Integration and Accumulation of Change · ⁨Integral dan Akumulasi Perubahan⁩

AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩ · Topic 6 · ⁨Topik 6⁩

View Slides · ⁨Lihat Salindia⁩ Train · ⁨Latih⁩

Video lesson for this topic · ⁨Pelajaran video untuk topik ini⁩ Open the video page · ⁨Buka halaman video⁩

6.1

Exploring Accumulations of Change · ⁨Menjelajahi Akumulasi Perubahan⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.A: Interpret the meaning of areas associated with the graph of a rate of change in context.

CHA-4.A.1 The area of the region between the graph of a rate of change function and the $x$ axis gives the accumulation of change.
CHA-4.A.2 In some cases, accumulation of change can be evaluated by using geometry.
CHA-4.A.3 If a rate of change is positive (negative) over an interval, then the accumulated change is positive (negative).
CHA-4.A.4 The unit for the area of a region defined by rate of change is the unit for the rate of change multiplied by the unit for the independent variable.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (CHA-4): Integral tentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan dalam suatu interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-4.A: Menafsirkan makna luas yang terkait dengan grafik laju perubahan dalam konteksnya.

CHA-4.A.1 Luas daerah antara grafik fungsi laju perubahan dan sumbu $x$ memberikan akumulasi perubahan.
CHA-4.A.2 Dalam beberapa kasus, akumulasi perubahan dapat dihitung menggunakan geometri.
CHA-4.A.3 Jika laju perubahan positif (negatif) pada suatu interval, maka akumulasi perubahan bernilai positif (negatif).
CHA-4.A.4 Satuan untuk luas daerah yang didefinisikan oleh laju perubahan adalah satuan laju perubahan dikalikan dengan satuan variabel bebas.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Where a derivative measures a rate, an integral 积分 measures an accumulation 累积 – a total built up from a rate. If a rate of change acts over an interval, the area between its graph and the axis gives the net accumulated change. This "area = total change" idea is the foundation of integral calculus.

Bahasa Indonesia

Tangki air: integrasi mengakumulasi perubahan – volume total dari laju aliran

Di mana turunan mengukur laju, integral mengukur akumulasi – total yang dibangun dari suatu laju. Jika laju perubahan berlaku sepanjang interval, luas antara grafiknya dan sumbu memberikan perubahan terkumulasi bersih. Ide "luas = perubahan total" ini adalah fondasi kalkulus integral.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
integral/ˈɪntɪɡrəl/	integral

6.2

Approximating Areas with Riemann Sums · ⁨Mengaproksimasi Area dengan Jumlah Riemann⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (LIM-5): Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.

Learning Objective LIM-5.A: Approximate a definite integral using geometric and numerical methods.

LIM-5.A.1 Definite integrals can be approximated for functions that are represented graphically, numerically, analytically, and verbally.
LIM-5.A.2 Definite integrals can be approximated using a left Riemann sum, a right Riemann sum, a midpoint Riemann sum, or a trapezoidal sum; approximations can be computed using either uniform or nonuniform partitions.
LIM-5.A.3 Definite integrals can be approximated using numerical methods, with or without technology.
LIM-5.A.4 Depending on the behavior of a function, it may be possible to determine whether an approximation for a definite integral is an underestimate or overestimate for the value of the definite integral.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (LIM-5): Integral tentu dapat didekati menggunakan metode geometris dan numerik.

Tujuan Pembelajaran LIM-5.A: Mendekatkan integral tentu menggunakan metode geometris dan numerik.

LIM-5.A.1 Integral tentu dapat didekati untuk fungsi yang direpresentasikan secara grafis, numerik, analitik, dan verbal.
LIM-5.A.2 Integral tentu dapat didekati menggunakan jumlah Riemann kiri, jumlah Riemann kanan, jumlah Riemann titik tengah, atau jumlah trapesium; pendekatan dapat dihitung menggunakan partisi seragam atau tidak seragam.
LIM-5.A.3 Integral tentu dapat didekati menggunakan metode numerik, dengan atau tanpa teknologi.
LIM-5.A.4 Bergantung pada perilaku fungsi, mungkin dapat ditentukan apakah pendekatan untuk integral tentu merupakan taksiran rendah atau taksiran tinggi untuk nilai integral tentu tersebut.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The integral as area (Riemann sums)

Trapezoidal sums approximate area

A Riemann sum 黎曼和 estimates the area under a curve by adding the areas of thin rectangles. Split $[a,b]$ into subintervals and use the function's height at the left endpoint, right endpoint, or midpoint of each. A trapezoidal sum 梯形法 uses trapezoids instead, averaging the two endpoint heights – usually more accurate. With more, thinner rectangles the estimate improves.

