Gravitational potential · Potentiel gravitationnel
| English | Français |
|---|---|
| escape velocity/eˈskeɪp vəˈlɒsɪti/ | vitesse d'échappement |
| gravitational potential/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl/ | potentiel gravitationnel |
| infinity/ɪnˈfɪnɪti/ | l'infini |
| gravitational potential energy/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | énergie potentielle gravitationnelle |
| tightly bound/ˈtaɪtli baʊnd/ | fortement lié |
How fast to escape forever?
- Throw a ball up and it comes back. Throw it fast enough and it never returns.
- That "never returns" speed is the escape velocity 逃逸速度.
- To find it we need gravitational potential 引力势.
Vitesse nécessaire pour s'échapper définitivement ?
- Lancer une balle en l'air et elle retombe. La lancer assez vite et elle ne revient jamais.
- Cette vitesse « ne revenant jamais » est la vitesse de libération 逃逸速度.
- Pour la calculer, nous avons besoin de l'énergie potentielle gravitationnelle 引力势.
Gravitational potential
- $\phi$ is the work done per unit mass to bring a small test mass from infinity 无穷远 to a point: $\phi = \dfrac{W}{m}$. Unit: $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
- Taken as zero at infinity, so $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ is negative everywhere else.
Énergie potentielle gravitationnelle
- $\phi$ est le travail fourni par unité de masse pour amener une petite masse d'épreuve de l'infini 无穷远 à un point : $\phi = \dfrac{W}{m}$. Unité : $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
- Prise comme nulle à l'infini, donc $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ est négative partout ailleurs.
Gravitational potential · Potentiel gravitationnel
V = −GM / r
Potential ∝ −1/r — deep near the mass, flattening with distance. · Potentiel ∝ −1/r — profond près de la masse, s'aplatissant avec la distance.
Gravitational potential is: · Le potentiel gravitationnel est :
Gravity does the work as a mass falls in, so $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ is negative, reaching zero only at infinity. · La gravité effectue le travail qu'une masse tombe, donc $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ est négatif, n'atteignant zéro qu'à l'infini.
Gravitational potential is taken to be zero at ____. · Le potentiel gravitationnel est pris comme nul à ____.
That choice makes the potential negative everywhere a mass actually is. · Ce choix rend le potentiel négatif partout où se trouve une masse réelle.
Gravitational potential energy 重力势能
- A mass $m$ at potential $\phi$ has $E_{\text{P}} = m\phi = -\dfrac{GMm}{r}$.
- It is negative; closer masses are more negative — more tightly bound 紧密束缚.
Gravity provides the centripetal force that keeps a planet in a circular orbit
Énergie potentielle gravitationnelle 重力势能
- Une masse $m$ à un potentiel $\phi$ possède $E_{\text{P}} = m\phi = -\dfrac{GMm}{r}$.
- Elle est négative ; les masses proches sont plus négatives — plus tôtement liées 紧密束缚.
La gravité fournit la force centripète qui maintient une planète en orbite circulaire
Two masses closer together have a more negative (lower) gravitational potential energy. · Deux masses plus proches ont une énergie potentielle gravitationnelle plus négative (plus basse).
$E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — smaller $r$ gives a more negative value, i.e. a more tightly bound pair. · $E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — un $r$ plus petit donne une valeur plus négative, c'est-à-dire une paire plus fortement liée.
Match each term to the definition the examiner marks. · Reliez chaque terme à la définition marquée par l'examinateur.
Two of these are per unit mass and one is per unit mass of WORK. That single word is what separates potential from field strength. · Deux de ces quantités sont par unité de masse et une est par unité de masse de TRAVAIL. Ce seul mot sépare le potentiel de l'intensité de champ.
Link with $mg\Delta h$
- For small height changes near the surface, $r$ barely changes, so $\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$.
- For large changes (raising a satellite), use $-\dfrac{GMm}{r}$ at each radius and subtract.
Lien avec $mg\Delta h$
- Pour de petites variations de hauteur près de la surface, $r$ change peu, donc $\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$.
- Pour de grandes variations (lever un satellite), utiliser $-\dfrac{GMm}{r}$ à chaque rayon et soustraire.
The simple formula $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ is valid when: · La formule simple $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ est valide lorsque :
It assumes a uniform field. For big changes in $r$, use $-\dfrac{GMm}{r}$ at each radius instead. · Elle suppose un champ uniforme. Pour de grands changements en $r$, utilisez $-\dfrac{GMm}{r}$ à chaque rayon.
