פונקציות הכוללות פרמטרים, וקטורים ומטריצות

מטרת הלמידה 4.1.A: לבנות גרף או טבלת ערכים לפונקציה פרמטרית המוצגת אנליטית.

• 4.1.A.1 פונקציה פרמטרית ב$\mathbb{R}^2$, קבוצת כל הזוגות הסדורים של שני מספרים ממשיים, מורכבת מאוסף של שתי משוואות פרמטריות שבהם שני משתנים תלויים, $x$ ו$y$, תלויים במשתנה חופשי יחיד, $t$, הנקרא פרמטר.
• 4.1.A.2 מכיוון שמשתנים $x$ ו$y$ תלויים במשתנה החופשי, $t$, הקואורדינטות $(x_i,\, y_i)$ בזמן $t_i$ ניתנות לכתיבה כפונקציות של $t$ וניתנות לביטוי כפונקציה פרמטרית אחת, $f(t) = (x(t),\, y(t))$, כאשר במקרה זה $x$ ו$y$ הן שמותיהם של שתי פונקציות.
• 4.1.A.3 ניתן ליצור טבלת ערכים מספרית לפונקציה הפרמטרית $f(t) = (x(t),\, y(t))$ על ידי חישוב ערכי $x_i$ ו$y_i$ עבור מספר ערכים של $t_i$ בתחום.
• 4.1.A.4 ניתן לשרטט גרף של פונקציה פרמטרית על ידי חיבור מספר נקודות מטבלת הערכים המספרית בסדר ערכים עולים של $t$.
• 4.1.A.5 תחום הפונקציה הפרמטרית $f$ מוגבל לעיתים קרובות, מה שגורם לקיומו של נקודת התחלה ונקודת סיום בגרף של $f$.

מטרת הלמידה 4.2.A: זיהוי מאפיין מרכזיים של פונקציית תנועה פרמטרית במישור הקשורים למיקום.

• 4.2.A.1 פונקציה פרמטרית נתונה על ידי $f(t) = (x(t),\, y(t))$ יכולה לשמש כדי לדמות תנועת חלקיק במישור. הגרף של פונקציה זו מראה את מיקום החלקיק בזמן $t$.
• 4.2.A.2 האקסטרום האופקי והאנכי של תנועת חלקיק ניתן לקביעה על ידי זיהוי הערכים המקסימליים והמינימליים של הפונקציות $x(t)$ ו-$y(t)$ בהתאמה.
• 4.2.A.3 האפסים הממשיים של הפונקציה $x(t)$ מתאימים לחיתוך עם ציר ⟨$y$⟩, והאפסים הממשיים של $y(t)$ מתאימים לחיתוך עם ציר ⟨$x$⟩.

מטרת הלמידה 4.3.A: זיהוי מאפיין מרכזיים של פונקציית תנועה פרמטרית במישור הקשורים לכיוון ולקצב השינוי.

• 4.3.A.1 ככל שהפרמטר גדל, ניתן לנתח את כיוון התנועה במישור של חלקיק בתלות ב-$x$ וב-$y$ בצורה עצמאית. אם $x(t)$ עולה או יורד, כיוון התנועה הוא ימינה או שמאלה בהתאמה. אם $y(t)$ עולה או יורד, כיוון התנועה הוא למעלה או למטה בהתאמה.
• 4.3.A.2 בכל נקודה נתונה במישור, כיוון התנועה במישור עשוי להיות שונה עבור ערכים שונים של $t$.
• 4.3.A.3 אותו עקומה במישור ניתן לפרמטריזציה בדרכים שונות, וניתן לעבור עליה בכיוונים שונים עם פונקציות פרמטריות שונות.
• 4.3.A.4 על פני מרווח נתון $[t_1,\, t_2]$ בתחום ההגדרה, ניתן לחשב את קצב השינוי הממוצע עבור $x(t)$ ו-$y(t)$ בנפרד. היחס בין קצב השינוי הממוצע של $y$ לקצב השינוי הממוצע של $x$ נותן את שיפוע הגרף בין הנקודות על העקומה המתאימות ל-$t_1$ ול-$t_2$, כל עוד קצב השינוי הממוצע של $x(t) \neq 0$.

מטרת למידה 4.4.A: לבטא תנועה סביב מעגל או לאורך קטע ישר באופן פרמטרי.

