Integrating Using Linear Partial Fractions · Intégration par fractions partielles linéaires
| English | Français |
|---|---|
| Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | Décomposition en fractions simples |
| linear factor/ˈlɪnɪə ˈfæktə/ | facteur linéaire |
Break one hard fraction into easy ones
- Some rational functions can't be integrated directly, but split apart they become simple logs.
- Partial fractions 部分分式 rewrites one fraction as a sum of smaller fractions.
- Each piece has a single linear factor 一次因式 in its denominator — easy to integrate as a $\ln$.
- It's the reverse of adding fractions over a common denominator.
Découper une fraction difficile en fractions faciles
- Certaines fonctions rationnelles ne peuvent pas être intégrées directement, mais découpées, elles deviennent des logarithmes simples.
- Les fractions partielles 部分分式 réécrivent une fraction comme une somme de fractions plus petites.
- Chaque morceau a un seul facteur linéaire 一次因式 au dénominateur — facile à intégrer comme un $\ln$.
- C'est l'inverse de l'addition de fractions sur un dénominateur commun.
Set up the decomposition
- Start with a rational function whose denominator factors into distinct linear factors.
- $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ for constants $A,B$ to be found.
- Each distinct linear factor $(x-r)$ gets its own term $\dfrac{\text{constant}}{x-r}$.
- (The numerator's degree must be less than the denominator's — divide first if not.)
Préparer la décomposition
- Commencez avec une fonction rationnelle dont le dénominateur se factorise en facteurs linéaires distincts.
- $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ pour les constantes $A,B$ à trouver.
- Chaque facteur linéaire distinct $(x-r)$ obtient sa propre terme $\dfrac{\text{constant}}{x-r}$.
- (Le degré du numérateur doit être inférieur à celui du dénominateur — diviser d'abord si ce n'est pas le cas.)
A rational function to split · Une fonction rationnelle à fractionner
y = a / (x − b)
A fraction over $(x-1)(x+2)$ has two vertical asymptotes; partial fractions splits it into two simple $\ln$ pieces. · Une fraction sur $(x-1)(x+2)$ a deux asymptotes verticales ; les fractions partielles la divisent en deux pièces simples $\ln$.
The partial-fraction form of $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$ is... · La forme de fractions partielles de $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$ est...
One constant over each distinct linear factor. · Une constante sur chaque facteur linéaire distinct.
If the numerator degree is not less than the denominator degree, you must divide first. · Si le degré du numérateur n'est pas inférieur à celui du dénominateur, vous devez d'abord diviser.
Partial fractions needs a proper fraction. · Les fractions partielles nécessitent une fraction propre.
This lesson handles denominators that factor into distinct ____ factors. · Cette leçon traite des dénominateurs qui se factorisent en des facteurs ____ distincts.
Distinct linear factors $(x-r)$. · Facteurs linéaires distincts $(x-r)$.
Solve for the constants
- Multiply both sides by the common denominator to clear fractions.
- Then find $A,B$ by matching coefficients or by plugging in the roots (a fast shortcut).
- For $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$: at $x=1$, $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$; at $x=-2$, $1=B(-3)\Rightarrow B=-\tfrac13$.
- Now the integral is a sum of simple pieces.
Résoudre pour les constantes
- Multipliez les deux côtés par le dénominateur commun pour éliminer les fractions.
- Ensuite, trouvez $A,B$ en égalisant les coefficients ou en substituant les racines (un raccourci rapide).
- Pour $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$ : à $x=1$, $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$ ; à $x=-2$, $1=B(-3)\Rightarrow B=-\tfrac13$.
- Maintenant, l'intégrale est une somme de morceaux simples.
For · Pour $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$, find $A$ (plug $x=1$). · Pour $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$, trouvez $A$ (insérez $x=1$).
At $x=1$: $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$. · En $x=1$ : $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$.
Integrate the pieces
- Each $\dfrac{A}{x-r}$ integrates to $A\ln|x-r|$.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\,dx=\tfrac13\ln|x-1|-\tfrac13\ln|x+2|+C$.
- So a messy rational integral becomes a combination of logarithms.
- Combine or leave the logs as the answer prefers.
Intégrer les morceaux
- Chaque $\dfrac{A}{x-r}$ s'intègre en $A\ln|x-r|$.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\,dx=\tfrac13\ln|x-1|-\tfrac13\ln|x+2|+C$.
- Ainsi, une intégrale rationnelle complexe devient une combinaison de logarithmes.
- Regrouper ou laisser les logarithmes selon la préférence de la réponse.
Each partial-fraction piece $\dfrac{A}{x-r}$ integrates to... · Chaque pièce de fraction partielle $\dfrac{A}{x-r}$ s'intègre en...
$\int\tfrac{A}{x-r}\,dx=A\ln|x-r|$.
$\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$ (with $A=1$, $B=-1$) equals... · $\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$ (avec $A=1$, $B=-1$) égale...
Integrate $\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}$. · Intégrez $\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}$.
Partial fractions needs the numerator degree less than the denominator's — if not, do long division first. And it requires the denominator to actually factor into linear pieces; a repeated factor $(x-r)^2$ or an irreducible quadratic needs extra terms (beyond this lesson's distinct linear case). Each distinct factor gets exactly one constant.
Les fractions partielles nécessitent que le degré du numérateur soit inférieur à celui du dénominateur — sinon, effectuez une division longue d'abord. Et cela exige que le dénominateur se factorise réellement en pièces linéaires ; un facteur répété $(x-r)^2$ ou un quadratique irréductible nécessite des termes supplémentaires (au-delà du cas linéaire distinct de cette leçon). Chaque facteur distinct obtient exactement une constante.
Evaluate $\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$.
- Decompose: $\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+4}$. At $x=1$: $5=5A\Rightarrow A=1$; at $x=-4$: $5=-5B\Rightarrow B=-1$.
- $\displaystyle\int\Big(\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}\Big)\,dx=\ln|x-1|-\ln|x+4|+C$.
Évaluez $\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$.
- Décomposer : $\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+4}$. À $x=1$ : $5=5A\Rightarrow A=1$ ; à $x=-4$ : $5=-5B\Rightarrow B=-1$.
- $\displaystyle\int\Big(\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}\Big)\,dx=\ln|x-1|-\ln|x+4|+C$.
Partial fractions splits a rational function with distinct linear factors into a sum $\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}+\cdots$; find the constants (match coefficients or plug in roots), then integrate each piece to a $\ln$. Requires numerator degree $<$ denominator degree — divide first otherwise.
Les fractions partielles divisent une fonction rationnelle avec des facteurs linéaires distincts en une somme $\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}+\cdots$ ; trouvez les constantes (égaliser les coefficients ou substituer les racines), puis intégrez chaque morceau en un $\ln$. Nécessite degré du numérateur $<$ degré du dénominateur — diviser d'abord sinon.