מטענים חשמליים, שדות חשמלי וחוק גאוס

פיזיקה AP C: חשמל ומגנטיות · נושא 8

הצגת שקפים אימון

שיעור וידאו לנושא זה פתח את עמוד הוידאו

8.1

מטען חשמלי וכוח חשמלי

סיילבוס

Learning Objective

Essential Knowledge

8.1.A
Describe the electric force that results from the interactions between charged objects or systems.

8.1.A.1 Charge is a fundamental property of all matter.
- 8.1.A.1.i Charge is a scalar quantity and is described as positive or negative.
- 8.1.A.1.ii The magnitude of the charge of a single electron or proton, the elementary charge $e$, can be considered to be the smallest indivisible amount of charge.
- 8.1.A.1.iii The charge of an electron is $-e$ and the charge of a proton is $+e$, and a neutron has no electric charge.
- 8.1.A.1.iv A point charge is a model in which the physical size of a charged object or system is negligible in the context of the situation being analyzed.
8.1.A.2 Coulomb's law describes the electrostatic force between two charged objects as directly proportional to the magnitude of each of the charges and inversely proportional to the square of the distance between the objects.
- Relevant equation: $\left| \vec{F}_E \right| = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \dfrac{|q_1 q_2|}{r^2}$
8.1.A.3 The direction of the electrostatic force depends on the signs of the charges of the interacting objects and is along the line of separation between the objects.
- 8.1.A.3.i Two objects with charges of the same sign exert repulsive forces on each other.
- 8.1.A.3.ii Two objects with charges of opposite signs exert attractive forces on each other.
8.1.A.4 Electric forces are responsible for some of the macroscopic properties of objects in everyday experiences. However, the large number of particle interactions that occur make it more convenient to treat everyday forces in terms of nonfundamental forces called contact forces, such as normal force, friction, and tension.

8.1.B
Describe the electric and gravitational forces that result from interactions between charged objects with mass.

8.1.B.1 Electrostatic forces can be attractive or repulsive, while gravitational forces are always attractive.
8.1.B.2 For any two objects that have mass and electric charge, the magnitude of the gravitational force is usually much smaller than the magnitude of the electrostatic force.
8.1.B.3 Gravitational forces dominate at larger scales even though they are weaker than electrostatic forces, because systems at large scales tend to be electrically neutral.

8.1.C
Describe the electric permittivity of a material or medium.

8.1.C.1 Electric permittivity is a measurement of the degree to which a material or medium is polarized in the presence of an electric field.
8.1.C.2 Electric polarization can be modeled as the induced rearrangement of electrons by an external electric field, resulting in a separation of positive and negative charges within a material or medium.
8.1.C.3 Free space has a constant value of electric permittivity, $\varepsilon_0$, that appears in physical relationships.
8.1.C.4 The permittivity of matter has a value different from that of free space that arises from the matter's composition and arrangement.
- 8.1.C.4.i In a given material, electric permittivity is determined by the ease with which electrons can change configurations within the material.
- 8.1.C.4.ii Conductors are made from electrically conducting materials in which charge carriers move easily; insulators are made from electrically nonconducting materials in which charge carriers cannot move easily.

Boundary statement: AP Physics C: Electricity & Magnetism only expects students to make calculations of the electric force between four or fewer interacting charged objects or systems. The analysis of the resulting electric force from more charges is allowed in situations of high symmetry. Note that students are expected to calculate the electric fields of charge distributions, as described in Topics 8.4 and 8.6.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

מטען חשמלי מגיע בחיובי ושלילי; מטענים זהים דוחים, מנוגדים מושכים. המטען מוכמת – כל מטען הוא כפולה שלמה של מטען יסודי $e=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$ – ועומד בשימור המטען: מטען לעולם אינו נוצר או נהרס, אלא רק מועבר. הכוח בין שני מטעני נקודה נתון על ידי חוק קולון:

$$\vec{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat{r},$$

כוח הפוך-ריבועי לאורך הישר המחבר ביניהם, עם $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=k=9.0\times10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$. עבור מספר מטענים (AP משתמש בארבעה או פחות, אלא אם כן סימטריה עוזרת), הוסף את ווקטורי הכוח על המטען שמעניין אותך – סופרפוזיציה.

