AP Kalkulus AB mencakup limit dan kontinuitas, diferensiasi dan penerapannya, integrasi dan akumulasi perubahan, persamaan diferensial, serta penerapan integrasi termasuk luas dan volume. Materi ini setara dengan sekitar satu semester kalkulus universitas.
Ujian ini menekankan pemahaman makna sama pentingnya dengan metode. Anda akan diminta menjelaskan apa yang dimaksudkan turunan dalam konteks—beserta satuan—dan memberikan justifikasi terhadap nilai maksimum atau titik belok berdasarkan tanda turunan, bukan hanya dengan melihat grafik.
Teorema Dasar Kalkulus adalah inti utama mata kuliah. Memahaminya sebagai "integral dari laju menghasilkan total perubahan" membuat pertanyaan tentang akumulasi menjadi mudah dipahami.
Catatan menguraikan setiap unit secara berurutan, dengan teorema-teorema yang dinyatakan sesuai cara ujian mengharapkan teorema tersebut dikutip. FRQ (Free-Response Questions) masa lalu beserta pedoman skor tersedia di perpustakaan—nilai AP sering kali diberikan berdasarkan justifikasi verbal, sehingga solusi contoh menuliskan alur berpikir secara lengkap alih-alih berhenti pada hasil akhir.
Introducing Calculus: Can Change Occur at an Instant? · Memperkenalkan Kalkulus: Dapatkah Perubahan Terjadi dalam Sesaat?
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-1): Calculus allows us to generalize knowledge about motion to diverse problems involving change.
Learning Objective CHA-1.A: Interpret the rate of change at an instant in terms of average rates of change over intervals containing that instant.
CHA-1.A.1 Calculus uses limits to understand and model dynamic change.
CHA-1.A.2 Because an average rate of change divides the change in one variable by the change in another, the average rate of change is undefined at a point where the change in the independent variable would be zero.
CHA-1.A.3 The limit concept allows us to define instantaneous rate of change in terms of average rates of change.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (CHA-1): Kalkulus memungkinkan kita untuk menggeneralisasikan pengetahuan tentang gerak ke berbagai masalah yang melibatkan perubahan.
Tujuan Pembelajaran CHA-1.A: Menginterpretasikan laju perubahan pada suatu instant dalam hal laju perubahan rata-rata atas interval yang memuat instant tersebut.
CHA-1.A.1 Kalkulus menggunakan limit untuk memahami dan memodelkan perubahan dinamis.
CHA-1.A.2 Karena laju perubahan rata-rata membagi perubahan satu variabel dengan perubahan variabel lainnya, laju perubahan rata-rata tidak terdefinisi pada titik di mana perubahan variabel bebas akan bernilai nol.
CHA-1.A.3 Konsep limit memungkinkan kita mendefinisikan laju perubahan instan dalam hal laju perubahan rata-rata.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Calculus is the mathematics of change 变化 and of accumulation 累积. It answers two big questions: how fast is something changing right now, and how much has piled up so far? Unit 1 builds the one tool both questions rest on – the limit 极限.
Start with a puzzle. A car's speedometer reads $60$ km/h. What does that mean at a single instant 瞬间? Speed is distance over time. But at one instant no time passes and no distance is covered, so the fraction looks like $\tfrac{0}{0}$ – undefined.
The average rate of change 平均变化率 uses a whole interval 区间: the change in one quantity divided by the change in another. It divides by zero, and so is undefined, when the change in the input would be zero.
The instantaneous rate of change 瞬时变化率 is what we want at a point. It is the value the average rate approaches 趋近 as the interval shrinks toward zero length.
The clever move is not to plug in zero (undefined), but to watch what the average rate approaches as the interval gets smaller and smaller. That approaching value is a limit. So calculus lets us describe change at an instant – as a limit of average rates over ever-shorter intervals. This one idea powers the derivative 导数 (Unit 2) and, run in reverse, the integral 积分 (Unit 6). Everything else in this unit defines limits carefully and computes them reliably.
Bahasa Indonesia
Kalkulus adalah matematika dari perubahan dan akumulasi. Ia menjawab dua pertanyaan besar: seberapa cepat sesuatu berubah saat ini, dan berapa banyak yang telah terkumpul sejauh ini? Unit 1 membangun satu alat yang menjadi dasar kedua pertanyaan tersebut – yaitu limit.
Mulailah dengan sebuah teka-teki. Speedometer mobil menunjukkan $60$ km/jam. Apa artinya itu pada satu saat tertentu? Kecepatan adalah jarak dibagi waktu. Namun pada satu saat tertentu tidak ada waktu yang berlalu dan tidak ada jarak yang ditempuh, sehingga pecahannya tampak seperti $\tfrac{0}{0}$ – tak terdefinisi.
Laju perubahan rata-rata menggunakan seluruh interval: perubahan pada satu kuantitas dibagi perubahan pada kuantitas lain. Laju ini terbagi dengan nol, sehingga tak terdefinisi, ketika perubahan input akan bernilai nol.
Laju perubahan sesaat adalah apa yang kita inginkan pada suatu titik. Ini adalah nilai yang mendekati laju rata-rata mendekati seiring interval mengecil menuju panjang nol.
Langkah cerdasnya bukan memasukkan angka nol (tak terdefinisi), melainkan mengamati apa yang didekati oleh laju rata-rata seiring interval menjadi semakin kecil. Nilai yang didekati ini adalah limit. Jadi kalkulus memungkinkan kita mendeskripsikan perubahan dalam sesaat – sebagai limit dari laju rata-rata atas interval yang semakin pendek. Satu ide ini menggerakkan turunan (Unit 2) dan, jika dijalankan ke arah sebaliknya, integral (Unit 6). Segala hal lainnya dalam unit ini mendefinisikan limit dengan cermat dan menghitungnya secara andal.
Explore · Jelajahi
Explore rate of change at an instant · Jelajahi laju perubahan pada suatu titik
y = ax³ + bx² + cx + d
Slide the point along the curve. The tangent line is the limit of ever-shorter average rates — its slope is the instantaneous rate of change$\frac{dy}{dx}$ at that point. · Geser titik sepanjang kurva. Garis tangen adalah batas dari laju rata-rata yang semakin pendek — kemiringannya adalah laju perubahan instan$\frac{dy}{dx}$ di titik tersebut.
instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/
laju perubahan seketika
approaches/əˈprəʊtʃɪz/
pendekatan
derivative/dɪˈrɪvətɪv/
turunan
integral/ˈɪntɪɡrəl/
integral
arbitrarily/ˌɑːbɪˈtrerɪli/
secara sewenang-wenang
sufficiently/səˈfɪʃəntli/
cukup
behavior/bɪˈheɪvjə/
perilaku
graphically/ˈɡræfɪkli/
secara grafis
numerically/njuːˈmerɪkli/
secara numerik
analytically/ˌænəˈlɪtɪkli/
secara analitik
left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/
limit tangan kiri
right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/
limit tangan kanan
one-sided limits/wʌn ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪts/
limit sepihak
open circle/ˈəʊpən ˈsɜːkl/
lingkaran terbuka
1.2
Defining Limits and Using Limit Notation · Mendefinisikan Limit dan Menggunakan Notasi Limit
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.
Learning Objective LIM-1.A: Represent limits analytically using correct notation.
LIM-1.A.1 Given a function $f$, the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $c$ is a real number $R$ if $f(x)$ can be made arbitrarily close to $R$ by taking $x$ sufficiently close to $c$ (but not equal to $c$). If the limit exists and is a real number, then the common notation is $\lim_{x \to c} f(x) = R$.
Exclusion statement: The epsilon-delta definition of a limit is not assessed on the AP Calculus AB or BC Exam. However, teachers may include this topic in the course if time permits.
Learning Objective LIM-1.B: Interpret limits expressed in analytic notation.
LIM-1.B.1 A limit can be expressed in multiple ways, including graphically, numerically, and analytically.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (LIM-1): Penalaran menggunakan definisi, teorema, dan sifat-sifat dapat digunakan untuk membenarkan klaim tentang limit.
Tujuan Pembelajaran LIM-1.A: Merepresentasikan limit secara analitik menggunakan notasi yang benar.
LIM-1.A.1 Diberikan sebuah fungsi $f$, limit dari $f(x)$ saat $x$ mendekati $c$ adalah bilangan real $R$ jika $f(x)$ dapat dibuat sedekat mungkin dengan $R$ dengan mengambil $x$ cukup dekat dengan $c$ (tetapi tidak sama dengan $c$). Jika limit ada dan merupakan bilangan real, maka notasi umum adalah $\lim_{x \to c} f(x) = R$.
Pernyataan pengecualian: Definisi epsilon-delta dari limit tidak dinilai dalam Ujian AP Calculus AB atau BC. Namun, guru dapat memasukkan topik ini dalam kursus jika waktu memungkinkan.
Tujuan Pembelajaran LIM-1.B: Menginterpretasikan limit yang dinyatakan dalam notasi analitik.
LIM-1.B.1 Limit dapat dinyatakan dalam beberapa cara, termasuk secara grafis, numerik, dan analitik.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Given a function $f$, the limit of $f(x)$ as $x$ approaches $c$ is a real number $R$ if $f(x)$ can be made arbitrarily 任意地 close to $R$ by taking $x$sufficiently 足够 close to $c$ – but not equal to$c$. We write
$$\lim_{x \to c} f(x) = R$$
and read it: "the limit of $f(x)$, as $x$ approaches $c$, equals $R$."
The last words are the heart of a limit: it describes the behavior 行为 of $f$near$c$, not the value at$c$. The function may be undefined at $c$, or defined but equal to something else – the limit does not care.
A limit can be shown in three ways: graphically 用图象, numerically 用数值 (a table), and analytically 用解析式 (algebra). Learning to move between these representations is a core skill.
(Note: the epsilon-delta definition of a limit is not tested on the AP Exam, so this handout does not use it.)
Bahasa Indonesia
Kurva jembatan halus: limit menggambarkan nilai yang didekati grafik saat kita memperbesar
Diberikan fungsi $f$, limit dari $f(x)$ saat $x$ mendekati $c$ adalah bilangan real $R$ jika $f(x)$ dapat dibuat sembarang dekat dengan $R$ dengan mengambil $x$cukup dekat dengan $c$ – tetapi tidak sama dengan$c$. Kita tulis
$$\lim_{x \to c} f(x) = R$$
dan membacanya: "limit dari $f(x)$, saat $x$ mendekati $c$, sama dengan $R$."
Kalimat terakhir adalah inti dari limit: ia menggambarkan perilaku dari $f$dekat$c$, bukan nilai di$c$. Fungsi mungkin tidak terdefinisi pada $c$, atau terdefinisi tetapi sama dengan sesuatu yang lain – limit tidak peduli.
Limit dapat ditunjukkan dengan tiga cara: grafis, numerik (tabel), dan analitik (aljabar). Belajar berpindah antar representasi ini adalah keterampilan inti.
(Catatan: definisi epsilon-delta untuk limit tidak diujikan dalam Ujian AP, jadi lembar kerja ini tidak menggunakannya.)
1.3
Estimating Limit Values from Graphs · Mengestimasi Nilai Limit dari Grafik
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.
Learning Objective LIM-1.C: Estimate limits of functions.
LIM-1.C.1 The concept of a limit includes one sided limits.
LIM-1.C.2 Graphical information about a function can be used to estimate limits.
LIM-1.C.3 Because of issues of scale, graphical representations of functions may miss important function behavior.
LIM-1.C.4 A limit might not exist for some functions at particular values of $x$. Some ways that the limit might not exist are if the function is unbounded, if the function is oscillating near this value, or if the limit from the left does not equal the limit from the right.
Illustrative examples for LIM-1.C.4:
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = \infty$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ does not exist.
$\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ does not exist.
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ does not exist.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (LIM-1): Penalaran menggunakan definisi, teorema, dan sifat-sifat dapat digunakan untuk membenarkan klaim tentang limit.
Tujuan Pembelajaran LIM-1.C: Mengestimasi limit dari fungsi-fungsi.
LIM-1.C.1 Konsep limit mencakup limit satu sisi.
LIM-1.C.2 Informasi grafik tentang suatu fungsi dapat digunakan untuk mengestimasi limit.
LIM-1.C.3 Karena masalah skala, representasi grafik dari fungsi mungkin melewatkan perilaku fungsi yang penting.
LIM-1.C.4 Limit mungkin tidak ada untuk beberapa fungsi pada nilai $x$ tertentu. Beberapa cara limit bisa tidak ada adalah jika fungsi tak terbatas, jika fungsi berosilasi di dekat nilai ini, atau jika limit dari kiri tidak sama dengan limit dari kanan.
Contoh ilustratif untuk LIM-1.C.4:
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = \infty$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ tidak ada.
$\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ tidak ada.
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ tidak ada.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
A graph is often the fastest way to read a limit. To find $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$, run your finger along the curve toward $x = c$ from each side and ask: what height is the curve heading for?
Trace from the left (inputs smaller than $c$): this gives the left-hand limit 左极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$.
Trace from the right (inputs larger than $c$): this gives the right-hand limit 右极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$.
These are the one-sided limits 单侧极限. If both head to the same height $R$, then the two-sided limit exists and $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$.
Crucially, ignore the point itself. Graphs mark the difference between the limit and the value:
An open circle 空心圆 marks a height the curve approaches but does not reach – a "hole" 空洞.
A closed circle 实心圆 marks the actual value $f(c)$.
So a curve may approach $R = 3$ from both sides (limit is $3$) while a filled dot sits at height $5$ (value $f(c) = 5$). The limit is $3$; the two need not match.
A limit does not exist (often written DNE) when the two sides disagree (a jump 跳跃), when the function is unbounded 无界 (grows without limit), or when it oscillates 振荡 forever near $c$. For example:
Watch the scale 比例 of a graph: a zoomed-out picture can hide important behavior near a point, so confirm with algebra when you can.
Bahasa Indonesia
Grafik sering kali merupakan cara tercepat untuk membaca limit. Untuk menemukan $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$, gerakkan jari Anda sepanjang kurva menuju $x = c$ dari setiap sisi dan tanyakan: ketinggian apa yang sedang dituju kurva?
Jejak dari kiri (input lebih kecil dari $c$): ini memberikan limit kiri, $\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$.
Jejak dari kanan (input lebih besar dari $c$): ini memberikan limit kanan, $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$.
Ini adalah limit satu sisi. Jika keduanya mengarah ke ketinggian yang sama$R$, maka limit dua sisi ada dan $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$.
Yang terpenting, abaikan titik itu sendiri. Grafik menandai perbedaan antara limit dan nilainya:
Lingkaran terbuka menandai ketinggian yang didekati kurva tetapi tidak dicapai – sebuah "lubang".
Lingkaran tertutup menandai nilai aktual $f(c)$.
Sehingga kurva mungkin mendekati $R = 3$ dari kedua sisi (limit adalah $3$) sementara titik berisi berada pada ketinggian $5$ (nilai $f(c) = 5$). Limitnya adalah $3$; keduanya tidak harus cocok.
Lingkaran terbuka adalah ketinggian yang didekati kurva (limit); titik berisi adalah nilai aktual $f(2)$ – mereka tidak harus setuju.
Limit tidak ada (sering ditulis TDA) ketika kedua sisi tidak sepakat (loncatan), ketika fungsi tak terbatas (tumbuh tanpa batas), atau ketika ia bergetar selamanya di dekat $c$. Sebagai contoh:
Perhatikan skala grafik: gambar yang diperkecil bisa menyembunyikan perilaku penting di dekat suatu titik, jadi konfirmasikan dengan aljabar jika memungkinkan.
Explore · Jelajahi
Read a limit off the graph · Baca limit dari grafik
y = ax² + bx + c
The limit as $x\to c$ is the height the curve heads toward from both sides — it is about where the function is going, not its value at $c$. Follow the curve toward an $x$ and read the $y$ it approaches. · Limit saat $x\to c$ adalah ketinggian yang dituju kurva dari kedua sisi — ini tentang ke mana fungsi itu menuju, bukan nilainya di $c$. Ikuti kurva menuju $x$ dan baca $y$ yang didekatinya.
Estimating Limit Values from Tables · Mengestimasi Nilai Limit dari Tabel
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.
Learning Objective LIM-1.C: Estimate limits of functions.
LIM-1.C.5 Numerical information can be used to estimate limits.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (LIM-1): Penalaran menggunakan definisi, teorema, dan sifat-sifat dapat digunakan untuk membenarkan klaim tentang limit.
Tujuan Pembelajaran LIM-1.C: Mengestimasi limit dari fungsi-fungsi.
LIM-1.C.5 Informasi numerik dapat digunakan untuk mengestimasi limit.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
When you have data or a formula but no picture, a table 表格 of values estimates a limit numerically. Choose inputs that creep toward $c$ from both sides and watch the outputs.
For example, to estimate $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (which is $\tfrac{0}{0}$ at $x=2$):
$x$
$1.9$
$1.99$
$1.999$
$\to 2 \leftarrow$
$2.001$
$2.01$
$2.1$
$f(x)$
$3.9$
$3.99$
$3.999$
?
$4.001$
$4.01$
$4.1$
Both sides march toward $4$, so we estimate the limit is $4$. A table only suggests a value – it is a numerical estimate, not a proof.
Bahasa Indonesia
Ketika Anda memiliki data atau rumus tetapi tidak ada gambar, tabel nilai mengestimasi limit secara numerik. Pilih input yang merayap menuju $c$ dari kedua sisi dan amati outputnya.
Sebagai contoh, untuk mengestimasi $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (yang merupakan $\tfrac{0}{0}$ pada $x=2$):
$x$
$1.9$
$1.99$
$1.999$
$\to 2 \leftarrow$
$2.001$
$2.01$
$2.1$
$f(x)$
$3.9$
$3.99$
$3.999$
?
$4.001$
$4.01$
$4.1$
Kedua sisi melangkah menuju $4$, jadi kita mengestimasi limit adalah $4$. Tabel hanya menyarankan nilai – itu adalah estimasi numerik, bukan bukti.
1.5
Determining Limits Using Algebraic Properties of Limits · Menentukan Limit Menggunakan Sifat Aljabar Limit
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.
Learning Objective LIM-1.D: Determine the limits of functions using limit theorems.
LIM-1.D.1 One-sided limits can be determined analytically or graphically.
LIM-1.D.2 Limits of sums, differences, products, quotients, and composite functions can be found using limit theorems.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (LIM-1): Penalaran menggunakan definisi, teorema, dan sifat-sifat dapat digunakan untuk membenarkan klaim tentang limit.
Tujuan Pembelajaran LIM-1.D: Menentukan limit fungsi menggunakan teorema limit.
LIM-1.D.1 Limit satu sisi dapat ditentukan secara analitik atau grafis.
LIM-1.D.2 Limit dari jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi, dan fungsi komposit dapat ditemukan menggunakan teorema limit.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Most limits are found analytically using limit theorems 极限定理. If $\lim_{x\to c} f(x)$ and $\lim_{x\to c} g(x)$ both exist, the limit of a combination is the same combination of the limits:
Quotient:$\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$, provided the bottom limit is not $0$.
Composite 复合函数: if $g$ is continuous at $\lim_{x\to c} f(x)$, then $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$.
The practical rule: for a function built from polynomials, roots, and the like, first try direct substitution 直接代入 – put $x = c$ in. If you get a real number, that is the limit. One-sided limits obey the same theorems, read from one direction only.
Bahasa Indonesia
Sebagian besar limit ditemukan secara analitik menggunakan teorema limit. Jika $\lim_{x\to c} f(x)$ dan $\lim_{x\to c} g(x)$ keduanya ada, limit dari kombinasi adalah kombinasi yang sama dari limit-limit tersebut:
Komposit: jika $g$ kontinu pada $\lim_{x\to c} f(x)$, maka $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$.
Aturan praktis: untuk fungsi yang dibangun dari polinomial, akar, dan sejenisnya, cobalah substitusi langsung terlebih dahulu – masukkan $x = c$. Jika Anda mendapatkan bilangan real, itulah limitnya. Limit satu sisi mematuhi teorema yang sama, dibaca dari satu arah saja.
1.6
Determining Limits Using Algebraic Manipulation · Menentukan Limit Menggunakan Manipulasi Aljabar
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.
Learning Objective LIM-1.E: Determine the limits of functions using equivalent expressions for the function or the squeeze theorem.
LIM-1.E.1 It may be necessary or helpful to rearrange expressions into equivalent forms before evaluating limits.
Illustrative examples for LIM-1.E.1:
Factoring and dividing common factors of rational functions
Multiplying by an expression involving the conjugate of a sum or difference in order to simplify functions involving radicals
Using alternate forms of trigonometric functions
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (LIM-1): Penalaran menggunakan definisi, teorema, dan sifat-sifat dapat digunakan untuk membenarkan klaim tentang limit.
Tujuan Pembelajaran LIM-1.E: Menentukan limit fungsi menggunakan ekspresi ekuivalen untuk fungsi atau teorema apit.
LIM-1.E.1 Mungkin perlu atau membantu untuk menyusun ulang ekspresi ke dalam bentuk ekuivalen sebelum mengevaluasi limit.
Contoh ilustratif untuk LIM-1.E.1:
Memfaktorkan dan membagi faktor persekutuan dari fungsi rasional
Mengalikan dengan ekspresi yang melibatkan konjugat dari jumlah atau selisih untuk menyederhanakan fungsi yang melibatkan radikal
Menggunakan bentuk alternatif dari fungsi trigonometri
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Direct substitution sometimes gives the indeterminate form 未定式$\tfrac{0}{0}$. This does not mean the limit fails – it means you must rewrite the function into an equivalent form 等价形式 that removes the trouble, then substitute. Three standard moves:
Factor and cancel 因式分解并约分 a rational function 有理函数. Example: $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$.
Multiply by the conjugate 共轭 to simplify a radical 根式. Example: $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$.
Use alternate forms of trigonometric functions (identities) to simplify.
The cancelled factor is why the original graph had a hole: the two functions agree everywhere except at $x=c$, so they share the same limit there.
Bahasa Indonesia
Substitusi langsung terkadang menghasilkan bentuk tak tentu$\tfrac{0}{0}$. Ini tidak berarti limit gagal – melainkan Anda harus menulis ulang fungsi ke dalam bentuk ekuivalen yang menghilangkan masalah, lalu substitusi. Tiga langkah standar:
Kalikan dengan konjugat untuk menyederhanakan radikal. Contoh: $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$.
Gunakan bentuk alternatif fungsi trigonometri (identitas) untuk menyederhanakan.
Faktor yang dicoret adalah alasan mengapa grafik asli memiliki lubang: kedua fungsi sepakat di mana saja kecuali pada $x=c$, sehingga mereka memiliki limit yang sama di sana.
1.7
Selecting Procedures for Determining Limits · Memilih Prosedur untuk Menentukan Limit
Syllabus · Silabus
English
This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for determining limits. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to determining limits.
Bahasa Indonesia
Topik ini bertujuan untuk fokus pada keterampilan memilih prosedur yang tepat untuk menentukan limit. Siswa harus diberikan kesempatan untuk berlatih kapan dan bagaimana menerapkan semua tujuan pembelajaran yang berkaitan dengan penentuan limit.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
This is a skill topic, not new content: choose the right tool for the limit in front of you.
Try direct substitution first. A real answer means you are done.
Getting $\tfrac{0}{0}$? Rewrite – factor and cancel, or use the conjugate, or a trig identity – then substitute.
A non-zero number over $0$ (like $\tfrac{5}{0}$)? The limit is infinite or DNE – check the sign from each side (see vertical asymptotes below).
As $x\to\pm\infty$? Compare the dominant 主导 terms (see limits at infinity).
Trapped between two functions? The squeeze theorem may apply.
Bahasa Indonesia
Ini adalah topik keterampilan, bukan konten baru: pilih alat yang tepat untuk limit di depan Anda.
Coba substitusi langsung terlebih dahulu. Jawaban nyata berarti Anda selesai.
Mendapatkan $\tfrac{0}{0}$? Tulis ulang – faktorkan dan coret, atau gunakan konjugat, atau identitas trigonometri – lalu substitusi.