Exam skill: be able to compute left, right, midpoint, and trapezoidal estimates from a table or graph, and state whether each over- or under-estimates based on whether the function is increasing/decreasing or concave up/down.

Bahasa Indonesia

Integral sebagai area (Jumlah Riemann)

Jumlah trapesium mengaproksimasi area

Jumlah Riemann memperkirakan luas di bawah kurva dengan menjumlahkan luas persegi panjang tipis. Bagi $[a,b]$ menjadi subinterval dan gunakan tinggi fungsi pada ujung kiri, ujung kanan, atau titik tengah masing-masing. Jumlah trapesium menggunakan trapesium sebagai gantinya, meratakan dua tinggi ujung – biasanya lebih akurat. Dengan lebih banyak persegi panjang yang lebih tipis, estimasi membaik.

Jumlah Riemann mengaproksimasi luas di bawah kurva dengan persegi panjang

Pita-pita selebar h mengaproksimasi luas di bawah kurva

Keterampilan ujian: mampu menghitung estimasi kiri, kanan, titik tengah, dan trapesium dari tabel atau grafik, serta menyatakan apakah setiap taksiran lebih tinggi atau lebih rendah berdasarkan apakah fungsi tersebut naik/turun atau cekung ke atas/bawah.

Explore · ⁨Jelajahi⁩

Approximate area with rectangles · ⁨Hampirkan luas dengan persegi panjang⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

A Riemann sum approximates the area under a curve with rectangles. Add more, thinner rectangles and the estimate converges to the exact definite integral. · ⁨Jumlah Riemann menghampiri luas di bawah kurva dengan persegi panjang. Tambahkan lebih banyak persegi panjang yang lebih tipis dan estimasi akan konvergen ke integral tentu yang tepat.⁩

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	jumlah Riemann
trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/	Jumlah trapesium
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	integral tentu

6.3

Riemann Sums, Summation Notation, and Definite Integral Notation · ⁨Jumlah Riemann, Notasi Penjumlahan, dan Notasi Integral Tentu⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (LIM-5): Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.

Learning Objective LIM-5.B: Interpret the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.

LIM-5.B.1 The limit of an approximating Riemann sum can be interpreted as a definite integral.
LIM-5.B.2 A Riemann sum, which requires a partition of an interval $I$, is the sum of products, each of which is the value of the function at a point in a subinterval multiplied by the length of that subinterval of the partition.

Learning Objective LIM-5.C: Represent the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.

LIM-5.C.1 The definite integral of a continuous function $f$ over the interval $[a, b]$, denoted by $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, is the limit of Riemann sums as the widths of the subintervals approach 0. That is, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x_i$, where $n$ is the number of subintervals, $\Delta x_i$ is the width of the $i$th subinterval, and $x_i^*$ is a value in the $i$th subinterval.
LIM-5.C.2 A definite integral can be translated into the limit of a related Riemann sum, and the limit of a Riemann sum can be written as a definite integral.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (LIM-5): Integral tentu dapat didekati menggunakan metode geometris dan numerik.

Tujuan Pembelajaran LIM-5.B: Menafsirkan kasus batas dari jumlah Riemann sebagai integral tentu.

LIM-5.B.1 Limit dari jumlah Riemann pendekatan dapat ditafsirkan sebagai integral tentu.
LIM-5.B.2 Jumlah Riemann, yang memerlukan partisi dari interval $I$, adalah jumlah dari perkalian, di mana setiap perkalian adalah nilai fungsi pada suatu titik dalam subinterval dikalikan dengan panjang subinterval tersebut dari partisi.

Tujuan Pembelajaran LIM-5.C: Merepresentasikan kasus batas dari jumlah Riemann sebagai integral tentu.

