Fonctions impliquant des paramètres, des vecteurs et des matrices

Objectif d'apprentissage 4.1.A : Construire un graphique ou un tableau de valeurs pour une fonction paramétrique représentée analytiquement.

• 4.1.A.1 Une fonction paramétrique dans $\mathbb{R}^2$, l'ensemble de tous les couples ordonnés de deux nombres réels, consiste en un ensemble de deux équations paramétriques dans lesquelles deux variables dépendantes, $x$ et $y$, dépendent d'une seule variable indépendante, $t$, appelée paramètre.
• 4.1.A.2 Puisque les variables $x$ et $y$ dépendent de la variable indépendante, $t$, les coordonnées $(x_i,\, y_i)$ à l'instant $t_i$ peuvent s'écrire comme des fonctions de $t$ et peuvent être exprimées comme la seule fonction paramétrique $f(t) = (x(t),\, y(t))$, où dans ce cas $x$ et $y$ sont des noms de deux fonctions.
• 4.1.A.3 Un tableau numérique de valeurs peut être généré pour la fonction paramétrique $f(t) = (x(t),\, y(t))$ en évaluant $x_i$ et $y_i$ à plusieurs valeurs de $t_i$ dans le domaine.
• 4.1.A.4 Un graphique d'une fonction paramétrique peut être esquissé en reliant plusieurs points du tableau numérique de valeurs par ordre de valeur croissante de $t$.
• 4.1.A.5 Le domaine de la fonction paramétrique $f$ est souvent restreint, ce qui entraîne des points de départ et de fin sur le graphique de $f$.

Objectif d'apprentissage 4.2.A : Identifier les caractéristiques clés d'une fonction de mouvement plan paramétrique liées à la position.

• 4.2.A.1 Une fonction paramétrique donnée par $f(t) = (x(t),\, y(t))$ peut servir à modéliser le mouvement d'une particule dans le plan. Le graphique de cette fonction indique la position d'une particule au temps $t$.
• 4.2.A.2 Les extrema horizontaux et verticaux du mouvement d'une particule peuvent être déterminés en identifiant les valeurs maximales et minimales des fonctions $x(t)$ et $y(t)$, respectivement.
• 4.2.A.3 Les zéros réels de la fonction $x(t)$ correspondent aux intersections avec l'axe $y$, et les zéros réels de $y(t)$ correspondent aux intersections avec l'axe $x$.

Objectif d'apprentissage 4.3.A : Identifier les caractéristiques clés d'une fonction de mouvement plan paramétrique liées à la direction et au taux de variation.

• 4.3.A.1 Lorsque le paramètre augmente, la direction du mouvement plan d'une particule peut être analysée en termes de $x$ et $y$ indépendamment. Si $x(t)$ augmente ou diminue, la direction du mouvement est vers la droite ou vers la gauche, respectivement. Si $y(t)$ augmente ou diminue, la direction du mouvement est vers le haut ou vers le bas, respectivement.
• 4.3.A.2 À un point donné du plan, la direction du mouvement plan peut être différente pour différentes valeurs de $t$.
• 4.3.A.3 Une même courbe dans le plan peut être paramétrée de différentes manières et parcourue dans différentes directions avec des fonctions paramétriques distinctes.
• 4.3.A.4 Sur un intervalle donné $[t_1,\, t_2]$ dans le domaine, le taux de variation moyen peut être calculé pour $x(t)$ et $y(t)$ indépendamment. Le rapport du taux de variation moyen de $y$ sur le taux de variation moyen de $x$ donne la pente du graphique entre les points de la courbe correspondant à $t_1$ et $t_2$, tant que le taux de variation moyen de $x(t) \neq 0$.

Objectif d'apprentissage 4.4.A : Exprimer un mouvement autour d'un cercle ou le long d'un segment de droite de manière paramétrique.