Angka bukan nol dibagi $0$ (seperti $\tfrac{5}{0}$)? Limitnya tak hingga atau DNE – periksa tanda dari setiap sisi (lihat asimtot vertikal di bawah).
Saat $x\to\pm\infty$? Bandingkan suku-suku dominan (lihat limit pada tak hingga).
Terjebak di antara dua fungsi? Teorema apit mungkin berlaku.
1.8
Determining Limits Using the Squeeze Theorem · Menentukan Limit Menggunakan Teorema Apit
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (LIM-1): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about limits.
Learning Objective LIM-1.E: Determine the limits of functions using equivalent expressions for the function or the squeeze theorem.
LIM-1.E.2 The limit of a function may be found by using the squeeze theorem.
Illustrative examples for LIM-1.E.2: The squeeze theorem can be used to show $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ and $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0$.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (LIM-1): Penalaran menggunakan definisi, teorema, dan sifat-sifat dapat digunakan untuk membenarkan klaim tentang limit.
Tujuan Pembelajaran LIM-1.E: Menentukan limit fungsi menggunakan ekspresi ekuivalen untuk fungsi atau teorema apit.
LIM-1.E.2 Limit suatu fungsi dapat ditemukan dengan menggunakan teorema apit.
Contoh ilustratif untuk LIM-1.E.2: Teorema apit dapat digunakan untuk menunjukkan $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ dan $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The squeeze theorem 夹逼定理 (also called the sandwich theorem) finds a limit by trapping the function between two others. If $g(x) \le f(x) \le h(x)$ near $c$, and
$$\lim_{x\to c} g(x) = \lim_{x\to c} h(x) = L,$$
then $f$ is squeezed to the same place: $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$.
The two famous results proved this way, both used throughout calculus, are:
Teorema penjepit (juga disebut teorema sandwich) menemukan limit dengan menjebak fungsi di antara dua fungsi lainnya. Jika $g(x) \le f(x) \le h(x)$ mendekati $c$, dan
$$\lim_{x\to c} g(x) = \lim_{x\to c} h(x) = L,$$
maka $f$ terjepit ke tempat yang sama: $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$.
Dua hasil terkenal yang dibuktikan dengan cara ini, keduanya digunakan di seluruh kalkulus, adalah:
Connecting Multiple Representations of Limits · Menghubungkan Beberapa Representasi Limit
Syllabus · Silabus
English
This topic is intended to focus on connecting representations. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to limits and translating mathematical information from a single representation or across multiple representations.
Bahasa Indonesia
Topik ini bertujuan untuk fokus pada penghubungan representasi. Siswa harus diberikan kesempatan untuk berlatih kapan dan bagaimana menerapkan semua tujuan pembelajaran yang berkaitan dengan limit dan menerjemahkan informasi matematika dari satu representasi atau lintas beberapa representasi.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Another skill topic: the same limit lives in a graph, a table, and an algebraic form, and you should be able to translate between them. A graph shows the shape and any holes or jumps; a table gives numerical evidence; algebra gives an exact value and a reason. Strong answers use one representation to confirm another.
Bahasa Indonesia
Topik keterampilan lain: limit yang sama hidup dalam grafik, tabel, dan bentuk aljabar, dan Anda harus mampu menerjemahkan di antaranya. Grafik menunjukkan bentuk dan lubang atau lompatan apa pun; tabel memberikan bukti numerik; aljabar memberikan nilai eksak dan alasan. Jawaban kuat menggunakan satu representasi untuk mengkonfirmasi representasi lainnya.
1.10
Exploring Types of Discontinuities · Mengeksplorasi Jenis Ketidaklanjutan
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.
Learning Objective LIM-2.A: Justify conclusions about continuity at a point using the definition.
LIM-2.A.1 Types of discontinuities include removable discontinuities, jump discontinuities, and discontinuities due to vertical asymptotes.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (LIM-2): Penalaran menggunakan definisi, teorema, dan sifat-sifat dapat digunakan untuk membenarkan klaim tentang kontinuitas.
Tujuan Pembelajaran LIM-2.A: Membenarkan kesimpulan tentang kontinuitas pada suatu titik menggunakan definisi.
LIM-2.A.1 Jenis-jenis ketidaklanjutan meliputi ketidakkontinyuan yang dapat dihilangkan, ketidakkontinyuan lompatan, dan ketidakkontinyuan akibat asimtot vertikal.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
A function is discontinuous 间断 at $c$ when its graph "breaks" there. There are three types:
Removable discontinuity 可去间断 – a single hole. The two-sided limit exists, but the point is missing or misplaced.
Jump discontinuity 跳跃间断 – the two one-sided limits exist but disagree, so the curve jumps.
Infinite discontinuity 无穷间断 – the function blows up to $\pm\infty$ at a vertical asymptote 垂直渐近线.
Bahasa Indonesia
Sebuah fungsi tidak berkelanjutan (diskontinu) pada $c$ ketika grafiknya "patah" di sana. Ada tiga jenis:
Ketidaklanjutan yang dapat dihilangkan – satu lubang tunggal. Limit dua arah ada, tetapi titiknya hilang atau salah tempat.
Ketidaklanjutan loncat – kedua limit satu arah ada tetapi berbeda, sehingga kurvanya melompat.
Ketidaklanjutan tak hingga – fungsi meledak menuju $\pm\infty$ pada asimtot vertikal.
Tiga cara grafik bisa patah: lubang yang dapat dihilangkan, loncat, dan ketidaklanjutan tak hingga (asimtot).
1.11
Defining Continuity at a Point · Mendefinisikan Kelanjutan pada Sebuah Titik
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.
Learning Objective LIM-2.A: Justify conclusions about continuity at a point using the definition.
LIM-2.A.2 A function $f$ is continuous at $x = c$ provided that $f(c)$ exists, $\lim_{x \to c} f(x)$ exists, and $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (LIM-2): Penalaran menggunakan definisi, teorema, dan sifat-sifat dapat digunakan untuk membenarkan klaim tentang kontinuitas.
Tujuan Pembelajaran LIM-2.A: Membenarkan kesimpulan tentang kontinuitas pada suatu titik menggunakan definisi.
LIM-2.A.2 Sebuah fungsi $f$ adalah kontinu di $x = c$ jika $f(c)$ ada, $\lim_{x \to c} f(x)$ ada, dan $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Continuity is defined by a three-part test. A function $f$ is continuous 连续 at $x=c$ exactly when all three hold:
In words: the point is there, the limit is there, and the two agree. If any one fails, $f$ is discontinuous at $c$. This test is the backbone of nearly every continuity question, so learn it as a checklist.
Bahasa Indonesia
Kelanjutan didefinisikan melalui uji tiga bagian. Fungsi $f$berkelanjutan (kontinu) pada $x=c$ persis ketika ketiga hal berikut terpenuhi:
Dengan kata lain: titik ada, limit ada, dan keduanya sepakat. Jika salah satu gagal, $f$ tidak berkelanjutan pada $c$. Uji ini adalah tulang punggung hampir setiap soal kelanjutan, jadi pelajari sebagai daftar periksa.
1.12
Confirming Continuity over an Interval · Mengkonfirmasi Kelanjutan pada Sebuah Interval
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.
Learning Objective LIM-2.B: Determine intervals over which a function is continuous.
LIM-2.B.1 A function is continuous on an interval if the function is continuous at each point in the interval.
LIM-2.B.2 Polynomial, rational, power, exponential, logarithmic, and trigonometric functions are continuous on all points in their domains.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (LIM-2): Penalaran menggunakan definisi, teorema, dan sifat-sifat dapat digunakan untuk membenarkan klaim tentang kontinuitas.
Tujuan Pembelajaran LIM-2.B: Menentukan interval di mana sebuah fungsi bersifat kontinu.
LIM-2.B.1 Sebuah fungsi kontinu pada suatu interval jika fungsi tersebut kontinu pada setiap titik dalam interval tersebut.
LIM-2.B.2 Fungsi polinomial, rasional, pangkat, eksponensial, logaritmik, dan trigonometri kontinu pada semua titik dalam domainnya.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
A function is continuous on an interval 在区间上连续 if it is continuous at every point of that interval. You rarely check point by point, because whole families are continuous on their domains:
Polynomial, rational, power, exponential 指数, logarithmic 对数, and trigonometric 三角 functions are continuous at every point of their domains.
So a rational function is continuous everywhere except where its denominator is zero; $\ln x$ is continuous for $x>0$; and so on. Knowing this lets you declare continuity quickly and correctly.
Bahasa Indonesia
Sebuah fungsi berkelanjutan pada sebuah interval jika ia berkelanjutan pada setiap titik interval tersebut. Anda jarang memeriksa titik demi titik, karena keluarga utuh berkelanjutan pada domain mereka:
Fungsi polinomial, rasional, pangkat, eksponensial, logaritmik, dan trigonometri berkelanjutan pada setiap titik domain mereka.
Jadi fungsi rasional berkelanjutan di mana-mana kecuali di mana penyebutnya nol; $\ln x$ berkelanjutan untuk $x>0$; dan seterusnya. Mengetahui ini memungkinkan Anda menyatakan kelanjutan dengan cepat dan benar.
Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.
Learning Objective LIM-2.C: Determine values of $x$ or solve for parameters that make discontinuous functions continuous, if possible.
LIM-2.C.1 If the limit of a function exists at a discontinuity in its graph, then it is possible to remove the discontinuity by defining or redefining the value of the function at that point, so it equals the value of the limit of the function as $x$ approaches that point.
LIM-2.C.2 In order for a piecewise-defined function to be continuous at a boundary to the partition of its domain, the value of the expression defining the function on one side of the boundary must equal the value of the expression defining the other side of the boundary, as well as the value of the function at the boundary.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (LIM-2): Penalaran menggunakan definisi, teorema, dan sifat-sifat dapat digunakan untuk membenarkan klaim tentang kontinuitas.
Tujuan Pembelajaran LIM-2.C: Menentukan nilai $x$ atau menyelesaikan parameter agar fungsi yang tidak kontinu menjadi kontinu, jika memungkinkan.
LIM-2.C.1 Jika limit dari suatu fungsi ada pada titik ketidakkontinyuan grafiknya, maka dimungkinkan untuk menghilangkan ketidakkontinyuan tersebut dengan mendefinisikan atau mendefinisikan ulang nilai fungsi pada titik tersebut, sehingga sama dengan nilai limit fungsi saat $x$ mendekati titik tersebut.
LIM-2.C.2 Agar fungsi yang didefinisikan secara sepotong-sepotong (piecewise) kontinu pada batas partisi domainnya, nilai ekspresi yang mendefinisikan fungsi di satu sisi batas harus sama dengan nilai ekspresi yang mendefinisikan sisi lain dari batas, serta sama dengan nilai fungsi pada batas tersebut.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
If the limit exists at a hole, the discontinuity is removable: redefine the function at that one point to equal the limit, and the graph is repaired. Formally, set the missing value to $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$.
For a piecewise-defined function 分段函数, continuity at a boundary $x=c$ needs the two pieces to meet: the left piece's value, the right piece's value, and $f(c)$ must all be equal. This is a common exam setup – you solve for a parameter 参数 (an unknown constant) that makes the pieces match:
Jika limit ada pada sebuah lubang, ketidaklanjutan itu dapat dihilangkan: definisikan ulang fungsi pada titik tersebut agar sama dengan limit, dan grafiknya diperbaiki. Secara formal, tetapkan nilai yang hilang ke $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$.
Untuk fungsi yang didefinisikan secara parsial, kelanjutan pada batas $x=c$ memerlukan kedua bagian tersebut bertemu: nilai bagian kiri, nilai bagian kanan, dan $f(c)$ harus semuanya sama. Ini adalah pengaturan ujian umum – Anda menyelesaikan untuk parameter (konstan tak diketahui) yang membuat bagian-bagian tersebut cocok:
Connecting Infinite Limits and Vertical Asymptotes · Menghubungkan Limit Tak Hingga dan Asimtot Vertikal
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.
Learning Objective LIM-2.D: Interpret the behavior of functions using limits involving infinity.
LIM-2.D.1 The concept of a limit can be extended to include infinite limits.
LIM-2.D.2 Asymptotic and unbounded behavior of functions can be described and explained using limits.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (LIM-2): Penalaran menggunakan definisi, teorema, dan sifat-sifat dapat digunakan untuk membenarkan klaim tentang kontinuitas.
Tujuan Pembelajaran LIM-2.D: Menginterpretasikan perilaku fungsi menggunakan limit yang melibatkan tak hingga.
LIM-2.D.1 Konsep limit dapat diperluas untuk mencakup limit tak hingga.
LIM-2.D.2 Perilaku asimtotik dan tak terbatas dari fungsi dapat dijelaskan dan dijelaskan menggunakan limit.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The idea of a limit extends to infinite limits 无穷极限. When a function grows without bound near $x=c$, we write $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$. This describes a vertical asymptote at $x=c$: the graph hugs the vertical line $x=c$ and shoots off toward $\pm\infty$.
This happens where a non-zero number is divided by something approaching $0$, such as at a zero of a denominator that does not cancel. Always check each side separately – the two sides can shoot opposite ways (one to $+\infty$, one to $-\infty$).
Bahasa Indonesia
Ide limit diperluas menjadi limit tak hingga. Ketika fungsi tumbuh tanpa batas di sekitar $x=c$, kita menuliskan $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$. Ini menggambarkan asimtot vertikal pada $x=c$: grafik memeluk garis vertikal $x=c$ dan melesat menuju $\pm\infty$.
Hal ini terjadi di mana angka bukan nol dibagi sesuatu yang mendekati $0$, seperti pada nol penyebut yang tidak dicoret. Selalu periksa setiap sisi secara terpisah – kedua sisi dapat melesat ke arah berlawanan (satu ke $+\infty$, satu ke $-\infty$).
Di dekat asimtot vertikal grafik memeluk garis $x=c$. Di sini sisi kiri jatuh ke $-\infty$ dan sisi kanan naik ke $+\infty$, sehingga limit dua arah tidak ada.
Explore · Jelajahi
Explore infinite limits and vertical asymptotes · Jelajahi limit tak hingga dan asimtot vertikal
y = a/(x − b) + c
With $y=\dfrac{a}{x-b}+c$, watch the curve blow up to $\pm\infty$ near $x=b$. The vertical asymptote is the line $x=b$ where the infinite limit lives — the two sides can shoot opposite ways. · Dengan $y=\dfrac{a}{x-b}+c$, saksikan kurva meledak menuju $\pm\infty$ di dekat $x=b$. Asimtot vertikal adalah garis $x=b$ tempat limit tak hingga berada — kedua sisi bisa melesat ke arah berlawanan.
Connecting Limits at Infinity and Horizontal Asymptotes · Menghubungkan Limit pada Tak Hingga dan Asimtot Horizontal
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (LIM-2): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to justify claims about continuity.
Learning Objective LIM-2.D: Interpret the behavior of functions using limits involving infinity.
LIM-2.D.3 The concept of a limit can be extended to include limits at infinity.
LIM-2.D.4 Limits at infinity describe end behavior.
LIM-2.D.5 Relative magnitudes of functions and their rates of change can be compared using limits.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (LIM-2): Penalaran menggunakan definisi, teorema, dan sifat-sifat dapat digunakan untuk membenarkan klaim tentang kontinuitas.
Tujuan Pembelajaran LIM-2.D: Menginterpretasikan perilaku fungsi menggunakan limit yang melibatkan tak hingga.
LIM-2.D.3 Konsep limit dapat diperluas untuk mencakup limit pada tak hingga.
LIM-2.D.4 Limit pada tak hingga menggambarkan perilaku ujung (end behavior).
LIM-2.D.5 Magnitudo relatif dari fungsi dan laju perubahannya dapat dibandingkan menggunakan limit.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
We can also let the input grow: limits at infinity 无穷远处的极限 describe the end behavior 末端行为 of a function as $x\to\pm\infty$. If the outputs settle toward a finite value $L$, then $y=L$ is a horizontal asymptote 水平渐近线.
For a rational function, compare the degrees 次数 of the top and bottom:
top degree < bottom degree $\Rightarrow$ limit is $0$ (asymptote $y=0$);
top degree = bottom degree $\Rightarrow$ limit is the ratio of the leading coefficients 首项系数之比;
top degree > bottom degree $\Rightarrow$ the function is unbounded (no horizontal asymptote).
More generally, we compare the relative magnitudes 相对大小 (relative growth rates) of functions: far out, an exponential beats any polynomial, and a polynomial beats any logarithm. On the exam, "as $t\to\infty$, which quantity is larger/where does the rate settle?" is answered with a limit at infinity.
Bahasa Indonesia
Kita juga dapat membiarkan input bertambah: limit di tak hingga menggambarkan perilaku akhir fungsi saat $x\to\pm\infty$. Jika output terkonsentrasi menuju nilai finite $L$, maka $y=L$ adalah asimtot horizontal.
Saat $x\to+\infty$ kurva meratakan menuju garis $y=L$. Asimtot horizontal mencatat perilaku akhir ini.
Untuk fungsi rasional, bandingkan derajat pembilang dan penyebut:
derajat pembilang > derajat penyebut $\Rightarrow$ fungsi tidak terbatas (tidak ada asimtot horizontal).
Secara lebih umum, kita membandingkan besar relatif (laju pertumbuhan relatif) dari fungsi-fungsi: semakin jauh ke kanan, eksponensial mengalahkan polinomial mana pun, dan polinomial mengalahkan logaritma mana pun. Di ujian, "saat $t\to\infty$, besaran mana yang lebih besar/ke mana laju cenderung?" dijawab dengan limit tak hingga.
Explore · Jelajahi
Explore limits at infinity and horizontal asymptotes · Jelajahi limit di tak hingga dan asimtot horizontal
y = a/(x − b) + c
Follow the curve far out to the right and left. As $x\to\pm\infty$ the outputs settle toward $c$, so $y=c$ is a horizontal asymptote — the finite value of the limit at infinity. · Ikuti kurva jauh ke kanan dan kiri. Saat $x\to\pm\infty$ outputnya menetap menuju $c$, sehingga $y=c$ adalah asimtot horizontal — nilai finite dari limit di tak hingga.
ratio of the leading coefficients/ˈreɪʃɪəʊ ɒvðə ˈliːdɪŋ ˌkəʊɪˈfɪʃənts/
rasio koefisien utama
relative magnitudes/ˈrelətɪv ˈmæɡnɪtjuːdz/
besar relatif
Intermediate Value Theorem/ˌɪntəˈmiːdɪət ˈvæljuː ˈθɪərəm/
Teorema Nilai Antara
existence theorem/eɡˈzɪstəns ˈθɪərəm/
teorema keberadaan
1.16
Working with the Intermediate Value Theorem (IVT) · Bekerja dengan Teorema Nilai Antara (IVT)
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-1): Existence theorems allow us to draw conclusions about a function's behavior on an interval without precisely locating that behavior.
Learning Objective FUN-1.A: Explain the behavior of a function on an interval using the Intermediate Value Theorem.
FUN-1.A.1 If $f$ is a continuous function on the closed interval $[a, b]$ and $d$ is a number between $f(a)$ and $f(b)$, then the Intermediate Value Theorem guarantees that there is at least one number $c$ between $a$ and $b$, such that $f(c) = d$.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-1): Teorema eksistensi memungkinkan kita menarik kesimpulan tentang perilaku fungsi pada suatu interval tanpa harus menlokalisasi perilaku tersebut secara tepat.
Tujuan Pembelajaran FUN-1.A: Menjelaskan perilaku fungsi pada suatu interval menggunakan Teorema Nilai Antara.
FUN-1.A.1 Jika $f$ adalah fungsi kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ dan $d$ adalah bilangan antara $f(a)$ dan $f(b)$, maka Teorema Nilai Antara menjamin bahwa terdapat setidaknya satu bilangan $c$ antara $a$ dan $b$, sedemikian rupa sehingga $f(c) = d$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The Intermediate Value Theorem 介值定理 is an existence theorem 存在性定理 – it guarantees a value exists without telling you where:
If $f$ is continuous on the closed interval $[a,b]$, and $d$ is any number between$f(a)$ and $f(b)$, then there is at least one number $c$ in $(a,b)$ with $f(c)=d$.
An unbroken curve cannot skip a height between its endpoints – it must pass through every one.
Exam skill – how to justify with the IVT. These questions appear almost every year (for example, "Must there be a value $c$ with $R(c)=155$?" or "Is there a time when $r'(t)=-6$?"). A full-credit justification has three moves:
State continuity. Say the function is continuous on $[a,b]$ (often because it is differentiable, or given continuous).
Show $d$ is trapped. Compute the two endpoint values and show the target $d$ lies between them, e.g. $f(a) < d < f(b)$.
Conclude by name. "By the Intermediate Value Theorem, there is a $c$ in $(a,b)$ with $f(c)=d$."
Skipping the continuity statement, or not showing $d$ is between the endpoints, loses the point – the theorem requires both conditions.
Worked example. Evaluate $\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$. Direct substitution gives $\tfrac{0}{0}$ (indeterminate), so factor: $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ for $x\ne 3$. Then $\lim_{x\to 3}(x+3)=6$. The graph has a removable discontinuity (a hole) at $x=3$ — the limit exists even though the function is undefined there.
Bahasa Indonesia
Teorema Nilai Antara adalah teorema eksistensi – ia menjamin suatu nilai ada tanpa memberi tahu di mana posisinya:
Tanda berlawanan f(a) dan f(b) menjebak akar di antara a dan b
Jika $f$kontinu pada interval tertutup $[a,b]$, dan $d$ adalah bilangan apa pun antara$f(a)$ dan $f(b)$, maka terdapat setidaknya satu bilangan $c$ dalam $(a,b)$ dengan $f(c)=d$.
Kurva yang tidak terputus tidak dapat melewatkan ketinggian di antara titik ujungnya – kurva tersebut harus melewati setiap ketinggiannya.
Kurva kontinu dari $(a,f(a))$ ke $(b,f(b))$ harus memotong setiap ketinggian $d$ di antaranya setidaknya sekali.
Keterampilan ujian – bagaimana memberikan justifikasi dengan IVT. Pertanyaan ini muncul hampir setiap tahun (misalnya, "Haruskah ada nilai $c$ dengan $R(c)=155$?" atau "Apakah ada waktu ketika $r'(t)=-6$?"). Justifikasi bernilai penuh memiliki tiga langkah:
Nyatakan kontinuitas. Katakan bahwa fungsi itu kontinu pada $[a,b]$ (sering karena fungsi itu terdiferensiasi, atau diberikan sebagai kontinu).
Tunjukkan $d$ terjebak. Hitung dua nilai titik ujung dan tunjukkan bahwa target $d$ terletak di antara keduanya, mis. $f(a) < d < f(b)$.
Simpulkan dengan nama. "Menurut Teorema Nilai Antara, terdapat sebuah $c$ dalam $(a,b)$ dengan $f(c)=d$."
Melewati pernyataan kontinuitas, atau tidak menunjukkan bahwa $d$ berada di antara titik ujung, akan menghilangkan poin – teorema membutuhkan kedua kondisi tersebut.
Contoh dikerjakan. Evaluasi $\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$. Substitusi langsung menghasilkan $\tfrac{0}{0}$ (tak tentu), jadi faktorkan: $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ untuk $x\ne 3$. Kemudian $\lim_{x\to 3}(x+3)=6$. Grafik memiliki ketidaklanjutan yang dapat dihilangkan (lubang) di $x=3$ — limit ada meskipun fungsi tidak terdefinisi di sana.
Explore · Jelajahi
Why a continuous curve can't skip a value · Mengapa kurva kontinu tidak bisa melewatkan nilai
y = ax³ + bx² + cx + d
The Intermediate Value Theorem: a function continuous on $[a,b]$ takes every $y$ between $f(a)$ and $f(b)$ at some point inside. An unbroken curve cannot leap over a height — it must pass through it. · Teorema Nilai Antara: fungsi kontinu pada $[a,b]$ mengambil setiap $y$ antara $f(a)$ dan $f(b)$ pada suatu titik di dalamnya. Kurva tanpa putus tidak bisa melompat melewati ketinggian — harus menembusnya.