LIM-5.C.1 Integral tentu dari fungsi kontinu $f$ atas interval $[a, b]$, dinotasikan dengan $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, adalah limit dari jumlah Riemann saat lebar subinterval mendekati 0. Yaitu, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x_i$, di mana $n$ adalah jumlah subinterval, $\Delta x_i$ adalah lebar subinterval ke-$i$, dan $x_i^*$ adalah nilai dalam subinterval ke-$i$.
LIM-5.C.2 Integral tentu dapat diterjemahkan menjadi limit dari jumlah Riemann yang terkait, dan limit dari jumlah Riemann dapat ditulis sebagai integral tentu.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Writing a Riemann sum with summation notation $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ and letting the number of rectangles grow without bound gives the exact area – the definite integral 定积分:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

The integral is the limit of Riemann sums; $a$ and $b$ are the limits of integration.

Bahasa Indonesia

Menulis jumlah Riemann dengan notasi penjumlahan $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ dan membiarkan jumlah persegi panjang tumbuh tanpa batas memberikan luas eksak – integral tentu:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

Integral adalah limit dari jumlah Riemann; $a$ dan $b$ adalah batas-batas integrasi.

6.4

The Fundamental Theorem of Calculus and Accumulation Functions · ⁨Teorema Dasar Kalkulus dan Fungsi Akumulasi⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-5): The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.

Learning Objective FUN-5.A: Represent accumulation functions using definite integrals.

FUN-5.A.1 The definite integral can be used to define new functions.
- Illustrative examples for FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 If $f$ is a continuous function on an interval containing $a$, then $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, where $x$ is in the interval.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-5): Teorema Fundamental Kalkulus menghubungkan diferensiasi dan integrasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-5.A: Merepresentasikan fungsi akumulasi menggunakan integral tentu.

FUN-5.A.1 Integral tentu dapat digunakan untuk mendefinisikan fungsi baru.
- Contoh ilustratif untuk FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 Jika $f$ adalah fungsi kontinu pada interval yang memuat $a$, maka $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, di mana $x$ berada dalam interval tersebut.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The Fundamental Theorem of Calculus

An accumulation function 累积函数 $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ gives the accumulated area from $a$ up to $x$. The Fundamental Theorem of Calculus (FTC) 微积分基本定理 says its derivative is the integrand:

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

Differentiation and integration are inverse operations. With a variable upper limit and the chain rule, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

Bahasa Indonesia

Teorema Dasar Kalkulus

Fungsi akumulasi $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ memberikan luas terkumulasi dari $a$ hingga $x$. Teorema Dasar Kalkulus (FTC) menyatakan bahwa turunannya adalah fungsi yang diintegralkan:

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

Diferensiasi dan integrasi adalah operasi terbalik. Dengan batas atas variabel dan aturan rantai, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

Fungsi akumulasi menambahkan luas bertanda; FTC menyatakan turunannya adalah f — Fungsi akumulasi menambahkan area bertenaga; FTC mengatakan turunannya adalah f

Explore · ⁨Jelajahi⁩

Accumulate area as an integral · ⁨Akumulasi luas sebagai integral⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

An accumulation function $\int_a^x f(t)\,dt$ builds up signed area as $x$ moves. The Fundamental Theorem says its derivative is just $f(x)$. · ⁨Fungsi akumulasi $\int_a^x f(t)\,dt$ membangun luas bertanda saat $x$ bergerak. Teorema Fundamental mengatakan turunannya hanyalah $f(x)$.⁩

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/	akumulasi
accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/	fungsi akumulasi
Fundamental Theorem of Calculus (FTC)/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/	Teorema Dasar Kalkulus (FTC)
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	antiturunan
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	integral tak tentu

6.5

Interpreting the Behavior of Accumulation Functions · ⁨Menginterpretasikan Perilaku Fungsi Akumulasi⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-5): The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.

Learning Objective FUN-5.A: Represent accumulation functions using definite integrals.

FUN-5.A.3 Graphical, numerical, analytical, and verbal representations of a function $f$ provide information about the function $g$ defined as $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-5): Teorema Fundamental Kalkulus menghubungkan diferensiasi dan integrasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-5.A: Merepresentasikan fungsi akumulasi menggunakan integral tentu.

FUN-5.A.3 Representasi grafis, numerik, analitik, dan verbal dari fungsi $f$ memberikan informasi tentang fungsi $g$ yang didefinisikan sebagai $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Because $g'(x)=f(x)$, the graph of $f$ tells you everything about $g$: $g$ increases where $f>0$, decreases where $f<0$, has extrema where $f$ crosses zero, and is concave up where $f$ is increasing. Reading these connections off a graph of $f$ is a classic free-response task.