• 4.4.A.1 Un tour complet antihoraire autour du cercle unité qui commence et se termine à $(1,\, 0)$ et centré à l'origine peut être modélisé par $(x(t),\, y(t)) = (\cos t,\, \sin t)$ avec pour domaine $0 \leq t \leq 2\pi$.
• 4.4.A.2 Les transformations de la fonction paramétrique $(x(t),\, y(t)) = (\cos t,\, \sin t)$ peuvent modéliser n'importe quelle trajectoire circulaire parcourue dans le plan.
• 4.4.A.3 Un chemin linéaire le long du segment de droite reliant le point $(x_1,\, y_1)$ au point $(x_2,\, y_2)$ peut être paramétré de nombreuses façons, y compris en utilisant une position initiale $(x_1,\, y_1)$ et des taux de variation pour $x$ par rapport à $t$ et $y$ par rapport à $t$.

Objectif d'apprentissage 4.5.A : Tracer un graphique d'une équation impliquant deux variables.

• 4.5.A.1 Une équation impliquant deux variables peut décrire implicitement une ou plusieurs fonctions.
• 4.5.A.2 Une équation impliquant deux variables peut être tracée en trouvant les solutions de l'équation.
• 4.5.A.3 Résoudre l'une des variables dans une équation impliquant deux variables peut définir une fonction dont le graphique fait partie ou l'intégralité du graphique de l'équation.

Objectif d'apprentissage 4.5.B : Déterminer comment les deux quantités liées dans une fonction implicitement définie varient ensemble.

• 4.5.B.1 Pour les paires ordonnées situées sur le graphique d'une fonction implicitement définie qui sont proches les unes des autres, si le rapport du changement des deux variables est positif, alors les deux variables augmentent simultanément ou diminuent toutes deux ; inversement, si le rapport est négatif, alors qu'une variable augmente, l'autre diminue.
• 4.5.B.2 Le taux de variation de $x$ par rapport à $y$ ou de $y$ par rapport à $x$ peut être nul, indiquant des intervalles verticaux ou horizontaux, respectivement.

Objectif d'apprentissage 4.6.A : Représenter analytiquement des coniques présentant une symétrie horizontale ou verticale.

• 4.6.A.1 Une parabole avec sommet $(h,\, k)$ peut, si $a \neq 0$, être représentée analytiquement comme $x - h = a(y - k)^2$ si elle s'ouvre vers la gauche ou la droite, ou comme $y - k = a(x - h)^2$ si elle s'ouvre vers le haut ou le bas.
• 4.6.A.2 Une ellipse centrée à $(h,\, k)$ avec un rayon horizontal $a$ et un rayon vertical $b$ peut être représentée analytiquement comme $\dfrac{(x - h)^2}{a^2} + \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1$. Un cercle est un cas particulier d'une ellipse où $a = b$.
• 4.6.A.3 Une hyperbole centrée à $(h,\, k)$ avec des axes de symétrie verticaux et horizontaux peut être représentée algébriquement comme $\dfrac{(x - h)^2}{a^2} - \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ pour une hyperbole s'ouvrant vers la gauche et la droite, ou comme $\dfrac{(y - k)^2}{b^2} - \dfrac{(x - h)^2}{a^2} = 1$ pour une hyperbole s'ouvrant vers le haut et le bas. Les asymptotes sont $y - k = \pm \dfrac{b}{a}(x - h)$.

Objectif d'apprentissage 4.7.A : Représenter une courbe dans le plan de manière paramétrique.

• 4.7.A.1 Une paramétrisation $(x(t),\, y(t))$ pour une fonction implicitement définie satisfera, lorsque $x(t)$ et $y(t)$ sont substitués à $x$ et $y$, respectivement, l'équation correspondante pour toute valeur de $t$ dans le domaine.
• 4.7.A.2 Oui $f$ est une fonction de $x$, alors $y = f(x)$ peut être paramétré comme $(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$. Si $f$ est inversible, son inverse peut être paramétré comme $(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$ pour un intervalle approprié de $t$.

Objectif d'apprentissage 4.7.B : Représenter les coniques de manière paramétrique.