מטען הוא תכונה בסיסית של חומר, ומטען נקודה הוא מודל שמתעלם מגודל של גוף טעון. הקבוע $\varepsilon_0$ הוא הפרמיטיביות של ריק – תכונה חומרית של הוואקום. הפרמיטיביות של חומר שונה מ$\varepsilon_0$, נקבעת על פי כמה החומר מקוטב בקלות, ולכן דיאלקטרית בין מטענים מחלישה את הכוח. שימו לב גם שכאשר הכוח החשמלי הרבה חזק מכבידה, כבידה שולטת בקנה מידה אסטרונומי כי גופים גדולים הם כמעט ניטרליים.

דוגמה מפורשת. שני מטענים $+2.0\ \mu\text{C}$ יושבים במרחק $0.30\ \text{m}$: $F=\dfrac{kq_1q_2}{r^2}=\dfrac{9.0\times10^{9}(2.0\times10^{-6})^2}{(0.30)^2}=0.40\ \text{N}$, דחייתי.

דוגמה מפורשת (ווקטורים). מטענים $+3.0\ \mu\text{C}$ ו$-3.0\ \mu\text{C}$ יושבים בשתי פינות של זווית ישרה, כל אחד במרחק $0.30\ \text{m}$ ממטען $+1.0\ \mu\text{C}$ בפינה. כל אחד מפעיל כוח $F=\dfrac{(9.0\times10^{9})(3.0\times10^{-6})(1.0\times10^{-6})}{0.09}=0.30\ \text{N}$ – אחד דוחה, אחד מושך, בזווית ישרה זה לזה. הכוח הכולל הוא $F_{\text{net}}=\sqrt{0.30^2+0.30^2}=0.42\ \text{N}$, מצביע ביניהם. לעולם אל תחבר גודלים blindly: רכיבים קודם.

חקור

חקרו שדה של מטען מקור

שנו את ה-סימן והגודל של המטען. הקווים מצביעים למרחק ממטען חיובי ולכיוון מטען שלילי, והעיסוק שלהם ב-$1/r^2$ ליד המטען מדמה מדוע כוח קולון $F = k\,|q_1 q_2|/r^2$ חולש עם המרחק.

8.2

מטען חשמלי ותהליך הטענה

סיילבוס

מטרות למידה 8.2.A: לתאר את התנהגות מערכת באמצעות שימור המטען.

8.2.A.1 המטען הכולל או חלוקת המטען של מערכת יכולים להשתנות כתוצאה מהנוכחות, או משנויים, במטען הכולל או בחלוקת המטען של מערכות אחרות.
- 8.2.A.1.i המטען הכולל של מערכת יכול להשתנות בשל חיכוך או מגע בין מערכות.
- 8.2.A.1.ii הפרדת מטען מושרית מתרחשת כאשר הכוח האלקטרוסטטי בין שתי מערכות משנה את חלוקת המטענים בתוך המערכות, ומוביל לקיטוב אחת או שתי המערכות.
- 8.2.A.1.iii הפרדת מטען מושרית יכולה להתרחש במערכות ניטרליות.
8.2.A.2 כל שינוי במטען הכולל של מערכת נובע ממעבר מטען בין המערכת לסביבתה.
- 8.2.A.2.i טעינת מערכת כוללת בדרך כלל מעבר אלקטרונים אל תוך המערכת ומהמערכת.
- 8.2.A.2.ii המטען הכולל של מערכת יישאר קבוע אלא אם כן ישנן מעברי מטען אל תוכה או ממנה.
8.2.A.3 חיבור לאדמה (Grounding) כולל חיבור חשמלי של גוף טעון למערכת גדולה בהרבה ובסביבות הניטרלית (למשל, כדור הארץ).

