Gravitational field of a point mass · Champ gravitationnel d'une masse ponctuelle
| English | Français |
|---|---|
| orbit/ˈɔːbɪt/ | orbite |
| orbital speed/ˈɔːbɪtl spiːd/ | vitesse orbitale |
| satellite/ˈsætəlaɪt/ | satellite |
| Kepler's third law/ˈkepləz θɜːd lɔː/ | Loi de Kepler III |
| geostationary/ˌdʒiːəʊˈsteɪʃənəri/ | géostationnaire |
| equator/ɪˈkweɪtə/ | équateur |
| free fall/friː fɔːl/ | chute libre |
Why the Moon doesn't fall
- The Moon is always falling toward Earth — but it also moves sideways fast.
- So it keeps missing: it is in orbit 轨道.
- Gravity provides exactly the centripetal force needed.
Pourquoi la Lune ne tombe pas
- La Lune tombe toujours vers la Terre — mais elle se déplace aussi latéralement vite.
- Elle manque donc constamment : elle est en orbite 轨道.
- La gravité fournit exactement la force centripète nécessaire.
Field of a point mass
- At distance $r$ from a mass $M$: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ — falling off as $\dfrac{1}{r^{2}}$.
- Near Earth's surface $r \approx R$ is huge, so climbing a building barely changes $g$.
Field strength drops off as 1/r²: doubling the distance quarters the pull
Field-line spacing shows the field strength — closer lines mean a stronger field
Champ d'une masse ponctuelle
- À une distance $r$ d'une masse $M$ : $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ — décroissant selon $\dfrac{1}{r^{2}}$.
- Près de la surface terrestre $r \approx R$ est immense, donc grimper un immeuble change peu $g$.
L'intensité du champ décroît selon 1/r² : doubler la distance réduit la traction au quart
L'espacement des lignes de champ montre l'intensité du champ — lignes plus proches = champ plus fort
Field of a point mass · Champ d'une masse ponctuelle
g ∝ M/r²
Gravitational field strength obeys the inverse-square law — halve the distance and it quadruples. · L'intensité du champ gravitationnel obéit à la loi inverse du carré — divisez la distance par deux et elle quadruple.
The gravitational field strength at distance $r$ from a point mass $M$ is: · L'intensité du champ gravitationnel à la distance $r$ d'une masse ponctuelle $M$ est :
From $g = \dfrac{F}{m}$ with $F = \dfrac{GMm}{r^{2}}$, the test mass cancels: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$. · Depuis $g = \dfrac{F}{m}$ avec $F = \dfrac{GMm}{r^{2}}$, la masse test s'annule : $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$.
Climbing a tall building changes the value of g by a large amount. · Monter dans un immeuble haut change considérablement la valeur de g.
Earth's radius is ~6400 km, so a few metres of height barely changes $r$ — $g$ is effectively constant. · Le rayon terrestre étant d'environ 6400 km, quelques mètres d'altitude changent très peu $r$ — $g$ est pratiquement constant.
Orbital speed 轨道速度
- Gravity = centripetal force: $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$.
- The mass $m$ cancels: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ — independent of the satellite 卫星's mass.
Vitesse orbitale 轨道速度
- Gravité = Force centripète : $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$.
- La masse $m$ s'annule : $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ — indépendante de la masse du satellite 卫星.
A satellite's orbital speed does not depend on its own mass. · La vitesse orbitale d'un satellite ne dépend pas de sa propre masse.
The mass $m$ cancels in $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$, leaving $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$. · La masse $m$ s'annule dans $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$, laissant $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$.
Kepler's third law 开普勒第三定律
- From $T = \dfrac{2\pi r}{v}$: $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$, so $T^{2} \propto r^{3}$.
- A graph of $T^{2}$ against $r^{3}$ is a straight line — its gradient gives the central mass.
Plotting T² against r³ gives a straight line through the origin — its gradient fixes the central mass M
Troisième loi de Kepler 开普勒第三定律
- De $T = \dfrac{2\pi r}{v}$ : $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$, donc $T^{2} \propto r^{3}$.