Bahasa Indonesia

Karena $g'(x)=f(x)$, grafik dari $f$ memberi Anda semua informasi tentang $g$: $g$ meningkat di mana $f>0$, menurun di mana $f<0$, memiliki ekstremum di mana $f$ melintasi nol, dan cekung ke atas di mana $f$ meningkat. Membaca koneksi-koneksi ini dari grafik $f$ merupakan tugas respons bebas klasik.

6.6

Applying Properties of Definite Integrals · ⁨Menerapkan Sifat-Sifat Integral Tentu⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.A: Calculate a definite integral using areas and properties of definite integrals.

FUN-6.A.1 In some cases, a definite integral can be evaluated by using geometry and the connection between the definite integral and area.
FUN-6.A.2 Properties of definite integrals include the integral of a constant times a function, the integral of the sum of two functions, reversal of limits of integration, and the integral of a function over adjacent intervals.
FUN-6.A.3 The definition of the definite integral may be extended to functions with removable or jump discontinuities.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-6): Mengenali kesempatan untuk menerapkan pengetahuan geometri dan aturan matematika dapat menyederhanakan integrasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-6.A: Menghitung integral tentu menggunakan luas dan sifat-sifat integral tentu.

FUN-6.A.1 Dalam beberapa kasus, integral tentu dapat dihitung menggunakan geometri dan hubungan antara integral tentu dengan luas.
FUN-6.A.2 Sifat-sifat integral tentu meliputi integral dari konstanta kali fungsi, integral dari jumlah dua fungsi, pembalikan batas integrasi, dan integral dari fungsi atas interval yang bersebelahan.
FUN-6.A.3 Definisi integral tentu dapat diperluas untuk fungsi dengan ketidakterhubungan yang dapat dihilangkan atau lompatan.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Definite integrals obey useful rules: reversing the limits negates the value ($\int_b^a=-\int_a^b$), an integral over a zero-width interval is $0$, they add over adjacent intervals ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), and constants factor out. Use these to combine or split given integral values.

Bahasa Indonesia

Integral tentu mematuhi aturan berguna: membalikkan batas mengubah tanda nilai ($\int_b^a=-\int_a^b$), integral atas interval lebar nol adalah $0$, mereka ditambahkan atas interval bersebelahan ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), dan konstanta dapat dikeluarkan. Gunakan ini untuk menggabungkan atau memecah nilai integral yang diberikan.

6.7

The Fundamental Theorem of Calculus and Definite Integrals · ⁨Teorema Dasar Kalkulus dan Integral Tentu⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.B: Evaluate definite integrals analytically using the Fundamental Theorem of Calculus.

FUN-6.B.1 An antiderivative of a function $f$ is a function $g$ whose derivative is $f$.
FUN-6.B.2 If a function $f$ is continuous on an interval containing $a$, the function defined by $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ is an antiderivative of $f$ for $x$ in the interval.
FUN-6.B.3 If $f$ is continuous on the interval $[a, b]$ and $F$ is an antiderivative of $f$, then $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-6): Mengenali kesempatan untuk menerapkan pengetahuan geometri dan aturan matematika dapat menyederhanakan integrasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-6.B: Mengevaluasi integral tentu secara analitik menggunakan Teorema Fundamental Kalkulus.

FUN-6.B.1 Antiturunan dari fungsi $f$ adalah fungsi $g$ yang turunannya adalah $f$.
FUN-6.B.2 Jika fungsi $f$ kontinu pada suatu interval yang memuat $a$, maka fungsi yang didefinisikan oleh $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ merupakan antiturunan dari $f$ untuk $x$ dalam interval tersebut.
FUN-6.B.3 Jika $f$ kontinu pada interval $[a, b]$ dan $F$ adalah antiturunan dari $f$, maka $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The evaluation form of the FTC computes a definite integral from an antiderivative 原函数 $F$ (where $F'=f$):

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

So integrating a rate of change over $[a,b]$ gives the net change in the quantity – the single most-used result in the course.

Worked example. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$: an antiderivative is $F(x)=x^2+x$, so the value is $F(3)-F(1)=12-2=10$.

Bahasa Indonesia

Bentuk evaluasi FTC menghitung integral tentu dari antiturunan $F$ (di mana $F'=f$):

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Jadi mengintegrasikan laju perubahan atas $[a,b]$ memberikan perubahan bersih dalam kuantitas – hasil yang paling sering digunakan dalam kursus.