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

מוליך מאפשר למטען לנוע בחופשיות; מבודד מחזיק אותו במקומו. עצמים רוכשים מטען נטו בשלושה דרכים:

הטנה על ידי חיכוך: שפשוף מעביר אלקטרונים מפני שטח אחד לשני.
הטנה על ידי הולכה: מגע עם גוף טעון משתף מטען של אותו סימן.
הטנה על ידי אינדוקציה: מטען קרוב דוחה את המטען של המוליך; חבר לאדמה את הצד הרחוק, הסר את חוט האדמה תחילה, והמוליך נשאר עם הסימן המנוגד – הכל ללא מגע.

מבודד אינו מעביר מטען, אך יכול לפתח קיטוב: המולקלות שלו נמתחות או מסתובבות כך שצד אחד יהיה מעט חיובי והצד השני מעט שלילי. לכן סרק טעון מושך גזרי נייר ניטרליים. אלקטרוסקופ מראה מטען נקי על ידי דחיית העלים שלו; בכל מוליד מבודד המטען העודף יושב כולו על המשטח החיצוני.

חקור

חקרו טעינה בשחיקה

שחיקה מעבירה אלקטרונים למצופה, משאירה אותו טעון שלילית. אובייקט טעון אז מושך קיר ניטרלי או שיער (באמצעות קיטוב) אך דוחה אובייקט אחר עם מטען דומה — אותה העברת אלקטרונים עומדת מאחורי חיכוך, הולכה ואינדוקציה.

8.3

שדות חשמליים

סיילבוס

מטרות למידה 8.3.A: לתאר את השדה החשמלי שנוצר על ידי גוף טעון או סידור של מטענים נקודתיים.

8.3.A.1 שדות חשמליים עשויים לנגוע בגופים טעונים.
8.3.A.2 השדה החשמלי בנקודה נתונה הוא היחס בין הכוח החשמלי הפועל על מטען מבחן בנקודה זו לבין גודל המטען של מטען הבחינה.
- משוואה רלוונטית: $\vec{E} = \dfrac{\vec{F}_E}{q}$
- 8.3.A.2.i מטען מבחן הוא מטען נקודתי בעל גודל קטן מספיק כך שהנוכחות שלו אינה משפיעה משמעותית על השדה החשמלי בסביבתו.
- 8.3.A.2.ii שדה חשמלי מצביע הרחק ממטענים חיוביים בודדים ועלה לעבר מטענים שליליים בודדים.
- 8.3.A.2.iii הכוח החשמלי הפועל על מטען מבחן חיובי על ידי שדה חשמלי הוא באותו כיוון כמו השדה החשמלי.
8.3.A.3 השדה החשמלי הוא גודל וקטורי וניתן לייצוגו במרחב באמצעות מפות שדה וקטורי.
- 8.3.A.3.i השדה החשמלי הכולל במקום נתון הוא הסכום הוקטורי של השדות החשמליים הפרטיים שנוצרו על ידי גופים טעונים הקרובים.
- 8.3.A.3.ii מפות שדה חשמלי משתמשות בווקטורים כדי לייצג את הגודל והכיוון של השדה החשמלי במיקומים רבים בתוך אזור נתון.
- 8.3.A.3.iii דיאגרמות קווי שדה חשמלי הן מודלים מצמצמים של מפות שדה חשמלי וניתן להשתמש בהן כדי לקבוע את הגודל היחסי והכיוון של השדה החשמלי בכל נקודה בדיאגרמה.

מטרות למידה 8.3.B: תאר את השדה החשמלי המופק על ידי מוליכים או בדידים טעונים.