Average and Instantaneous Rates of Change · Laju Perubahan Rata-rata dan Sesaat
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.
Learning Objective CHA-2.A: Determine average rates of change using difference quotients.
CHA-2.A.1 The difference quotients $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ and $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ express the average rate of change of a function over an interval.
Learning Objective CHA-2.B: Represent the derivative of a function as the limit of a difference quotient.
CHA-2.B.1 The instantaneous rate of change of a function at $x=a$ can be expressed by $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ or $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, provided the limit exists. These are equivalent forms of the definition of the derivative and are denoted $f'(a)$.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (CHA-2): Turunan memungkinkan kita untuk menentukan laju perubahan pada suatu momen dengan menerapkan limit pada pengetahuan tentang laju perubahan sepanjang interval.
Tujuan Pembelajaran CHA-2.A: Menentukan laju perubahan rata-rata menggunakan kuisien beda.
CHA-2.A.1 Kuisien beda $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ dan $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ menyatakan laju perubahan rata-rata dari suatu fungsi sepanjang sebuah interval.
Tujuan Pembelajaran CHA-2.B: Merepresentasikan turunan dari suatu fungsi sebagai limit dari kuisien beda.
CHA-2.B.1 Laju perubahan instan dari suatu fungsi pada $x=a$ dapat dinyatakan oleh $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ atau $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, asalkan limitnya ada. Ini adalah bentuk-bentuk ekuivalen dari definisi turunan dan dinotasikan $f'(a)$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The derivative from first principles
Unit 1 built the limit. Unit 2 uses it to define the derivative 导数 – the exact rate of change at a point.
Over an interval, the average rate of change is a difference quotient 差商. Two equivalent forms appear:
The first uses a step of size $h$ from $a$; the second uses two points $x$ and $a$. Both compute $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ over the interval.
The instantaneous 瞬时 rate of change at $x=a$ is what the difference quotient approaches as the interval shrinks to zero. This limit is the derivative at $a$, written $f'(a)$:
Yang pertama menggunakan langkah ukuran $h$ dari $a$; yang kedua menggunakan dua titik $x$ dan $a$. Keduanya menghitung $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ dalam interval tersebut.
Laju perubahan sesaat di $x=a$ adalah apa yang didekati oleh kuosien selisih saat interval menyusut menjadi nol. Limit ini adalah turunan di $a$, ditulis $f'(a)$:
From average rate to instantaneous rate · Dari laju rata-rata ke laju instan
y = ax³ + bx² + cx + d
Slide the point: the secant through two nearby points tips toward the tangent as they merge. The tangent's slope is the derivative — the instantaneous rate of change. · Geser titik: sekan melalui dua titik berdekatan condong menuju tangen saat mereka menyatu. Kemiringan tangen adalah turunan — laju perubahan instan.
Defining the Derivative and Its Notation · Mendefinisikan Turunan dan Notasinya
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.
Learning Objective CHA-2.B: Represent the derivative of a function as the limit of a difference quotient.
CHA-2.B.2 The derivative of $f$ is the function whose value at $x$ is $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, provided this limit exists.
CHA-2.B.3 For $y=f(x)$, notations for the derivative include $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$, and $y'$.
CHA-2.B.4 The derivative can be represented graphically, numerically, analytically, and verbally.
Learning Objective CHA-2.C: Determine the equation of a line tangent to a curve at a given point.
CHA-2.C.1 The derivative of a function at a point is the slope of the line tangent to a graph of the function at that point.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (CHA-2): Turunan memungkinkan kita untuk menentukan laju perubahan pada suatu momen dengan menerapkan limit pada pengetahuan tentang laju perubahan sepanjang interval.
Tujuan Pembelajaran CHA-2.B: Merepresentasikan turunan dari suatu fungsi sebagai limit dari kuisien beda.
CHA-2.B.2 Turunan dari $f$ adalah fungsi yang nilainya pada $x$ adalah $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, asalkan limit tersebut ada.
CHA-2.B.3 Untuk $y=f(x)$, notasi untuk turunan meliputi $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$, dan $y'$.
CHA-2.B.4 Turunan dapat direpresentasikan secara grafis, numerik, analitik, dan verbal.
Tujuan Pembelajaran CHA-2.C: Menentukan persamaan garis singgung kurva pada titik yang diberikan.
CHA-2.C.1 Turunan dari suatu fungsi pada suatu titik adalah kemiringan garis singgung terhadap grafik fungsi pada titik tersebut.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Let the point $a$ vary and the derivative becomes a new function:
$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$
This is the definition of the derivative (sometimes called differentiating "by first principles" 用定义求导). Its value at each $x$ is the instantaneous rate of change there.
Common notations 记号 for the derivative of $y=f(x)$ are:
$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$
The derivative can be represented graphically, numerically, analytically, and verbally – be ready to move between them.
Geometric meaning. The derivative at a point is the slope 斜率 of the tangent line 切线 to the graph there. So the tangent line at $x=a$ passes through $\big(a, f(a)\big)$ with slope $f'(a)$:
$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$
Writing this line is a routine exam task, so keep the point-slope form ready.
Bahasa Indonesia
Biarkan titik $a$ bervariasi dan turunannya menjadi fungsi baru:
$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$
Ini adalah definisi turunan (kadang disebut mendifferensiasikan "dari prinsip pertama"). Nilainya pada setiap $x$ adalah laju perubahan sesaat di sana.
Notasi umum untuk turunan $y=f(x)$ adalah:
$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$
Turunan dapat direpresentasikan secara geometris, numerik, analitik, dan verbal – bersiaplah untuk berpindah di antaranya.
Makna geometris. Turunan di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung terhadap grafik di sana. Jadi garis singgung di $x=a$ melalui $\big(a, f(a)\big)$ dengan kemiringan $f'(a)$:
$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$
Menuliskan garis ini adalah tugas rutin ujian, jadi siapkan bentuk titik-kemiringan.
Saat $Q$ meluncur menuju $P$, keceruan setiap sekant (laju rata-rata) mendekati keceruan singgung – turunan $f'(a)$.
2.3
Estimating a Derivative at a Point · Mengestimasi Turunan di Suatu Titik
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.
Learning Objective CHA-2.D: Estimate derivatives.
CHA-2.D.1 The derivative at a point can be estimated from information given in tables or graphs.
CHA-2.D.2 Technology can be used to calculate or estimate the value of a derivative of a function at a point.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (CHA-2): Turunan memungkinkan kita untuk menentukan laju perubahan pada suatu momen dengan menerapkan limit pada pengetahuan tentang laju perubahan sepanjang interval.
Tujuan Pembelajaran CHA-2.D: Mengestimasi turunan.
CHA-2.D.1 Turunan pada suatu titik dapat diestimasi dari informasi yang diberikan dalam tabel atau grafik.
CHA-2.D.2 Teknologi dapat digunakan untuk menghitung atau mengestimasi nilai turunan dari suatu fungsi pada suatu titik.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
You do not always have a formula. When a function is given by a table 表格 or a graph, estimate the derivative $f'(a)$ with a difference quotient over a small interval around $a$. A table with values on both sides of $a$ gives the best estimate:
$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$
Technology (a calculator) can also estimate a derivative at a point.
Exam skill (appears almost every year). Questions such as "Approximate $M'(7.5)$ using the average rate of change of $M$ over the interval $5 \le t \le 10$" ask for exactly this difference quotient. Show the setup:
$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$
Full credit needs the numbers plugged in and the correct units 单位 (output units per input unit), since these come from real-world models.
Bahasa Indonesia
Anda tidak selalu memiliki rumus. Ketika fungsi diberikan melalui tabel atau grafik, estimasi turunan $f'(a)$ dengan kuosien selisih pada interval kecil di sekitar $a$. Tabel dengan nilai di kedua sisi $a$ memberikan estimasi terbaik:
$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$
Teknologi (kalkulator) juga dapat mengestimasi turunan di suatu titik.
Keterampilan ujian (muncul hampir setiap tahun). Pertanyaan seperti "Hampirkan $M'(7.5)$ menggunakan laju perubahan rata-rata $M$ selama interval $5 \le t \le 10$" meminta tepat kuosien selisih ini. Tunjukkan pengaturannya:
$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$
Kredit penuh memerlukan angka yang dimasukkan dan satuan yang benar (satuan output per satuan input), karena ini berasal dari model dunia nyata.
When Does a Derivative Exist? · Kapan Turunan Ada?
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-2): Recognizing that a function's derivative may also be a function allows us to develop knowledge about the related behaviors of both.
Learning Objective FUN-2.A: Explain the relationship between differentiability and continuity.
FUN-2.A.1 If a function is differentiable at a point, then it is continuous at that point. In particular, if a point is not in the domain of $f$, then it is not in the domain of $f'$.
FUN-2.A.2 A continuous function may fail to be differentiable at a point in its domain.
Illustrative examples for FUN-2.A.2:
The left hand and right hand limits of the difference quotient are not equal, as in $f(x)=|x|$ at $x=0$.
The tangent line is vertical and has no slope, as in $f(x)=\sqrt[3]{x}$ at $x=0$.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-2): Mengenali bahwa turunan dari suatu fungsi juga merupakan fungsi memungkinkan kita mengembangkan pengetahuan tentang perilaku terkait dari keduanya.
Tujuan Pembelajaran FUN-2.A: Menjelaskan hubungan antara diferencialitas dan kontinuitas.
FUN-2.A.1 Jika suatu fungsi terdiferensialkan pada suatu titik, maka fungsi tersebut kontinu pada titik itu. Secara khusus, jika suatu titik tidak berada dalam domain $f$, maka titik tersebut juga tidak berada dalam domain $f'$.
FUN-2.A.2 Fungsi yang kontinu dapat gagal menjadi terdiferensialkan pada suatu titik dalam domainnya.
Contoh ilustratif untuk FUN-2.A.2:
Limit tangan kiri dan kanan dari kuisien beda tidak sama, seperti pada $f(x)=|x|$ di $x=0$.
Garis singgungnya vertikal dan tidak memiliki kemiringan, seperti pada $f(x)=\sqrt[3]{x}$ di $x=0$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Differentiability is stronger than continuity. The key relationship:
If $f$ is differentiable 可导 at a point, then $f$ is continuous 连续 there.
So differentiability implies continuity. The reverse is false: a continuous function can fail to be differentiable. Two ways this happens:
A corner 尖点: the left and right difference-quotient limits disagree, as with $f(x)=|x|$ at $x=0$.
A vertical tangent 垂直切线: the slope is infinite (no real number), as with $f(x)=\sqrt[3]{x}$ at $x=0$.
Also, a point outside the domain of $f$ cannot be in the domain of $f'$. Use the contrapositive on the exam: if $f$ is not continuous at $a$, then $f$ is not differentiable at $a$.
Bahasa Indonesia
Diferensiasi lebih kuat daripada kontinuitas. Hubungan utamanya:
Jika $f$ dapat diturunkan pada suatu titik, maka $f$ kontinu di sana.
Jadi diferensiasi menyiratkan kontinuitas. Kebalikannya salah: fungsi yang kontinu bisa gagal diturunkan. Dua cara hal ini terjadi:
Sudut tajam: limit rasio selisih kiri dan kanan berbeda, seperti $f(x)=|x|$ pada $x=0$.
Garis singgung vertikal: kemiringannya tak hingga (tidak ada bilangan real), seperti pada $f(x)=\sqrt[3]{x}$ di $x=0$.
Dua cara fungsi kontinu tidak dapat diturunkan: sudut tajam dan garis singgung vertikal
Juga, titik di luar domain $f$ tidak dapat berada di dalam domain $f'$. Gunakan kontraposisi dalam ujian: jika $f$ tidak kontinu di $a$, maka $f$ tidak dapat diturunkan di $a$.
2.5
The Power Rule · Aturan Pangkat
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.
FUN-3.A.1 Direct application of the definition of the derivative and specific rules can be used to calculate the derivative for functions of the form $f(x)=x^{r}$.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-3.A: Menghitung turunan dari fungsi-fungsi yang dikenal.
FUN-3.A.1 Penerapan langsung definisi turunan dan aturan tertentu dapat digunakan untuk menghitung turunan fungsi dengan bentuk $f(x)=x^{r}$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
From here we use rules instead of the limit definition each time. The power rule 幂法则 handles any power of $x$:
$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$
It works for whole-number powers, negative powers ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$), and roots ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – rewrite as a power first, then apply the rule.
Bahasa Indonesia
Dari sini kita menggunakan aturan alih-alih definisi limit setiap kali. Aturan pangkat menangani pangkat apa pun dari $x$:
$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$
Ini berlaku untuk pangkat bilangan bulat, pangkat negatif ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$), dan akar ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – tulis ulang sebagai pangkat terlebih dahulu, lalu terapkan aturan tersebut.
Explore · Jelajahi
A power function and its steepening slope · Fungsi pangkat dan kemiringannya yang semakin curam
y = ax³ + bx² + cx + d
The power rule$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ drops the exponent as a factor. For $x^3$ the slope grows quickly as $x$ moves from 0 — the curve steepens. · Aturan pangkat$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ menurunkan eksponen sebagai faktor. Untuk $x^3$, kemiringan tumbuh cepat saat $x$ bergerak dari 0 — kurva menjadi lebih curam.
2.6
Constant, Sum, Difference, and Constant Multiple Rules · Aturan Konstanta, Jumlah, Selisih, dan Kelipatan Konstanta
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.
FUN-3.A.2 Sums, differences, and constant multiples of functions can be differentiated using derivative rules.
FUN-3.A.3 The power rule combined with sum, difference, and constant multiple properties can be used to find the derivatives for polynomial functions.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-3.A: Menghitung turunan dari fungsi-fungsi yang dikenal.
FUN-3.A.2 Jumlah, selisih, dan kelipatan konstan dari suatu fungsi dapat diturunkan menggunakan aturan turunan.
FUN-3.A.3 Aturan pangkat yang dikombinasikan dengan sifat jumlah, selisih, dan kelipatan konstan dapat digunakan untuk menemukan turunan fungsi polinomial.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
These rules let you differentiate term by term:
Constant:$\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (a constant does not change).
Derivatives of sin x, cos x, e^x, and ln x · Turunan sin x, cos x, e^x, dan ln x
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.
FUN-3.A.4 Specific rules can be used to find the derivatives for sine, cosine, exponential, and logarithmic functions.
Enduring Understanding (LIM-3): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to determine a limit.
Learning Objective LIM-3.A: Interpret a limit as a definition of a derivative.
LIM-3.A.1 In some cases, recognizing an expression for the definition of the derivative of a function whose derivative is known offers a strategy for determining a limit.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-3.A: Menghitung turunan dari fungsi-fungsi yang dikenal.
FUN-3.A.4 Aturan tertentu dapat digunakan untuk menemukan turunan fungsi sinus, kosinus, eksponensial, dan logaritmik.
Pemahaman Berkelanjutan (LIM-3): Penalaran menggunakan definisi, teorema, dan sifat dapat digunakan untuk menentukan suatu limit.
Tujuan Pembelajaran LIM-3.A: Menafsirkan limit sebagai definisi turunan.
LIM-3.A.1 Dalam beberapa kasus, mengenali ekspresi untuk definisi turunan dari suatu fungsi yang turunannya sudah diketahui menawarkan strategi untuk menentukan sebuah limit.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Learn these four building-block derivatives by heart:
$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$
$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$
Note the minus sign on the derivative of cosine, and that $e^{x}$ is its own derivative.
A limit that is really a derivative (LIM-3.A.1). Sometimes a limit is secretly the definition of a known derivative. If you recognize
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
for a function $f$ whose derivative you know, just evaluate $f'(a)$. For example, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.
Bahasa Indonesia
Hafalkan empat turunan blok pembangun ini:
$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$
$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$
Perhatikan tanda minus pada turunan kosinus, dan bahwa $e^{x}$ adalah turunannya sendiri.
Limit yang sebenarnya adalah turunan (LIM-3.A.1). Terkadang limit secara diam-diam merupakan definisi dari turunan yang diketahui. Jika Anda mengenali
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
untuk fungsi $f$ yang turunannya Anda ketahui, cukup evaluasi $f'(a)$. Misalnya, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.
Explore · Jelajahi
The shape of sin x (whose slope is cos x) · Bentuk sin x (yang kemiringannya adalah cos x)
y = asin(bx + c) + d
The derivative of $\sin x$ is $\cos x$: the slope of the sine curve is largest where sine crosses zero and zero at its peaks. Watch the curve to feel where its slope is steep or flat. · Turunan dari $\sin x$ adalah $\cos x$: kemiringan kurva sinus terbesar di mana sinus memotong nol dan nol pada puncaknya. Perhatikan kurva untuk merasakan di mana kemiringannya curam atau datar.
2.8
The Product Rule · Aturan Perkalian
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.
FUN-3.B.1 Derivatives of products of differentiable functions can be found using the product rule.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-3.B: Menghitung turunan dari perkalian dan pembagian fungsi yang terdiferensialkan.
FUN-3.B.1 Turunan hasil kali fungsi-fungsi yang terdiferensiasi dapat ditemukan menggunakan aturan perkalian.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The product rule as a growing rectangle
A product of two functions is not differentiated by multiplying the derivatives. Use the product rule 乘积法则:
$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$
"Derivative of the first times the second, plus the first times the derivative of the second." Example:
Exam questions often build a new function from given pieces, e.g. $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, and ask you to combine rules while reading values from a table.
Bahasa Indonesia
Aturan perkalian sebagai persegi panjang yang membesar
Perkalian dua fungsi bukan diturunkan dengan mengalikan turunannya. Gunakan aturan perkalian:
$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$
"Turunan pertama dikali kedua, ditambah pertama dikali turunan kedua." Contoh:
Soal ujian sering membangun fungsi baru dari potongan yang diberikan, mis. $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, dan meminta Anda menggabungkan aturan sambil membaca nilai dari tabel.
"Bottom times derivative of top, minus top times derivative of bottom, all over bottom squared." The order matters because of the minus sign, so write the numerator carefully. Example:
$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$
"Bawah dikali turunan atas, dikurangi atas dikali turunan bawah, semua dibagi dengan bawah kuadrat." Urutan penting karena tanda minus, jadi tulis pembilang dengan hati-hati. Contoh:
$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$
2.10
Derivatives of tan x, cot x, sec x, and csc x · Turunan tan x, cot x, sec x, dan csc x
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.
FUN-3.B.3 Rearranging tangent, cotangent, secant, and cosecant functions using identities allows differentiation using derivative rules.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-3.B: Menghitung turunan dari perkalian dan pembagian fungsi yang terdiferensialkan.
FUN-3.B.3 Menyusun ulang fungsi tangen, kotangen, sekan, dan kosegan menggunakan identitas memungkinkan diferensiasi menggunakan aturan turunan.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The quotient rule: differentiating a fraction
The remaining trigonometric derivatives are not memorized separately – you rewrite them with identities 恒等式 and apply the quotient (or product) rule. For instance, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, so the quotient rule gives
$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$
The same method (writing $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) gives $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$, and $-\csc x\cot x$.
Higher-order derivatives. Differentiating $f'$ again gives the second derivative 二阶导数$f''(x)$ (or $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – the rate of change of the rate of change. An exam part like "Find $k''(3)$" just means differentiate twice, then substitute. You can also estimate a second derivative from a table by applying the average-rate-of-change method to the $f'$ values.
Worked example. Differentiate $f(x)=x^2\sin x$ with the product rule$(uv)'=u'v+uv'$: take $u=x^2$ ($u'=2x$) and $v=\sin x$ ($v'=\cos x$), giving $f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$. Always read the structure first — a product needs the product rule, not the power rule applied to each factor separately.
Bahasa Indonesia
Aturan pembagian: menurunkan pecahan
Turunan trigonometri lainnya tidak dihafal terpisah – Anda menulis ulang mereka dengan identitas dan menerapkan aturan bagi (atau perkalian). Misalnya, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, sehingga aturan pembagian memberikan
$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$
Metode yang sama (menulis $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) menghasilkan $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$, dan $-\csc x\cot x$.
Turunan tingkat tinggi. Menurunkan $f'$ lagi menghasilkan turunan kedua$f''(x)$ (atau $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – laju perubahan dari laju perubahan. Bagian ujian seperti "Temukan $k''(3)$" hanya berarti menurunkan dua kali, lalu substitusi. Anda juga dapat memperkirakan turunan kedua dari tabel dengan menerapkan metode laju perubahan rata-rata ke nilai $f'$.
Contoh dikerjakan. Turunkan $f(x)=x^2\sin x$ dengan aturan perkalian$(uv)'=u'v+uv'$: ambil $u=x^2$ ($u'=2x$) dan $v=\sin x$ ($v'=\cos x$), menghasilkan $f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$. Selalu baca struktur terlebih dahulu – perkalian memerlukan aturan perkalian, bukan aturan pangkat yang diterapkan pada setiap faktor secara terpisah.
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.C: Calculate derivatives of compositions of differentiable functions.
FUN-3.C.1 The chain rule provides a way to differentiate composite functions.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-3.C: Menghitung turunan dari komposisi fungsi-fungsi yang terdiferensiasi.
FUN-3.C.1 Aturan rantai menyediakan cara untuk men-diferensiasikan fungsi komposit.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The chain rule
Unit 2 differentiated single functions. Unit 3 differentiates functions built inside other functions. The chain rule 链式法则 differentiates a composite function 复合函数$f\big(g(x)\big)$:
"Derivative of the outer function (leaving the inside alone), times the derivative of the inside." The inner derivative $g'(x)$ is the piece students forget, so always ask "what is the inside, and what is its derivative?" Example:
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$
In Leibniz notation, with $y=f(u)$ and $u=g(x)$, the rule reads $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – the intermediate $du$ appears to "cancel." Exam questions often give a table for $f$, $g$, $f'$, $g'$ and ask for $h'(a)$ where $h(x)=f\big(g(x)\big)$; evaluate $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ by reading values.
Worked example. Differentiate $h(x)=(2x^2+1)^5$. The outer function is "(something)$^5$", the inner is $2x^2+1$:
Unit 2 menurunkan fungsi tunggal. Unit 3 menurunkan fungsi yang dibangun di dalam fungsi lain. Aturan rantai menurunkan fungsi komposit$f\big(g(x)\big)$:
"Turunan fungsi luar (meninggalkan bagian dalam tetap), dikali turunan bagian dalam." Turunan dalam $g'(x)$ adalah bagian yang sering dilupakan siswa, jadi selalu tanyakan "apa bagian dalamnya, dan berapa turunannya?" Contoh:
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$
Dalam notasi Leibniz, dengan $y=f(u)$ dan $u=g(x)$, aturannya tertulis $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – $du$ perantara seolah "saling menghilangkan." Soal ujian sering memberikan tabel untuk $f$, $g$, $f'$, $g'$ dan meminta $h'(a)$ di mana $h(x)=f\big(g(x)\big)$; hitung $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ dengan membaca nilai-nilainya.
Contoh dikerjakan. Turunkan $h(x)=(2x^2+1)^5$. Fungsi luarnya adalah "(sesuatu)$^5$", bagian dalamnya adalah $2x^2+1$:
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.D: Calculate derivatives of implicitly defined functions.
FUN-3.D.1 The chain rule is the basis for implicit differentiation.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-3.D: Menghitung turunan dari fungsi yang didefinisikan secara implisit.
FUN-3.D.1 Aturan rantai merupakan dasar bagi diferensiasi implisit.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Some curves are defined implicitly – by an equation in $x$ and $y$ that is not solved for $y$, such as $x^2+y^2=25$. Implicit differentiation 隐函数求导 finds $\dfrac{dy}{dx}$ without solving for $y$ first. It is just the chain rule, treating $y$ as a function of $x$.
The method: differentiate both sides with respect to $x$; every time you differentiate a $y$-term, multiply by $\dfrac{dy}{dx}$ (the chain rule); then solve algebraically for $\dfrac{dy}{dx}$. For $x^2+y^2=25$:
Worked example. Find the tangent line to the circle $x^2+y^2=25$ at the point $(3,4)$. From above $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$ there, so the tangent is
$$y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3).$$
Notice the tangent is perpendicular to the radius, as geometry promises – a good sanity check.