Contoh terpecahkan. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$: antiturunan adalah $F(x)=x^2+x$, sehingga nilainya adalah $F(3)-F(1)=12-2=10$.

Integral tertentu adalah luas bermula antara kurva dan sumbu-x

6.8

Finding Antiderivatives and Indefinite Integrals · ⁨Menemukan Antiturunan dan Integral Tak Tentu⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.C: Determine antiderivatives of functions and indefinite integrals, using knowledge of derivatives.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ is an indefinite integral of the function $f$ and can be expressed as $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, where $F'(x) = f(x)$ and $C$ is any constant.
FUN-6.C.2 Differentiation rules provide the foundation for finding antiderivatives.
FUN-6.C.3 Many functions do not have closed-form antiderivatives.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-6): Mengenali kesempatan untuk menerapkan pengetahuan geometri dan aturan matematika dapat menyederhanakan integrasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-6.C: Tentukan antiturunan dari fungsi dan integral tak tentu, menggunakan pengetahuan tentang turunan.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ adalah integral tak tentu dari fungsi $f$ dan dapat dinyatakan sebagai $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, di mana $F'(x) = f(x)$ dan $C$ adalah sembarang konstanta.
FUN-6.C.2 Aturan diferensiasi menyediakan landasan untuk menemukan antiturunan.
FUN-6.C.3 Banyak fungsi tidak memiliki antiturunan bentuk tertutup.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

An indefinite integral 不定积分 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ is the family of all antiderivatives (hence the constant of integration $C$). Reverse each derivative rule: the power rule becomes $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (for $n\neq-1$), with $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$, and the antiderivatives of $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, and $\sec^2 x$ come straight from their derivatives.

Bahasa Indonesia

Integral tak tentu $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ adalah keluarga semua antiturunan (sehingga konstanta integrasi $C$). Balikkan setiap aturan turunan: aturan pangkat menjadi $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (untuk $n\neq-1$), dengan $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$, dan antiturunan dari $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, dan $\sec^2 x$ berasal langsung dari turunannya.

6.9

Integrating Using Substitution · ⁨Mengintegralkan Menggunakan Substitusi⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.

FUN-6.D.1 Substitution of variables is a technique for finding antiderivatives.
FUN-6.D.2 For a definite integral, substitution of variables requires corresponding changes to the limits of integration.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-6): Mengenali kesempatan untuk menerapkan pengetahuan geometri dan aturan matematika dapat menyederhanakan integrasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-6.D: Untuk integran yang memerlukan substitusi atau penataan ulang menjadi bentuk ekuivalen: (a) Tentukan integral tak tentu. (b) Hitung integral tentu.

FUN-6.D.1 Substitusi variabel adalah teknik untuk menemukan antiturunan.
FUN-6.D.2 Untuk integral tertentu, substitusi variabel memerlukan perubahan yang sesuai pada batas-batas integrasi.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

u-substitution 换元积分 reverses the chain rule: choose $u=g(x)$ so that $g'(x)$ also appears, turning $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ into $\int f(u)\,du$. Remember to convert $dx$ to $du$ and, for a definite integral, either change the limits to $u$-values or convert back to $x$ at the end.

Bahasa Indonesia

u-substitution membalikkan aturan rantai: pilih $u=g(x)$ sedemikian rupa sehingga $g'(x)$ juga muncul, mengubah $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ menjadi $\int f(u)\,du$. Ingat untuk mengonversi $dx$ ke $du$ dan, untuk integral tentu, ubah batas-batasnya menjadi nilai-$u$ atau kembalikan ke $x$ di akhir.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	substitusi u
Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/	integrasi dengan bagian
Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/	Pecahan parsial

6.10

Integrating Using Long Division and Completing the Square · ⁨Mengintegralkan Menggunakan Pembagian Panjang dan Melengkapi Kuadrat Sempurna⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.

FUN-6.D.3 Techniques for finding antiderivatives include rearrangements into equivalent forms, such as long division and completing the square.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-6): Mengenali kesempatan untuk menerapkan pengetahuan geometri dan aturan matematika dapat menyederhanakan integrasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-6.D: Untuk integran yang memerlukan substitusi atau penataan ulang menjadi bentuk ekuivalen: (a) Tentukan integral tak tentu. (b) Hitung integral tentu.