8.3.B.1 בזמן איזון אלקטרוסטטי, המטען העודף של מוליך מתפלג על פני השטח של המוליך, והשדה החשמלי בתוך המוליך הוא אפס.
- 8.3.B.1.i בפני השטח של מוליך טעון, השדה החשמלי מאונך לפני השטח.
- 8.3.B.1.ii השדה החשמלי מחוץ לכדור מבודד עם חלוקת מטען סימטרית-כדורית זהה לשדה החשמלי הנוצר על ידי מטען נקודתי בעל אותו מטען נקי כמו הכדור, הממוקם במרכז הכדור.
8.3.B.2 בזמן איזון אלקטרוסטטי, המטען העודף של בדיד מתפלג בכל עומק הבדיד וגם בפני השטח שלו, והשדה החשמלי בתוך הבדיד עשוי להיות בעל ערך שאינו אפס.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

השדה החשמלי של דו-קוטב

סליל טסלה עם טבע מתכת בראשו, משלוח ניצוצות סגולים ארוכים לאוויר — סליל טסלה משלוח ניצוצות: הוא מעלה את המתח לגובה רב כך שהשדה החשמלי ייונן את האוויר הסביב, והמטען יקפוץ אלפיו בתור פריקה נראית לעין

השדה החשמלי בנקודה הוא הכוח ליחידת מטען שמטען בדיקה חיובי קטן יחוש שם:

$$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q},\qquad \vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\hat{r}\ \text{(point charge)}.$$

מטען הנמצא בשדה חש $\vec{F}=q\vec{E}$ – מטענים חיוביים לאורך השדה, מטענים שליליים נגדו. שדות ממקורות מרובים נוספים וקטורית (שוב עקרון הסופרפוזיציה). קווי שדה הופכים את השדה לנראה לעין: הם מצביעים הרחק ממטען חיובי ועבר מטען שלילי, הצפיפות שלהם מציגה את העוצמה, והם לעולם אינם נחתכים.

דפוסי קווי שדה חשמלי ללוחות מקבילים, דואידי וטען נקודתי

*קווי שדה חשמלי של דיפול מצביעים מהמטען החיובי למטען השלילי

בשדה אחיד מטען חש כוח קבוע, ולכן הוא מאיץ באופן אחיד – אם משוגע צדדית, הוא עוקב אחרי פרבולה, בדיוק כמו גוף שנורה בכבידה.

*מטען שעובר בשדה אחיד עוקב אחרי מסלול פרבולי

אדם שנוגע בגנרטור ואן דה גראף עם השיער עומד על קצהו *המטען מתפשט על הגומחה ועל השיער; מטענים זהים נדחים, ולכן הגישה הדוחות זו את זו

חקור

חקרו קווי שדה של מטען נקודתי

הגדירו את המטען כחיובי או שלילי. קווי השדה מתחילים על מטען חיובי ומסתיימים על מטען שלילי, לעולם אינם נחתכים, ומצטופפים שם שבהם $\vec{E}$ הוא החזק ביותר — הצפיפות בקווים פרופורציונלית לגודל השדה.

