יישומים בהקשר לגזירה

ברגע שתוכל לחשב נגזרות, תשתמש בהן כדי לתאר את העולם האמיתי. הנגזרת $f'(x)$ هي קצב השינוי המיידי של $f$ ביחס לקלט שלה. קריאה ודיווח על קצב זה בצורה נכונה הם מיומנות שמוקדמת עליהן נקודות.

היחידות חשובות. היחידה של $f'(x)$ היא יחידת ה-$f$ מחולקת ביחידת ה-$x$. אם $C(t)$ הוא מספר דונמים ו$t$ הוא בשבועות, אזי $C'(t)$ הוא בדונמים לשבוע. במבחן, "השתמש ביחידות נכונות, פרש את המשמעות של $g'(140)$" דורש משפט מלא: ה-ערך, ה-כמות, מילת הקצב לכל, וה-רגע. לדוגמה: "$g'(140)=2.3$ אומר שב-$x=140$, הכמות עולה בכ-$2.3$ יחידות לכל יחידת $x$."

לחלקיק הנע על קו, שלושה פונקציות של הזמן מקושרות על ידי נגזירה:

• מיקום $s(t)$;
• מהירות $v(t)=s'(t)$ – ממוספרת; הסימן שלה נותן כיוון;
• תאוצה $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

קריאות עיקריות (חלקים נפוצים בשאלוני מבחן):

• החלקיק נמצא במצב רכינה כאשר $v(t)=0$.
• הוא נע ימינה/למעלה כאשר $v(t)>0$ ושמאלה/למטה כאשר $v(t)<0$; הוא משנה כיוון במקום שבו $v$ משנה סימן.
• מהירות קטנאה היא $|v(t)|$. המהירות הקטנאה גדלה כאשר $v$ ו$a$ הם בעלי סימן זהה (החלקיק מאיץ), וקטנה כאשר להם סימנים הפוכים.

דוגמה מופרשת. חלקיק נע עם $s(t)=t^3-6t^2+9t$. אזי $v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$, ולכן הוא במצב רכינה ב$t=1$ וב$t=3$, ומשנה כיוון בכל אחד מהם. ב$t=2$, $v(2)=3(1)(-1)=-3<0$ (נע שמאלה) ו$a(2)=6(2)-12=0$; מיד לאחר מכן, $a>0$ בעוד ש$v<0$, ולכן הוא מתעכב שם. הבדלו בקפדנות בין מהירות (יש לה כיוון) לבין מהירות קטנאה (אין לה) – המבחן בודק בדיוק ההבדל הזה.

אותו עיקרון של נגזרות מדגל כל כמות משתנה: מיכל שנשחק, אוכלוסייה שהתפשטת, כוס מתקררת. בכל פעם שהבעיה אומרת "הקצב שבו...", היא מתארת נגזרת. קראו את היחידות כדי לדעת האילו קצב יש לכם, ואז פרשו בהקשר.

בבעיית קצבים מקושרים, כמה כמויות משתנות יחד לאורך זמן, ויש לכם קצבים מסוימים אך אתם רוצים קצב אחר. המנוע הוא כלל השרשרת: גזרו קשר לפי זמן $t$. כל משתנה הופך לפונקציה של $t$, ולכן כל נגזרת לוקחת פקטור "$\,/\,dt$". ייתכן שתצטרכו גם כללי מכפלה ומחלקה.

procedure אמין – ותבנית מלאה לנקודות מלאות במבחן:

1. הגדירו את המשתנים וכתבו את הקצבים הנתונים ואת הקצב המבוקש (למשל "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ ס"מ/יום, מצאו $\dfrac{dV}{dt}$").
2. כתוב משוואה המקשרת בין הכמויות (לרוב נוסחה גיאומטרית או לנופח).
3. גזר שני האגפים לפי $t$ (כלל השרשרת) – לפני הצבת מספרים.
4. הצב את הערכים הידועים ברגע הרלוונטי, ופתור עבור הקצב המבוקש.
5. ציין תשובה עם יחידות מידה והסימן הנכון (כמות יורדת בעלת קצב שלילי).

דוגמה מופת. אוויר מדוחס לתוך בלון סpherical כך שהנופח שלו גדל בקצב $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. באיזה מהירות גדל הרדיוס כאשר $r=5\ \text{cm}$? התחל מ-$V=\tfrac43\pi r^3$ וגזר לפי $t$ קודם:

קרוב לנקודת מגע, עקום חלק נראה כמו המשיק שלו – זהו ליניאריות מקומית. לכן, המשיק מספק הערכת ליניארית (ליניאריזציה) של הפונקציה בסביבת נקודה זו:

דוגמה מופת. הערך $\sqrt{4.1}$. בחר ב-$f(x)=\sqrt{x}$ וב-$a=4$: $f(4)=2$ ו-$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ כך ש-$f'(4)=\dfrac14$. לאחר מכן $L(4.1)=2+\tfrac14(4.1-4)=2.025$ (הערך האמיתי הוא $2.0248\ldots$). מכיוון ש-$\sqrt{x}$ קעור למטה, המשיק נמצא מעל העקום, ולכן זוהי הערכה מעט מוגזמת – נמק אם יש הערכת יתר או חסר על פי סימן ה-$f''$.

כשצבת ישירה במנה של גבולות נותנת את צורה לא מיודדת של $\dfrac{0}{0}$ או $\dfrac{\infty}{\infty}$, ניתן להשתמש ב-חוק לופיטל:

דוגמה מופת. חשב את $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$. הצבה נותנת $\tfrac00$, ולכן גזר מונה ומכנה: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$ – מאשר את הגבול המפורסם מייחידה 1.

• בבעיות תנועה: מהירות היא הנגזרת של מיקום, תאוצה היא הנגזרת של המהירות; מהירות עולה כאשר למהירות ולתאוצה יש אותו סימן.
• עבור קצבים קשורים, נגזור את המשוואה המקשרת לפי זמן, ולאחר מכן נציב את הערכים הנתונים בסוף.
• השתמש בקו המשיק ל-הערכה ליניארית סמוך לנקודה ידועה; הוא מדויק רק בקרבתה.
• קרא את הסימן של הקצב: חיובי פירונו שהכמויות נעות בכיוון זהה, שלילי פירונו בכיוונים הפוכים.
• תמיד ציין יחידות ופרשן את התשובה בהקשר.