FUN-6.D.3 Teknik untuk mencari antiturunan mencakup penyusunan ulang ke bentuk ekuivalen, seperti pembagian panjang dan melengkapi kuadrat sempurna.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

When a rational integrand is "top-heavy" (numerator degree $\ge$ denominator degree), long division rewrites it as a polynomial plus a proper fraction you can integrate. Completing the square in a denominator turns it into a form like $u^2+a^2$, leading to an arctangent antiderivative $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

Bahasa Indonesia

Ketika fungsi rasional yang diintegrasikan "terlalu berat di atas" (derajat pembilang $\ge$ derajat penyebut), pembagian panjang menuliskannya kembali sebagai polinomial ditambah pecahan wajar yang dapat Anda integralkan. Melengkapi kuadrat sempurna pada penyebut mengubahnya menjadi bentuk seperti $u^2+a^2$, yang mengarah pada antiturunan arctangent $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

6.11

Integrating Using Integration by Parts · ⁨Mengintegralkan Menggunakan Integrasi Parsial⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.E: For integrands requiring integration by parts: (a) Determine indefinite integrals. BC ONLY (b) Evaluate definite integrals. BC ONLY

FUN-6.E.1 Integration by parts is a technique for finding antiderivatives. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-6): Mengenali kesempatan untuk menerapkan pengetahuan geometri dan aturan matematika dapat menyederhanakan integrasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-6.E: Untuk integran yang memerlukan integrasi parsial: (a) Tentukan integral tak tentu. HANYA BC (b) Hitung integral tentu. HANYA BC

FUN-6.E.1 Integrasi parsial adalah teknik untuk mencari antiturunan. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Integration by parts 分部积分 reverses the product rule:

$$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$$

Choose $u$ to simplify when differentiated and $dv$ to be easy to integrate (the LIATE guide: logs, inverse-trig, algebraic, trig, exponential). It handles products like $\int x e^x\,dx$ and $\int x\ln x\,dx$, sometimes applied twice.

Worked example. For $\int x e^x\,dx$, choose $u=x$ ($du=dx$) and $dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$):

$$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$$

Bahasa Indonesia

Integrasi parsial membalikkan aturan perkalian:

$$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$$

Pilih $u$ agar menyederhanakan saat diturunkan dan $dv$ agar mudah diintegrasikan (panduan LIATE: logaritma, trigonometri invers, aljabar, trigonometri, eksponensial). Ini menangani perkalian seperti $\int x e^x\,dx$ dan $\int x\ln x\,dx$, terkadang diterapkan dua kali.

Contoh terpecahkan. Untuk $\int x e^x\,dx$, pilih $u=x$ ($du=dx$) dan $dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$):

$$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$$

6.12

Integrating Using Linear Partial Fractions · ⁨Mengintegralkan Menggunakan Pecahan Parsial Linear⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.F: For integrands requiring integration by linear partial fractions: (a) Determine indefinite integrals. BC ONLY (b) Evaluate definite integrals. BC ONLY

FUN-6.F.1 Some rational functions can be decomposed into sums of ratios of linear, nonrepeating factors to which basic integration techniques can be applied. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-6): Mengenali kesempatan untuk menerapkan pengetahuan geometri dan aturan matematika dapat menyederhanakan integrasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-6.F: Untuk integran yang memerlukan integrasi dengan pecahan parsial linear: (a) Tentukan integral tak tentu. HANYA BC (b) Hitung integral tentu. HANYA BC

FUN-6.F.1 Beberapa fungsi rasional dapat didekomposisi menjadi jumlah dari rasio faktor-faktor linear yang tidak berulang, di mana teknik integrasi dasar dapat diterapkan. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Partial fractions 部分分式 split a rational function with a factorable denominator into a sum of simpler fractions:

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},$$

each of which integrates to a logarithm. This technique is essential for the logistic differential equation in the next unit.

Bahasa Indonesia

Pecahan parsial memecah fungsi rasional dengan penyebut yang dapat difaktorkan menjadi jumlah pecahan yang lebih sederhana:

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},$$

setiap di antaranya terintegralkan menjadi logaritma. Teknik ini penting untuk persamaan diferensial logistik dalam bab berikutnya.

6.13

Evaluating Improper Integrals · ⁨Mengevaluasi Integral Tak Hingga⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (LIM-6): The use of limits allows us to show that the areas of unbounded regions may be finite.