• 4.4.A.1 סיבוב מלא נגד כיוון השעון סביב המעגל היחידה שמתחיל ומסתיים ב-$(1,\, 0)$ וממוקם במרכז הצירים ניתן לדגם על ידי $(x(t),\, y(t)) = (\cos t,\, \sin t)$ עם תחום הגדרה $0 \leq t \leq 2\pi$.
• 4.4.A.2 טרנספורמציות של הפונקציה הפרמטרית $(x(t),\, y(t)) = (\cos t,\, \sin t)$ יכולות לדגם כל מסלול עגול שעובר במישור.
• 4.4.A.3 מסלול ליניני לאורך קטע הישר מהנקודה $(x_1,\, y_1)$ לנקודה $(x_2,\, y_2)$ ניתן להזדקן בדרכים רבות, כולל השימוש במיקום התחלתי $(x_1,\, y_1)$ ובקצבי שינוי עבור $x$ ביחס ל-$t$ ועבור $y$ ביחס ל-$t$.

מטרת למידה 4.5.A: לבנות גרף של משוואה הכוללת שני משתנים.

• 4.5.A.1 משוואה הכוללת שני משתנים יכולה לתאר בפונקציות אינליציטיות אחת או יותר.
• 4.5.A.2 ניתן לגרף משוואה הכוללת שני משתנים על ידי מציאת פתרונות למשוואה.
• 4.5.A.3 פתרון אחד מהמשתנים במשוואה הכוללת שני משתנים יכול להגדיר פונקציה שהגרף שלה הוא חלק או כולו בגרף של המשוואה.

מטרת למידה 4.5.B: לקבוע כיצד שתי הכמויות הקשורות בפונקציה המוגדרת אינליציטית משתנות יחד.

• 4.5.B.1 עבור זוגות מסודרים על גרף של פונקציה המוגדרת אינליציטית הקרובים זה לזה, אם היחס בין השינוי בשני המשתנים הוא חיובי, אזי שני המשתנים גדלים בו-זמנית או שניהם קטנים; להפך, אם היחס שלילי, אזי כאשר משתנה אחד גדל, השני קטן.
• 4.5.B.2 קצב השינוי של $x$ ביחס ל-$y$ או של $y$ ביחס ל-$x$ יכול להיות אפס, מה שמעיד על מקטעים אנכיים או אופקיים בהתאמה.

מטרת למידה 4.6.A: לייצג קטעי חרוט בעל סימטריה אופקית או אנכית באופן אנליטי.

• 4.6.A.1 פרבולה עם קודקוד $(h,\, k)$ יכולה, אם $a \neq 0$, להיות מיוצגת אנליטית כ-$x - h = a(y - k)^2$ אם היא נפתחת שמאלה או ימינה, או כ-$y - k = a(x - h)^2$ אם היא נפתחת למעלה או למטה.
• 4.6.A.2 אלipse ממוקמת במרכז $(h,\, k)$ עם רדיוס אופקי $a$ ורדיו אנכי $b$ יכולה להתבטא אנליטית כ-$\dfrac{(x - h)^2}{a^2} + \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1$. עיגול הוא מקרה פרטי של אלipse כאשר $a = b$.
• 4.6.A.3 היפרבולה הממוקמת ב-$(h,\, k)$ עם צירי סימטריה אנכיים ואופקיים יכולה להיות מיוצגת אלגברית כ-$\dfrac{(x - h)^2}{a^2} - \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ עבור היפרבולה הנפתחת שמאלה וימינה, או כ-$\dfrac{(y - k)^2}{b^2} - \dfrac{(x - h)^2}{a^2} = 1$ עבור היפרבולה הנפתחת למעלה ולמטה. האסימפטוטות הן $y - k = \pm \dfrac{b}{a}(x - h)$.

מטרת הלמידה 4.7.A: נציג עקומה במישור באופן פרמטרי.

• 4.7.A.1 פאראמיטרציה $(x(t),\, y(t))$ לפונקציה המוגדרת אי-אקספליסיטית תענה, כאשר $x(t)$ ו$y(t)$ מוחלפים ב$x$ וב$y$ בהתאמה, במשוואה המתאימה עבור כל ערך של $t$ בתחום ההגדרה.
• 4.7.A.2 אם $f$ היא פונקציה של $x$, אזי ניתן לפארמיטר את $y = f(x)$ כ$(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$. אם $f$ מתהפכת, ניתן לפארמיטר את ההתהפכות שלה כ$(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$ עבור טווח מתאים של $t$.

מטרת הלמידה 4.7.B: נציג חתכי קonus באופן פרמטרי.