Exam skill – "Show that $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". This exact prompt appears most years (e.g. "Show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Because the target is given, you must show every algebra step cleanly: differentiate both sides, use the product/chain rules on mixed $xy$ terms, collect all $\dfrac{dy}{dx}$ terms on one side, factor, and divide. A correct final line that skips the algebra earns little. Follow-up parts then ask for a tangent line, or where the tangent is horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, so the numerator is $0$) or vertical (the denominator is $0$).
Bahasa Indonesia
“Beberapa kurva didefinisikan secara implisit – melalui persamaan dalam $x$ dan $y$ yang tidak diselesaikan untuk $y$, seperti $x^2+y^2=25$. Turunan implisit menemukan $\dfrac{dy}{dx}$ tanpa harus menyelesaikan untuk $y$ terlebih dahulu. Ini hanyalah aturan rantai, dengan memperlakukan $y$ sebagai fungsi dari $x$.”
Metodenya: turunkan kedua ruas terhadap $x$; setiap kali Anda menurunkan suku $y$, kalikan dengan $\dfrac{dy}{dx}$ (aturan rantai); kemudian selesaikan secara aljabar untuk $\dfrac{dy}{dx}$. Untuk $x^2+y^2=25$:
Contoh terpecahkan. Temukan garis singgung ke lingkaran $x^2+y^2=25$ pada titik $(3,4)$. Dari sebelumnya $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$ di sana, sehingga garis singgungnya adalah
$$y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3).$$
Perhatikan bahwa garis singgung tegak lurus terhadap jari-jari, sebagaimana geometri menjanjikan – ini merupakan pemeriksaan kesesuaian yang baik.
Turunan implisit memberikan garis singgung pada lingkaran, tegak lurus terhadap jari-jari
Keterampilan ujian – "Buktikan bahwa $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". Perintah ini muncul setiap tahun (misalnya "Buktikan bahwa $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Karena targetnya sudah diberikan, Anda harus menunjukkan setiap langkah aljabar dengan jelas: turunkan kedua ruas, gunakan aturan perkalian/rantai pada suku campuran $xy$, kumpulkan semua suku $\dfrac{dy}{dx}$ di satu sisi, faktorkan, lalu bagi. Baris akhir yang benar tetapi melewatkan aljabar akan mendapat nilai rendah. Bagian lanjutan kemudian meminta garis singgung, atau di mana garis singgung horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, sehingga pembilangnya $0$) atau vertikal (penyebutnya $0$).
3.3
Differentiating Inverse Functions · Menurunkan Fungsi Invers
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.E: Calculate derivatives of inverse and inverse trigonometric functions.
FUN-3.E.1 The chain rule and definition of an inverse function can be used to find the derivative of an inverse function, provided the derivative exists.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-3.E: Menghitung turunan dari fungsi invers dan fungsi trigonometri invers.
FUN-3.E.1 Aturan rantai dan definisi fungsi invers dapat digunakan untuk mencari turunan dari fungsi invers, asalkan turunannya ada.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
If $g$ is the inverse function 反函数 of $f$ (so $f(g(x))=x$), the chain rule links their derivatives:
In words: the derivative of the inverse at a point is the reciprocal 倒数 of the derivative of the original function at the matching point. A common exam setup gives a table and a point $(a,b)$ on $f$ (so $(b,a)$ is on $g$), then asks for $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.
Worked example. Suppose $f(2)=5$ and $f'(2)=3$, and $g$ is the inverse of $f$. Because $(2,5)$ lies on $f$, the point $(5,2)$ lies on $g$, and
$$g'(5)=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{3}.$$
The graphs of $f$ and $g$ are mirror images across $y=x$, so their slopes at matching points are reciprocals.
Bahasa Indonesia
Jika $g$ adalah fungsi invers dari $f$ (sehingga $f(g(x))=x$), aturan rantai menghubungkan turunan keduanya:
Secara lisan: turunan fungsi invers pada suatu titik adalah resiprokal dari turunan fungsi asli pada titik yang sesuai. Pengaturan ujian umum menyediakan tabel dan titik $(a,b)$ pada $f$ (sehingga $(b,a)$ berada pada $g$), lalu meminta $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.
Fungsi invers adalah bayangan cermin dari fungsi tersebut pada garis y = x
Contoh terpecahkan. Misalkan $f(2)=5$ dan $f'(2)=3$, serta $g$ adalah invers dari $f$. Karena $(2,5)$ terletak pada $f$, titik $(5,2)$ terletak pada $g$, dan
$$g'(5)=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{3}.$$
Grafik $f$ dan $g$ adalah bayangan cermin melintasi $y=x$, sehingga kemiringan mereka pada titik-titik yang sesuai adalah resiprokal.
Explore · Jelajahi
An exponential and its inverse the logarithm · Fungsi eksponensial dan inversnya, logaritma
y = a·e^(bx) + c
Inverse functions are mirror images across $y=x$, and their slopes are reciprocals: $\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Where one is steep, its inverse is shallow. · Fungsi invers adalah cerminan melintasi $y=x$, dan kemiringannya saling berkebalikan: $\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Di mana satu fungsi curam, inversnya landai.
3.4
Differentiating Inverse Trigonometric Functions · Menurunkan Fungsi Trigonometri Invers
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.E: Calculate derivatives of inverse and inverse trigonometric functions.
FUN-3.E.2 The chain rule applied with the definition of an inverse function, or the formula for the derivative of an inverse function, can be used to find the derivatives of inverse trigonometric functions.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-3.E: Menghitung turunan dari fungsi invers dan fungsi trigonometri invers.
FUN-3.E.2 Aturan rantai yang diterapkan dengan definisi fungsi invers, atau rumus turunan dari fungsi invers, dapat digunakan untuk menemukan turunan fungsi trigonometri invers.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The same idea gives the derivatives of the inverse trigonometric functions 反三角函数. The three you should know:
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
Combine these with the chain rule when the input is itself a function, e.g. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
Bahasa Indonesia
Ide yang sama menghasilkan turunan dari fungsi trigonometri invers. Tiga yang harus Anda ketahui:
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
Gabungkan ini dengan aturan rantai ketika inputnya sendiri merupakan fungsi, mis. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
3.5
Selecting Procedures for Calculating Derivatives · Memilih Prosedur untuk Menghitung Turunan
Syllabus · Silabus
English
This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for calculating derivatives. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to calculating derivatives.
Bahasa Indonesia
Topik ini bertujuan untuk berfokus pada keterampilan memilih prosedur yang tepat untuk menghitung turunan. Siswa harus diberikan kesempatan untuk berlatih kapan dan bagaimana menerapkan semua tujuan pembelajaran yang berkaitan dengan perhitungan turunan.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
A skill topic: real derivatives mix several rules, so read the structure of the expression first, from the outside in.
Is it a sum? Differentiate term by term.
A product or quotient? Apply that rule, and expect to use the chain rule inside.
A composite (something inside something)? Chain rule.
Given implicitly? Implicit differentiation.
Name the outermost operation, apply its rule, and recurse inward. Neatness prevents the sign and bookkeeping errors that cost marks.
Bahasa Indonesia
Topik keterampilan: turunan nyata mencampur beberapa aturan, jadi bacalah struktur ekspresi terlebih dahulu, dari luar ke dalam.
Apakah itu jumlah? Turunkan suku demi suku.
Perkalian atau pembagian? Terapkan aturan itu, dan siap-siap menggunakan aturan rantai di dalamnya.
Komposit (sesuatu di dalam sesuatu lain)? Aturan rantai.
Diberikan secara implisit? Turunan implisit.
Sebutkan operasi terluar, terapkan aturannya, dan rekursif masuk ke dalam. Kerapian mencegah kesalahan tanda dan pencatatan yang memakan nilai.
3.6
Calculating Higher-Order Derivatives · Menghitung Turunan Orde Tinggi
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.
Learning Objective FUN-3.F: Determine higher order derivatives of a function.
FUN-3.F.1 Differentiating $f'$ produces the second derivative $f''$, provided the derivative of $f'$ exists; repeating this process produces higher-order derivatives of $f$.
FUN-3.F.2 Higher-order derivatives are represented with a variety of notations. For $y = f(x)$, notations for the second derivative include $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$, and $y''$. Higher-order derivatives can be denoted $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ or $f^{(n)}(x)$.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-3.F: Menentukan turunan orde lebih tinggi dari suatu fungsi.
FUN-3.F.1 Mendifferensiasikan $f'$ menghasilkan turunan kedua $f''$, dengan syarat turunan dari $f'$ ada; mengulangi proses ini menghasilkan turunanorde lebih tinggi dari $f$.
FUN-3.F.2 Turunan orde lebih tinggi direpresentasikan dengan berbagai notasi. Untuk $y = f(x)$, notasi untuk turunan kedua meliputi $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$, dan $y''$. Turunan orde lebih tinggi dapat disimbolkan $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ atau $f^{(n)}(x)$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Differentiating $f'$ produces the second derivative 二阶导数$f''$; repeating gives higher-order derivatives. The notations:
$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
The second derivative measures how the slope is changing; it drives concavity 凹凸性 and acceleration in later units. To find $f''$ implicitly, differentiate the expression for $\dfrac{dy}{dx}$ again (with the quotient and chain rules), then substitute $\dfrac{dy}{dx}$ back in.
Bahasa Indonesia
Menurunkan $f'$ menghasilkan turunan kedua$f''$; pengulangan menghasilkan turunan orde lebih tinggi. Notasinya:
$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
Turunan kedua mengukur bagaimana kemiringan berubah; ia menggerakkan kelengkungan dan percepatan dalam unit-unit selanjutnya. Untuk menemukan $f''$ secara implisit, turunkan lagi ekspresi untuk $\dfrac{dy}{dx}$ (dengan aturan hasil bagi dan rantai), lalu substitusikan $\dfrac{dy}{dx}$ kembali.
Explore · Jelajahi
Slope of the slope: the second derivative · Kemiringan dari kemiringan: turunan kedua
y = ax³ + bx² + cx + d
Differentiating again gives the second derivative — the rate at which the slope changes. Where the tangent's slope is itself increasing, the curve bends upward (concave up). · Mendiferensiasikan lagi menghasilkan turunan kedua — laju perubahan kemiringan. Di mana kemiringan garis singgung itu sendiri meningkat, kurva membengkok ke atas (cekung ke atas).
3.6
Exam tips · Tips ujian
English
Use the chain rule for composite functions — differentiate the outside, then multiply by the derivative of the inside (the most-forgotten factor).
For implicit differentiation, differentiate both sides with respect to $x$ and attach $\tfrac{dy}{dx}$ each time $y$ is differentiated, then solve.
Get the second derivative by differentiating twice (velocity → acceleration).
Combine rules carefully in layered expressions (chain inside product, etc.).
The inverse function's graph is the reflection in $y=x$; its slope is the reciprocal of the original's at the matching point.
Bahasa Indonesia
Gunakan aturan rantai untuk fungsi komposit – turunkan bagian luar, lalu kalikan dengan turunan bagian dalam (faktor yang paling sering dilupakan).
Untuk turunan implisit, turunkan kedua ruas terhadap $x$ dan lampirkan $\tfrac{dy}{dx}$ setiap kali $y$ diturunkan, kemudian selesaikan.
Dapatkan turunan kedua dengan menurunkan dua kali (kecepatan → percepatan).
Gabungkan aturan dengan hati-hati dalam ekspresi berlapis (rantai di dalam perkalian, dll.).
Grafik fungsi invers adalah refleksi pada $y=x$; kemiringannya adalah resiprokal dari yang asli pada titik yang sesuai.
4
Contextual Applications of Differentiation · Aplikasi Kontekstual dari Turunan
Interpreting the Derivative in Context · Menginterpretasikan Turunan dalam Konteks
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.
Learning Objective CHA-3.A: Interpret the meaning of a derivative in context.
CHA-3.A.1 The derivative of a function can be interpreted as the instantaneous rate of change with respect to its independent variable.
CHA-3.A.2 The derivative can be used to express information about rates of change in applied contexts.
CHA-3.A.3 The unit for $f'(x)$ is the unit for $f$ divided by the unit for $x$.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (CHA-3): Turunan memungkinkan kita menyelesaikan masalah dunia nyata yang melibatkan laju perubahan.
Tujuan Pembelajaran CHA-3.A: Menafsirkan makna turunan dalam konteks.
CHA-3.A.1 Turunan dari suatu fungsi dapat ditafsirkan sebagai laju perubahan sesaat terhadap variabel bebasnya.
CHA-3.A.2 Turunan dapat digunakan untuk mengekspresikan informasi tentang laju perubahan dalam konteks penerapan.
CHA-3.A.3 Satuan untuk $f'(x)$ adalah satuan untuk $f$ dibagi dengan satuan untuk $x$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Once you can compute derivatives, you use them to describe the real world. The derivative $f'(x)$is the instantaneous rate of change of $f$ with respect to its input. Reading and reporting this rate correctly is a graded skill.
Units matter. The unit of $f'(x)$ is the unit of $f$ divided by the unit of $x$. If $C(t)$ is a number of acres and $t$ is in weeks, then $C'(t)$ is in acres per week. On the exam, "Using correct units, interpret the meaning of $g'(140)$" wants a full sentence: the value, the quantity, the rate word "per", and the moment. For example: "$g'(140)=2.3$ means that at $x=140$, the quantity is increasing at about $2.3$ units per unit of $x$."
Bahasa Indonesia
Setelah Anda dapat menghitung turunan, Anda menggunakannya untuk mendeskripsikan dunia nyata. Turunan $f'(x)$adalah laju perubahan instan dari $f$ terhadap inputnya. Membaca dan melaporkan laju ini dengan benar adalah keterampilan yang dinilai.
Satuan itu penting. Satuan dari $f'(x)$ adalah satuan dari $f$ dibagi dengan satuan dari $x$. Jika $C(t)$ adalah jumlah acre dan $t$ dalam minggu, maka $C'(t)$ dalam acre per minggu. Dalam ujian, "Menggunakan satuan yang benar, interpretasikan makna dari $g'(140)$" menginginkan kalimat penuh: nilai, kuantitas, kata laju "per", dan saat. Misalnya: "$g'(140)=2.3$ berarti bahwa pada $x=140$, kuantitas meningkat sekitar $2.3$ unit per unit dari $x$."
4.2
Straight-Line Motion: Position, Velocity, and Acceleration · Gerak Garis Lurus: Posisi, Kecepatan, dan Percepatan
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.
Learning Objective CHA-3.B: Calculate rates of change in applied contexts.
CHA-3.B.1 The derivative can be used to solve rectilinear motion problems involving position, speed, velocity, and acceleration.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (CHA-3): Turunan memungkinkan kita menyelesaikan masalah dunia nyata yang melibatkan laju perubahan.
Tujuan Pembelajaran CHA-3.B: Menghitung laju perubahan dalam konteks penerapan.
CHA-3.B.1 Turunan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah gerak linier yang melibatkan posisi, kecepatan, laju, dan percepatan.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
For a particle moving on a line, three functions of time are linked by differentiation:
position 位置$s(t)$;
velocity 速度$v(t)=s'(t)$ – signed; its sign gives direction;
acceleration 加速度$a(t)=v'(t)=s''(t)$.
Key readings (frequent exam parts):
The particle is at rest 静止 when $v(t)=0$.
It moves right/up when $v(t)>0$ and left/down when $v(t)<0$; it changes direction where $v$ changes sign.
Speed 速率 is $|v(t)|$. Speed is increasing when $v$ and $a$ have the same sign (the particle is speeding up), and decreasing when they have opposite signs.
Worked example. A particle moves with $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Then $v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$, so it is at rest at $t=1$ and $t=3$, and changes direction at each. At $t=2$, $v(2)=3(1)(-1)=-3<0$ (moving left) and $a(2)=6(2)-12=0$; just after, $a>0$ while $v<0$, so it is slowing down there. Distinguish carefully between velocity (has direction) and speed (does not) – the exam tests this exact difference.
Bahasa Indonesia
Untuk partikel yang bergerak pada garis, tiga fungsi waktu terhubung melalui penurunan:
Pada grafik kecepatan-waktu, luas adalah perpindahan dan gradien adalah percepatan
posisi$s(t)$;
kecepatan$v(t)=s'(t)$ – bertanda; tandanya memberikan arah;
percepatan$a(t)=v'(t)=s''(t)$.
Pembacaan kunci (bagian ujian sering):
Partikel diam ketika $v(t)=0$.
Ia bergerak kanan/naik ketika $v(t)>0$ dan kiri/turun ketika $v(t)<0$; ia mengubah arah di mana $v$ mengubah tanda.
Kecepatan adalah $|v(t)|$. Kecepatan meningkat ketika $v$ dan $a$ memiliki tanda yang sama (partikel melaju lebih cepat), dan menurun ketika mereka memiliki tanda berlawanan.
Contoh terpecahkan. Sebuah partikel bergerak dengan $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Kemudian $v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$, sehingga partikel berada dalam keadaan diam pada $t=1$ dan $t=3$, dan mengubah arah di setiap titik tersebut. Pada $t=2$, $v(2)=3(1)(-1)=-3<0$ (bergerak ke kiri) dan $a(2)=6(2)-12=0$; tepat setelahnya, $a>0$ sementara $v<0$, sehingga partikel melambat di sana. Pahami dengan cermat perbedaan antara kecepatan (memiliki arah) dan kelajuan (tidak memiliki) – ujian menguji perbedaan ini secara spesifik.
Sebuah kereta roller coaster adalah kalkulus yang bisa dirasakan: kecepatan adalah turunan dari posisi, dan percepatan adalah turunan dari kecepatan
Explore · Jelajahi
Velocity is the slope of position · Kecepatan adalah kemiringan posisi
y = ax³ + bx² + cx + d
For straight-line motion, velocity is the derivative (slope) of position and acceleration the derivative of velocity. Slide the point to read the instantaneous velocity. · Untuk gerak lurus, kecepatan adalah turunan (kemiringan) dari posisi dan percepatan adalah turunan dari kecepatan. Geser titik untuk membaca kecepatan instan.
Rates of Change Beyond Motion · Laju Perubahan di Luar Gerak
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.
Learning Objective CHA-3.C: Interpret rates of change in applied contexts.
CHA-3.C.1 The derivative can be used to solve problems involving rates of change in applied contexts.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (CHA-3): Turunan memungkinkan kita menyelesaikan masalah dunia nyata yang melibatkan laju perubahan.
Tujuan Pembelajaran CHA-3.C: Menafsirkan laju perubahan dalam konteks penerapan.
CHA-3.C.1 Turunan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan laju perubahan dalam konteks penerapan.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The same derivative idea models any changing quantity: a draining tank, a spreading population, a cooling cup. Whenever a problem says "the rate at which...", it is describing a derivative. Read the units to know which quantity's rate you have, then interpret in context.
Bahasa Indonesia
Ide turunan yang sama memodelkan besaran yang berubah apa pun: tangki yang dikosongkan, populasi yang berkembang, secangkir kopi yang mendingin. Setiap kali sebuah soal menyatakan "laju di mana...", itu sedang mendeskripsikan sebuah turunan. Bacalah satuannya untuk mengetahui laju dari besaran mana yang Anda miliki, lalu interpretasikan dalam konteksnya.
4.4
Introduction to Related Rates · Pengenalan Laju Berkaitan
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.
Learning Objective CHA-3.D: Calculate related rates in applied contexts.
CHA-3.D.1 The chain rule is the basis for differentiating variables in a related rates problem with respect to the same independent variable.
CHA-3.D.2 Other differentiation rules, such as the product rule and the quotient rule, may also be necessary to differentiate all variables with respect to the same independent variable.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (CHA-3): Turunan memungkinkan kita menyelesaikan masalah dunia nyata yang melibatkan laju perubahan.
Tujuan Pembelajaran CHA-3.D: Menghitung laju terkait dalam konteks penerapan.
CHA-3.D.1 Aturan rantai merupakan dasar untuk mendifferensiasikan variabel dalam masalah laju terkait terhadap variabel bebas yang sama.
CHA-3.D.2 Aturan diferensiasi lain, seperti aturan perkalian dan aturan pembagian, mungkin juga diperlukan untuk mendifferensiasikan semua variabel terhadap variabel bebas yang sama.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Related rates: a sliding ladder
In a related rates 相关变化率 problem, several quantities change together over time, and you know some rates but want another. The engine is the chain rule: differentiate a relationship with respect to time $t$. Every variable becomes a function of $t$, so each derivative picks up a "$\,/\,dt$" factor. Product and quotient rules may also be needed.
Bahasa Indonesia
Laju terkait: tangga meluncur
Dalam masalah laju berkaitan, beberapa besaran berubah bersama-sama seiring waktu, dan Anda mengetahui beberapa laju tetapi ingin mencari yang lain. Mesinnya adalah aturan rantai: turunkan sebuah hubungan terhadap waktu $t$. Setiap variabel menjadi fungsi dari $t$, sehingga setiap turunan mendapatkan faktor "$\,/\,dt$". Aturan perkalian dan pembagian juga mungkin diperlukan.
Sebuah balon yang naik: laju berkaitan menghubungkan seberapa cepat jari-jari, volume, dan tinggi berubah bersama-sama
Solving Related Rates Problems · Memecahkan Masalah Laju Berkaitan
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.
Learning Objective CHA-3.E: Interpret related rates in applied contexts.
CHA-3.E.1 The derivative can be used to solve related rates problems; that is, finding a rate at which one quantity is changing by relating it to other quantities whose rates of change are known.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (CHA-3): Turunan memungkinkan kita menyelesaikan masalah dunia nyata yang melibatkan laju perubahan.
Tujuan Pembelajaran CHA-3.E: Menafsirkan laju terkait dalam konteks penerapan.
CHA-3.E.1 Turunan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah laju terkait; yaitu, menemukan laju di mana satu kuantitas berubah dengan menghubungkannya ke kuantitas lain yang laju perubahannya diketahui.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
A reliable procedure – and a full-credit template on the exam:
Name the variables and write down the given rates and the unknown rate (e.g. "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/day, find $\dfrac{dV}{dt}$").
Write an equation relating the quantities (often a geometric or volume formula).
Differentiate both sides with respect to $t$ (chain rule) – before substituting numbers.
Substitute the known values at the instant of interest, and solve for the unknown rate.
State the answer with units and the correct sign (a decreasing quantity has a negative rate).
Worked example. Air is pumped into a spherical balloon so its volume grows at $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. How fast is the radius growing when $r=5\ \text{cm}$? Start from $V=\tfrac43\pi r^3$ and differentiate with respect to $t$first:
Substituting $r=5$too early is the classic error – differentiate the general relationship, then plug in.
Bahasa Indonesia
Prosedur yang dapat diandalkan – dan template skor penuh pada ujian:
Beri nama variabel dan tuliskan laju yang diberikan serta laju yang tidak diketahui (misalnya "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/hari, cari $\dfrac{dV}{dt}$").
Tulis persamaan yang menghubungkan besaran-besaran tersebut (sering berupa rumus geometris atau volume).
Turunkan kedua ruas terhadap $t$ (aturan rantai) – sebelum mensubstitusikan angka.
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui pada saat yang dituju, dan selesaikan untuk laju yang tidak diketahui.
Nyatakan jawaban dengan satuan dan tanda yang benar (besaran yang menurun memiliki laju negatif).
Contoh terpecahkan. Udara dipompa ke dalam balon spherical sehingga volumenya bertambah sebesar $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. Seberapa cepat jari-jari bertambah ketika $r=5\ \text{cm}$? Mulailah dari $V=\tfrac43\pi r^3$ dan turunkan terhadap $t$pertama:
Mensubstitusikan $r=5$terlalu dini adalah kesalahan klasik – turunkan hubungan umum terlebih dahulu, baru masukkan angkanya.
Sebuah balon yang mengembang menghubungkan dV/dt dan dr/dt melalui aturan rantai
4.6
Local Linearity and Linearization · Linearitas Lokal dan Linearisasi
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-3): Derivatives allow us to solve real-world problems involving rates of change.
