Integrating Using Integration by Parts · Intégration par parties
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| Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | intégration par parties |
The product rule, run backward
- The chain rule reversed gave u-substitution. What reverses the product rule? Integration by parts 分部积分法.
- It handles integrals of a product that substitution can't crack — like $\int x e^x\,dx$.
- The trick: trade a hard integral for an easier one by moving the derivative from one factor to the other.
- It's the BC workhorse for products of unlike functions.
La règle du produit, inversée
- L'inverse de la règle de composition donne la substitution. Qu'est-ce qui inverse la règle du produit ? L'intégration par parties 分部积分法.
- Elle traite les intégrales d'un produit que la substitution ne peut résoudre — comme $\int x e^x\,dx$.
- Le tour de main : échanger une intégrale difficile contre une plus facile en transférant la dérivée d'un facteur à l'autre.
- C'est l'outil principal pour les produits de fonctions différentes dans le programme BC.
Integration by parts is the reverse of which rule? · L'intégration par parties est l'inverse de quelle règle ?
It undoes the product rule. · Elle annule la règle du produit.
The formula
- From the product rule, integrated:
-
$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$
- You pick part of the integrand to be $u$ (which you'll differentiate) and the rest to be $dv$ (which you'll integrate).
- Then $du=u'\,dx$ and $v=\int dv$, and you assemble $uv-\int v\,du$.
La formule
- Dérivée de la règle du produit, intégrée :
-
$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$
- Vous choisissez une partie de l'intégrande pour être $u$ (que vous allez dériver) et le reste pour être $dv$ (que vous allez intégrer).
- Puis $du=u'\,dx$ et $v=\int dv$, et vous assemblez $uv-\int v\,du$.
A product to integrate · Un produit à intégrer
y = a·e^{bx}
Integration by parts trades $\int x e^x$ for the easier $\int e^x$ — moving the derivative off the algebraic factor. · L'intégration par parties échange $\int x e^x$ contre la $\int e^x$ plus facile — en déplaçant la dérivée hors du terme algébrique.
The integration by parts formula is $\int u\,dv=$ · La formule d'intégration par parties est $\int u\,dv=$
$\int u\,dv=uv-\int v\,du$ (mind the minus). · $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ (attention au signe moins).
Choosing $u$ and $dv$ wisely
- Aim to make the new integral $\int v\,du$ simpler than the original.
- A helpful priority for $u$ (LIATE): Logarithm, Inverse trig, Algebraic, Trig, Exponential — pick $u$ from earliest on this list.
- So in $\int x e^x\,dx$: $u=x$ (algebraic) and $dv=e^x\,dx$.
- A good choice collapses the problem; a bad choice makes it worse.
Choisir $u$ et $dv$ avec sagesse
- Visez à rendre la nouvelle intégrale $\int v\,du$ plus simple que l'originale.
- Une priorité utile pour $u$ (LIATE) : Logarithme, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentiel — choisissez $u$ parmi les premiers de cette liste.
- Donc dans $\int x e^x\,dx$ : $u=x$ (algébrique) et $dv=e^x\,dx$.
- Un bon choix simplifie le problème ; un mauvais le complique.
For · Pour $\int x e^x\,dx$, a good choice is $u=$ · Pour $\int x e^x\,dx$, un bon choix est $u=$
By LIATE, the algebraic $x$ is $u$; $dv=e^x\,dx$. · Selon LIATE, l'algébrique $x$ est $u$ ; $dv=e^x\,dx$.
A common mnemonic for choosing $u$ is ____ (L-I-A-T-E). · Un mnémotechnique courant pour choisir $u$ est ____ (L-I-A-T-E).
Logarithm, Inverse trig, Algebraic, Trig, Exponential. · Logarithme, Trig inverse, Algébrique, Trig, Exponentiel.
You should choose $u$ and · et $dv$ so the new integral $\int v\,du$ is simpler than the original. · Vous devriez choisir $u$ et $dv$ de sorte que la nouvelle intégrale $\int v\,du$ soit plus simple que l'originale.
That is the whole point of the choice. · C'est tout le point du choix.
Sometimes repeat, sometimes loop
- If $\int v\,du$ is still a product, apply integration by parts again.
- For $\int x^2 e^x\,dx$ you'd use it twice, peeling one power of $x$ each time.
- A few integrals (like $\int e^x\sin x\,dx$) loop back to the original — solve algebraically for it.
- Keep $u,du,v,dv$ neatly labeled to avoid sign errors.
Parfois répéter, parfois boucler
- Si $\int v\,du$ est encore un produit, appliquez l'intégration par parties encore.
- Pour $\int x^2 e^x\,dx$, vous l'utiliserez deux fois, retirant une puissance de $x$ à chaque étape.
- Certaines intégrales (comme $\int e^x\sin x\,dx$) bouclent vers l'original — résolvez algébriquement pour la trouver.
- Gardez $u,du,v,dv$ clairement étiqueté pour éviter les erreurs de signe.
$\displaystyle\int x e^x\,dx=$
$xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x+C$.
Choose $u$ and $dv$ so that $\int v\,du$ is simpler — the wrong pick can make it harder or send you in circles. Don't forget the minus sign: the formula is $uv-\int v\,du$. And $v$ is any antiderivative of $dv$ (drop its $+C$ until the very end of a definite/indefinite result).
Choisissez $u$ et $dv$ de sorte que $\int v\,du$ soit plus simple — un mauvais choix peut le rendre plus difficile ou vous faire tourner en rond. N'oubliez pas le signe moins : la formule est $uv-\int v\,du$. Et $v$ est n'importe quelle primitive de $dv$ (retirez son $+C$ jusqu'à la toute fin d'un résultat défini/indéfini).
Evaluate $\displaystyle\int x e^x\,dx$.
- Let $u=x$, $dv=e^x\,dx$. Then $du=dx$, $v=e^x$.
- $\displaystyle\int x e^x\,dx = uv-\int v\,du = x e^x - \int e^x\,dx$.
- $= x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C$.
Évaluez $\displaystyle\int x e^x\,dx$.
- Posons $u=x$, $dv=e^x\,dx$. Alors $du=dx$, $v=e^x$.
- $\displaystyle\int x e^x\,dx = uv-\int v\,du = x e^x - \int e^x\,dx$.
- $= x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C$.
Integration by parts reverses the product rule: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$. Choose $u$ (to differentiate) and $dv$ (to integrate) — via LIATE — so that $\int v\,du$ is simpler. Mind the minus sign, and apply it repeatedly (or solve the loop) when needed.
L'intégration par parties inverse la règle du produit : $\int u\,dv=uv-\int v\,du$. Choisissez $u$ (à dériver) et $dv$ (à intégrer) — via LIATE — afin que $\int v\,du$ soit plus simple. Faites attention au signe moins, et appliquez-le à plusieurs reprises (ou résolvez le circuit) si nécessaire.