מוליכים ומכבידים

במוליך אידיאלי, אלקטרונים נעים בחופשיות. אם מוסיפים מטען עודף למוליך, המטענים דוחים זה את זה עד שחולף זמן קצר מאוד והם מתקיים איזון אלקטרוסטטי. במצב זה למוליך יש ארבעה מאפיינים שאתה חייב לדעת להגיד ולהשתמש בהם:

• השדה החשמלי בתוך המוליך הוא אפס. אם לא היה כזה, האלקטרונים החופשיים עדיין היו נעים.
• כל המטען העודף יושב על הפני השטח. (מטען נקי שלילי = אלקטרונים נוספים על הפני השטח; חיובי = מחסור באלקטרונים שם.)
• השדה מיד מחוץ לפני השטח הוא ניצב לפני השטח, בעוצמה $E=\sigma/\varepsilon_0$. כל רכיב מקביל לדחיפת מטען בצד לאורך הפני השטח.
• כל המוליך הוא פני פוטנציאל אחיד: כל נקודה, בתוך ובפני השטח, נמצאת באותו פוטנציאל.

צפיפות המטען הגבוהה ביותר היא במקומות שבהם הפני שטח מתכופפים בחריפות – בנקודות ובקצוות – ולכן השדה החיצוני חזק שם ביותר. בשדה חיצוני, מוליך מתקוטב: המטען משתנה בפני השטח כך שהפנים נותר ללא שדה והגוף נשאר פני פוטנציאל אחיד. סביבת אזור עם מעטפת מוליכת סגורה שומרת על שדות חיצוניים מחוץ לחלוטין – הגנה אלקטרוסטטית, הרעיון שעומד מאחורי כלוב פאראדיי.

כששני מוליכים נוגעים זה בזה (או מחוברים בלולאה), מטען זורם ביניהם עד ששני הפני השטח מגיעים ל-אותו פוטנציאל – זה תנאי עצירת הזרימה, ולא "מטענים שווים". כדור גדול יותר מכיל יותר מטען באותו פוטנציאל ($V=kQ/R$), ולכן הוא לוקח את החלק הגדול יותר.

דוגמה מפורטת. כדור קטן ברדיוס $R$ נושא מטען $+6.0\ \mu\text{C}$ נוגע בכדור רחוק ברדיוס $2R$, ואז הם נפרדים. פוטנציאלים שווים דורשים $\dfrac{kq_1}{R}=\dfrac{kq_2}{2R}$, ולכן $q_2=2q_1$. עם $q_1+q_2=6.0\ \mu\text{C}$: $q_1=2.0\ \mu\text{C}$ ו$q_2=4.0\ \mu\text{C}$.

הארקה היא ייחוס אידיאלי באפס פוטנציאל שיכול לספוג או לספק כל כמות של מטען. הארקת מוליך כאשר מטען חיצוני נמצא בקרבתו משאירה את המוליך עם מטען מושרה נטו: השדה החיצוני דוחה מטען של סימן אחד להארקה, וחיתוך חוט ההארקה לפני הסרת המטען החיצוני לוכד את שאר המטען.

קבל מאחסן מטען על שני מוליכים המופרדים על ידי רווח: $+Q$ על פלט אחת, $-Q$ על הפלט השנייה. ה-קיבול שלו מקשר את המטען המאוחסן להפרש הפוטנציאל בין הפלטים:

הקיבול תלוי רק בגיאומטריה ובחומר שבמרווח – לעולם לא ב$Q$ או ב$\Delta V$ עצמם.

מסקרת מפורטת (צלעות מקבילות). עבור קבל צלעות מקבילות עם שטח צלעות $A$ ומרווח קטן $d$: חוק גאוס יחד עם סופרפוזיציה נותנו שדה אחיד בין הצלעות, $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 A}$ (כל צלע לבדה תורמת $\sigma/2\varepsilon_0$; בין הצלעות שתי התרומות נוספות, מחוץ לצלעות הן מבטלות זו את זו). שדה אחיד פירושו $\Delta V=Ed=\dfrac{Qd}{\varepsilon_0 A}$, ולכן

שרשרת זו של $E\to\Delta V\to C$ היא מסקרת FRQ סטנדרטית – למד אותה כשלושה שלבים, והסתמך עליהם. אותו שיטה טיפול בשתי הצורות האחרות AP מצפה להן: כדורים ממוקדים ($C=4\pi\varepsilon_0\dfrac{ab}{b-a}$) וצילינדר קואקסיאלי באורך $L$, שבו $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ נותן $\Delta V=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{b}{a}$ וכך גם $C=\dfrac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}$.

דוגמה מפורטת. צלעות בשטח $A=0.020\ \text{m}^2$ ומרווח $d=1.0\ \text{mm}$: $C=\dfrac{8.85\times10^{-12}(0.020)}{1.0\times10^{-3}}=1.8\times10^{-10}\ \text{F}$. מטעון ל$100\ \text{V}$ הוא מאחסן $Q=CV=1.8\times10^{-8}\ \text{C}$.