Learning Objective CHA-3.F: Approximate a value on a curve using the equation of a tangent line.
CHA-3.F.1 The tangent line is the graph of a locally linear approximation of the function near the point of tangency.
CHA-3.F.2 For a tangent line approximation, the function's behavior near the point of tangency may determine whether a tangent line value is an underestimate or an overestimate of the corresponding function value.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (CHA-3): Turunan memungkinkan kita menyelesaikan masalah dunia nyata yang melibatkan laju perubahan.
Tujuan Pembelajaran CHA-3.F: Mendekatkan nilai pada kurva menggunakan persamaan garis singgung.
CHA-3.F.1 Garis singgung adalah grafik dari pendekatan linear lokal dari fungsi di sekitar titik singgung.
CHA-3.F.2 Untuk pendekatan garis singgung, perilaku fungsi di dekat titik singgung dapat menentukan apakah nilai garis singgung merupakan estimasi yang terlalu rendah atau terlalu tinggi dari nilai fungsi yang sesuai.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Local linearity and linearisation
Near a point of tangency, a smooth curve looks like its tangent line – this is local linearity 局部线性. So the tangent line gives a linear approximation 线性近似 (linearization) of the function near that point:
$$f(x) \approx L(x) = f(a) + f'(a)(x-a).$$
Use it to estimate $f$ at an $x$ close to $a$.
Worked example. Estimate $\sqrt{4.1}$. Take $f(x)=\sqrt{x}$ and $a=4$: $f(4)=2$ and $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ so $f'(4)=\dfrac14$. Then $L(4.1)=2+\tfrac14(4.1-4)=2.025$ (the true value is $2.0248\ldots$). Because $\sqrt{x}$ is concave down, the tangent lies above the curve, so this is a slight overestimate 高估 – justify over/under with the sign of $f''$.
Bahasa Indonesia
Linearitas lokal dan linearisasi
Di dekat titik singgung, kurva yang mulus terlihat seperti garis singgungnya – ini disebut linearitas lokal. Jadi garis singgung memberikan pendekatan linear (linearisasi) dari fungsi di sekitar titik tersebut:
$$f(x) \approx L(x) = f(a) + f'(a)(x-a).$$
Gunakan ini untuk memperkirakan $f$ pada $x$ yang dekat dengan $a$.
Garis singgung adalah pendekatan linear terbaik untuk kurva di dekat titik singgung
Contoh terpecahkan. Perkirakan $\sqrt{4.1}$. Ambil $f(x)=\sqrt{x}$ dan $a=4$: $f(4)=2$ dan $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ sehingga $f'(4)=\dfrac14$. Kemudian $L(4.1)=2+\tfrac14(4.1-4)=2.025$ (nilai sejati adalah $2.0248\ldots$). Karena $\sqrt{x}$cekung ke bawah, garis singgung berada di atas kurva, sehingga ini adalah sedikit perkiraan berlebih – buktikan over/under dengan tanda $f''$.
Explore · Jelajahi
Approximate a curve with its tangent line · Hampirkan kurva dengan garis singgungnya
y = ax³ + bx² + cx + d
Local linearity: near a point a smooth curve looks like its tangent line, so the tangent gives a good linear approximation of nearby values. · Linearitas lokal: di dekat suatu titik, kurva halus terlihat seperti garis singgungnya, sehingga garis singgung memberikan pendekatan linear yang baik untuk nilai-nilai di sekitarnya.
L'Hospital's Rule for Indeterminate Forms · Aturan L'Hospital untuk Bentuk Tak Tertentu
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (LIM-4): L'Hospital's Rule allows us to determine the limits of some indeterminate forms.
Learning Objective LIM-4.A: Determine limits of functions that result in indeterminate forms.
LIM-4.A.1 When the ratio of two functions tends to $\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$ in the limit, such forms are said to be indeterminate.
Exclusion statement: There are many other indeterminate forms, such as $\infty - \infty$, for example, but these will not be assessed on either the AP Calculus AB or BC Exam. However, teachers may include these topics, if time permits.
LIM-4.A.2 Limits of the indeterminate forms $\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$ may be evaluated using L'Hospital's Rule.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (LIM-4): Aturan L'Hospital memungkinkan kita menentukan limit beberapa bentuk tak tentu.
Tujuan Pembelajaran LIM-4.A: Tentukan limit fungsi yang menghasilkan bentuk-bentuk tak tentu.
LIM-4.A.1 Ketika rasio dua fungsi cenderung ke $\dfrac{0}{0}$ atau $\dfrac{\infty}{\infty}$ dalam limit, bentuk-bentuk tersebut disebut tak tentu.
Pengecualian: Ada banyak bentuk tak tentu lainnya, seperti $\infty - \infty$, misalnya, tetapi hal-hal ini tidak akan diujikan baik pada Ujian AP Calculus AB maupun BC. Namun, guru dapat memasukkan topik-topik ini jika waktu memungkinkan.
LIM-4.A.2 Limit dari bentuk-bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$ atau $\dfrac{\infty}{\infty}$ dapat dievaluasi menggunakan Aturan L'Hospital.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
When direct substitution in a quotient of limits gives the indeterminate form 未定式$\dfrac{0}{0}$ or $\dfrac{\infty}{\infty}$, you may use L'Hospital's Rule 洛必达法则:
provided the right-hand limit exists. Differentiate the top and bottom separately (this is not the quotient rule), then try the limit again. First confirm the form really is $\tfrac{0}{0}$ or $\tfrac{\infty}{\infty}$ – applying the rule to any other form is a mistake.
Worked example. Evaluate $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$. Substituting gives $\tfrac00$, so differentiate top and bottom: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$ – confirming the famous limit from Unit 1.
Bahasa Indonesia
Ketika substitusi langsung dalam hasil bagi limit memberikan bentuk tak tentu$\dfrac{0}{0}$ atau $\dfrac{\infty}{\infty}$, Anda dapat menggunakan Aturan L'Hospital:
dengan syarat limit kanan ada. Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (ini bukan aturan hasil bagi), lalu coba limit lagi. Pertama konfirmasi bahwa bentuknya benar-benar $\tfrac{0}{0}$ atau $\tfrac{\infty}{\infty}$ – menerapkan aturan ini pada bentuk lain adalah kesalahan.
Contoh terpecahkan. Hitung $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$. Substitusi menghasilkan $\tfrac00$, jadi turunkan pembilang dan penyebut: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$ – mengkonfirmasi limit terkenal dari Unit 1.
4.7
Exam tips · Tips ujian
English
In motion problems: velocity is the derivative of position, acceleration the derivative of velocity; speed increases when velocity and acceleration share a sign.
For related rates, differentiate the relating equation with respect to time, then substitute the given values last.
Use the tangent line for a linear approximation near a known point; it is accurate only close by.
Read the sign of a rate: positive means the quantities move together, negative means opposite.
Always state units and interpret the answer in context.
Bahasa Indonesia
Dalam masalah gerak: kecepatan adalah turunan dari posisi, percepatan adalah turunan dari kecepatan; kecepatan meningkat ketika kecepatan dan percepatan memiliki tanda yang sama.
Untuk laju berkaitan, turunkan persamaan penghubung terhadap waktu, lalu substitusikan nilai yang diberikan terakhir.
Gunakan garis singgung untuk pendekatan linear di dekat titik yang diketahui; hal ini akurat hanya di dekatnya.
Baca tanda laju: positif berarti besaran bergerak bersamaan, negatif berarti berlawanan.
Selalu nyatakan satuan dan interpretasikan jawaban dalam konteksnya.
5
Analytical Applications of Differentiation · Aplikasi Analitis dari Turunan
The Mean Value Theorem · Teorema Nilai Rata-rata
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-1): Existence theorems allow us to draw conclusions about a function's behavior on an interval without precisely locating that behavior.
Learning Objective FUN-1.B: Justify conclusions about functions by applying the Mean Value Theorem over an interval.
FUN-1.B.1 If a function $f$ is continuous over the interval $[a, b]$ and differentiable over the interval $(a, b)$, then the Mean Value Theorem guarantees a point within that open interval where the instantaneous rate of change equals the average rate of change over the interval.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-1): Teorema eksistensi memungkinkan kita menarik kesimpulan tentang perilaku fungsi pada suatu interval tanpa harus menlokalisasi perilaku tersebut secara tepat.
Tujuan Pembelajaran FUN-1.B: Justifikasi kesimpulan tentang fungsi dengan menerapkan Teorema Nilai Rata-rata pada suatu interval.
FUN-1.B.1 Jika sebuah fungsi $f$ kontinu pada interval $[a, b]$ dan terdiferensiasi pada interval $(a, b)$, maka Teorema Nilai Rata-rata menjamin adanya titik dalam interval terbuka tersebut di mana laju perubahan instan sama dengan laju perubahan rata-rata pada interval tersebut.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The Mean Value Theorem
The Mean Value Theorem 中值定理 (MVT) links the average rate of change to an instantaneous one:
If $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$, then there is at least one point $c$ in $(a,b)$ where
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$
In words: somewhere inside the interval, the instantaneous rate equals the average rate. Geometrically, some tangent line is parallel to the line joining the endpoints.
Exam skill. Like the IVT, the MVT is an existence theorem, and questions ask you to justify. Full credit needs: (1) state $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$; (2) compute the average rate $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) conclude "by the MVT there is a $c$ in $(a,b)$ with $f'(c)$ equal to that value." Both hypotheses must be named.
Worked example. Verify the MVT for $f(x)=x^2$ on $[1,3]$. It is a polynomial, so continuous and differentiable everywhere. The average rate is $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$. Setting $f'(c)=2c=4$ gives $c=2$, which does lie in $(1,3)$ – the guaranteed point.
Bahasa Indonesia
Teorema Nilai Rata-rata
Teorema Nilai Rata-rata (MVT) menghubungkan laju perubahan rata-rata dengan laju perubahan sesaat:
Jika $f$kontinu pada $[a,b]$ dan diferensiabel pada $(a,b)$, maka terdapat setidaknya satu titik $c$ di dalam $(a,b)$ di mana
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$
Secara kata-kata: di suatu tempat di dalam interval, laju sesaat sama dengan laju rata-rata. Secara geometris, beberapa garis singgung sejajar dengan garis yang menghubungkan titik-titik ujung.
Teorema Nilai Rata-rata: beberapa garis singgung sejajar dengan garis sekant sepanjang interval
Keterampilan ujian. Seperti IVT, MVT adalah teorema eksistensi, dan soal meminta Anda untuk membenarkannya. Poin penuh memerlukan: (1) nyatakan $f$ kontinu pada $[a,b]$ dan terdiferensiasi pada $(a,b)$; (2) hitung laju rata-rata $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) simpulkan "menurut MVT terdapat sebuah $c$ di $(a,b)$ dengan $f'(c)$ sama dengan nilai tersebut." Kedua hipotesis harus disebutkan.
Contoh kerja. Verifikasi MVT untuk $f(x)=x^2$ pada $[1,3]$. Ini adalah polinomial, sehingga kontinu dan terdiferensialkan di mana-mana. Laju rata-ratanya adalah $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$. Menetapkan $f'(c)=2c=4$ menghasilkan $c=2$, yang memang berada dalam $(1,3)$ – titik yang dijamin.
Explore · Jelajahi
The Mean Value Theorem · Teorema Nilai Rata-rata
y = ax³ + bx² + cx + d
The MVT guarantees a point where the tangent is parallel to the secant — the instantaneous rate equals the average rate somewhere inside the interval. · TVR menjamin adanya titik di mana garis singgung sejajar dengan garis sekant — laju instan sama dengan laju rata-rata di suatu tempat di dalam interval.
Extreme Values and Critical Points · Nilai Ekstrem dan Titik Kritis
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-1): Existence theorems allow us to draw conclusions about a function's behavior on an interval without precisely locating that behavior.
Learning Objective FUN-1.C: Justify conclusions about functions by applying the Extreme Value Theorem.
FUN-1.C.1 If a function $f$ is continuous over the interval $(a, b)$, then the Extreme Value Theorem guarantees that $f$ has at least one minimum value and at least one maximum value on $[a, b]$.
FUN-1.C.2 A point on a function where the first derivative equals zero or fails to exist is a critical point of the function.
FUN-1.C.3 All local (relative) extrema occur at critical points of a function, though not all critical points are local extrema.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-1): Teorema eksistensi memungkinkan kita menarik kesimpulan tentang perilaku fungsi pada suatu interval tanpa harus menlokalisasi perilaku tersebut secara tepat.
Tujuan Pembelajaran FUN-1.C: Justifikasi kesimpulan tentang fungsi dengan menerapkan Teorema Nilai Ekstrem.
FUN-1.C.1 Jika sebuah fungsi $f$ kontinu pada interval $(a, b)$, maka Teorema Nilai Ekstrem menjamin bahwa $f$ memiliki setidaknya satu nilai minimum dan setidaknya satu nilai maksimum pada $[a, b]$.
FUN-1.C.2 Titik pada fungsi di mana turunan pertama sama dengan nol atau gagal ada adalah titik kritis dari fungsi tersebut.
FUN-1.C.3 Semua ekstrem lokal (relatif) terjadi pada titik kritis dari sebuah fungsi, meskipun tidak semua titik kritis adalah ekstrem lokal.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The Extreme Value Theorem 极值定理 (EVT) guarantees extremes exist: a function continuous on a closed interval $[a,b]$ attains both an absolute maximum and an absolute minimum on it.
A critical point 临界点 is an interior point where $f'(x)=0$or$f'(x)$ does not exist. All local (relative) extrema 局部极值 occur at critical points – but not every critical point is an extremum. So critical points are the candidates; you must test each.
Bahasa Indonesia
Puncak gunung yang tercermin di danau: ekstrema dan titik kritis menandai nilai tertinggi dan terendah
Teorem Nilai Ekstrem (EVT) menjamin keberadaan ekstrema: sebuah fungsi kontinu pada interval tertutup $[a,b]$ akan mencapai keduanya, yaitu maksimum mutlak dan minimum mutlak pada interval tersebut.
Pada maksimum atau minimum, turunan bernilai nol
Sebuah titik kritis adalah titik interior di mana $f'(x)=0$atau$f'(x)$ tidak ada. Semua ekstrema lokal (relatif) terjadi pada titik kritis – tetapi tidak semua titik kritis adalah ekstrema. Jadi, titik kritis adalah kandidat; Anda harus menguji setiap satuannya.
5.3
Increasing and Decreasing Intervals · Interval Naik dan Turun
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.
Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.
FUN-4.A.1 The first derivative of a function can provide information about the function and its graph, including intervals where the function is increasing or decreasing.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.
Tujuan Pembelajaran FUN-4.A: Justifikasi kesimpulan tentang perilaku fungsi berdasarkan perilaku turunannya.
FUN-4.A.1 Turunan pertama dari sebuah fungsi dapat memberikan informasi tentang fungsi dan grafiknya, termasuk interval di mana fungsi naik atau turun.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The first derivative tells you where $f$ rises or falls:
$f'(x) > 0$ on an interval $\Rightarrow$$f$ is increasing 递增 there;
$f'(x) < 0$$\Rightarrow$$f$ is decreasing 递减.
On the exam, "find the intervals where $f$ is increasing" means: find the critical points, then test the sign of $f'$ between them, and justify with the sign of $f'$ (a stated reason, not just an interval).
Bahasa Indonesia
Turunan pertama memberi tahu Anda di mana $f$ naik atau turun:
$f'(x) > 0$ pada interval $\Rightarrow$$f$ adalah meningkat di sana;
$f'(x) < 0$$\Rightarrow$$f$ adalah menurun.
Dalam ujian, "temukan interval di mana $f$ naik" berarti: temukan titik kritisnya, lalu uji tanda dari $f'$ di antara mereka, dan berikan justifikasi dengan tanda dari $f'$ (alasan yang stated, bukan sekadar interval).
5.4
The First Derivative Test · Uji Turunan Pertama
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.
Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.
FUN-4.A.2 The first derivative of a function can determine the location of relative (local) extrema of the function.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.
Tujuan Pembelajaran FUN-4.A: Justifikasi kesimpulan tentang perilaku fungsi berdasarkan perilaku turunannya.
FUN-4.A.2 Turunan pertama dari sebuah fungsi dapat menentukan lokasi ekstrem relative (lokal) dari fungsi tersebut.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
To classify a critical point $x=c$ as a local max, local min, or neither, check how $f'$ changes sign there:
$f'$ changes $+$ to $-$ at $c$$\Rightarrow$local maximum 极大值;
$f'$ changes $-$ to $+$ at $c$$\Rightarrow$local minimum 极小值;
$f'$ does not change sign $\Rightarrow$ neither.
Always state the sign change as your justification.
Worked example. Classify the critical points of $f(x)=x^3-3x^2$. Here $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, zero at $x=0$ and $x=2$. Testing signs: $f'>0$ for $x<0$, $f'<0$ on $(0,2)$, and $f'>0$ for $x>2$. So $f'$ turns $+\to-$ at $x=0$ (a local maximum, $f(0)=0$) and $-\to+$ at $x=2$ (a local minimum, $f(2)=-4$).
Bahasa Indonesia
Untuk mengklasifikasikan titik kritis $x=c$ sebagai maksimum lokal, minimum lokal, atau keduanya, periksa bagaimana $f'$ berubah tandanya di sana:
$f'$ berubah $+$ menjadi $-$ pada $c$$\Rightarrow$maksimum lokal;
$f'$ berubah $-$ menjadi $+$ pada $c$$\Rightarrow$minimum lokal;
Jika $f'$tidak berubah tanda, maka $\Rightarrow$ tidak ada ekstrem.
Selalu nyatakan perubahan tanda sebagai justifikasi Anda.
Contoh kerja. Klasifikasikan titik kritis dari $f(x)=x^3-3x^2$. Di sini $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, nol di $x=0$ dan $x=2$. Menguji tanda: $f'>0$ untuk $x<0$, $f'<0$ pada $(0,2)$, dan $f'>0$ untuk $x>2$. Jadi $f'$ berubah dari $+\to-$ di $x=0$ (sebuah maksimum lokal, $f(0)=0$) dan dari $-\to+$ di $x=2$ (sebuah minimum lokal, $f(2)=-4$).
Di mana $f' > 0$ grafik naik dan di mana $f' < 0$ ia turun; maksimum lokal berada di tempat $f'$ berubah dari $+$ ke $-$, minimum lokal di tempat ia berubah dari $-$ ke $+$.
5.5
The Candidates Test for Absolute Extrema · Uji Kandidat untuk Ekstrema Mutlak
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.
Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.
FUN-4.A.3 Absolute (global) extrema of a function on a closed interval can only occur at critical points or at endpoints.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.
Tujuan Pembelajaran FUN-4.A: Justifikasi kesimpulan tentang perilaku fungsi berdasarkan perilaku turunannya.
FUN-4.A.3 Ekstrem absolut (global) dari sebuah fungsi pada interval tertutup hanya dapat terjadi pada titik kritis atau pada ujung-ujung interval.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
On a closed interval, absolute (global) extrema occur only at critical points or endpoints. The candidates test:
List all critical points in $[a,b]$and the two endpoints.
Evaluate $f$ at each candidate.
The largest output is the absolute maximum; the smallest is the absolute minimum.
Show the table of values – the comparison is the argument.
Bahasa Indonesia
Pada interval tertutup, ekstrema mutlak (global) hanya terjadi pada titik kritis atau ujung-ujung interval. Uji kandidat:
Daftar semua titik kritis dalam $[a,b]$dan kedua ujung interval.
Evaluasi $f$ pada setiap kandidat.
Output terbesar adalah maksimum mutlak; yang terkecil adalah minimum mutlak.
Tampilkan tabel nilai – perbandingannya adalah argumennya.
5.6
Concavity and Points of Inflection · Kekurvatan dan Titik Belok
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.
Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.
FUN-4.A.4 The graph of a function is concave up (down) on an open interval if the function's derivative is increasing (decreasing) on that interval.
FUN-4.A.5 The second derivative of a function provides information about the function and its graph, including intervals of upward or downward concavity.
FUN-4.A.6 The second derivative of a function may be used to locate points of inflection for the graph of the original function.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.
Tujuan Pembelajaran FUN-4.A: Justifikasi kesimpulan tentang perilaku fungsi berdasarkan perilaku turunannya.
FUN-4.A.4 Grafik fungsi cekung ke atas (bawah) pada interval terbuka jika turunan fungsi tersebut naik (turun) pada interval itu.
FUN-4.A.5 Turunan kedua dari sebuah fungsi memberikan informasi tentang fungsi dan grafiknya, termasuk interval kelengkungan ke atas atau ke bawah.
FUN-4.A.6 Turunan kedua dari sebuah fungsi dapat digunakan untuk melokalkan titik belok untuk grafik fungsi asli.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The second derivative describes bending:
$f'' > 0$$\Rightarrow$$f$ is concave up 上凹 (curving like a cup; $f'$ is increasing);
$f'' < 0$$\Rightarrow$$f$ is concave down 下凹 ($f'$ is decreasing).
A point of inflection 拐点 is where concavity changes, i.e. where $f''$ changes sign (not merely where $f''=0$). Report its $x$-coordinate and justify with the sign change of $f''$.
Bahasa Indonesia
Turunan kedua menggambarkan kelengkungan:
$f'' > 0$$\Rightarrow$$f$cembung ke atas (melengkung seperti cangkir; $f'$ meningkat);
$f'' < 0$$\Rightarrow$$f$cembung ke bawah ($f'$ menurun).
Titik belok adalah tempat kelengkungan berubah, yaitu di mana $f''$ berubah tanda (bukan hanya di mana $f''=0$). Laporkan koordinat-$x$-nya dan buktikan dengan perubahan tanda $f''$.
Kekurvatatan berasal dari tanda turunan kedua; ia berbalik di titik belok
Explore · Jelajahi
Where concavity flips · Di mana cekungan berubah arah
y = ax³ + bx² + cx + d
Concavity is the sign of $f''$: concave up holds water, concave down spills it. A point of inflection is where it switches. · Cekungan adalah tanda dari $f''$: cekung ke atas menahan air, cekung ke bawah menumpahnya. Titik belok adalah tempat perubahannya terjadi.
5.7
The Second Derivative Test · Uji Turunan Kedua
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.
Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.
FUN-4.A.7 The second derivative of a function may determine whether a critical point is the location of a relative (local) maximum or minimum.
FUN-4.A.8 When a continuous function has only one critical point on an interval on its domain and the critical point corresponds to a relative (local) extremum of the function on the interval, then that critical point also corresponds to the absolute (global) extremum of the function on the interval.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.
Tujuan Pembelajaran FUN-4.A: Justifikasi kesimpulan tentang perilaku fungsi berdasarkan perilaku turunannya.
FUN-4.A.7 Turunan kedua dari sebuah fungsi dapat menentukan apakah titik kritis merupakan lokasi maksimum atau minimum relative (lokal).
FUN-4.A.8 Ketika fungsi kontinu memiliki hanya satu titik kritis pada interval domainnya dan titik kritis tersebut sesuai dengan ekstrem relative (lokal) dari fungsi pada interval tersebut, maka titik kritis tersebut juga sesuai dengan ekstrem absolut (global) dari fungsi pada interval tersebut.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
An alternative way to classify a critical point $c$ where $f'(c)=0$:
$f''(c) > 0$$\Rightarrow$ concave up $\Rightarrow$local minimum;
$f''(c) < 0$$\Rightarrow$ concave down $\Rightarrow$local maximum;
$f''(c) = 0$$\Rightarrow$ the test is inconclusive – fall back on the first derivative test.
Special case: if a continuous function has only one critical point on an interval and it is a local extremum, that point is also the absolute extremum there.
Bahasa Indonesia
Cara alternatif untuk mengklasifikasikan titik kritis $c$ di mana $f'(c)=0$ =
$f''(c) > 0$$\Rightarrow$ cekung ke atas $\Rightarrow$minimum lokal;
$f''(c) < 0$$\Rightarrow$ cekung ke bawah $\Rightarrow$maksimum lokal;
$f''(c) = 0$$\Rightarrow$ uji ini tidak konklusif – beralihlah ke uji turunan pertama.