- Un graphique de $T^{2}$ en fonction de $r^{3}$ est une ligne droite — sa pente donne la masse centrale.
Tracer T² en fonction de r³ donne une ligne droite passant par l'origine — sa pente fixe la masse centrale M
Kepler's third law (for circular orbits) states: · La troisième loi de Kepler (pour les orbites circulaires) stipule :
$T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$, so the square of the period is proportional to the cube of the radius. · $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$, donc le carré de la période est proportionnel au cube du rayon.
If an orbit radius increases by a factor of 4, the period increases by a factor of: · Si un rayon orbital augmente d'un facteur 4, la période augmente d'un facteur :
$T \propto r^{3/2}$, so $T$ scales by $4^{3/2} = 8$. · $T \propto r^{3/2}$, donc $T$ évolue selon $4^{3/2} = 8$.
Worked example: a satellite above Mars
A satellite orbits Mars (mass $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$, radius $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$) at a height of $1.7 \times 10^{6}\ \text{m}$ above the surface. Find its speed and period.
- Orbit radius, from the centre: $r = 3.4 \times 10^{6} + 1.7 \times 10^{6} = 5.1 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- Speed: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{5.1 \times 10^{6}}} = 2.9 \times 10^{3}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Period: $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi \times 5.1 \times 10^{6}}{2.9 \times 10^{3}} = 1.1 \times 10^{4}\ \text{s}$, about three hours.
- Check: the satellite's own mass never appeared — every satellite at this height moves at this speed. Using the height alone for $r$ gives a speed that is far too high.
Exemple résolu : un satellite au-dessus de Mars
Un satellite orbite autour de Mars (masse $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$, rayon $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$) à une altitude de $1.7 \times 10^{6}\ \text{m}$ au-dessus de la surface. Trouver sa vitesse et sa période.
- Rayon d'orbite, depuis le centre : $r = 3.4 \times 10^{6} + 1.7 \times 10^{6} = 5.1 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- Vitesse : $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{5.1 \times 10^{6}}} = 2.9 \times 10^{3}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Période : $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi \times 5.1 \times 10^{6}}{2.9 \times 10^{3}} = 1.1 \times 10^{4}\ \text{s}$, soit environ trois heures.
- Vérification : la masse du satellite n'est jamais apparue — tout satellite à cette altitude se déplace à cette vitesse. Utiliser uniquement l'altitude pour $r$ donne une vitesse bien trop élevée.
A satellite orbits the Earth (mass $6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$) at a radius of $8.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ from the centre. What is its orbital speed, in km/s? · Un satellite orbite autour de la Terre (masse $6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$) à un rayon de $8.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ depuis le centre. Quelle est sa vitesse orbitale, en km/s ?
$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24}}{8.0 \times 10^{6}}} = 7.1 \times 10^{3}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 7.1\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$.
Geostationary 地球同步 orbit
- Period 24 hours, directly above the equator 赤道, orbiting west to east — the same direction as the Earth turns.
- It stays fixed above one point — perfect for a TV dish. From $r^{3} = \dfrac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}$ with $T = 86\,400\ \text{s}$, the radius is $\approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$, about $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ above the surface.
Orbite géostationnaire 地球同步 orbit
- Période 24 heures, directement au-dessus de l'équateur 赤道, tournant de ouest vers l'est — dans le même sens que la rotation de la Terre.
- Il reste fixe au-dessus d'un point précis — idéal pour une antenne parabole. De $r^{3} = \dfrac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}$ avec $T = 86\,400\ \text{s}$, le rayon est $\approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$, soit environ $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ au-dessus de la surface.
Select all · tout the features of a geostationary satellite. · Sélectionnez toutes les caractéristiques d'un satellite géostationnaire.
It matches Earth's rotation (24 h, west to east) above the equator, so it stays fixed above one point. A polar orbit does not. · Il correspond à la rotation de la Terre (24 h, ouest vers est) au-dessus de l'équateur, donc il reste fixe au-dessus d'un point. Une orbite polaire ne le fait pas.