מכיוון שהשדה בין הצלעות הוא אחיד, חלקיק טעון שם מרגיש כוח קבוע, ולכן הוא נע עם תאוצה קבועה – בדיוק כמו תנועת פרוגטייל בכבידה: מהירות קבועה אופקית, תאוצה אחידה לכיוון צלע.

דוגמה פתורה. אלקטרון נכנס במרכז בין לוחות ב$v_0=2.0\times10^{7}\ \text{m/s}$, מקביל אליהם. השדה הוא $E=1.0\times10^{3}\ \text{N/C}$ והלוחות הם $4.0\ \text{cm}$ באורך. האצטות: $a=\dfrac{eE}{m}=\dfrac{(1.6\times10^{-19})(1.0\times10^{3})}{9.11\times10^{-31}}=1.8\times10^{14}\ \text{m/s}^2$. הזמן שבין הלוחות: $t=\dfrac{0.040}{2.0\times10^{7}}=2.0\times10^{-9}\ \text{s}$. הסטייה: $y=\tfrac12at^{2}=\tfrac12(1.8\times10^{14})(2.0\times10^{-9})^{2}\approx3.5\times10^{-4}\ \text{m}$ – כמעט $0.35\ \text{mm}$ כלפי הלוח החיובי.

אחסון מטען דורש עבודה: כוח חיצוני צריך להזיז כל יחידת מטען נגד שדה המטען הקיים. העבודה הכוללת מסתיימת כאנרגיה פוטנציאלית מאוחסנת,

הגורם $\tfrac12$ הוא שטח המשולש מתחת לקו $Q$–$\Delta V$: המטען הראשון שנעבר עלה בעלות זניחה, והאחרון עלה בעלות מלאה של $\Delta V$.

קבלים מחוברים הפוך למנגנונים: במקביל הקבלויות מתחברות ($C_{\text{eq}}=C_1+C_2$, אותו $\Delta V$, המטענים מתחברים), ואילו בסדרה ההפוכים מתחברים ($\tfrac{1}{C_{\text{eq}}}=\tfrac{1}{C_1}+\tfrac{1}{C_2}$, אותו $Q$, המתחים מתחברים).

דוגמה פתורה. קבל $2\ \mu\text{F}$ וקבל $4\ \mu\text{F}$ בסדרה: $\tfrac{1}{C}=\tfrac12+\tfrac14$, ולכן $C=\tfrac43\ \mu\text{F}$. אותה זוגיות במקביל: $6\ \mu\text{F}$.

דיאלקטרק הוא חומר מבודד. המטענים בו אינם יכולים לנוע, אך בשדה חיצוני כל מולקולה נמתחת או מסתובבת מעט – החומר הופך למקוטב. המולקולות המיושרות יוצרות שדה קטן משלהן נגד השדה המופעל, כך שהשדה הנקי בתוך החומר יורד:

כאשר $\kappa$ הוא קבוע הדיאלקטרק, היחס בין קבוע הדיאלקטרק של החומר לבין קבוע הדיאלקטרק של ריק.

מילוי קבל בדיאלקטרק מכפיל את הקבלות שלו:

מה שקורה בהמשך תלוי ב מה שנשאר קבוע – כמעצר ב Exam נפוץ:

דוגמה מודגמת. קבלן $100\ \text{pF}$ נטען ל$12\ \text{V}$, נתקע, ואז מלא בדיאלקטריק $\kappa=3$. $Q$ נכלא, ולכן $\Delta V$ יורד ל$4\ \text{V}$ והאנרגיה האגורה יורד לשליש – האנרגיה החסרה הלכה למשיכת הדיאלקטריק פנימה. מחובר מחדש לסוללה $12\ \text{V}$ במקום זאת, הקבלן יכיל שלוש פעמים יותר מטען ושלוש פעמים יותר אנרגיה.

מיומנות מבחן. תמיד התחל שאלות דיאלקטריק בכתיבה מהכמות הנשמרת קבועה ($Q$ או $\Delta V$), ואז תן ל$C=\kappa C_0$ להניע הכל שאר דרך $Q=C\Delta V$ ו$U=\tfrac12 C(\Delta V)^2$.

• בשיווי משקל אלקטרוסטטי למוליך יש $\vec E=0$ בתוך וכל המטען העודף על הפני.
• יישם אתחוק גאוס $\oint \vec E\cdot d\vec A=\tfrac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$ עם פני גאוס המתאימים לסימטריה (כדור, צילינדר, קופסת טabliya).
• כל המוליך הוא איזו-פוטנציאל אחד, ושדה המשטח מאונך אליו.
• עבור קבלן השתמש ב$C=\tfrac{Q}{V}$, אנרגיה $U=\tfrac12 CV^2$, וכיצה דיאלקטריק מעלה $C$.
• בחר את פני גאוס כך ש$\vec E$ יהיה קבוע ומקביל (או אפס) בכל חלק.