Differential equations (Further Pure 2) · Équations différentielles (Further Pure 2)
| English | Français |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | équation différentielle |
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | facteur intégrant |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | solution générale |
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | fonction complémentaire |
| auxiliary equation/ɔːkˈsɪlɪəri ɪˈkweɪʒn/ | équation auxiliaire |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | condition aux limites |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | condition initiale |
| particular integral/pəˈtɪkjʊlə ˈɪntɪɡrəl/ | intégrale particulière |
When the unknown is a function
- Ordinary equations solve for a number. A differential equation 微分方程 solves for a whole function — given a rule about its rate of change.
- They model cooling coffee, growing populations, charging capacitors, and swinging pendulums.
Quand l'inconnue est une fonction
- Les équations ordinaires résolvent pour un nombre. Une équation différentielle 微分方程 résout pour une fonction entière — donnée une règle sur sa vitesse de changement.
- Elles modélisent le refroidissement du café, la croissance des populations, la charge des condensateurs et les oscillations de pendule.
First-order linear: the integrating factor 积分因子
- For $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, multiply through by the integrating factor:
- This makes the left side collapse to $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, so you can integrate both sides directly.
Worked example. $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$. Here $P = 2$, so $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. The left side becomes $\dfrac{d}{dx}(e^{2x}y)$.
Linéaire du premier ordre : le facteur intégrant 积分因子
- Pour $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$, multipliez tout par le facteur intégrant :
- Cela fait s'effondrer le côté gauche en $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, afin que vous puissiez intégrer les deux côtés directement.
Exemple résolu. $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$. Ici $P = 2$, donc $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. Le côté gauche devient $\dfrac{d}{dx}(e^{2x}y)$.
Differential equations · Équations différentielles
dy/dx = a y
The equation sets the slope · pente everywhere; the solution follows those slopes. · L'équation définit la pente partout ; la solution suit ces pentes.
For dy/dx + 2y = eˣ, the integrating factor μ = e^(∫2 dx) is: · Pour dy/dx + 2y = eˣ, le facteur intégrant μ = e^(∫2 dx) est :
∫2 dx = 2x, so μ = e^(2x). · ∫2 dx = 2x, donc μ = e^(2x).
Multiplying by the integrating factor makes the left side d/dx(μy), so you can integrate directly. · Multiplier par le facteur intégrant rend le côté gauche d/dx(μy), ce qui permet d'intégrer directement.
That is the whole point of the integrating factor — it makes the left side an exact derivative. · C'est tout l'intérêt du facteur intégrant — il rend le côté gauche une dérivée exacte.
Second-order, constant coefficients
- For $a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = f(x)$, the general solution 通解 has two parts:
- The complementary function 余函数 (CF) comes from the auxiliary equation 辅助方程 $am^2 + bm + c = 0$.
Second ordre, coefficients constants
- Pour $a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = f(x)$, la solution générale 通解 a deux parties :
- La fonction complémentaire 余函数 (CF) vient de l'équation auxiliaire 辅助方程 $am^2 + bm + c = 0$.
For a constant-coefficient linear equation, the general solution is: · Pour une équation linéaire à coefficients constants, la solution générale est :
General solution = complementary function (RHS = 0) + a particular integral. · Solution générale = fonction complémentaire (MNB = 0) + une intégrale particulière.
Reading the auxiliary roots
- The roots of the auxiliary equation decide the shape of the CF:
| roots | complementary function |
|---|---|
| real & distinct $m_1, m_2$ | $Ae^{m_1 x} + Be^{m_2 x}$ |
| repeated $m$ | $(A + Bx)e^{mx}$ |
| complex $p \pm qi$ | $e^{px}(A\cos qx + B\sin qx)$ |
A differential equation has a whole family of solution curves; the boundary conditions 边界条件 pick out one.
Lire les racines auxiliaires
- Les racines de l'équation auxiliaire déterminent la forme de la CF :
| racines | fonction complémentaire |
|---|---|
| réelles & distinctes $m_1, m_2$ | $Ae^{m_1 x} + Be^{m_2 x}$ |
| répétées $m$ | $(A + Bx)e^{mx}$ |
| complexes $p \pm qi$ | $e^{px}(A\cos qx + B\sin qx)$ |
Une équation différentielle possède une famille entière de courbes de solution ; les conditions aux limites 边界条件 en sélectionnent une.
For y″ − 5y′ + 6y = 0 the auxiliary equation is m² − 5m + 6 = 0. What is its larger root? · Pour y″ − 5y′ + 6y = 0, l'équation auxiliaire est m² − 5m + 6 = 0. Quelle est sa plus grande racine ?
m² − 5m + 6 = (m − 2)(m − 3) = 0, so m = 2 or 3; the larger is 3. · m² − 5m + 6 = (m − 2)(m − 3) = 0, donc m = 2 ou 3 ; la plus grande est 3.
Match each type of auxiliary root to the complementary function it gives. · Reliez chaque type de racine auxiliaire à la fonction complémentaire qu'il produit.
Distinct reals give two exponentials; a repeated root adds a factor of x; complex roots give an oscillating, exponentially-scaled form. · Des réelles distinctes donnent deux exponentielles ; une racine répétée ajoute un facteur x ; des racines complexes produisent une forme oscillante échelonnée exponentiellement.
Boundary conditions
- The constants $A, B$ are fixed by boundary or initial conditions 初始条件 (e.g. $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$).
- Without them you get the whole family; with them, the one curve that fits.
- Solve differential equations with a substitution or by separable variables, then apply initial conditions for the particular solution.
Conditions aux limites
- Les constantes $A, B$ sont fixées par des conditions aux limites ou initiales 初始条件 (par ex. $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$).
- Sans elles, vous obtenez toute la famille ; avec elles, la seule courbe qui correspond.
- Résolvez les équations différentielles par une substitution ou par séparation des variables, puis appliquez les conditions initiales pour la solution particulière.
The arbitrary constants A and B are fixed by the ______ conditions. · Les constantes arbitraires A et B sont fixées par les conditions ______.
Boundary or initial conditions (like y(0) = 1) determine A and B. · Les conditions aux limites ou initiales (comme y(0) = 1) déterminent A et B.
You've got it
- first-order linear: multiply by $\mu = e^{\int P\,dx}$, then integrate
- second-order: general = complementary function + particular integral 特积分
- the CF comes from the auxiliary equation; boundary conditions fix the constants
Vous avez compris
- linéaire du premier ordre : multipliez par $\mu = e^{\int P\,dx}$, puis intégrez
- second ordre : générale = fonction complémentaire + intégrale particulière 特积分
- la CF vient de l'équation auxiliaire ; les conditions aux limites fixent les constantes