Synchronous orbits elsewhere
- Any planet has its own synchronous orbit: the period equals the planet's rotation period, and the orbit lies above the equator, moving with the rotation.
- Mars turns once in about $25$ hours, so a satellite with a $25$-hour period above its equator stays over one Martian spot.
- Change the period and the radius follows from Kepler's law: a longer period means a larger orbit.
Orbites synchrones ailleurs
- Toute planète a sa propre orbite synchrone : la période correspond à la période de rotation de la planète, et l'orbite se situe au-dessus de l'équateur, suivant la rotation.
- Mars effectue une rotation complète en environ $25$ heures, donc un satellite ayant une période de $25$ heure au-dessus de son équateur reste stationnaire au-dessus d'un même point martien.
- Si on modifie la période, le rayon suit la loi de Kepler : une période plus longue signifie une orbite plus grande.
In every orbit formula $r$ is measured from the centre of the planet — add the planet's radius to a height. The satellite's mass cancels, so "a heavier satellite must go faster" is wrong. A geostationary orbit must be over the equator: any other orbit crosses the equator twice a day and drifts north and south as seen from the ground.
Dans toutes les formules d'orbite, $r$ est mesuré depuis le centre de la planète — ajouter le rayon planétaire à une altitude. La masse du satellite s'annule, donc « un satellite plus lourd doit aller plus vite » est faux. Une orbite géostationnaire doit être située au-dessus de l'équateur : toute autre orbite coupe l'équateur deux fois par jour et dérive vers le nord et le sud lorsqu'elle est vue depuis le sol.
A satellite is $600\ \text{km}$ above the surface of a planet of radius $6400\ \text{km}$. In the orbit equations, $r$ = ____ km. · Un satellite se trouve à $600\ \text{km}$ au-dessus de la surface d'une planète de rayon $6400\ \text{km}$. Dans les équations orbitales, $r$ = ____ km.
$r$ is measured from the centre: $6400 + 600 = 7000\ \text{km}$. · $r$ est mesuré depuis le centre : $6400 + 600 = 7000\ \text{km}$.
Not weightless — falling
- At the Space Station's height of $400\ \text{km}$, $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — nearly the surface value.
- Astronauts float because they and the station are in free fall 自由落体 together, not because gravity has vanished.
Pas d'apesanteur — chute libre
- À l'altitude de la Station spatiale, $400\ \text{km}$, soit $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — presque la valeur de surface.
- Les astronautes flottent parce qu'ils et la station sont en chute libre 自由落体 ensemble, et non parce que la gravité a disparu.
Earth's radius is $6370\ \text{km}$ and its surface field strength is $9.81\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$. What is the field strength at a height of $400\ \text{km}$, in N/kg? · Le rayon de la Terre est $6370\ \text{km}$ et son intensité de champ de surface est $9.81\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$. Quelle est l'intensité du champ à une altitude de $400\ \text{km}$, en N/kg ?
$g \propto \dfrac{1}{r^{2}}$, so $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — the astronauts are not weightless, they are falling. · $g \propto \dfrac{1}{r^{2}}$, donc $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — les astronautes ne sont pas sans gravité, ils tombent.
You've got it
- field of a point mass: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ (so $g$ is nearly constant near the surface)
- orbit: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ with $r$ from the centre (independent of satellite mass); $T^{2} \propto r^{3}$
- geostationary: 24 h, above the equator, west to east; a synchronous orbit matches any planet's rotation
Vous avez compris
- champ d'une masse ponctuelle : $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ (donc $g$ est quasi constant près de la surface)
- orbite : $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ avec $r$ depuis le centre (indépendant de la masse du satellite) ; $T^{2} \propto r^{3}$
- géostationnaire : 24 h, au-dessus de l'équateur, ouest vers est ; une orbite synchrone correspond à la rotation de n'importe quelle planète