• 4.7.B.1 פרבולה ניתן לפארמיטר באותו אופן כמו כל משוואה שניתן לפתור עבורה ל$x$ או ל$y$. משוואות שניתן לפתור עבורה ל$x$ ניתן לפארמיטר כ$(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$ על ידי פתרון עבור$x$ והחלפת $y$ ב$t$. משוואות שניתן לפתור עבורה ל$y$ ניתן לפארמיטר כ$(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$ על ידי פתרון עבור$y$ והחלפת $x$ ב$t$.
• 4.7.B.2 אלipse ניתן לפארמיטר באמצעות הפונקציות הטריגונומטריות $x(t) = h + a\cos t$ ו$y(t) = k + b\sin t$ עבור$0 \leq t \leq 2\pi$.
• 4.7.B.3 היפרבולה ניתן לפארמיטר באמצעות פונקציות טריגונומטריות. עבור היפרבולה הנפתחת ימינה ושמאלה, הפונקציות הן $x(t) = h + a\sec t$ ו$y(t) = k + b\tan t$ עבור$0 \leq t \leq 2\pi$. עבור היפרבולה הנפתחת למעלה ולמטה, הפונקציות הן $x(t) = h + a\tan t$ ו$y(t) = k + b\sec t$ עבור$0 \leq t \leq 2\pi$.

מטרת הלמידה 4.8.A: זיהוי מאפיינים של וקטור.

• 4.8.A.1 וקטור הוא קטע ישר מכוון. כאשר וקטור ממוקם במישור, הנקודה בתחילת הקטע נקראת זנב, והנקודה בסוף הקטע נקראת ראש. אורך הקטע הוא הגודל (המגניטודה) של הוקטור.
• 4.8.A.2 וקטור $\overrightarrow{P_1 P_2}$ עם שני רכיבים ניתן לשרטט במישור $xy$ מ-$P_1 = (x_1, y_1)$ עד $P_2 = (x_2, y_2)$. הוקטור מזוהה על ידי $a$ ו-$b$, כאשר $a = x_2 - x_1$ ו-$b = y_2 - y_1$. הוקטור ניתן לבטא כ-$\langle a,\, b \rangle$. וקטור אפס $\langle 0,\, 0 \rangle$ הוא המקרה הפשוט כאשר $P_1 = P_2$.
• 4.8.A.3 הכיוון של הוקטור מקביל לקטע הישר מהראשית לנקודה עם קואורדינטות $(a,\, b)$. הגודל של הוקטור הוא השורש הריבועי של סכום ריבועי הרכיבים.
• 4.8.A.4 עבור וקטור המיוצג גיאומטרית במישור, ניתן למצוא את רכיבי הוקטור באמצעות טריגונומטריה.

מטרת הלמידה 4.8.B: חישוב סכמים ו מכפלות המעורבות בוקטורים.

• 4.8.B.1 הכפלת קבוע בוקטור מובילה לוקטור חדש שרכיביו מתקבלים על ידי הכפלת הקבוע בכל אחד מרכיבי הוקטור המקורי. הוקטור החדש מקביל לוקטור המקורי.
• 4.8.B.2 סכום של שני וקטורים ב$\mathbb{R}^2$ הוא וקטור חדש שרכיביו מתקבלים על ידי חיבור הרכיבים המתאימים של הוקטורים המקוריים. הוקטור החדש ניתן להצגה גרפית כוקטור שזנבו תואם לזנב של הוקטור הראשון וראשו תואם לראש של הוקטור השני כאשר זנב הוקטור השני ממוקם בראש של הוקטור הראשון.
• 4.8.B.3 מכפלת נקודתית של שני וקטורים היא סכום המכפלות של רכיביהם המתאימים. כלומר, $\langle a_1,\, b_1 \rangle \cdot \langle a_2,\, b_2 \rangle = a_1 a_2 + b_1 b_2$.

מטרת הלמידה 4.8.C: חישוב וקטור יחיד עבור וקטור נתון.

• 4.8.C.1 וקטור יחיד הוא וקטור בגודל $1$. וקטור יחיד באותו כיוון של וקטור לא-אפס נתון ניתן למצוא על ידי כפל סקלרי של הוקטור בהופכי הגודל שלו.
• 4.8.C.2 הוקטור $\langle a,\, b \rangle$ ניתן לבטוי כ$a\vec{i} + b\vec{j}$ ב$\mathbb{R}^2$, כאשר $\vec{i}$ ו$\vec{j}$ הם וקטורי יחיד בכיווני ה$x$ וה$y$ בהתאמה. כלומר, $\vec{i} = \langle 1,\, 0 \rangle$ ו$\vec{j} = \langle 0,\, 1 \rangle$.

מטרות למידה 4.8.D: חישוב מדידות זוויות בין וקטורים וגדלים של וקטורים המשתתפים בסכום וקטורי.