• 4.7.B.1 Une parabole peut être paramétrée de la même façon que toute équation pouvant être résolue pour $x$ ou $y$. Les équations pouvant être résolues pour $x$ peuvent être paramétrées comme $(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$ en résolvant pour $x$ et en remplaçant $y$ par $t$. Les équations pouvant être résolues pour $y$ peuvent être paramétrées comme $(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$ en résolvant pour $y$ et en remplaçant $x$ par $t$.
• 4.7.B.2 Une ellipse peut être paramétrée en utilisant les fonctions trigonométriques $x(t) = h + a\cos t$ et $y(t) = k + b\sin t$ pour $0 \leq t \leq 2\pi$.
• 4.7.B.3 Une hyperbole peut être paramétrée en utilisant des fonctions trigonométriques. Pour une hyperbole s'ouvrant vers la gauche et la droite, les fonctions sont $x(t) = h + a\sec t$ et $y(t) = k + b\tan t$ pour $0 \leq t \leq 2\pi$. Pour une hyperbole s'ouvrant vers le haut et le bas, les fonctions sont $x(t) = h + a\tan t$ et $y(t) = k + b\sec t$ pour $0 \leq t \leq 2\pi$.

Objectif d'apprentissage 4.8.A : Identifier les caractéristiques d'un vecteur.

• 4.8.A.1 Un vecteur est un segment orienté. Lorsqu'un vecteur est placé dans le plan, le point au début du segment est appelé la file d'attente, et le point à la fin du segment est appelé la tête. La longueur du segment est la magnitude (ou norme) du vecteur.
• 4.8.A.2 Un vecteur $\overrightarrow{P_1 P_2}$ à deux composantes peut être tracé dans le plan $xy$ de $P_1 = (x_1, y_1)$ à $P_2 = (x_2, y_2)$. Le vecteur est identifié par $a$ et $b$, où $a = x_2 - x_1$ et $b = y_2 - y_1$. Le vecteur peut s'exprimer comme $\langle a,\, b \rangle$. Un vecteur nul $\langle 0,\, 0 \rangle$ est le cas trivial lorsque $P_1 = P_2$.
• 4.8.A.3 La direction du vecteur est parallèle au segment reliant l'origine au point de coordonnées $(a,\, b)$. La magnitude du vecteur est la racine carrée de la somme des carrés des composantes.
• 4.8.A.4 Pour un vecteur représenté géométriquement dans le plan, les composantes du vecteur peuvent être trouvées en utilisant la trigonométrie.

Objectif d'apprentissage 4.8.B : Déterminer des sommes et produits impliquant des vecteurs.

• 4.8.B.1 La multiplication d'une constante et d'un vecteur aboutit à un nouveau vecteur dont les composantes sont obtenues en multipliant la constante par chacune des composantes du vecteur original. Le nouveau vecteur est parallèle au vecteur original.
• 4.8.B.2 La somme de deux vecteurs dans $\mathbb{R}^2$ est un nouveau vecteur dont les composantes sont obtenues en additionnant les composantes correspondantes des vecteurs originaux. Le nouveau vecteur peut être représenté graphiquement comme un vecteur dont la queue correspond à la queue du premier vecteur et dont la tête correspond à la tête du second vecteur lorsque la queue du second vecteur est placée à la tête du premier vecteur.
• 4.8.B.3 Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de leurs composantes correspondantes. C'est-à-dire, $\langle a_1,\, b_1 \rangle \cdot \langle a_2,\, b_2 \rangle = a_1 a_2 + b_1 b_2$.

Objectif d'apprentissage 4.8.C : Déterminer un vecteur unitaire pour un vecteur donné.

• 4.8.C.1 Un vecteur unitaire est un vecteur de magnitude $1$. Un vecteur unitaire dans la même direction qu'un vecteur non nul donné peut être trouvé en multipliant le vecteur par la réciproque de sa magnitude.
• 4.8.C.2 Le vecteur $\langle a,\, b \rangle$ peut s'exprimer comme $a\vec{i} + b\vec{j}$ dans $\mathbb{R}^2$, où $\vec{i}$ et $\vec{j}$ sont des vecteurs unitaires dans les directions $x$ et $y$, respectivement. C'est-à-dire, $\vec{i} = \langle 1,\, 0 \rangle$ et $\vec{j} = \langle 0,\, 1 \rangle$.