Kasus khusus: jika sebuah fungsi kontinu hanya memiliki satu titik kritis pada suatu interval dan itu adalah ekstrema lokal, titik tersebut juga merupakan ekstrema mutlak di sana.
5.8
Sketching a Function and Its Derivatives · Menggambar Sketsa Fungsi dan Turunannya
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.
Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.
FUN-4.A.9 Key features of functions and their derivatives can be identified and related to their graphical, numerical, and analytical representations.
FUN-4.A.10 Graphical, numerical, and analytical information from $f'$ and $f''$ can be used to predict and explain the behavior of $f$.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.
Tujuan Pembelajaran FUN-4.A: Justifikasi kesimpulan tentang perilaku fungsi berdasarkan perilaku turunannya.
FUN-4.A.9 Fitur-fitur kunci fungsi dan turunannya dapat diidentifikasi dan dikaitkan dengan representasi grafis, numerik, dan analitis mereka.
FUN-4.A.10 Informasi grafis, numerik, dan analitik dari $f'$ dan $f''$ dapat digunakan untuk memprediksi dan menjelaskan perilaku $f$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Key features of $f$, $f'$, and $f''$ mirror each other. To sketch or read graphs:
$f$ increasing $\Leftrightarrow$$f'$ above the axis; $f$ has a local max $\Leftrightarrow$$f'$ crosses from $+$ to $-$.
$f$ concave up $\Leftrightarrow$$f'$ increasing $\Leftrightarrow$$f''$ above the axis; $f$ has an inflection point $\Leftrightarrow$$f'$ has a local extremum $\Leftrightarrow$$f''$ crosses zero.
Bahasa Indonesia
Fitur utama dari $f$, $f'$, dan $f''$ saling memantulkan. Untuk menggambar sketsa atau membaca grafik:
$f$ naik $\Leftrightarrow$$f'$ di atas sumbu; $f$ memiliki maksimum lokal $\Leftrightarrow$$f'$ menyilang dari $+$ ke $-$.
$f$ cekung ke atas $\Leftrightarrow$$f'$ meningkat $\Leftrightarrow$$f''$ di atas sumbu; $f$ memiliki titik belok $\Leftrightarrow$$f'$ memiliki ekstrema lokal $\Leftrightarrow$$f''$ menyilang nol.
5.9
Connecting f, f-prime, and f-double-prime · Menghubungkan f, f-prime, dan f-double-prime
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.
Learning Objective FUN-4.A: Justify conclusions about the behavior of a function based on the behavior of its derivatives.
FUN-4.A.11 Key features of the graphs of $f$, $f'$, and $f''$ are related to one another.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.
Tujuan Pembelajaran FUN-4.A: Justifikasi kesimpulan tentang perilaku fungsi berdasarkan perilaku turunannya.
FUN-4.A.11 Fitur-fitur utama grafik $f$, $f'$, dan $f''$ saling berkaitan.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
This is the skill of reading one graph to describe another. A very common exam setup gives the graph of $f'$ and asks about $f$: where is $f$ increasing (where $f'>0$), where are $f$'s extrema (where $f'$ crosses zero, with a sign change), where is $f$ concave up (where $f'$ is increasing). Answer questions about $f$ using the height and slope of the $f'$ graph.
Bahasa Indonesia
Ini adalah keterampilan membaca satu grafik untuk menjelaskan yang lain. Pengaturan ujian yang sangat umum memberikan grafik $f'$ dan meminta tentang $f$: di mana $f$ naik (di mana $f'>0$), di mana ekstrema $f$ (di mana $f'$ menyilang nol, dengan perubahan tanda), di mana $f$ cekung ke atas (di mana $f'$ meningkat). Jawab pertanyaan tentang $f$ menggunakan tinggi dan kemiringan dari grafik $f'$.
Explore · Jelajahi
Slope and bend from the graph · Kemiringan dan kelengkungan dari grafik
y = ax³ + bx² + cx + d
Where $f'>0$ the function rises; where $f''>0$ it bends up. Slide the tangent to link the shape of $f$ to the signs of its derivatives. · Di mana $f'>0$ naik; di mana $f''>0$ melengkung ke atas. Geser garis singgung untuk menghubungkan bentuk $f$ ke tanda turunan-turunannya.
5.10
Introduction to Optimization · Pengenalan Optimisasi
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.
Learning Objective FUN-4.B: Calculate minimum and maximum values in applied contexts or analysis of functions.
FUN-4.B.1 The derivative can be used to solve optimization problems; that is, finding a minimum or maximum value of a function on a given interval.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.
Tujuan Pembelajaran FUN-4.B: Hitung nilai minimum dan maksimum dalam konteks terapan atau analisis fungsi.
FUN-4.B.1 Turunan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi; yaitu, menemukan nilai minimum atau maksimum dari sebuah fungsi pada interval tertentu.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Optimisation: the best box
Optimization 最优化 uses the derivative to find the largest or smallest value of a quantity on an interval. It is the candidates/derivative-test machinery applied to a real goal.
Bahasa Indonesia
Optimisasi: kotak terbaik
Optimisasi menggunakan turunan untuk menemukan nilai terbesar atau terkecil dari suatu kuantitas pada interval. Ini adalah mesin uji kandidat/uji turunan yang diterapkan pada tujuan nyata.
Pagar: optimasi menemukan dimensi yang memaksimumkan luas untuk panjang pagar tetap
Solving Optimization Problems · Menyelesaikan Masalah Optimasi
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.
Learning Objective FUN-4.C: Interpret minimum and maximum values calculated in applied contexts.
FUN-4.C.1 Minimum and maximum values of a function take on specific meanings in applied contexts.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.
Tujuan Pembelajaran FUN-4.C: Interpretasikan nilai minimum dan maksimum yang dihitung dalam konteks terapan.
FUN-4.C.1 Nilai minimum dan maksimum dari sebuah fungsi memiliki makna spesifik dalam konteks terapan.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
A dependable procedure:
Write the quantity to optimize as a function of one variable (use a constraint equation to eliminate extras).
State the interval of allowed inputs.
Find critical points ($f'=0$ or undefined) and test them (first- or second-derivative test, or candidates test if the interval is closed).
Answer the question asked, with units and interpretation in context – the maximum area, the minimum cost, etc.
Worked example. A farmer has $100\ \text{m}$ of fence for a rectangular pen against a wall, so only three sides need fencing. Maximize the area. Let the two ends be $x$ and the side parallel to the wall be $y$; the constraint is $2x+y=100$, so $y=100-2x$. The area is
Since $A''=-4<0$ this is a maximum, giving $y=50$ and $A=25\times50=1250\ \text{m}^2$.
Bahasa Indonesia
Prosedur yang dapat diandalkan:
Tuliskan kuantitas yang dioptimalkan sebagai fungsi dari satu variabel (gunakan persamaan kendala untuk menghilangkan variabel tambahan).
Nyatakan interval input yang diperbolehkan.
Temukan titik kritis ($f'=0$ atau tidak terdefinisi) dan uji (uji turunan pertama atau kedua, atau uji kandidat jika interval tertutup).
Jawab pertanyaan yang diajukan, dengan satuan dan interpretasi dalam konteks – luas maksimum, biaya minimum, dll.
Contoh terarah. Seorang petani memiliki $100\ \text{m}$ pagar untuk petak persegi panjang di depan dinding, sehingga hanya tiga sisi yang perlu dipagari. Maksimumkan luasnya. Misalkan dua ujung adalah $x$ dan sisi sejajar dinding adalah $y$; kendalanya adalah $2x+y=100$, sehingga $y=100-2x$. Luasnya adalah
Karena $A''=-4<0$ ini adalah maksimum, memberikan $y=50$ dan $A=25\times50=1250\ \text{m}^2$.
5.12
Behaviors of Implicit Relations · Perilaku Hubungan Implisit
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-4): A function's derivative can be used to understand some behaviors of the function.
Learning Objective FUN-4.D: Determine critical points of implicit relations.
FUN-4.D.1 A point on an implicit relation where the first derivative equals zero or does not exist is a critical point of the function.
Learning Objective FUN-4.E: Justify conclusions about the behavior of an implicitly defined function based on evidence from its derivatives.
FUN-4.E.1 Applications of derivatives can be extended to implicitly defined functions.
FUN-4.E.2 Second derivatives involving implicit differentiation may be relations of $x$, $y$, and $\dfrac{dy}{dx}$.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-4): Turunan suatu fungsi dapat digunakan untuk memahami beberapa perilaku fungsi tersebut.
Tujuan Pembelajaran FUN-4.D: Tentukan titik kritis dari relasi implisit.
FUN-4.D.1 Titik pada relasi implisit di mana turunan pertama sama dengan nol atau tidak ada adalah titik kritis dari fungsi tersebut.
Tujuan Pembelajaran FUN-4.E: Justifikasi kesimpulan tentang perilaku fungsi yang didefinisikan secara implisit berdasarkan bukti dari turunannya.
FUN-4.E.1 Penerapan turunan dapat diperluas ke fungsi-fungsi yang didefinisikan secara implisit.
FUN-4.E.2 Turunan kedua yang melibatkan diferensiasi implisit mungkin berupa relasi dari $x$, $y$, dan $\dfrac{dy}{dx}$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
All of this extends to implicitly defined relations. A critical point of an implicit relation is where $\dfrac{dy}{dx}=0$ (horizontal tangent) or is undefined (vertical tangent). Because $\dfrac{dy}{dx}$ is usually a relation in $x$and$y$, and the second derivative involves $x$, $y$, and $\dfrac{dy}{dx}$, substitute your first-derivative expression back in when finding $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, then reason about concavity from its sign.
Bahasa Indonesia
Semua ini berlaku untuk relasi yang terdefinisi secara implisit. Titik kritis dari relasi implisit adalah tempat $\dfrac{dy}{dx}=0$ (tangen horizontal) atau tidak terdefinisi (tangen vertikal). Karena $\dfrac{dy}{dx}$ biasanya merupakan relasi dalam $x$dan$y$, dan turunan kedua melibatkan $x$, $y$, dan $\dfrac{dy}{dx}$, substitusikan kembali ekspresi turunan pertama Anda saat mencari $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, kemudian analisis kecekungan berdasarkan tandanya.
5.12
Exam tips · Tips ujian
English
$f'>0$ means increasing, $f'<0$ decreasing; candidates for extrema are where $f'=0$ or is undefined.
Classify a critical point with the first-derivative sign change or the second-derivative test ($f''>0$ minimum, $f''<0$ maximum).
$f''>0$ is concave up, $f''<0$ concave down; a point of inflection is where concavity changes ($f''$ changes sign).
For an absolute extremum on a closed interval, also check the endpoints.
Justify every conclusion by citing the sign of $f'$ or $f''$ — the exam demands the reasoning, not just the answer.
Bahasa Indonesia
$f'>0$ berarti naik, $f'<0$ turun; kandidat untuk ekstremum adalah tempat $f'=0$ atau tidak terdefinisi.
Klasifikasikan titik kritis dengan perubahan tanda turunan pertama atau uji turunan kedua ($f''>0$ minimum, $f''<0$ maksimum).
$f''>0$ cekung ke atas, $f''<0$ cekung ke bawah; titik belok adalah tempat kecekungan berubah ($f''$ berubah tanda).
Untuk ekstremum absolut pada interval tertutup, juga periksa titik-titik ujung.
Justifikasi setiap kesimpulan dengan mengutip tanda $f'$ atau $f''$ – ujian menuntut penalaran, bukan hanya jawaban.
6
Integration and Accumulation of Change · Integral dan Akumulasi Perubahan
Exploring Accumulations of Change · Menjelajahi Akumulasi Perubahan
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.
Learning Objective CHA-4.A: Interpret the meaning of areas associated with the graph of a rate of change in context.
CHA-4.A.1 The area of the region between the graph of a rate of change function and the $x$ axis gives the accumulation of change.
CHA-4.A.2 In some cases, accumulation of change can be evaluated by using geometry.
CHA-4.A.3 If a rate of change is positive (negative) over an interval, then the accumulated change is positive (negative).
CHA-4.A.4 The unit for the area of a region defined by rate of change is the unit for the rate of change multiplied by the unit for the independent variable.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (CHA-4): Integral tentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan dalam suatu interval.
Tujuan Pembelajaran CHA-4.A: Menafsirkan makna luas yang terkait dengan grafik laju perubahan dalam konteksnya.
CHA-4.A.1 Luas daerah antara grafik fungsi laju perubahan dan sumbu $x$ memberikan akumulasi perubahan.
CHA-4.A.2 Dalam beberapa kasus, akumulasi perubahan dapat dihitung menggunakan geometri.
CHA-4.A.3 Jika laju perubahan positif (negatif) pada suatu interval, maka akumulasi perubahan bernilai positif (negatif).
CHA-4.A.4 Satuan untuk luas daerah yang didefinisikan oleh laju perubahan adalah satuan laju perubahan dikalikan dengan satuan variabel bebas.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Differentiation found rates. Integration runs the idea in reverse: given a rate of change, it finds the accumulated change 累积变化. The key picture: the area between the graph of a rate function and the $x$-axis gives the total accumulation.
If the rate is positive over an interval, the accumulated change is positive; if negative, negative. Area below the axis counts as negative.
Simple regions (triangles, rectangles) can be found with geometry 几何.
Units: the area's unit is the rate's unit times the input's unit. A rate in vehicles-per-hour times hours gives vehicles.
Bahasa Indonesia
Tangki air: integrasi mengakumulasi perubahan – volume total dari laju aliran
Diferensiasi menemukan laju. Integrasi menjalankan ide tersebut secara terbalik: diberikan laju perubahan, ia menemukan akumulasi perubahan. Gambar utamanya: luas antara grafik fungsi laju dan sumbu $x$ memberikan akumulasi total.
Jika laju positif sepanjang interval, akumulasi perubahan positif; jika negatif, negatif. Area di bawah sumbu dihitung sebagai negatif.
Wilayah sederhana (segitiga, persegi panjang) dapat ditemukan dengan geometri.
Satuan: satuan area adalah satuan laju dikali satuan input. Laju kendaraan-per-jam kali jam menghasilkan kendaraan.
6.2
Approximating Areas with Riemann Sums · Mengaproksimasi Area dengan Jumlah Riemann
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (LIM-5): Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.
Learning Objective LIM-5.A: Approximate a definite integral using geometric and numerical methods.
LIM-5.A.1 Definite integrals can be approximated for functions that are represented graphically, numerically, analytically, and verbally.
LIM-5.A.2 Definite integrals can be approximated using a left Riemann sum, a right Riemann sum, a midpoint Riemann sum, or a trapezoidal sum; approximations can be computed using either uniform or nonuniform partitions.
LIM-5.A.3 Definite integrals can be approximated using numerical methods, with or without technology.
LIM-5.A.4 Depending on the behavior of a function, it may be possible to determine whether an approximation for a definite integral is an underestimate or overestimate for the value of the definite integral.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (LIM-5): Integral tentu dapat didekati menggunakan metode geometris dan numerik.
Tujuan Pembelajaran LIM-5.A: Mendekatkan integral tentu menggunakan metode geometris dan numerik.
LIM-5.A.1 Integral tentu dapat didekati untuk fungsi yang direpresentasikan secara grafis, numerik, analitik, dan verbal.
LIM-5.A.2 Integral tentu dapat didekati menggunakan jumlah Riemann kiri, jumlah Riemann kanan, jumlah Riemann titik tengah, atau jumlah trapesium; pendekatan dapat dihitung menggunakan partisi seragam atau tidak seragam.
LIM-5.A.3 Integral tentu dapat didekati menggunakan metode numerik, dengan atau tanpa teknologi.
LIM-5.A.4 Bergantung pada perilaku fungsi, mungkin dapat ditentukan apakah pendekatan untuk integral tentu merupakan taksiran rendah atau taksiran tinggi untuk nilai integral tentu tersebut.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The integral as area (Riemann sums)Trapezoidal sums approximate area
When exact area is hard, approximate it with a Riemann sum 黎曼和 – split the interval into subintervals and add up rectangle (or trapezoid) areas. The four standard estimates:
Left Riemann sum – rectangle height from the left endpoint of each subinterval.
Right Riemann sum – height from the right endpoint.
Midpoint Riemann sum – height from the midpoint 中点.
Trapezoidal sum 梯形法 – average the two endpoint heights (a trapezoid).
Subintervals may be uniform (equal width) or nonuniform – read widths from the table.
Over- or underestimate? Judge from the behavior of the function: for an increasing function, a left sum underestimates and a right sum overestimates; a trapezoidal sum overestimates when the function is concave up and underestimates when concave down. Exam parts ask you to state which and why.
Worked example. A table gives $f(0)=3$, $f(2)=5$, $f(4)=8$, $f(6)=9$. Estimate $\int_0^6 f(x)\,dx$ with a right Riemann sum of three equal subintervals ($\Delta x=2$). Use the right endpoint of each strip:
$$2\big(f(2)+f(4)+f(6)\big)=2(5+8+9)=44.$$
Since $f$ is increasing, this right sum is an overestimate; the left sum $2(3+5+8)=32$ would be an underestimate.
Bahasa Indonesia
Integral sebagai area (Jumlah Riemann)Jumlah trapesium mengaproksimasi area
Ketika area eksak sulit, aproksimasikan dengan jumlah Riemann – bagi interval menjadi subinterval dan jumlahkan area persegi panjang (atau trapesium). Empat estimasi standar:
Setiap persegi panjang memiliki area $f(x)\,\Delta x$; menambahkannya mengestimasi area, dan saat strip menyempit, jumlah mendekati integral tentu.
Kiri jumlah Riemann – tinggi persegi panjang dari titik kiri setiap subinterval.
Kanan jumlah Riemann – tinggi dari titik kanan.
Titik tengah jumlah Riemann – tinggi dari titik tengah.
Jumlah trapesium – rata-rata dua tinggi titik ujung (trapesium).
Subinterval bisa seragam (lebar sama) atau tidak seragam – baca lebar dari tabel.
Melebih-lebihkan atau meremehkan? Putuskan berdasarkan perilaku fungsi: untuk fungsi naik, jumlah kiri meremehkan dan jumlah kanan melebih-lebihkan; jumlah trapesium melebih-lebihkan ketika fungsi cekung ke atas dan meremehkan ketika cekung ke bawah. Bagian ujian meminta Anda menyatakan mana dan mengapa.
Contoh terarah. Tabel memberikan $f(0)=3$, $f(2)=5$, $f(4)=8$, $f(6)=9$. Estimasi $\int_0^6 f(x)\,dx$ dengan jumlah Riemann kanan tiga subinterval sama ($\Delta x=2$). Gunakan titik ujung kanan setiap strip:
$$2\big(f(2)+f(4)+f(6)\big)=2(5+8+9)=44.$$
Karena $f$ naik, jumlah kanan ini adalah overestimate; jumlah kiri $2(3+5+8)=32$ akan menjadi underestimate.
Explore · Jelajahi
Approximate area with rectangles · Hampirkan luas dengan persegi panjang
y = ax³ + bx² + cx + d
A Riemann sum approximates the area under a curve with rectangles. Add more, thinner rectangles and the estimate converges to the exact definite integral. · Jumlah Riemann menghampiri luas di bawah kurva dengan persegi panjang. Tambahkan lebih banyak persegi panjang yang lebih tipis dan estimasi akan konvergen ke integral tentu yang tepat.
Riemann Sums and Integral Notation · Jumlah Riemann dan Notasi Integral
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (LIM-5): Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.
Learning Objective LIM-5.B: Interpret the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.
LIM-5.B.1 The limit of an approximating Riemann sum can be interpreted as a definite integral.
LIM-5.B.2 A Riemann sum, which requires a partition of an interval $I$, is the sum of products, each of which is the value of the function at a point in a subinterval multiplied by the length of that subinterval of the partition.
Learning Objective LIM-5.C: Represent the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.
LIM-5.C.1 The definite integral of a continuous function $f$ over the interval $[a, b]$, denoted by $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, is the limit of Riemann sums as the widths of the subintervals approach 0. That is, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\Delta x_i$, where $n$ is the number of subintervals, $\Delta x_i$ is the width of the $i$th subinterval, and $x_i^{*}$ is a value in the $i$th subinterval.
LIM-5.C.2 A definite integral can be translated into the limit of a related Riemann sum, and the limit of a Riemann sum can be written as a definite integral.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (LIM-5): Integral tentu dapat didekati menggunakan metode geometris dan numerik.
Tujuan Pembelajaran LIM-5.B: Menafsirkan kasus batas dari jumlah Riemann sebagai integral tentu.
LIM-5.B.1 Limit dari jumlah Riemann pendekatan dapat ditafsirkan sebagai integral tentu.
LIM-5.B.2 Jumlah Riemann, yang memerlukan partisi dari interval $I$, adalah jumlah dari perkalian, di mana setiap perkalian adalah nilai fungsi pada suatu titik dalam subinterval dikalikan dengan panjang subinterval tersebut dari partisi.
Tujuan Pembelajaran LIM-5.C: Merepresentasikan kasus batas dari jumlah Riemann sebagai integral tentu.
LIM-5.C.1 Integral tentu dari fungsi kontinu $f$ atas interval $[a, b]$, dinotasikan dengan $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, adalah limit dari jumlah Riemann saat lebar subinterval mendekati 0. Yaitu, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\Delta x_i$, di mana $n$ adalah jumlah subinterval, $\Delta x_i$ adalah lebar subinterval ke-$i$, dan $x_i^{*}$ adalah nilai dalam subinterval ke-$i$.
LIM-5.C.2 Integral tentu dapat diterjemahkan menjadi limit dari jumlah Riemann yang terkait, dan limit dari jumlah Riemann dapat ditulis sebagai integral tentu.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
As the subinterval widths shrink to zero, the Riemann sum approaches an exact value – the definite integral 定积分:
Here $\Delta x_i$ is the width of the $i$th subinterval and $x_i^{*}$ a point inside it. So a definite integral is the limit of a Riemann sum, and you should be able to translate each into the other.
Bahasa Indonesia
Saat lebar subinterval mengecil menuju nol, jumlah Riemann mendekati nilai eksak – integral tentu:
Di sini $\Delta x_i$ adalah lebar subinterval ke-$i$ dan $x_i^{*}$ adalah titik di dalamnya. Jadi integral tentu adalah limit dari jumlah Riemann, dan Anda harus mampu menerjemahkan satu ke dalam yang lain.
6.4
The Fundamental Theorem of Calculus and Accumulation Functions · Teorema Dasar Kalkulus dan Fungsi Akumulasi
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-5): The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.
Learning Objective FUN-5.A: Represent accumulation functions using definite integrals.
FUN-5.A.1 The definite integral can be used to define new functions.
Illustrative examples for FUN-5.A.1:$f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 If $f$ is a continuous function on an interval containing $a$, then $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, where $x$ is in the interval.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-5): Teorema Fundamental Kalkulus menghubungkan diferensiasi dan integrasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-5.A: Merepresentasikan fungsi akumulasi menggunakan integral tentu.
FUN-5.A.1 Integral tentu dapat digunakan untuk mendefinisikan fungsi baru.
Contoh ilustratif untuk FUN-5.A.1:$f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 Jika $f$ adalah fungsi kontinu pada interval yang memuat $a$, maka $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, di mana $x$ berada dalam interval tersebut.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The Fundamental Theorem of Calculus
A definite integral with a variable upper limit defines a new accumulation function 累积函数. The Fundamental Theorem of Calculus 微积分基本定理 (first part) says differentiation undoes this accumulation: if $f$ is continuous, then
$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x).$$
So if $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, then $g'(x)=f(x)$ and $g''(x)=f'(x)$. This is the engine behind the very common "let $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$" questions.
Bahasa Indonesia
Teorema Dasar Kalkulus
Integral tentu dengan batas atas variabel mendefinisikan fungsi akumulasi baru. Teorema Dasar Kalkulus (bagian pertama) mengatakan diferensiasi membatalkan akumulasi ini: jika $f$ kontinu, maka
$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x).$$
Jadi jika $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, maka $g'(x)=f(x)$ dan $g''(x)=f'(x)$. Ini adalah mesin di balik soal "misalkan $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$" yang sangat umum.