Why is gravitational potential always negative? Select all · tout that apply. · Pourquoi le potentiel gravitationnel est-il toujours négatif ? Sélectionnez toutes les réponses applicables.
"Because gravity attracts" on its own is not the marked answer. The mark needs the work argument: zero at infinity, and the field doing the work on the way in. · "Parce que la gravité attire" seul n'est pas la réponse marquée. La marque nécessite l'argument du travail : zéro à l'infini, et le champ effectuant le travail sur le trajet retour.
Worked example: the potential at the surface of Mars
Mars has mass $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$ and radius $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Find the gravitational potential at its surface, and the energy needed to remove $1\ \text{kg}$ from the surface to infinity.
- Potential: $\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{3.4 \times 10^{6}} = -1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
- The unit is asked for: joules per kilogram, because potential is energy per unit mass.
- Energy to escape per kilogram: from $\phi$ up to zero at infinity is $+1.3 \times 10^{7}\ \text{J}$ for each kilogram.
- Check: the minus sign is not optional. It says work must be done on the mass to remove it — the mass is in a "well" $1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ deep.
Exemple résolu : le potentiel à la surface de Mars
Mars a une masse $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$ et un rayon $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Trouver l'énergie potentielle gravitationnelle à sa surface, ainsi que l'énergie nécessaire pour retirer $1\ \text{kg}$ de la surface jusqu'à l'infini.
- Potentiel : $\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{3.4 \times 10^{6}} = -1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
- L'unité est demandée : joules par kilogramme, car le potentiel est une énergie par unité de masse.
- Énergie pour s'échapper par kilogramme : passer de $\phi$ jusqu'à zéro à l'infini représente $+1.3 \times 10^{7}\ \text{J}$ pour chaque kilogramme.
- Vérification : le signe moins n'est pas optionnel. Il indique qu'un travail doit être fourni à la masse pour l'en extraire — la masse est dans un « puits » $1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ profond.
The Moon has mass $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$ and radius $1.74 \times 10^{6}\ \text{m}$. What is the gravitational potential at its surface, as a multiple of $10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$? (Include the sign.) · La Lune a une masse $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$ et un rayon $1.74 \times 10^{6}\ \text{m}$. Quel est le potentiel gravitationnel à sa surface, en multiple de $10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ ? (Incluez le signe.)
$\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{1.74 \times 10^{6}} = -2.8 \times 10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ — about a twentieth of the Earth's, which is why leaving the Moon is easy. · $\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{1.74 \times 10^{6}} = -2.8 \times 10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ — environ un vingtième de celui de la Terre, c'est pourquoi quitter la Lune est facile.
Escape velocity
- To reach infinity, kinetic energy must match the depth of the well: $\tfrac{1}{2}mv_{\text{esc}}^{2} = \dfrac{GMm}{r}$.
- $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ at Earth's surface — independent of the object's mass.
Vitesse de libération
- Pour atteindre l'infini, l'énergie cinétique doit égaler la profondeur du puits : $\tfrac{1}{2}mv_{\text{esc}}^{2} = \dfrac{GMm}{r}$.
- $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ à la surface de la Terre — indépendante de la masse de l'objet.
Roughly, what is the escape velocity from the Earth's surface, in km/s? · Approximativement, quelle est la vitesse d'échappement depuis la surface de la Terre, en km/s ?
$v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ for Earth. · $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ pour la Terre.
Escape velocity depends on the mass of the escaping object. · La vitesse d'échappement dépend de la masse de l'objet qui s'échappe.
The object mass cancels: $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ depends only on the planet and the distance. · La masse de l'objet s'annule : $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ dépend uniquement de la planète et de la distance.
A planet has GM/r = 6.3e7 J/kg at its surface. What is its escape speed, in km/s? · Une planète a GM/r = 6.3e7 J/kg à sa surface. Quelle est sa vitesse de libération, en km/s ?
v = sqrt(2GM/r) = sqrt(1.26e8) = 1.12e4 m/s = 11.2 km/s, the Earth's value. Note the factor of 2 and that the mass of the escaping object cancels out entirely. · v = sqrt(2GM/r) = sqrt(1.26e8) = 1.12e4 m/s = 11.2 km/s, la valeur de la Terre. Notez le facteur de 2 et que la masse de l'objet en évasion s'annule complètement.