Objectif d'apprentissage 4.8.D : Déterminer les mesures d'angles entre des vecteurs et les magnitudes des vecteurs impliqués dans l'addition vectorielle.

• 4.8.D.1 Le produit scalaire est géométriquement équivalent au produit des normes des deux vecteurs et du cosinus de l'angle entre eux. Par conséquent, si le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est nul, alors les vecteurs sont perpendiculaires.
• 4.8.D.2 La loi des sinus et la loi des cosinus peuvent être utilisées pour déterminer les longueurs de côtés et les mesures d'angles de triangles formés par l'addition vectorielle.

Objectif d'apprentissage 4.9.A : Représenter un mouvement plan en termes de fonctions à valeurs vectorielles.

• 4.9.A.1 La position d'une particule se déplaçant dans un plan donnée par la fonction paramétrique $f(t) = (x(t),\, y(t))$ peut être exprimée comme une fonction à valeurs vectorielles, $p(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}$ ou $p(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$. La norme du vecteur position à l'instant $t$ donne la distance de la particule à l'origine.
• 4.9.A.2 La fonction à valeurs vectorielles $v(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$ peut être utilisée pour exprimer la vitesse d'une particule se déplaçant dans un plan à différents instants, $t$. À l'instant $t$, le signe de $x(t)$ indique si la particule se déplace vers la droite ou vers la gauche, et le signe de $y(t)$ indique si elle se déplace vers le haut ou vers le bas. La norme du vecteur vitesse à l'instant $t$ donne la vitesse (vitesse scalaire) de la particule.

Objectif d'apprentissage 4.10.A : Déterminer le produit de deux matrices.

• 4.10.A.1 Une matrice $n \times m$ est un tableau consisting of $n$ lignes et $m$ colonnes.
• 4.10.A.2 Deux matrices peuvent être multipliées si le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la seconde matrice. Le produit des matrices est une nouvelle matrice dans laquelle le composant à la $i$ème ligne et à la $j$ème colonne est le produit scalaire de la $i$ème ligne de la première matrice et de la $j$ème colonne de la seconde matrice.

Objectif d'apprentissage 4.11.A : Déterminer l'inverse d'une matrice $2 \times 2$.

• 4.11.A.1 La matrice identité, $I$, est une matrice carrée composée de $1$s sur la diagonale allant du coin supérieur gauche au coin inférieur droit et de $0$s partout ailleurs.
• 4.11.A.2 Multiplier une matrice carrée par sa matrice identité correspondante donne la matrice carrée originale.
• 4.11.A.3 Le produit d'une matrice carrée et de son inverse, lorsqu'il existe, est la matrice identité de la même taille.
• 4.11.A.4 L'inverse d'une matrice $2 \times 2$, lorsqu'il existe, peut être calculé avec ou sans technologie.

Objectif d'apprentissage 4.11.B : Appliquer la valeur du déterminant à l'inversibilité et aux vecteurs.

• 4.11.B.1 Le déterminant de la matrice $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ est $ad - bc$. Le déterminant peut être calculé avec ou sans technologie et est noté $\det(A)$.
• 4.11.B.2 Si une matrice $2 \times 2$ est constituée de deux vecteurs colonne ou ligne de $\mathbb{R}^2$, alors la valeur absolue non nulle du déterminant de la matrice est l'aire du parallélogramme engendré par les vecteurs représentés dans les colonnes ou les lignes de la matrice. Si le déterminant est égal à $0$, alors les vecteurs sont parallèles.
• 4.11.B.3 La matrice carrée $A$ a une inverse si et seulement si $\det(A) \neq 0$.

Objectif d'apprentissage 4.12.A : Déterminer les vecteurs de sortie d'une transformation linéaire en utilisant une matrice $2 \times 2$.