מילון מונחים אימון

English	עברית
Electric charge/ɪˈlektrɪk tʃɑːdʒ/	מטען חשמלי
quantized/ˈkwɒntaɪzd/	כמותי
elementary charge/ˌelɪˈmentəri tʃɑːdʒ/	מטען יסודי
conservation of charge/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv tʃɑːdʒ/	שימור מטען
point charges/pɔɪnt ˈtʃɑːdʒɪz/	טענות נקודתיות
Coulomb's law/ˈkuːlɒmz lɔː/	חוק קולון
inverse-square/ɪnˈvɜːs skweə/	הפוך-ריבועי
superposition/ˌsuːpəpəˈzɪʃn/	הפרעה (סופרפוזיציה)
fundamental property/ˌfʌndəˈmentl ˈprɒpəti/	תכונה יסודית
permittivity of free space/ˌpɜːmɪˈtɪvəti ɒv friː speɪs/	הפרמיטיביות של ריק
conductor/kənˈdʌktə/	מו Interructor
insulator/ˈɪnsjuːleɪtə/	בודד חשמלי
Charging by friction/ˈtʃɑːdʒɪŋ baɪ ˈfrɪkʃn/	טעינה בשחיקה
Charging by conduction/ˈtʃɑːdʒɪŋ baɪ kənˈdʌkʃn/	טעינה בהולכה
Charging by induction/ˈtʃɑːdʒɪŋ baɪ ɪnˈdʌkʃn/	טעינה באינדוקציה
ground/ɡraʊnd/	הארקה
polarization/ˌpəʊləraɪˈzeɪʃn/	קיטוב
electroscope/ɪˌlektrəʊˈskəʊp/	אלקטרוסקופ
electric field/ɪˈlektrɪk fiːld/	שדה חשמלי
test charge/test tʃɑːdʒ/	מטען בדיקה
Field lines/fiːld laɪnz/	קווי שדה
uniform/ˈjuːnɪfɔːm/	אחיד
continuous charge distribution/kənˈtɪnjuːəs tʃɑːdʒ ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/	חלוקת טענה רציפה
linear charge density/ˈlɪnɪə tʃɑːdʒ ˈdensɪti/	צפיפות טענה ליניארית
surface charge density/ˈsɜːfɪs tʃɑːdʒ ˈdensɪti/	צפיפות מטען פני שטח
volume charge density/ˈvɒljuːm tʃɑːdʒ ˈdensɪti/	צפיפות טענה נפחית
symmetry/ˈsɪmətri/	סימטריה

8.4

שדות חשמליים של חלוקת מטען

סיילבוס

מטרות למידה 8.4.A: תאר את השדה החשמלי הנובע מחלוקת מטען נתונה.

8.4.A.1 ביטויים לשדה החשמלי של חלוקות מטען ספציפיות ניתן למצוא באמצעות אינטגרציה ועקרון הסופרפוזיציה.
- משוואה רלוונטית: $\vec{E} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \displaystyle\int \dfrac{dq}{r^2} \hat{r}$
8.4.A.2 שיקולים סימטריה של חלוקות מטען מסוימות יכולים לפשט את הניתוח של השדה החשמלי הנובע מחלוקות מטען אלו.

הצהרת גבול: AP Physics C: חשמל ומגנטיות מצפה רק מהסטודנטים להשתמש בקלקולוס כדי למצוא את השדה החשמלי הנובע מחלוקות המטען והמיקומים הבאים: חוט או צילינדר טעונים באופן אחיד ואינסופיים לאורך בציר המרכזי שלהם, טבעת מטען דקה במיקום לאורך הציר של הטבעת, קשת חצי-מעגלית או חלק ממנה במרכזה, וחוט או מטען קווי מוגבל בנקודה הקוליניארית עם המטען הקווי או במיקום לאורך האנכי האמצעי שלו.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

עבור חלוקת מטען רציפה, חתוך את הגוף לחלקים ⟨$dq$⟩ ואסוף את שדות מטעני הנקודה שלהם:

$$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{dq}{r^2}\,\hat{r}.$$

כתוב ⟨$dq$⟩ בעזרת צפיפות מתאימה: ⟨$\lambda\,dl$⟩ עם צפיפות המטען הקויתית (קו או טבע), ⟨$\sigma\,dA$⟩ עם צפיפות המטען השטחית, או ⟨$\rho\,dV$⟩ עם צפיפות המטען הנפחית. לאחר מכן השתמש בסימטריה כדי לבטל רכיבים לפני האינטגרציה – משפט זה הוא לרוב שלב הממונה בחישוב. מקרים של ק্যালקולוס באפר: קו סופי (נקודה מקבילה או אנכית למחצית), תיל אינסופי או צילינדר, טבע על צירו, וקשת במרכזו.

דוגמה מפורטת (טבע, על הציר). טבע ברדיוס ⟨$R$⟩ נושא מטען ⟨$Q$⟩. בנקודה ⟨$z$⟩ לאורך הציר, כל אלמנט נמצא במרחק ⟨$\sqrt{R^2+z^2}$⟩, ובזכות הסימטריה הרכיבים הצדדיים מבטלים זה את זה, ומתאים רק הרכב הצירי ($\cos\alpha=z/\sqrt{R^2+z^2}$):

$$E_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{R^2+z^2}\cdot\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qz}{(R^2+z^2)^{3/2}}.$$

בדוק את הגבולות: ⟨$E=0$⟩ במרכז ($z=0$), והרחוק ($z\gg R$) הוא הופך ל$kQ/z^2$ – מטען נקודה, כפי שחייב להיות.