• 4.8.D.1 מכפלת נקודתית שווה גיאומטרית למוכפלים של הגדלים של שני הווקטורים ובקוסינוס הזווית ביניהם. לכן, אם מכפלת הנקודה של שני וקטורים אי-אפסיים היא אפס, הווקטורים מאונכים זה לזה.
• 4.8.D.2 ניתן להשתמש בחוק הסינוס וחוק הקוסינוס כדי לקבוע את אורכי הצלעות ומדידות הזוויות במשולשים שנוצרו מסכום וקטורי.

מטרות למידה 4.9.A: ייצוג תנועה במישור באמצעות פונקציות בעלות ערך וקטורי.

• 4.9.A.1 מיקום חלקיק הנע במישור והנתון על ידי הפונקציה הפרמטרית $f(t) = (x(t),\, y(t))$ יכול להיות מיוצג כפונקציה בעלת ערך וקטורי, $p(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}$ או $p(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$. הגודל של וקטור המיקום בזמן $t$ נותן את המרחק מהחלקיק למקור.
• 4.9.A.2 הפונקציה בעלת הערך הוקטורי $v(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$ יכולה לשמש ליצוג מהירות החלקיק הנע במישור בזמנים שונים, $t$. בזמן $t$, סימן ה-$x(t)$ מצביע אם החלקיק נע מימינה או משמאלו, וסימן ה-$y(t)$ מצביע אם החלקיק נע למעלה או למטה. הגודל של וקטור המהירות בזמן $t$ נותן את המהירות (השגב) של החלקיק.

מטרת הלמידה 4.10.A: לחשב את המכפלה של שתי מטריצות.

• 4.10.A.1 מטריצה $n \times m$ היא מערך המורכב מ$n$ שורות ו$m$ עמודות.
• 4.10.A.2 ניתן להכפיל שתי מטריצות רק אם מספר העמודות במטריצה הראשונה שווה למספר השורות במטריצה השנייה. המכפלה של המטריצות היא מטריצה חדשה שבה רכיב בשורה ה$i$ ועמודה ה$j$ הוא מכפלת נקודתית של השורה ה$i$ של המטריצה הראשונה ועמודת ה$j$ של המטריצה השנייה.

מטרת הלמידה 4.11.A: לחשב את ההפוך של מטריצה $2 \times 2$.

• 4.11.A.1 המטריצה היחידה, $I$, היא מטריצה ריבועית המורכבת מ-$1$ים באלכסון משמאל למעלה לימין למטה ומ-$0$ים בכל מקום אחר.
• 4.11.A.2 הכפלת מטריצה ריבועית במטריצת היחידה המתאימה אליה מניבה את המטריצה הריבועית המקורית.
• 4.11.A.3 מכפלת מטריצה ריבועית בהפוכה שלה, כאשר זו קיימת, היא מטריצת היחידה באותו גודל.
• 4.11.A.4 ההפוך של מטריצה $2 \times 2$, כאשר הוא קיים, ניתן לחישוב עם או ללא שימוש בטכנולוגיה.

מטרת למידה 4.11.B: יישום ערך הדטרמיננטה לקיימות הפיכה ולווקטורים.

• 4.11.B.1 הדטרמיננטה של המטריצה $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ היא $ad - bc$. ניתן לחשב את הדטרמיננטה עם או ללא שימוש בטכנולוגיה, והיא מסומנת ב$\det(A)$.
• 4.11.B.2 אם מטריצה $2 \times 2$ מורכבת משני וקטורי עמודים או שורות מהמרחב $\mathbb{R}^2$, אזי הערך המוחלט הלא-אפסי של הדטרמיננטה שלה הוא השטח של המקבילית הנמתחת על ידי הווקטורים המיוצגים בעמודים או בשורות המטריצה. אם הדטרמיננטה שווה ל$0$, אזי הווקטורים מקבילים.
• 4.11.B.3 המטריצה המרובעת $A$ בעלת הפיכה אם ורק אם $\det(A) \neq 0$.

מטרת למידה 4.12.A: קביעת וקטורי היציאה של טרנספורמציה ליניארית באמצעות מטריצה $2 \times 2$.