Fungsi akumulasi menambahkan area bertenaga; FTC mengatakan turunannya adalah f
Explore · Jelajahi
Accumulate area as an integral · Akumulasi luas sebagai integral
y = ax³ + bx² + cx + d
An accumulation function$\int_a^x f(t)\,dt$ builds up signed area as $x$ moves. The Fundamental Theorem says its derivative is just $f(x)$. · Fungsi akumulasi$\int_a^x f(t)\,dt$ membangun luas bertanda saat $x$ bergerak. Teorema Fundamental mengatakan turunannya hanyalah $f(x)$.
Fundamental Theorem of Calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/
Teorema Dasar Kalkulus
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/
antiturunan
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/
integral tak tentu
constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/
konstanta integrasi
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/
substitusi u
polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/
pembagian panjang polinomial
completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/
melengkapkan kuadrat sempurna
6.5
Behavior of Accumulation Functions · Perilaku Fungsi Akumulasi
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-5): The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.
Learning Objective FUN-5.A: Represent accumulation functions using definite integrals.
FUN-5.A.3 Graphical, numerical, analytical, and verbal representations of a function $f$ provide information about the function $g$ defined as $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-5): Teorema Fundamental Kalkulus menghubungkan diferensiasi dan integrasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-5.A: Merepresentasikan fungsi akumulasi menggunakan integral tentu.
FUN-5.A.3 Representasi grafis, numerik, analitik, dan verbal dari fungsi $f$ memberikan informasi tentang fungsi $g$ yang didefinisikan sebagai $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Because $g'(x)=f(x)$, everything from Unit 5 applies to an accumulation function using the graph of $f$:
$g$ is increasing where $f>0$ and decreasing where $f<0$;
$g$ has a local extremum where $f$crosses zero (with a sign change);
$g$ is concave up where $f$ is increasing; inflection points of $g$ occur where $f$ has a local extremum.
To get a value of $g$, compute the signed area: $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, adding areas above the axis and subtracting areas below.
Bahasa Indonesia
Karena $g'(x)=f(x)$, semua hal dari Unit 5 berlaku untuk fungsi akumulasi menggunakan grafik $f$:
$g$meningkat di mana $f>0$ dan menurun di mana $f<0$;
$g$ memiliki ekstrema lokal di mana $f$menyilang nol (dengan perubahan tanda);
$g$cekung ke atas di mana $f$meningkat; titik belok dari $g$ terjadi di mana $f$ memiliki ekstrema lokal.
Untuk mendapatkan nilai dari $g$, hitung luas bermula: $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, dengan menambahkan luas di atas sumbu dan mengurangi luas di bawahnya.
6.6
Properties of Definite Integrals · Sifat-Sifat Integral Tertentu
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.
Learning Objective FUN-6.A: Calculate a definite integral using areas and properties of definite integrals.
FUN-6.A.1 In some cases, a definite integral can be evaluated by using geometry and the connection between the definite integral and area.
FUN-6.A.2 Properties of definite integrals include the integral of a constant times a function, the integral of the sum of two functions, reversal of limits of integration, and the integral of a function over adjacent intervals.
FUN-6.A.3 The definition of the definite integral may be extended to functions with removable or jump discontinuities.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-6): Mengenali kesempatan untuk menerapkan pengetahuan geometri dan aturan matematika dapat menyederhanakan integrasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-6.A: Menghitung integral tentu menggunakan luas dan sifat-sifat integral tentu.
FUN-6.A.1 Dalam beberapa kasus, integral tentu dapat dihitung menggunakan geometri dan hubungan antara integral tentu dengan luas.
FUN-6.A.2 Sifat-sifat integral tentu meliputi integral dari konstanta kali fungsi, integral dari jumlah dua fungsi, pembalikan batas integrasi, dan integral dari fungsi atas interval yang bersebelahan.
FUN-6.A.3 Definisi integral tentu dapat diperluas untuk fungsi dengan ketidakterhubungan yang dapat dihilangkan atau lompatan.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
These properties simplify computation and appear constantly:
$$\int_a^a f = 0,\qquad \int_b^a f = -\int_a^b f,\qquad \int_a^b \big(f\pm g\big) = \int_a^b f \pm \int_a^b g,$$
$$\int_a^b k\,f = k\int_a^b f,\qquad \int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f.$$
The last (splitting at an interior point $c$) lets you build a total integral from pieces read off a graph.
Bahasa Indonesia
Sifat-sifat ini menyederhanakan perhitungan dan sering muncul:
$$\int_a^a f = 0,\qquad \int_b^a f = -\int_a^b f,\qquad \int_a^b \big(f\pm g\big) = \int_a^b f \pm \int_a^b g,$$
$$\int_a^b k\,f = k\int_a^b f,\qquad \int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f.$$
Yang terakhir (memecah pada titik interior $c$) memungkinkan Anda membangun integral total dari potongan yang dibaca dari grafik.
6.7
The Fundamental Theorem and Evaluating Integrals · Teorema Fundamental dan Evaluasi Integral
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.
Learning Objective FUN-6.B: Evaluate definite integrals analytically using the Fundamental Theorem of Calculus.
FUN-6.B.1 An antiderivative of a function $f$ is a function $g$ whose derivative is $f$.
FUN-6.B.2 If a function $f$ is continuous on an interval containing $a$, the function defined by $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ is an antiderivative of $f$ for $x$ in the interval.
FUN-6.B.3 If $f$ is continuous on the interval $[a, b]$ and $F$ is an antiderivative of $f$, then $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-6): Mengenali kesempatan untuk menerapkan pengetahuan geometri dan aturan matematika dapat menyederhanakan integrasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-6.B: Mengevaluasi integral tentu secara analitik menggunakan Teorema Fundamental Kalkulus.
FUN-6.B.1 Antiturunan dari fungsi $f$ adalah fungsi $g$ yang turunannya adalah $f$.
FUN-6.B.2 Jika fungsi $f$ kontinu pada suatu interval yang memuat $a$, maka fungsi yang didefinisikan oleh $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ merupakan antiturunan dari $f$ untuk $x$ dalam interval tersebut.
FUN-6.B.3 Jika $f$ kontinu pada interval $[a, b]$ dan $F$ adalah antiturunan dari $f$, maka $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The second part of the Fundamental Theorem evaluates a definite integral using an antiderivative 原函数. If $F'=f$, then
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$$
So: find any antiderivative $F$, then subtract its values at the two limits. This is how most exact integrals are computed. It also gives the net change view: $\int_a^b g'(t)\,dt = g(b)-g(a)$, so a starting value plus accumulated change gives a later value, e.g. $g(5)=g(0)+\int_0^5 g'(t)\,dt$.
Worked example. Evaluate $\int_1^3 (2x+1)\,dx$. An antiderivative is $F(x)=x^2+x$, so
Bagian kedua dari Teorema Fundamental mengevaluasi integral tertentu menggunakan antiturunan. Jika $F'=f$, maka
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$$
Jadi: temukan sembarang antiturunan $F$, lalu kurangkan nilainya pada dua batas. Inilah cara sebagian besar integral eksak dihitung. Ini juga memberikan pandangan perubahan bersih: $\int_a^b g'(t)\,dt = g(b)-g(a)$, sehingga nilai awal ditambah perubahan terkumpul menghasilkan nilai kemudian, mis. $g(5)=g(0)+\int_0^5 g'(t)\,dt$.
Contoh terpecahkan. Evaluasi $\int_1^3 (2x+1)\,dx$. Sebuah antiturunan adalah $F(x)=x^2+x$, sehingga
Integral tertentu adalah luas bermula antara kurva dan sumbu-x
6.8
Antiderivatives and Indefinite Integrals · Antiturunan dan Integral Tak Tentu
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.
Learning Objective FUN-6.C: Determine antiderivatives of functions and indefinite integrals, using knowledge of derivatives.
FUN-6.C.1$\int f(x)\,dx$ is an indefinite integral of the function $f$ and can be expressed as $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, where $F'(x) = f(x)$ and $C$ is any constant.
FUN-6.C.2 Differentiation rules provide the foundation for finding antiderivatives.
FUN-6.C.3 Many functions do not have closed-form antiderivatives.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-6): Mengenali kesempatan untuk menerapkan pengetahuan geometri dan aturan matematika dapat menyederhanakan integrasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-6.C: Tentukan antiturunan dari fungsi dan integral tak tentu, menggunakan pengetahuan tentang turunan.
FUN-6.C.1$\int f(x)\,dx$ adalah integral tak tentu dari fungsi $f$ dan dapat dinyatakan sebagai $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, di mana $F'(x) = f(x)$ dan $C$ adalah sembarang konstanta.
FUN-6.C.2 Aturan diferensiasi menyediakan landasan untuk menemukan antiturunan.
FUN-6.C.3 Banyak fungsi tidak memiliki antiturunan bentuk tertutup.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
An indefinite integral 不定积分 is the family of all antiderivatives, written with a constant of integration 积分常数:
$$\int f(x)\,dx = F(x)+C.$$
Reverse each derivative rule to build the basic antiderivatives:
$$\int \cos x\,dx = \sin x + C,\quad \int \sin x\,dx = -\cos x + C.$$
6.9
Integrating Using Substitution · Mengintegralkan Menggunakan Substitusi
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.
Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.
FUN-6.D.1 Substitution of variables is a technique for finding antiderivatives.
FUN-6.D.2 For a definite integral, substitution of variables requires corresponding changes to the limits of integration.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-6): Mengenali kesempatan untuk menerapkan pengetahuan geometri dan aturan matematika dapat menyederhanakan integrasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-6.D: Untuk integran yang memerlukan substitusi atau penyusunan ulang ke bentuk ekuivalen: (a) Tentukan integral tak tentu. (b) Hitung integral tentu.
FUN-6.D.1 Substitusi variabel adalah teknik untuk menemukan antiturunan.
FUN-6.D.2 Untuk integral tertentu, substitusi variabel memerlukan perubahan yang sesuai pada batas-batas integrasi.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
$u$-substitution 换元积分法 reverses the chain rule. Choose an inside function $u=g(x)$, so $du=g'(x)\,dx$, and rewrite the integral entirely in $u$:
Look for a function and its derivative both present. For a definite integral, either change the limits to $u$-values or convert back to $x$ before substituting the original limits.
Worked example. Evaluate $\int 2x\cos(x^2)\,dx$. The inside function is $u=x^2$, whose derivative $2x\,dx=du$ is present, so
$$\int 2x\cos(x^2)\,dx=\int \cos u\,du=\sin u + C=\sin(x^2)+C.$$
Spotting that $2x$ is exactly $\dfrac{du}{dx}$ is the whole trick.
Bahasa Indonesia
Substitusi $u$ membalikkan aturan rantai. Pilih fungsi dalam $u=g(x)$, sehingga $du=g'(x)\,dx$, dan tulis ulang integral sepenuhnya dalam $u$:
Cari fungsi dan turunannya keduanya hadir. Untuk integral tentu, baik ubah batas menjadi nilai-$u$ atau konversi kembali ke $x$ sebelum mensubstitusikan batas asli.
Contoh terpecahkan. Evaluasi $\int 2x\cos(x^2)\,dx$. Fungsi dalamnya adalah $u=x^2$, yang turunannya $2x\,dx=du$ hadir, sehingga
$$\int 2x\cos(x^2)\,dx=\int \cos u\,du=\sin u + C=\sin(x^2)+C.$$
Mengenali bahwa $2x$ sama persis dengan $\dfrac{du}{dx}$ adalah seluruh triknya.
6.10
Long Division and Completing the Square · Pembagian Panjang dan Melengkapi Kuadrat Sempurna
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.
Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.
FUN-6.D.3 Techniques for finding antiderivatives include rearrangements into equivalent forms, such as long division and completing the square.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (FUN-6): Mengenali kesempatan untuk menerapkan pengetahuan geometri dan aturan matematika dapat menyederhanakan integrasi.
Tujuan Pembelajaran FUN-6.D: Untuk integran yang memerlukan substitusi atau penyusunan ulang ke bentuk ekuivalen: (a) Tentukan integral tak tentu. (b) Hitung integral tentu.
FUN-6.D.3 Teknik untuk mencari antiturunan mencakup penyusunan ulang ke bentuk ekuivalen, seperti pembagian panjang dan melengkapi kuadrat sempurna.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Two algebraic set-up moves let more integrals fit the basic forms: polynomial long division 多项式长除法 when the top degree is $\ge$ the bottom degree of a rational function, and completing the square 配方法 to turn a quadratic denominator into a form that integrates to an arctangent or logarithm.
Bahasa Indonesia
Dua langkah aljabar pengaturan memungkinkan lebih banyak integral sesuai bentuk dasar: pembagian panjang polinomial ketika derajat atas adalah $\ge$ derajat bawah dari fungsi rasional, dan melengkapi kuadrat sempurna untuk mengubah penyebut kuadratik menjadi bentuk yang mengintegrasikan arctangent atau logaritma.
6.14
Selecting Techniques for Antidifferentiation · Memilih Teknik untuk Antidiferensiasi
Syllabus · Silabus
English
This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for antidifferentiation. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to antidifferentiation.
Bahasa Indonesia
Topik ini bertujuan untuk memfokuskan pada keterampilan memilih prosedur yang tepat untuk antiturunan. Siswa harus diberikan kesempatan untuk berpraktik kapan dan bagaimana menerapkan semua tujuan pembelajaran yang berkaitan dengan antiturunan.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
A skill topic: match the integral to a method. Try a basic antiderivative first; look for a $u$-substitution (an inside function whose derivative is also present); use algebra (division, completing the square, splitting a fraction) to reshape the integrand into a standard form. Naming the structure first prevents wasted effort.
Bahasa Indonesia
Topik keterampilan: cocokkan integral dengan metode. Cobalah antiturunan dasar terlebih dahulu; cari substitusi $u$ (fungsi dalam yang turunannya juga hadir); gunakan aljabar (pembagian, melengkapi kuadrat sempurna, memecah pecahan) untuk membentuk ulang integran menjadi bentuk standar. Menamakan struktur terlebih dahulu mencegah usaha sia-sia.
6.14
Exam tips · Tips ujian
English
Integration is antidifferentiation; use the power rule$\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ and don't forget the $+C$.
The Fundamental Theorem links the two: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, and $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Approximate a definite integral with Riemann sums or the trapezoidal rule from a table of values.
A definite integral is a signed area (below the axis counts negative); split at sign changes for total area.
Use u-substitution and remember to change the limits (or back-substitute) accordingly.
Bahasa Indonesia
Integrasi adalah antidiferensiasi; gunakan aturan pangkat$\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ dan jangan lupa $+C$.
Teorema Fundamental menghubungkan keduanya: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, dan $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Perkirakan integral tertentu dengan jumlah Riemann atau aturan trapesium dari tabel nilai.
Integral tertentu adalah luas bermula (di bawah sumbu dihitung negatif); pecah pada perubahan tanda untuk luas total.
Gunakan substitusi u dan ingatlah untuk mengubah batas (atau-substitusi balik) sesuai.
Modeling Situations with Differential Equations · Memodelkan Situasi dengan Persamaan Diferensial
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.
Learning Objective FUN-7.A: Interpret verbal statements of problems as differential equations involving a derivative expression.
FUN-7.A.1 Differential equations relate a function of an independent variable and the function's derivatives.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.
Tujuan Pembelajaran FUN-7.A: Interpretasikan pernyataan verbal masalah sebagai persamaan diferensial yang melibatkan ekspresi turunan.
FUN-7.A.1 Persamaan diferensial menghubungkan fungsi dari variabel bebas dan turunan-turunan dari fungsi tersebut.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
A differential equation 微分方程 is an equation that relates a function to its own derivatives. It describes a situation by its rate of change. For example, "the rate of change of a quantity is proportional to its size" becomes
$$\frac{dy}{dt} = ky.$$
Learning to translate a sentence about a rate into a differential equation is the first skill of this unit.
Bahasa Indonesia
Persamaan diferensial adalah persamaan yang menghubungkan sebuah fungsi dengan turunannya sendiri. Ini menggambarkan situasi melalui laju perubahannya. Misalnya, "laju perubahan suatu kuantitas sebanding dengan ukurannya" menjadi
$$\frac{dy}{dt} = ky.$$
Belajar menerjemahkan kalimat tentang laju menjadi persamaan diferensial adalah keterampilan pertama unit ini.
7.2
Verifying Solutions for Differential Equations · Memverifikasi Solusi untuk Persamaan Diferensial
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.
Learning Objective FUN-7.B: Verify solutions to differential equations.
FUN-7.B.1 Derivatives can be used to verify that a function is a solution to a given differential equation.
FUN-7.B.2 There may be infinitely many general solutions to a differential equation.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.
Tujuan Pembelajaran FUN-7.B: Verifikasi solusi untuk persamaan diferensial.
FUN-7.B.1 Turunan dapat digunakan untuk memverifikasi bahwa suatu fungsi adalah solusi dari persamaan diferensial yang diberikan.
FUN-7.B.2 Mungkin terdapat tak hingga banyak solusi umum untuk sebuah persamaan diferensial.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
A solution 解 of a differential equation is a function that makes it true. You can verify a proposed solution by differentiating it and substituting into the equation: if both sides match, it is a solution. Note a differential equation usually has infinitely many solutions – a whole family – differing by a constant.
Bahasa Indonesia
Solusi dari persamaan diferensial adalah fungsi yang membuatnya benar. Anda dapat memverifikasi solusi yang diusulkan dengan menurunkannya dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan: jika kedua sisi cocok, itu adalah solusi. Perhatikan persamaan diferensial biasanya memiliki tak hingga banyak solusi – keseluruhan keluarga – berbeda oleh konstanta.
7.3
Sketching Slope Fields · Menggambar Medan Kemiringan
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.
Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.
FUN-7.C.1 A slope field is a graphical representation of a differential equation on a finite set of points in the plane.
FUN-7.C.2 Slope fields provide information about the behavior of solutions to first-order differential equations.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.
Tujuan Pembelajaran FUN-7.C: Estimasi solusi untuk persamaan diferensial.
FUN-7.C.1 Medan kemiringan adalah representasi grafik dari persamaan diferensial pada himpunan titik terbatas di bidang.
FUN-7.C.2 Medan kemiringan memberikan informasi tentang perilaku solusi persamaan diferensial orde pertama.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Slope fields & solution curves
A slope field 斜率场 draws the differential equation as a grid of short segments: at each point $(x,y)$ the segment has slope $\dfrac{dy}{dx}$ evaluated there. To sketch one, plug several points into the right-hand side and draw a small segment with that slope at each. The picture shows the shape of the solution curves without solving.
Exam skill. A common part gives a portion of a slope field and asks you to sketch the particular solution through a given point – start at the point and follow the segments, staying tangent to them.
Bahasa Indonesia
Bidang kemiringan & kurva solusi
Medan kemiringan menggambar persamaan diferensial sebagai grid segmen pendek: di setiap titik $(x,y)$ segmen tersebut memiliki kemiringan $\dfrac{dy}{dx}$ yang dievaluasi di sana. Untuk menggambar salah satu, masukkan beberapa titik ke sisi kanan dan gambar segmen kecil dengan kemiringan itu di setiap titik. Gambar menunjukkan bentuk kurva solusi tanpa menyelesaikannya.
Setiap segmen pendek memiliki kemiringan $\dfrac{dy}{dx}$ di titik tersebut; kurva solusi menjalin melaluinya, tetap singgung terhadap medan.
Keterampilan ujian. Bagian umum memberikan sebagian medan kemiringan dan meminta Anda untuk menggambar solusi khusus melalui titik yang diberikan – mulai dari titik dan ikuti segmen-segmen tersebut, tetap singgung dengannya.
Explore · Jelajahi
Read a differential equation as a slope field · Baca persamaan diferensial sebagai medan kemiringan
A slope field draws the slope $dy/dx$ at each point. A solution curve threads through, always tangent to the little segments — you can sketch it by following the flow. · Medan kemiringan menggambar kemiringan $dy/dx$ di setiap titik. Kurva solusi melintasi melalui sana, selalu bersinggungan dengan segmen-segmen kecil — Anda dapat menggambarnya dengan mengikuti aliran.
separation of variables/ˌsepəˈreɪʃn ɒv ˈveərɪəblz/
pemisahan variabel
general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/
solusi umum
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/
syarat awal
particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/
solusi khusus
domain restrictions/dəˈmeɪn rɪˈstrɪkʃnz/
pembatasan domain
exponential growth and decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ænd dɪˈkeɪ/
pertumbuhan dan peluruhan eksponensial
7.4
Reasoning Using Slope Fields · Penalaran Menggunakan Medan Kemiringan
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.
Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.
FUN-7.C.3 Solutions to differential equations are functions or families of functions.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.
Tujuan Pembelajaran FUN-7.C: Estimasi solusi untuk persamaan diferensial.
FUN-7.C.3 Solusi persamaan diferensial adalah fungsi atau keluarga fungsi.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Solutions to a differential equation are functions or families of functions. Read a slope field to reason about behavior: where the segments are flat ($\tfrac{dy}{dx}=0$) the solution is momentarily level; where they steepen the solution rises or falls faster; horizontal rows of equal slope suggest the rate depends only on $y$ (or only on $x$).
Bahasa Indonesia
Solusi persamaan diferensial adalah fungsi atau keluarga fungsi. Bacalah medan kemiringan untuk bernalar tentang perilaku: di mana segmen datar ($\tfrac{dy}{dx}=0$) solusinya sementara mendatar; di mana mereka makin curam solusi naik atau turun lebih cepat; baris horizontal kemiringan sama menunjukkan laju hanya bergantung pada $y$ (atau hanya pada $x$).
7.6
Finding General Solutions Using Separation of Variables · Menemukan Solusi Umum Menggunakan Pemisahan Variabel
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.
Learning Objective FUN-7.D: Determine general solutions to differential equations.
FUN-7.D.1 Some differential equations can be solved by separation of variables.
FUN-7.D.2 Antidifferentiation can be used to find general solutions to differential equations.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.
Tujuan Pembelajaran FUN-7.D: Tentukan solusi umum untuk persamaan diferensial.
FUN-7.D.1 Beberapa persamaan diferensial dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel.
FUN-7.D.2 Antidiferensiasi dapat digunakan untuk menemukan solusi umum persamaan diferensial.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Many exam differential equations are solved by separation of variables 分离变量法. If $\dfrac{dy}{dx}$ factors into a function of $x$ times a function of $y$, move all $y$'s to one side and all $x$'s to the other, then integrate both sides:
Applying $y(0)=2$ gives $A=2$, so the particular solution is $y=2e^{x^2/2}$.
Bahasa Indonesia
Banyak persamaan diferensial ujian diselesaikan dengan pemisahan variabel. Jika $\dfrac{dy}{dx}$ difaktorkan menjadi fungsi dari $x$ dikali fungsi dari $y$, pindahkan semua $y$ ke satu sisi dan semua $x$ ke sisi lain, lalu integralkan kedua sisi:
Menerapkan $y(0)=2$ menghasilkan $A=2$, sehingga solusi khusus adalah $y=2e^{x^2/2}$.
7.7
Finding Particular Solutions Using Initial Conditions and Separation of Variables · Menemukan Solusi Khusus Menggunakan Syarat Awal dan Pemisahan Variabel
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.
Learning Objective FUN-7.E: Determine particular solutions to differential equations.
FUN-7.E.1 A general solution may describe infinitely many solutions to a differential equation. There is only one particular solution passing through a given point.
FUN-7.E.2 The function $F$ defined by $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ is a particular solution to the differential equation $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfying $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Solutions to differential equations may be subject to domain restrictions.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.
Tujuan Pembelajaran FUN-7.E: Tentukan solusi khusus untuk persamaan diferensial.
FUN-7.E.1 Solusi umum mungkin menggambarkan tak hingga banyak solusi untuk persamaan diferensial. Hanya ada satu solusi khusus yang melewati titik tertentu.