8.5

זרימה חשמלית

סיילבוס

מטרות למידה 8.5.A: תאר את זרימת החשמל דרך שטח או צורה גיאומטרית כלשהי.

8.5.A.1 זרימה מתארת את כמותו של כמות נתונה שעוברת דרך שטח נתון.
8.5.A.2 עבור שדה חשמלי $\vec{E}$ שקבוע על פני שטח $\vec{A}$, זרימת החשמל דרך השטח מוגדרת כ $\Phi_E = \vec{E} \bullet \vec{A}$.
- 8.5.A.2.i כיוון וקטור השטח מוגדר כמאונך למישור הפני השטח וכלפי חוץ מפני שטח סגור.
- 8.5.A.2.ii הסימן של הזרימה נתון על ידי מכפלת הנקודה של וקטור השדה החשמלי ווקטור השטח.
8.5.A.3 זרימת החשמל הכולל העוברת דרך פני שטח מוגדרת על ידי האינטגרל השטחי של השדה החשמלי על פני הפני שטח.
- משוואה רלוונטית: $\Phi_E = \displaystyle\int \vec{E} \cdot d\vec{A}$

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

*זרימה חשמלית וחוק גאוס

זרימה חשמלית מודדת כמה שדה עובר דרך משטח:

$$\Phi_E=\int \vec{E}\cdot d\vec{A}.$$

שדה אחיד דרך משטח שטוח, $\Phi_E=EA\cos\theta$, כאשר וקטור השטח מאונך למשטח. הפלוקס חיובי כשהקווי שדה יוצאים מפני סגור ושלילי כשהם נכנסים – רק הרכב המאונך של $\vec{E}$ נחשב.

רדיאנס חשמלי דרך משטח תלוי בזווית בין השדה לבין נורמל המשטח

מילון מונחים אימון

English	עברית
Electric flux/ɪˈlektrɪk flʌks/	זרם חשמלי
area vector/ˈeərɪə ˈvektə/	ווקטור שטח
Gauss's law/ˈɡaʊsɪz lɔː/	חוק גאוס

8.6

חוק גאוס

סיילבוס

מטרת הלמידה 8.6.A: לתאר את מאפייני חלוקת מטען על ידי יישום חוק גאוס.

8.6.A.1 חוק גאוס מקשר בין השרף החשמלי דרך פני גאוס לבין המטען הכלוא בתוך הפנים.
- משוואות רלוונטיות: $\Phi_E = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$ ו $\displaystyle\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$
8.6.A.2 פני גאוס הם משטח תלת-ממדי סגור.
8.6.A.3 השרף החשמלי הכולל דרך פני גאוס אינו תלוי בגודל הפנים, כל עוד כמות המטען הכלוא נשארת קבועה.
8.6.A.4 פני גאוס נבונים בדרך כלל כך שהשדה החשמלי הנוצר על ידי המטען הכלוא יהיה אנכי או מקביל לאזורים שונים של פני גאוס, מה שמוביל לאינטגרל משטח מפושט.
8.6.A.5 אם נתונה פונקציה לצפיפות המטען בחלוקת מטען, ניתן לקבוע את המטען הכולל על ידי אינטגרציה של צפיפות המטען לאורך (מימד אחד), שטח (שני ממדים) או נפח (שלושה ממדים) של חלוקת המטען. לדוגמה: $Q_{\text{total}} = \displaystyle\int \rho(\vec{r})\, dV$
8.6.A.6 משוואות מקסוול הן קבוצת המשוואות המתארת במלואה את האלקטרומגנטיות. חוק גאוס הוא המשוואה הראשונה של מקסוול.
- משוואה רלוונטית: $\displaystyle\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$

הצהרת גבול: AP Physics C: חשמל ומגנטיות מצפה רק מתלמידים ליישם כמותית את חוק גאוס למטעני נקודה ולחלוקות מטען בעלות סימטריה כדורית, צילינדרית או מישורית.

מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP

חוק גאוס – המשוואה הראשונה במשוואות מקסוול – מקשר את הרדיאנס דרך כל משטח סגור למטען הכלוא בתוכו:

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.$$

זו מתאים לכל פני סגור, אך זה פתרן עבור $E$ רק כשהסימטריה מאפשרת לבחור פני גאוס שעליהם $E$ הוא קבוע ומאונך (או מקביל, תורמת אפס). שלושת הסימטריות שנבדקות במבחני AP: סימטריה כדורית (כדור מרוכז), סימטריה צילינדרית (צילינדר חופקני) וסימטריה מישורית ("קופסת טabliya" שמעבר למישור).

משטח גאוסי נבחר כדי להתאים לסימטריה של המטען

דוגמה מודגמת (כדור). מחוץ לכדור מטען כולל $Q$, פני גאוס כדוריים ברדיוס $r$ נותנים $E(4\pi r^2)=Q/\varepsilon_0$, ולכן $E=\dfrac{kQ}{r^2}$ – זהה למטען נקודתי במרכז. בתוך כדור מוצק טעון באופן אחיד ברדיוס $R$, הפני מכילים רק $Q_{\text{enc}}=Q\,r^3/R^3$, ולכן $E=\dfrac{kQr}{R^3}$: אפס במרכז, עולה ליניארית עד לפני הכדור.

דוגמה מופרדת (כדור). מחוץ לכדור עם מטען כולל $\lambda$, פני גאוס כדוריים ברדיוס $r$ נותנים $L$, ולכן $\vec{E}\perp d\vec{A}$ – זהה למטען נקודתי במרכז. בתוך כדור מלא טעון באופן אחיד ברדיוס $E(2\pi rL)=\dfrac{\lambda L}{\varepsilon_0}$, הפני כוללים רק $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$, ולכן $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$: אפס במרכז, עולה ליניארית לעבר המשטח.

מיומנות מבחן. תשובה מלאה על חוק גאוס כוללת ארבעה חלקים: שם את הפני, נסח את הארגומנט הסימטריה (מדוע $E$ קבוע ומאונך עליה), ספור את $Q_{\text{enc}}$, ואז פתר. דילוג על המשפט הסימטריה מאבד את נקודת ההסבר – וזכור שחוק גאוס מסביר גם מדוע $E=0$ בתוך כל מוליך בשיווי משקל.

מילון מונחים אימון

English	עברית
Gaussian surface/ˈɡaʊʃn ˈsɜːfɪs/	פני גאוס
spherical symmetry/sˈferɪkl ˈsɪmətri/	סימטריה כדורית
cylindrical symmetry/sɪˈlɪndrɪkl ˈsɪmətri/	סימטריה צילינדרית
planar symmetry/ˈpleɪnə ˈsɪmətri/	סימטריה מישורית

8.6

טיפים לבחינות

השתמש בחוק קולון $F=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{q_1 q_2}{r^2}$ ובסכום כוחות כוקטורים (רכיבים, לא גדלים).
למטען רציף, משלבים $d\vec E$ על פני $dq=\lambda\,dl,\ \sigma\,dA,\ \rho\,dV$; משתמשים בסימטריה כדי לבטל רכיבים.
השדה מצביע רחוק מטען חיובי ולעבר מטען שלילי; שרטטו קווי שדה נכון.
הבדל בין הכוח על מטען ($\vec F=q\vec E$) לבין השדה שהמטען יוצר.
הבדל בין הכוח על מטען ($k=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$) לבין השדה שהמטען יוצר.

שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה

לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.

מבחני עבר

נושאים נוספים בפיזיקה AP C: חשמל ומגנטיות