Aplikasi Analitis dari Turunan

Teorema Nilai Rata-rata (MVT) menghubungkan laju perubahan rata-rata dengan laju perubahan sesaat:

Jika $f$ kontinu pada $[a,b]$ dan diferensiabel pada $(a,b)$, maka terdapat setidaknya satu titik $c$ di dalam $(a,b)$ di mana

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Secara kata-kata: di suatu tempat di dalam interval, laju sesaat sama dengan laju rata-rata. Secara geometris, beberapa garis singgung sejajar dengan garis yang menghubungkan titik-titik ujung.

Keterampilan ujian. Seperti IVT, MVT adalah teorema eksistensi, dan soal meminta Anda untuk membenarkannya. Poin penuh memerlukan: (1) nyatakan $f$ kontinu pada $[a,b]$ dan terdiferensiasi pada $(a,b)$; (2) hitung laju rata-rata $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) simpulkan "menurut MVT terdapat sebuah $c$ di $(a,b)$ dengan $f'(c)$ sama dengan nilai tersebut." Kedua hipotesis harus disebutkan.

Contoh terpecahkan. Untuk $f(x)=x^2$ pada $[1,3]$, laju rata-rata adalah $\dfrac{9-1}{2}=4$; menetapkan $f'(c)=2c=4$ memberikan $c=2$, yang terletak dalam $(1,3)$ – titik yang terjamin.

Teorem Nilai Ekstrem (EVT) menjamin keberadaan ekstrema: sebuah fungsi kontinu pada interval tertutup $[a,b]$ akan mencapai keduanya, yaitu maksimum mutlak dan minimum mutlak pada interval tersebut.

Sebuah titik kritis adalah titik interior di mana $f'(x)=0$ atau $f'(x)$ tidak ada. Semua ekstrema lokal (relatif) terjadi pada titik kritis – tetapi tidak semua titik kritis adalah ekstrema. Jadi, titik kritis adalah kandidat; Anda harus menguji setiap satuannya.

Turunan pertama memberi tahu Anda di mana $f$ naik atau turun:

• $f'(x) > 0$ pada interval $\Rightarrow$ $f$ adalah meningkat di sana;
• $f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ adalah menurun.

Dalam ujian, "temukan interval di mana $f$ naik" berarti: temukan titik kritisnya, lalu uji tanda dari $f'$ di antara mereka, dan berikan justifikasi dengan tanda dari $f'$ (alasan yang stated, bukan sekadar interval).

Untuk mengklasifikasikan titik kritis $x=c$ sebagai maksimum lokal, minimum lokal, atau keduanya, periksa bagaimana $f'$ berubah tandanya di sana:

• $f'$ berubah $+$ menjadi $-$ pada $c$ $\Rightarrow$ maksimum lokal;
• $f'$ berubah $-$ menjadi $+$ pada $c$ $\Rightarrow$ minimum lokal;
• Jika $f'$ tidak berubah tanda, maka $\Rightarrow$ tidak ada ekstrem.

Selalu nyatakan perubahan tanda sebagai justifikasi Anda.

Contoh terpecahkan. Untuk $f(x)=x^3-3x^2$, $f'(x)=3x(x-2)$ bernilai nol pada $x=0,2$. Tanda-tanda menunjukkan $+,-,+$, sehingga $x=0$ adalah maksimum lokal ($f=0$) dan $x=2$ adalah minimum lokal ($f=-4$).

Pada interval tertutup, ekstrema mutlak (global) hanya terjadi pada titik kritis atau ujung-ujung interval. Uji kandidat:

1. Daftar semua titik kritis dalam $[a,b]$ dan kedua ujung interval.
2. Evaluasi $f$ pada setiap kandidat.
3. Output terbesar adalah maksimum mutlak; yang terkecil adalah minimum mutlak.

Tampilkan tabel nilai – perbandingannya adalah argumennya.

Turunan kedua menggambarkan kelengkungan:

• $f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ cembung ke atas (melengkung seperti cangkir; $f'$ meningkat);
• $f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ cembung ke bawah ($f'$ menurun).

Titik belok adalah tempat kelengkungan berubah, yaitu di mana $f''$ berubah tanda (bukan hanya di mana $f''=0$). Laporkan koordinat-$x$-nya dan buktikan dengan perubahan tanda $f''$.

