Bahasa Indonesia
Tujuan Pembelajaran 2.14.A: Bangun model fungsi logaritma.
- 2.14.A.1 Fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponensial dan dapat digunakan untuk memodelkan situasi yang melibatkan pertumbuhan proporsional, atau perkalian berulang, di mana nilai input berubah secara proporsional pada interval nilai output dengan panjang yang sama. Alternatifnya, jika nilai output adalah bilangan bulat, hal itu menunjukkan berapa kali nilai awal telah dikalikan dengan proporsi tersebut.
- 2.14.A.2 Model fungsi logaritma dapat dibangun dari proporsi yang sesuai dan nol riil, atau dari dua pasangan input-output.
- 2.14.A.3 Model fungsi logaritma dapat dibangun dengan menerapkan transformasi pada $f(x) = a\log_b x$ berdasarkan karakteristik dari konteks atau himpunan data.
- 2.14.A.4 Model fungsi logaritma dapat dibangun untuk himpunan data menggunakan teknologi melalui regresi logaritmik.
- 2.14.A.5 Fungsi logaritma alami sering kali berguna dalam memodelkan fenomena dunia nyata.
- 2.14.A.6 Model fungsi logaritma dapat digunakan untuk memprediksi nilai variabel dependen.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Logarithms model quantities that change over huge multiplicative ranges (sound, acid strength, earthquakes). Build a log model from data, and use logarithmic regression for a data set. Because a log compresses large values, it turns proportional growth into a straight-line pattern – the idea behind semi-log plots.
Bahasa Indonesia
Logaritma memodelkan kuantitas yang berubah melalui rentang multiplikatif yang sangat besar (suara, kekuatan asam, gempa bumi). Bangun model log dari data, dan gunakan regresi logaritma untuk suatu himpunan data. Karena log memampatkan nilai-nilai besar, ia mengubah pertumbuhan proporsional menjadi pola garis lurus – ide di balik plot semi-log.
2.15
Semi-log Plots · Plot Semi-Log
Syllabus · Silabus
English
Learning Objective 2.15.A: Determine if an exponential model is appropriate by examining a semi-log plot of a data set.
- 2.15.A.1 In a semi-log plot, one of the axes is logarithmically scaled. When the $y$-axis of a semi-log plot is logarithmically scaled, data or functions that demonstrate exponential characteristics will appear linear.
- 2.15.A.2 An advantage of semi-log plots is that a constant never needs to be added to the dependent variable values to reveal that an exponential model is appropriate.
Learning Objective 2.15.B: Construct the linearization of exponential data.
- 2.15.B.1 Techniques used to model linear functions can be applied to a semi-log graph.
- 2.15.B.2 For an exponential model of the form $y = ab^x$, the corresponding linear model for the semi-log plot is $y = (\log_n b)x + \log_n a$, where $n > 0$ and $n \neq 1$. Specifically, the linear rate of change is $\log_n b$, and the initial linear value is $\log_n a$.
Bahasa Indonesia
Tujuan Pembelajaran 2.15.A: Tentukan apakah model eksponensial tepat dengan memeriksa plot semi-log dari sebuah himpunan data.
- 2.15.A.1 Dalam plot semi-log, salah satu sumbu diskalakan secara logaritmik. Ketika sumbu $y$ dari plot semi-log diskalakan secara logaritmik, data atau fungsi yang menunjukkan karakteristik eksponensial akan tampak linear.
- 2.15.A.2 Keuntungan dari plot semi-log adalah bahwa konstanta tidak perlu ditambahkan ke nilai variabel dependen untuk mengungkapkan bahwa model eksponensial tepat.
Tujuan Pembelajaran 2.15.B: Bangun linearisasi dari data eksponensial.
- 2.15.B.1 Teknik yang digunakan untuk memodelkan fungsi linear dapat diterapkan pada grafik semi-log.
- 2.15.B.2 Untuk model eksponensial dengan bentuk $y = ab^x$, model linear yang sesuai untuk plot semi-log adalah $y = (\log_n b)x + \log_n a$, di mana $n > 0$ dan $n \neq 1$. Secara khusus, laju perubahan linear adalah $\log_n b$, dan nilai linear awal adalah $\log_n a$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
A semi-log plot 半对数图 puts the output on a logarithmic axis and the input on a normal axis. On these axes, an exponential function $y=ab^x$ becomes a straight line, because $\log y = \log a + (\log b)\,x$ is linear in $x$. So: if data look linear on a semi-log plot, an exponential model fits; the line's slope gives $\log b$ and its intercept gives $\log a$.
Bahasa Indonesia
Plot semi-log menempatkan output pada sumbu logaritma dan input pada sumbu normal. Pada sumbu-sumbu ini, fungsi eksponensial $y=ab^x$ menjadi garis lurus, karena $\log y = \log a + (\log b)\,x$ linear terhadap $x$. Jadi: jika data tampak linear pada plot semi-log, model eksponensial sesuai; kemiringan garis memberikan $\log b$ dan interseksinya memberikan $\log a$.
2.15
Exam tips · Tips ujian
English
- Distinguish arithmetic (add a common difference) from geometric (multiply a common ratio) sequences and their linear/exponential function cousins.
- Exponential = repeated multiplication, so it eventually outgrows any linear or polynomial model.
- The logarithm is the inverse of the exponential ($\log_b c=a\Leftrightarrow b^a=c$); use it to solve $b^x=k$.
- Apply the log laws (product, quotient, power) and the change-of-base formula; the argument of a log must be positive.
- On a semi-log plot an exponential model becomes a straight line.
Bahasa Indonesia
- Bedakan barisan aritmetika (tambahkan beda umum) dari geometri (kalikan rasio umum) dan cousin fungsi linear/eksponensial mereka.
- Eksponensial = perkalian berulang, sehingga akhirnya melampaui model linear atau polinomial apa pun.
- Logaritma adalah invers dari eksponensial ($\log_b c=a\Leftrightarrow b^a=c$); gunakan untuk menyelesaikan $b^x=k$.
- Terapkan hukum log (perkalian, pembagian, pangkat) dan rumus perubahan basis; argumen log harus positif.
- Pada plot semi-log model eksponensial menjadi garis lurus.
Interactive lessons on this topic · Pelajaran interaktif untuk topik ini
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.
- Arithmetic and Geometric Sequences · Barisan Aritmatika dan Geometri
- Linear and Exponential Functions · Fungsi Linear dan Eksponensial
- Exponential Functions · Fungsi Eksponensial
- Manipulating Exponential Expressions · Memanipulasi Ekspresi Eksponensial
- Modeling with Exponential Functions · Pemodelan dengan Fungsi Eksponensial
- Comparing Competing Models · Membandingkan Model yang Bersaing
- Composition of Functions · Komposisi Fungsi
- Inverse Functions · Fungsi Invers
- Logarithms · Logaritma
- Inverses of Exponential Functions · Invers dari Fungsi Eksponensial
- Logarithmic Functions · Fungsi Logaritmik
- Manipulating Logarithmic Expressions · Manipulasi Ekspresi Logaritma
- Exponential and Logarithmic Equations · Persamaan Eksponensial dan Logaritma
- Modeling with Logarithmic Functions · Pemodelan dengan Fungsi Logaritma
- Semi-log Plots · Grafik Semi-log
Past Papers · Soal-Soil Masa Lalu