Worked example: lifting a satellite
A $500\ \text{kg}$ satellite is raised from the Earth's surface ($R = 6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$) to an orbit of radius $7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$. Earth's mass is $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$. Find the gain in potential energy, and compare it with $mg\Delta h$.
- Two potentials, subtract: $\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r}\right)$.
- Substitute: $6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 500 \times \left(\dfrac{1}{6.37 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{7.0 \times 10^{6}}\right) = 2.8 \times 10^{9}\ \text{J}$.
- The rough way: $mg\Delta h = 500 \times 9.81 \times 6.3 \times 10^{5} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{J}$ — about $10\%$ too big, because $g$ falls with height and $mg\Delta h$ assumes it does not.
- Check: the gain is positive — the satellite ends less negative, less tightly bound — even though both potentials are negative numbers.
Exemple résolu : lever un satellite
Un satellite de $500\ \text{kg}$ est élevé depuis la surface de la Terre ($R = 6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$) vers une orbite de rayon $7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$. La masse de la Terre est $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$. Trouver l'augmentation de l'énergie potentielle et la comparer à $mg\Delta h$.
- Deux potentiels, soustraction : $\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r}\right)$.
- Substitution : $6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 500 \times \left(\dfrac{1}{6.37 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{7.0 \times 10^{6}}\right) = 2.8 \times 10^{9}\ \text{J}$.
- La méthode approximative : $mg\Delta h = 500 \times 9.81 \times 6.3 \times 10^{5} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{J}$ — environ $10\%$ trop grand, car $g$ diminue avec l'altitude et $mg\Delta h$ suppose qu'elle ne varie pas.
- Vérification : l'augmentation est positive — le satellite finit moins négatif, moins tôtement lié — même si les deux potentiels sont des nombres négatifs.
Potential is negative and increases towards zero as you move away. "Energy gained" is final minus initial with the signs kept: $-1.3 \times 10^{7} \to -0.9 \times 10^{7}$ is a gain of $0.4 \times 10^{7}$ per kilogram. $mg\Delta h$ is only for $\Delta h \ll R$. And the unit of $\phi$ is $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ — writing joules loses the mark.
Le potentiel est négatif et augmente vers zéro lorsque l'on s'éloigne. « Énergie gagnée » = final moins initial en conservant les signes : $-1.3 \times 10^{7} \to -0.9 \times 10^{7}$ est un gain de $0.4 \times 10^{7}$ par kilogramme. $mg\Delta h$ ne s'applique qu'à $\Delta h \ll R$. Et l'unité de $\phi$ est $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ — écrire des joules fait perdre la note.
Which statements about gravitational potential are correct? Select all that apply. · Quelles affirmations sur le potentiel gravitationnel sont correctes ? Sélectionnez toutes celles qui s'appliquent.
Potential is energy per unit mass, so its unit is joules per kilogram. It is negative, rises towards zero with distance, and its gradient gives the field: $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$. · Le potentiel est une énergie par unité de masse, donc son unité est joules par kilogramme. Il est négatif, monte vers zéro avec la distance, et son gradient donne le champ : $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$.
Field strength from the potential graph
- The field strength is the gradient of the potential–distance graph: $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$.
- Where the $\phi$ graph is steep (close to the mass) the field is strong; far away the graph flattens and the field fades.
- The minus sign says the field points down the potential slope — towards the mass, where $\phi$ is most negative.
Intensité de champ à partir du graphique de potentiel
- L'intensité du champ est la pente du graphique potentiel-distance : $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$.
- Là où le graphique $\phi$ est raide (près de la masse), le champ est fort ; loin, le graphique s'aplatit et le champ faiblit.
- Le signe moins indique que le champ pointe vers le bas le long de la pente du potentiel — vers la masse, là où $\phi$ est le plus négatif.
You've got it
- gravitational potential $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ in $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ (negative, zero at infinity); $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$
- gravitational PE $E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — more negative = more tightly bound; large changes use $GMm\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)$
- escape velocity $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ (mass-independent, $\approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ for Earth)
Vous avez compris
- potentiel gravitationnel $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ en $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ (négatif, nul à l'infini) ; $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$
- énergie PE gravitationnelle $E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — plus négatif = plus tôtement lié ; grandes variations utiliser $GMm\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)$
- vitesse de libération $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ (indépendante de la masse, $\approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ pour la Terre)