• 4.12.A.1 טרנספורמציה ליניארית היא פונקציה הממפה וקטור כניסה לוקטור יציאה כך שכל רכיב של וקטור היציאה הוא סכום של מכפלים קבועים של רכיבי וקטור הכניסה.
• 4.12.A.2 טרנספורמציה ליניארית תמפה את הווקטור האפס לוקטור האפס.
• 4.12.A.3 וקטור יחיד במרחב $\mathbb{R}^2$ יכול להיות בלשון מטריצה בגודל $2 \times 1$. קבוצה של $n$ וקטורים במרחב $\mathbb{R}^2$ יכולה להיות בלשון מטריצה בגודל $2 \times n$.
• 4.12.A.4 עבור טרנספורמציה ליניארית $L$, מהמרחב $\mathbb{R}^2$ למרחב $\mathbb{R}^2$, קיימת מטריצה יחידה, $2 \times 2$, מסומנת ב$A$, כך ש$L(\vec{v}) = A\vec{v}$ עבור וקטורים במרחב $\mathbb{R}^2$. להפך, עבור מטריצה נתונה, $2 \times 2$, מסומנת ב$A$, הפונקציה $L(\vec{v}) = A\vec{v}$ היא טרנספורמציה ליניארית מהמרחב $\mathbb{R}^2$ למרחב $\mathbb{R}^2$.
• 4.12.A.5 כפל של מטריצת המרת $2 \times 2$, $A$, ומטריצת ⟨$2 \times n$⟩ של ⟨$n$⟩ וקטורי קלט נותן מטריצת ⟨$2 \times n$⟩ של ⟨$n$⟩ וקטורי הפלט עבור ההמרה הליניארית $L(\vec{v}) = A\vec{v}$.

מטרת למידה 4.13.A: קביעת הקשר בין טרנספורמציה ליניארית למטריצה.

• 4.13.A.1 ההמרה הליניארית המקשרת ⟨$\langle x,\, y \rangle$⟩ ל$\langle a_{11} x + a_{12} y,\, a_{21} x + a_{22} y \rangle$ מקושרת למטריצה $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$.
• 4.13.A.2 המיפוי של וקטורי היחיד בטרנספורמציה ליניארית מספק מידע חשוב לקביעת המטריצה הקשורה.
• 4.13.A.3 המטריצה $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ קשורה לטרנספורמציה ליניארית של וקטורים שמסובבת כל וקטור בזווית $\theta$ נגד כיוון השעון סביב הראשית.
• 4.13.A.4 הערך המוחלט של הדטרמיננטה של מטריצת טרנספורמציה $2 \times 2$ נותן את גודל ההתפשטות (dilation) של אזורות במרחב $\mathbb{R}^2$ תחת הטרנספורמציה.

מטרת למידה 4.13.B: קביעת הרכבה של שתי טרנספורמציות ליניאריות.

• 4.13.B.1 הרכבה של שתי טרנספורמציות ליניאריות היא טרנספורמציה ליניארית.
• 4.13.B.2 המטריצה הקשורה להרכבה של שתי טרנספורמציות ליניאריות היא מכפלת המטריצות הקשורות לכל טרנספורמציה ליניארית.

מטרת הלמידה 4.13.C: מציאת ההופך של טרנספורמציה ליניארית.

• 4.13.C.1 שתי טרנספורמציות ליניאריות הן הופכות זו לזו אם ההרכבה שלהן מפתחת כל וקטור לעצמו.
• 4.13.C.2 אם טרנספורמציה ליניארית, $L$, נתונה על ידי $L(\vec{v}) = A\vec{v}$, אזי הטרנספורמציה ההופכת שלה נתונה על ידי $L^{-1}(\vec{v}) = A^{-1}\vec{v}$, כאשר $A^{-1}$ הוא ההופך של המטריצה $A$.

מטרת הלמידה 4.14.A: בניית מודל של תרחיש המכיל מעברים בין שני מצבים באמצעות מטריצות.

• 4.14.A.1 תרחיש קונטקסטי יכול להצביע על קצב המעברים בין מצבים כשינויים אחוזיים. ניתן לבנות מטריצה על בסיס קצבים אלו כדי לדמות כיצד מצטים משתנים לאורך אינטרוולים דיסקרטיים.

מטרת הלמידה 4.14.B: יישום מודלי מטריצות לחיזוי מצבים עתידיים ועבריים עבור $n$ צעדים של מעבר.

• 4.14.B.1 מכפלה של מטריצה שמדמה מעברים בין מצבים עם וקטור מצב המתאים יכולה לחזות מצבים עתידיים.
• 4.14.B.2 כפל חוזר של מטריצה שמדמה מעברים בין מצסים עם וקטורי מצב תוצאתיים מתאימים יכול לחזות את המצב היציב, כלומר חלוקה בין מצסים שאינה משתנה משלב אחד למשנהו.
• 4.14.B.3 מכפלה של ההופך של מטריצה שמדמה מעברים בין מצסים עם וקטור מצב המתאים יכולה לחזות מצבים עבריים.