FUN-7.E.2 Fungsi $F$ yang didefinisikan oleh $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ adalah solusi khusus untuk persamaan diferensial $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, memenuhi $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Solusi persamaan diferensial mungkin tunduk pada pembatasan domain.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
An initial condition 初始条件 – a known point $(x_0,y_0)$ – pins down one curve from the family. Substitute it to solve for the constant $C$; the result is the particular solution 特解. There is exactly one solution through a given point. Watch for domain restrictions 定义域限制: keep the branch that contains the initial point (for example, the correct sign of a square root).
Bahasa Indonesia
Syarat awal – sebuah titik yang diketahui $(x_0,y_0)$ – menentukan satu kurva dari keluarga kurva tersebut. Substitusikan untuk menyelesaikan konstanta $C$; hasilnya adalah solusi khusus. Tepat ada satu solusi melalui suatu titik yang diberikan. Perhatikan pembatasan domain: pertahankan cabang yang memuat titik awal (misalnya, tanda yang benar untuk akar kuadrat).
Konstanta memberikan keluarga kurva; kondisi awal memilih satu di antaranya
Exponential Models with Differential Equations · Model Eksponensial dengan Persamaan Diferensial
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.
Learning Objective FUN-7.F: Interpret the meaning of a differential equation and its variables in context.
FUN-7.F.1 Specific applications of finding general and particular solutions to differential equations include motion along a line and exponential growth and decay.
FUN-7.F.2 The model for exponential growth and decay that arises from the statement "The rate of change of a quantity is proportional to the size of the quantity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky$.
Learning Objective FUN-7.G: Determine general and particular solutions for problems involving differential equations in context.
FUN-7.G.1 The exponential growth and decay model, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, with initial condition $y = y_0$ when $t = 0$, has solutions of the form $y = y_0 e^{kt}$.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.
Tujuan Pembelajaran FUN-7.F: Interpretasikan makna persamaan diferensial dan variabelnya dalam konteks.
FUN-7.F.1 Aplikasi spesifik dari menemukan solusi umum dan khusus persamaan diferensial meliputi gerakan sepanjang garis dan pertumbuhan serta peluruhan eksponensial.
FUN-7.F.2 Model untuk pertumbuhan dan peluruhan eksponensial yang muncul dari pernyataan "Laju perubahan suatu besaran sebanding dengan ukuran besaran tersebut" adalah $\dfrac{dy}{dt} = ky$.
Tujuan Pembelajaran FUN-7.G: Tentukan solusi umum dan khusus untuk masalah yang melibatkan persamaan diferensial dalam konteks.
FUN-7.G.1 Model pertumbuhan dan peluruhan eksponensial, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, dengan kondisi awal $y = y_0$ ketika $t = 0$, memiliki solusi berbentuk $y = y_0 e^{kt}$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The most important model is exponential growth and decay 指数增长与衰减. The equation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (rate proportional to size) has the solution:
$$y = y_0\,e^{kt},$$
where $y_0$ is the value at $t=0$. Here $k>0$ gives growth and $k<0$ gives decay. You can derive this by separation of variables ($\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$), and it models processes like population growth, radioactive decay, and Newton's law of cooling. A follow-up part may ask for $\dfrac{d^2y}{dt^2}$: differentiate $\dfrac{dy}{dt}=ky$ again (using $\dfrac{dy}{dt}=ky$) to express it in terms of $y$.
Worked example. A sample decays by $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$ (in years) from $y_0=50\ \text{g}$. The solution is $y=50e^{-0.10t}$, so after $10$ years $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$. Its half-life solves $25=50e^{-0.10t}$, i.e. $e^{-0.10t}=\tfrac12$, giving $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ – independent of the starting amount.
Bahasa Indonesia
E. coli di bawah mikroskop: persamaan diferensial memodelkan pertumbuhan eksponensial populasi
Model paling penting adalah pertumbuhan dan peluruhan eksponensial. Persamaan $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (laju sebanding dengan ukuran) memiliki solusi:
$$y = y_0\,e^{kt},$$
di mana $y_0$ adalah nilai pada $t=0$. Di sini $k>0$ memberikan pertumbuhan dan $k<0$ memberikan peluruhan. Anda dapat menurunkan ini dengan pemisahan variabel ($\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$), dan ini memodelkan proses seperti pertumbuhan populasi, peluruhan radioaktif, dan hukum pendinginan Newton. Bagian lanjutan mungkin meminta $\dfrac{d^2y}{dt^2}$: turunkan $\dfrac{dy}{dt}=ky$ lagi (menggunakan $\dfrac{dy}{dt}=ky$) untuk mengekspresikannya dalam bentuk $y$.
Contoh terpecahkan. Sebuah sampel meluruh sebesar $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$ (dalam tahun) dari $y_0=50\ \text{g}$. Solusinya adalah $y=50e^{-0.10t}$, sehingga setelah $10$ tahun $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$. Waktu paruh-nya diselesaikan oleh $25=50e^{-0.10t}$, yaitu $e^{-0.10t}=\tfrac12$, menghasilkan $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ – independen dari jumlah awal.
Cangkir kopi yang mendingin: hukum pendinginan Newton adalah model persamaan diferensial klasik
Explore · Jelajahi
An exponential growth/decay model · Model pertumbuhan/peluruhan eksponensial
y = a·e^(bx) + c
The equation $dy/dt=ky$ has exponential solutions: quantity changes at a rate proportional to itself, giving unbounded growth ($k>0$) or decay to zero ($k<0$). · Persamaan $dy/dt=ky$ memiliki solusi eksponensial: kuantitas berubah pada laju yang berbanding lurus dengan dirinya sendiri, memberikan pertumbuhan tak terbatas ($k>0$) atau peluruhan menuju nol ($k<0$).
7.8
Exam tips · Tips ujian
English
Solve a separable equation by getting all $y$ on one side and all $x$ on the other, then integrating both sides (add $+C$ once).
Use the initial condition to find $C$ (a particular solution).
Sketch or read a slope field: the little segments show $\tfrac{dy}{dx}$ at each point, and a solution curve follows them.
A differential equation gives the slope — you must integrate to recover the function.
Bahasa Indonesia
Selesaikan persamaan dapat dipisahkan dengan mendapatkan semua $y$ di satu sisi dan semua $x$ di sisi lain, lalu integralkan kedua ruas (tambahkan $+C$ sekali).
Gunakan syarat awal untuk menemukan $C$ (solusi khusus).
Sketsa atau baca bidang kemiringan: segmen-segmen kecil menunjukkan $\tfrac{dy}{dx}$ di setiap titik, dan kurva solusi mengikutinya.
Kenali model eksponensial$\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (pertumbuhan/peluruhan).
Persamaan diferensial memberikan kemiringan – Anda harus mengintegralkan untuk mengembalikan fungsi.
It is the constant height of a rectangle on $[a,b]$ with the same area as under $f$. Do not confuse it with the average rate of change (which divides change in $f$ by the interval), or with a Riemann-sum average of a few values – the exam distinguishes these carefully. Report units in context (e.g. the average rate "in vehicles per hour").
Worked example. The average value of $f(x)=x^2$ on $[0,3]$ is
Ini adalah tinggi konstan dari sebuah persegi panjang pada $[a,b]$ dengan luas yang sama di bawah $f$. Jangan bingung dengan laju perubahan rata-rata (yang membagi perubahan $f$ dengan interval), atau dengan rata-rata penjumlahan Riemann dari beberapa nilai – ujian membedakan hal-hal ini dengan hati-hati. Laporkan satuan dalam konteks (misalnya laju rata-rata "dalam kendaraan per jam").
Contoh terpecahkan. Nilai rata-rata dari $f(x)=x^2$ pada $[0,3]$ adalah
The average value of a function · Nilai rata-rata dari sebuah fungsi
y = ax³ + bx² + cx + d
The average value of $f$ on $[a,b]$ is its integral divided by the width — the constant height whose rectangle has the same area as under the curve. · Nilai rata-rata dari $f$ pada $[a,b]$ adalah integralnya dibagi dengan lebar — tinggi konstan yang persegi panjangnya memiliki luas yang sama di bawah kurva.
8.2
Position, Velocity, and Acceleration Using Integrals · Posisi, Kecepatan, dan Percepatan Menggunakan Integral
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.
Learning Objective CHA-4.C: Determine values for positions and rates of change using definite integrals in problems involving rectilinear motion.
CHA-4.C.1 For a particle in rectilinear motion over an interval of time, the definite integral of velocity represents the particle's displacement over the interval of time, and the definite integral of speed represents the particle's total distance traveled over the interval of time.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (CHA-4): Integral tentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan dalam suatu interval.
Tujuan Pembelajaran CHA-4.C: Menentukan nilai posisi dan laju perubahan menggunakan integral tentu dalam masalah yang melibatkan gerak lurus.
CHA-4.C.1 Untuk partikel dalam gerak lurus pada suatu selang waktu, integral tentu dari kecepatan merepresentasikan perpindahan partikel selama selang waktu tersebut, dan integral tentu dari kelajuan merepresentasikan jarak total yang ditempuh partikel selama selang waktu tersebut.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Integration reverses the motion links of Unit 4. For a particle in straight-line motion over $[t_1,t_2]$:
Displacement 位移 (net change in position) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
Total distance travelled 总路程$= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – integrate speed, so direction changes add up instead of cancelling.
Position at a later time $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$; velocity from acceleration $= v(t_1)+\int a$.
The displacement-versus-distance distinction (with the absolute value) is a classic graded point.
Bahasa Indonesia
Integrasi membalikkan hubungan gerak dari Unit 4. Untuk partikel dalam gerak garis lurus selama $[t_1,t_2]$:
Pergeseran (perubahan posisi bersih) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
Jarak tempuh total$= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – integralkan kecepatan, sehingga perubahan arah menambah alih-alih saling meniadakan.
Posisi pada waktu kemudian $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$; kecepatan dari percepatan $= v(t_1)+\int a$.
Pembedaan antara pergeseran dan jarak (dengan nilai mutlak) adalah poin penilaian klasik.
8.3
Accumulation Functions and Definite Integrals in Applied Contexts · Fungsi Akumulasi dan Integral Tentu dalam Konteks Terapan
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.
Learning Objective CHA-4.D: Interpret the meaning of a definite integral in accumulation problems.
CHA-4.D.1 A function defined as an integral represents an accumulation of a rate of change.
CHA-4.D.2 The definite integral of the rate of change of a quantity over an interval gives the net change of that quantity over that interval.
Learning Objective CHA-4.E: Determine net change using definite integrals in applied contexts.
CHA-4.E.1 The definite integral can be used to express information about accumulation and net change in many applied contexts.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Berkelanjutan (CHA-4): Integral tentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan dalam suatu interval.
Tujuan Pembelajaran CHA-4.D: Mengartikan makna integral tentu dalam masalah akumulasi.
CHA-4.D.1 Sebuah fungsi yang didefinisikan sebagai integral merepresentasikan akumulasi dari laju perubahan.
CHA-4.D.2 Integral tentu dari laju perubahan suatu besaran pada suatu selang memberikan perubahan bersih dari besaran tersebut selama selang itu.
Tujuan Pembelajaran CHA-4.E: Menentukan perubahan bersih menggunakan integral tentu dalam konteks terapan.
CHA-4.E.1 Integral tentu dapat digunakan untuk mengekspresikan informasi tentang akumulasi dan perubahan bersih dalam banyak konteks terapan.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
A function defined as an integral accumulates a rate of change. The net change 净变化 theorem is the everyday tool: the definite integral of a rate over an interval gives the net change of the quantity:
So "how much water is in the tank at $t=5$" = starting amount + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. Watch signs (in minus out) and units. Many multi-part FRQs are built entirely on this idea – often paired with "write, but do not evaluate, an integral expression that gives the total...".
Bahasa Indonesia
Fungsi yang didefinisikan sebagai integral mengakumulasikan laju perubahan. Teorema perubahan bersih adalah alat sehari-hari: integral tentu dari suatu laju selama interval memberikan perubahan bersih dari kuantitas tersebut:
Jadi "berapa banyak air yang ada di tangki pada $t=5$" = jumlah awal + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. Perhatikan tanda (masuk dikurangi keluar) dan satuan. Banyak soal FRQ multi-bagian dibangun sepenuhnya atas ide ini – sering dikombinasikan dengan "tuliskan, tetapi jangan evaluasi, ekspresi integral yang memberikan total..."
8.4
Finding the Area Between Curves (Functions of x) · Menemukan Luas Antara Kurva (Fungsi x)
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.
Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.
CHA-5.A.1 Areas of regions in the plane can be calculated with definite integrals.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.
Tujuan Pembelajaran CHA-5.A: Menghitung luas di bidang datar menggunakan integral tentu.
CHA-5.A.1 Luas daerah di bidang datar dapat dihitung dengan integral tentu.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
The area between two curves $y=f(x)$ (top) and $y=g(x)$ (bottom) on $[a,b]$ is:
Daerah arsiran berjalan dari satu titik potong $a$ ke titik potong berikutnya $b$; luasnya adalah $\int_a^b(\text{top}-\text{bottom})\,dx$.
8.5
Finding the Area Between Curves (Functions of y) · Menemukan Luas Antara Kurva (Fungsi y)
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.
Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.
CHA-5.A.2 Areas of regions in the plane can be calculated using functions of either $x$ or $y$.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.
Tujuan Pembelajaran CHA-5.A: Menghitung luas di bidang datar menggunakan integral tentu.
CHA-5.A.2 Luas daerah di bidang datar dapat dihitung menggunakan fungsi dari $x$ atau $y$.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Some regions are easier described with horizontal slices – integrate with respect to $y$:
Pilih irisan $x$- atau $y$-agar tetap memiliki pasangan atas/bawah (atau kanan/kiri) tunggal di seluruh daerah.
8.6
Area Between Curves With More Than Two Intersections · Luas Antara Kurva Dengan Lebih Dari Dua Titik Potong
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.
Learning Objective CHA-5.A: Calculate areas in the plane using the definite integral.
CHA-5.A.3 Areas of certain regions in the plane may be calculated using a sum of two or more definite integrals or by evaluating a definite integral of the absolute value of the difference of two functions.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.
Tujuan Pembelajaran CHA-5.A: Menghitung luas di bidang datar menggunakan integral tentu.
CHA-5.A.3 Luas daerah tertentu di bidang datar dapat dihitung menggunakan jumlah dua atau lebih integral tentu atau dengan mengevaluasi integral tentu dari nilai mutlak selisih dua fungsi.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
If the curves cross more than twice, one function is on top for part of the region and the other on top elsewhere. Split into a sum of integrals at each crossing, or integrate the absolute value of the difference:
$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$
Determine which curve is higher on each subinterval before writing the integrals.
Bahasa Indonesia
Jika kurva berpotongan lebih dari dua kali, satu fungsi berada di atas untuk sebagian daerah dan fungsi lainnya di atas di tempat lain. Pecah menjadi jumlah integral di setiap persimpangan, atau integralkan nilai mutlak dari selisih:
$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$
Tentukan kurva mana yang lebih tinggi pada setiap subinterval sebelum menulis integral.
8.7
Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles · Volume dengan Penampang Melintang: Segiempat dan Persegi Panjang
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.
Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.
CHA-5.B.1 Volumes of solids with square and rectangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.
Tujuan Pembelajaran CHA-5.B: Menghitung volume benda padatan dengan penampang melintang yang diketahui menggunakan integral tentu.
CHA-5.B.1 Volume benda padatan dengan penampang melintang persegi dan persegi panjang dapat ditemukan menggunakan integral tentu dan rumus luas untuk bentuk-bentuk ini.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
If a solid has a known cross section 横截面 perpendicular to an axis, its volume is the integral of the cross-sectional area:
$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$
For square cross sections with side equal to the region's height $s(x)=f(x)-g(x)$, use $A(x)=[s(x)]^2$; for a rectangle of height $k\cdot s(x)$, use $A(x)=k\,[s(x)]^2$. The exam phrase "the base of a solid... cross sections are squares/rectangles" signals exactly this.
Bahasa Indonesia
Seorang pembuat gerabah membentuk wadah: benda putar adalah volume yang terbentuk dengan memutar daerah bidang datar
Jika suatu benda padat memiliki penampang melintang yang diketahui tegak lurus terhadap sumbu, volumenya adalah integral dari luas penampang melintang tersebut:
$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$
Untuk potongan melintang persegi dengan sisi sama dengan tinggi wilayah $s(x)=f(x)-g(x)$, gunakan $A(x)=[s(x)]^2$; untuk persegi panjang dengan tinggi $k\cdot s(x)$, gunakan $A(x)=k\,[s(x)]^2$. Frasa ujian "basis dari sebuah solid... potongan melintangnya adalah persegi/persegi panjang" menandakan hal ini secara spesifik.
8.8
Volumes with Cross Sections: Triangles and Semicircles · Volume dengan Potongan Melintang: Segitiga dan Semicircle
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.
Learning Objective CHA-5.B: Calculate volumes of solids with known cross sections using definite integrals.
CHA-5.B.2 Volumes of solids with triangular cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
CHA-5.B.3 Volumes of solids with semicircular and other geometrically defined cross sections can be found using definite integrals and the area formulas for these shapes.
Illustrative examples for CHA-5.B.3:
The volume of a funnel whose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
The volume of a solid whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).
Bahasa Indonesia
Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.
Tujuan Pembelajaran CHA-5.B: Menghitung volume benda padatan dengan penampang melintang yang diketahui menggunakan integral tentu.
CHA-5.B.2 Volume benda padatan dengan penampang melintang segitiga dapat ditemukan menggunakan integral tentu dan rumus luas untuk bentuk-bentuk ini.
CHA-5.B.3 Volume benda padatan dengan penampang melintang setengah lingkaran dan bentuk geometris lainnya dapat ditemukan menggunakan integral tentu dan rumus luas untuk bentuk-bentuk ini.
Contoh ilustratif untuk CHA-5.B.3:
Volume corong yang penampang melintangnya berupa lingkaran dapat ditemukan menggunakan rumus luas lingkaran dan integral tentu (lihat Soal Ujian AB 2016 FRQ #5(b)).
Volume benda padatan yang luas penampang melintangnya didefinisikan menggunakan fungsi dapat ditemukan menggunakan fungsi luas yang diketahui dan integral tentu (lihat Soal Ujian AB 2009 FRQ #4(c)).
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Same method, different area formula: for an equilateral triangle 三角形 of side $s$, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; for a semicircle 半圆 of diameter $s$, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. Set the shape's key length equal to the region's slice length $s(x)$, then integrate $A(x)$.
Bahasa Indonesia
Metode yang sama, rumus luas berbeda: untuk segitiga beraturan dengan sisi $s$, $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; untuk semicircle dengan diameter $s$, $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. Samakan panjang kunci bentuk tersebut dengan panjang irisan wilayah $s(x)$, lalu integralkan $A(x)$.
Volume with the Disc Method (About the x- or y-Axis) · Volume dengan Metode cakram (Sumbu x atau y)
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.
Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.
CHA-5.C.1 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis may be found by using definite integrals with the disc method.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.
Tujuan Pembelajaran CHA-5.C: Hitung volume benda hasil revolusi menggunakan integral tertentu.
CHA-5.C.1 Volume benda putar memutar sekitar sumbu $x$ atau sumbu $y$ dapat ditemukan menggunakan integral tentu dengan metode cakram.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Solids of revolution: the disc method
Revolving a region around an axis makes a solid of revolution 旋转体. If the region touches the axis, each slice is a disc 圆盘 of radius $r$ = the function value:
$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$
Around the $x$-axis, $r=f(x)$ and integrate in $x$; around the $y$-axis, express $x$ as a function of $y$ and integrate in $y$.
Worked example. Revolve the region under $y=\sqrt{x}$ from $x=0$ to $x=4$ about the $x$-axis. Each disc has radius $r=\sqrt{x}$, so
Memutar wilayah di sekitar sumbu menghasilkan benda putar. Jika wilayah menyentuh sumbu, setiap irisan adalah cakram dengan jari-jari $r$ = nilai fungsi:
$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$
Di sekitar sumbu $x$, $r=f(x)$ dan integrasikan dalam $x$; di sekitar sumbu $y$, nyatakan $x$ sebagai fungsi dari $y$ dan integrasikan dalam $y$.
Metode cakram: memutar y=f(x) di sekitar sumbu menyapu piringan berjari-jari f(x)
Contoh terpecahkan. Putar wilayah di bawah $y=\sqrt{x}$ dari $x=0$ hingga $x=4$ di sekitar sumbu $x$. Setiap cakram memiliki jari-jari $r=\sqrt{x}$, sehingga
Volume with the Disc Method (About Other Axes) · Volume dengan Metode Cakram (Sumbu Lain)
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.
Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.
CHA-5.C.2 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line in the plane may be found by using definite integrals with the disc method.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.
Tujuan Pembelajaran CHA-5.C: Hitung volume benda hasil revolusi menggunakan integral tertentu.
CHA-5.C.2 Volume benda hasil revolusi di sekitar garis horizontal atau vertikal apa pun di bidang dapat ditemukan dengan menggunakan integral tertentu dengan metode cakram.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Around any horizontal or vertical line $y=k$ or $x=k$, the radius is the distance from the curve to that line, e.g. $r(x)=|f(x)-k|$. Set up the radius carefully, then use $V=\pi\int r^2$.
Bahasa Indonesia
Di sekitar garis horizontal atau vertikal apa pun $y=k$ atau $x=k$, jari-jari adalah jarak dari kurva ke garis tersebut, mis. $r(x)=|f(x)-k|$. Tetapkan jari-jari dengan hati-hati, lalu gunakan $V=\pi\int r^2$.
8.11 8.12
Volume with the Washer Method · Volume dengan Metode Washer (Cincin)
Syllabus · Silabus
English
Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.
Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.
CHA-5.C.3 Volumes of solids of revolution around the $x$- or $y$-axis whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.
Tujuan Pembelajaran CHA-5.C: Hitung volume benda hasil revolusi menggunakan integral tertentu.
CHA-5.C.3 Volume benda hasil revolusi di sekitar sumbu $x$ atau $y$ yang penampangnya berbentuk cincin dapat ditemukan menggunakan integral tertentu dengan metode washer.
English
Enduring Understanding (CHA-5): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change in area or volume over an interval.
Learning Objective CHA-5.C: Calculate volumes of solids of revolution using definite integrals.
CHA-5.C.4 Volumes of solids of revolution around any horizontal or vertical line whose cross sections are ring shaped may be found using definite integrals with the washer method.
Bahasa Indonesia
Pemahaman Abadi (CHA-5): Integral tertentu memungkinkan kita menyelesaikan masalah yang melibatkan akumulasi perubahan luas atau volume pada suatu interval.
Tujuan Pembelajaran CHA-5.C: Hitung volume benda hasil revolusi menggunakan integral tertentu.
CHA-5.C.4 Volume benda hasil revolusi di sekitar garis horizontal atau vertikal mana pun yang penampangnya berbentuk cincin dapat ditemukan menggunakan integral tertentu dengan metode washer.
Source: College Board AP Course and Exam Description · Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP
English
Volume by the washer method
When the region does not touch the axis, each slice is a washer 垫圈 (a ring) with an outer radius $R$ and inner radius $r$:
$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$
$R$ is the distance from the axis to the farther boundary and $r$ to the nearer one. Around a line other than an axis, both radii are measured as distances to that line – a very common exam variation (e.g. revolving about $y=-2$).
Bahasa Indonesia
Volume dengan metode washer
Ketika wilayah tidak menyentuh sumbu, setiap irisan adalah washer (cincin) dengan jari-jari luar $R$ dan jari-jari dalam $r$:
$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$
$R$ adalah jarak dari sumbu ke batas lebih jauh dan $r$ ke batas lebih dekat. Di sekitar garis selain sumbu, kedua jari-jari diukur sebagai jarak ke garis tersebut – variasi ujian yang sangat umum (mis. memutar di sekitar $y=-2$).
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Pilih satu dan situs mengikuti Anda — catatan, kertas, video, dan latihan semua terbuka di sana.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Ketik untuk mencari catatan, pelajaran, kode, kosakata, dan pertanyaan soal lama di setiap mata pelajaran.