Cara alternatif untuk mengklasifikasikan titik kritis $c$ di mana $f'(c)=0$ =

• $f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ cekung ke atas $\Rightarrow$ minimum lokal;
• $f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ cekung ke bawah $\Rightarrow$ maksimum lokal;
• $f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ uji ini tidak konklusif – beralihlah ke uji turunan pertama.

Kasus khusus: jika sebuah fungsi kontinu hanya memiliki satu titik kritis pada suatu interval dan itu adalah ekstrema lokal, titik tersebut juga merupakan ekstrema mutlak di sana.

Fitur utama dari $f$, $f'$, dan $f''$ saling memantulkan. Untuk menggambar sketsa atau membaca grafik:

• $f$ naik $\Leftrightarrow$ $f'$ di atas sumbu; $f$ memiliki maksimum lokal $\Leftrightarrow$ $f'$ menyilang dari $+$ ke $-$.
• $f$ cekung ke atas $\Leftrightarrow$ $f'$ meningkat $\Leftrightarrow$ $f''$ di atas sumbu; $f$ memiliki titik belok $\Leftrightarrow$ $f'$ memiliki ekstrema lokal $\Leftrightarrow$ $f''$ menyilang nol.

Ini adalah keterampilan membaca satu grafik untuk menjelaskan yang lain. Pengaturan ujian yang sangat umum memberikan grafik $f'$ dan meminta tentang $f$: di mana $f$ naik (di mana $f'>0$), di mana ekstrema $f$ (di mana $f'$ menyilang nol, dengan perubahan tanda), di mana $f$ cekung ke atas (di mana $f'$ meningkat). Jawab pertanyaan tentang $f$ menggunakan tinggi dan kemiringan dari grafik $f'$.

Optimisasi menggunakan turunan untuk menemukan nilai terbesar atau terkecil dari suatu kuantitas pada interval. Ini adalah mesin uji kandidat/uji turunan yang diterapkan pada tujuan nyata.

Prosedur yang dapat diandalkan:

1. Tuliskan kuantitas yang dioptimalkan sebagai fungsi dari satu variabel (gunakan persamaan kendala untuk menghilangkan variabel tambahan).
2. Nyatakan interval input yang diperbolehkan.
3. Temukan titik kritis ($f'=0$ atau tidak terdefinisi) dan uji (uji turunan pertama atau kedua, atau uji kandidat jika interval tertutup).
4. Jawab pertanyaan yang diajukan, dengan satuan dan interpretasi dalam konteks – luas maksimum, biaya minimum, dll.

Contoh terpecahkan. Dengan $100\ \text{m}$ pagar untuk kandang persegi panjang di depan dinding (hanya tiga sisi berpagar), misalkan sisi samping adalah $x$ dan sisi belakang $y=100-2x$. Luas $A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$ memiliki $A'(x)=100-4x=0$ pada $x=25$; karena $A''=-4<0$ ini adalah maksimum, menghasilkan $y=50$ dan $A=1250\ \text{m}^2$.

Semua ini berlaku untuk relasi yang terdefinisi secara implisit. Titik kritis dari relasi implisit adalah tempat $\dfrac{dy}{dx}=0$ (tangen horizontal) atau tidak terdefinisi (tangen vertikal). Karena $\dfrac{dy}{dx}$ biasanya merupakan relasi dalam $x$ dan $y$, dan turunan kedua melibatkan $x$, $y$, dan $\dfrac{dy}{dx}$, substitusikan kembali ekspresi turunan pertama Anda saat mencari $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, kemudian analisis kecekungan berdasarkan tandanya.

• $f'>0$ berarti naik, $f'<0$ turun; kandidat untuk ekstremum adalah tempat $f'=0$ atau tidak terdefinisi.
• Klasifikasikan titik kritis dengan perubahan tanda turunan pertama atau uji turunan kedua ($f''>0$ minimum, $f''<0$ maksimum).
• $f''>0$ cekung ke atas, $f''<0$ cekung ke bawah; titik belok adalah tempat kecekungan berubah ($f''$ berubah tanda).
• Untuk ekstremum absolut pada interval tertutup, juga periksa titik-titik ujung.
• Justifikasi setiap kesimpulan dengan mengutip tanda $f'$ atau $f''$ – ujian menuntut penalaran, bukan hanya jawaban.