• 4.12.A.1 Une transformation linéaire est une fonction qui transforme un vecteur d'entrée en un vecteur de sortie tel que chaque composante du vecteur de sortie est la somme de multiples constants des composantes du vecteur d'entrée.
• 4.12.A.2 Une transformation linéaire transformera le vecteur nul en le vecteur nul.
• 4.12.A.3 Un seul vecteur dans $\mathbb{R}^2$ peut être exprimé comme une matrice $2 \times 1$. Un ensemble de $n$ vecteurs dans $\mathbb{R}^2$ peut être exprimé comme une matrice $2 \times n$.
• 4.12.A.4 Pour une transformation linéaire, $L$, de $\mathbb{R}^2$ vers $\mathbb{R}^2$, il existe une unique matrice $2 \times 2$, $A$, telle que $L(\vec{v}) = A\vec{v}$ pour les vecteurs dans $\mathbb{R}^2$. Réciproquement, pour une matrice donnée $2 \times 2$, $A$, la fonction $L(\vec{v}) = A\vec{v}$ est une transformation linéaire de $\mathbb{R}^2$ vers $\mathbb{R}^2$.
• 4.12.A.5 La multiplication d'une matrice de transformation $2 \times 2$, $A$, et d'une matrice $2 \times n$ de $n$ vecteurs d'entrée donne une matrice $2 \times n$ des $n$ vecteurs de sortie pour la transformation linéaire $L(\vec{v}) = A\vec{v}$.

Objectif d'apprentissage 4.13.A : Déterminer l'association entre une transformation linéaire et une matrice.

• 4.13.A.1 La transformation linéaire mapping $\langle x,\, y \rangle$ vers $\langle a_{11} x + a_{12} y,\, a_{21} x + a_{22} y \rangle$ est associée à la matrice $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$.
• 4.13.A.2 La transformation des vecteurs unitaires dans une transformation linéaire fournit des informations précieuses pour déterminer la matrice associée.
• 4.13.A.3 La matrice $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ est associée à une transformation linéaire des vecteurs qui tourne chaque vecteur d'un angle $\theta$ dans le sens antihoraire autour de l'origine.
• 4.13.A.4 La valeur absolue du déterminant d'une matrice de transformation $2 \times 2$ donne l'amplitude de la dilatation des régions dans $\mathbb{R}^2$ sous la transformation.

Objectif d'apprentissage 4.13.B : Déterminer la composition de deux transformations linéaires.

• 4.13.B.1 La composition de deux transformations linéaires est une transformation linéaire.
• 4.13.B.2 La matrice associée à la composition de deux transformations linéaires est le produit des matrices associées à chaque transformation linéaire.

Objectif d'apprentissage 4.13.C : Déterminer l'inverse d'une transformation linéaire.

• 4.13.C.1 Deux transformations linéaires sont des inverses si leur composition envoie tout vecteur sur lui-même.
• 4.13.C.2 Si une transformation linéaire, $L$, est donnée par $L(\vec{v}) = A\vec{v}$, alors sa transformation inverse est donnée par $L^{-1}(\vec{v}) = A^{-1}\vec{v}$, où $A^{-1}$ est l'inverse de la matrice $A$.

Objectif d'apprentissage 4.14.A : Construire un modèle d'un scénario impliquant des transitions entre deux états à l'aide de matrices.

• 4.14.A.1 Un scénario contextuel peut indiquer le taux de transitions entre les états sous forme de pourcentages. Une matrice peut être construite à partir de ces taux pour modéliser l'évolution des états sur des intervalles discrets.

Objectif d'apprentissage 4.14.B : Appliquer des modèles matriciels pour prédire des états futurs et passés après $n$ étapes de transition.

• 4.14.B.1 Le produit d'une matrice modélisant les transitions entre états et d'un vecteur d'état correspondant peut prédire les états futurs.
• 4.14.B.2 La multiplication répétée d'une matrice modélisant les transitions entre états et des vecteurs d'état résultants correspondants permet de prédire l'état stationnaire, soit une répartition entre les états qui ne change pas d'une étape à l'autre.
• 4.14.B.3 Le produit de l'inverse d'une matrice modélisant les transitions entre états et d'un vecteur d'état correspondant peut prédire les états passés.