Learning Objective LIM-6.A: Evaluate an improper integral or determine that the integral diverges. BC ONLY

LIM-6.A.1 An improper integral is an integral that has one or both limits infinite or has an integrand that is unbounded in the interval of integration. BC ONLY
LIM-6.A.2 Improper integrals can be determined using limits of definite integrals. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (LIM-6): Penggunaan limit memungkinkan kita menunjukkan bahwa luas daerah yang tak terbatas mungkin bernilai finite (terhingga).

Tujuan Pembelajaran LIM-6.A: Evaluasi integral tak hingga atau tentukan bahwa integral tersebut divergen. HANYA BC

LIM-6.A.1 Integral tak hingga adalah integral yang memiliki satu atau kedua batas tak hingga, atau memiliki fungsi pengintegrasian yang tidak terbatas dalam interval integrasi. HANYA BC
LIM-6.A.2 Integral tak hingga dapat ditentukan menggunakan limit dari integral tentu. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Improper integrals: converge or diverge

An improper integral 反常积分 has an infinite limit of integration or an infinite discontinuity in the integrand. Evaluate it as a limit: $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. If the limit is a finite number the integral converges 收敛; otherwise it diverges 发散.

Worked example. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$, so it converges to $1$. By contrast $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ gives $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ and diverges – the same integrand-shape can go either way.

Bahasa Indonesia

Integral tak hingga: konvergen atau divergen

Sebuah integral tak hingga memiliki batas tak hingga dari pengintegralan atau diskontinuitas tak hingga pada fungsi yang diintegrasikan. Nilailah sebagai limit: $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. Jika limitnya adalah bilangan terbatas, integral tersebut konvergen; jika tidak, integral tersebut divergen.

Contoh terpecahkan. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$, sehingga ia konvergen ke $1$. Sebaliknya, $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ menghasilkan $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ dan divergen – bentuk fungsi yang sama bisa berakhir dengan cara apa pun.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/	integral tak wajar
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	konvergen
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	divergen

6.14

Selecting Techniques for Antidifferentiation · ⁨Memilih Teknik untuk Antidiferensiasi⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for antidifferentiation. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to antidifferentiation.

Bahasa Indonesia

Topik ini bertujuan untuk memfokuskan pada keterampilan memilih prosedur yang tepat untuk antiturunan. Siswa harus diberikan kesempatan untuk berpraktik kapan dan bagaimana menerapkan semua tujuan pembelajaran yang berkaitan dengan antiturunan.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The BC exam expects you to recognize which method fits: basic rules, substitution (a chain-rule pattern), by parts (a product), partial fractions (a factorable rational), or long division/completing the square. Being able to look at an integral and pick the right tool quickly is itself a tested skill.

Bahasa Indonesia

Ujian BC mengharapkan Anda untuk mengenal metode mana yang sesuai: aturan dasar, substitusi (pola aturan rantai), bagian per bagian (perkalian), pecahan parsial (rasional yang dapat difaktorkan), atau pembagian panjang/melengkapi kuadrat sempurna. Kemampuan melihat sebuah integral dan memilih alat yang tepat dengan cepat itu sendiri merupakan keterampilan yang diujikan.

6.14

Exam tips · ⁨Tips ujian⁩

English

Integration is antidifferentiation; use the power rule $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ and don't forget the $+C$.
The Fundamental Theorem links the two: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, and $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Approximate a definite integral with Riemann sums or the trapezoidal rule from a table of values.
A definite integral is a signed area (below the axis counts negative); split at sign changes for total area.
Use u-substitution and remember to change the limits (or back-substitute) accordingly.

Bahasa Indonesia

Integrasi adalah antidiferensiasi; gunakan aturan pangkat $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ dan jangan lupa $+C$.
Teorema Fundamental menghubungkan keduanya: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, dan $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Perkirakan integral tertentu dengan jumlah Riemann atau aturan trapesium dari tabel nilai.
Integral tertentu adalah luas bermula (di bawah sumbu dihitung negatif); pecah pada perubahan tanda untuk luas total.
Gunakan substitusi u dan ingatlah untuk mengubah batas (atau-substitusi balik) sesuai.

Interactive lessons on this topic · ⁨Pelajaran interaktif untuk topik ini⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.⁩

Past Papers · ⁨Soal-Soil Masa Lalu⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩ · ⁨Topik lain dalam AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩⁩