Fonctions exponentielles et logarithmiques

Objectif d'apprentissage 2.1.A : Exprimer les suites arithmétiques trouvées dans des scénarios mathématiques et contextuels comme des fonctions des nombres entiers.

• 2.1.A.1 Une suite est une fonction des nombres entiers vers les nombres réels. Par conséquent, la courbe d'une suite consiste en des points discrets au lieu d'une courbe.
• 2.1.A.2 Les termes consécutifs d'une suite arithmétique ont une différence commune, ou un taux de variation constant.
• 2.1.A.3 Le terme général d'une suite arithmétique avec une raison commune $d$ est noté $a_n$ et est donné par $a_n = a_0 + dn$, où $a_0$ est la valeur initiale, ou par $a_n = a_k + d(n - k)$, où $a_k$ est le $k$ème terme de la suite.

Objectif d'apprentissage 2.1.B : Exprimer les suites géométriques trouvées dans des scénarios mathématiques et contextuels comme des fonctions des nombres entiers.

• 2.1.B.1 Les termes consécutifs d'une suite géométrique ont un rapport commun, ou une variation proportionnelle constante.
• 2.1.B.2 Le terme général d'une suite géométrique avec un rapport commun $r$ est désigné par $g_n$ et est donné par $g_n = g_0 r^n$, où $g_0$ est la valeur initiale, ou par $g_n = g_k r^{(n-k)}$, où $g_k$ est le $k$-ème terme de la suite.
• 2.1.B.3 Les suites arithmétiques croissantes augmentent également à chaque étape, tandis que les suites géométriques croissantes augmentent d'une quantité plus grande à chaque étape successive.

Objectif d'apprentissage 2.2.A : Construire des fonctions des nombres réels comparables aux suites arithmétiques et géométriques.

• 2.2.A.1 Les fonctions linéaires de la forme $f(x) = b + mx$ sont similaires aux suites arithmétiques de la forme $a_n = a_0 + dn$, car les deux peuvent s'exprimer comme une valeur initiale ($b$ ou $a_0$) plus une addition répétée d'un taux de changement constant, la pente ($m$ ou $d$).
• 2.2.A.2 Similaire aux suites arithmétiques de la forme $a_n = a_k + d(n - k)$, qui sont basées sur une différence connue, $d$, et un $k$ème terme, les fonctions linéaires peuvent être exprimées sous la forme $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ basée sur une pente connue, $m$, et un point, $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.3 Les fonctions exponentielles de la forme $f(x) = ab^x$ sont similaires aux suites géométriques de la forme $g_n = g_0 r^n$, car toutes deux peuvent être exprimées comme une valeur initiale ($a$ ou $g_0$) multipliée par une multiplication répétée par une proportion constante ($b$ ou $r$).
• 2.2.A.4 Similaires aux suites géométriques de la forme $g_n = g_k r^{(n-k)}$, qui sont basées sur un rapport connu, $r$, et un terme $k$, les fonctions exponentielles peuvent s'exprimer sous la forme $f(x) = y_i r^{(x - x_i)}$ basée sur un rapport connu, $r$, et un point, $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.5 Les suites et leurs fonctions correspondantes peuvent avoir des domaines différents.

Objectif d'apprentissage 2.3.A : Identifier les caractéristiques clés des fonctions exponentielles.

• 2.3.A.1 La forme générale d'une fonction exponentielle est $f(x) = ab^x$, avec la valeur initiale $a$, où $a \neq 0$, et la base $b$, où $b > 0$, et $b \neq 1$. Quand $a > 0$ et $b > 1$, la fonction exponentielle est dite démontrer une croissance exponentielle. Quand $a > 0$ et $0 < b < 1$, la fonction exponentielle est dite démontrer une décroissance exponentielle.
• 2.3.A.2 Lorsque les entiers naturels sont les valeurs d'entrée dans une fonction exponentielle, la valeur d'entrée spécifie le nombre de facteurs de la base à appliquer à la valeur initiale de la fonction. Le domaine d'une fonction exponentielle est l'ensemble des nombres réels.
• 2.3.A.3 Puisque les valeurs de sortie des fonctions exponentielles sous forme générale sont proportionnelles sur des intervalles de longueur égale pour les valeurs d'entrée, les fonctions exponentielles sont toujours croissantes ou toujours décroissantes, et leurs graphiques sont toujours concaves vers le haut ou toujours concaves vers le bas. Par conséquent, les fonctions exponentielles n'ont pas d'extrema sauf sur un intervalle fermé, et leurs graphiques ne présentent pas de points d'inflexion.
• 2.3.A.4 Si les valeurs de la fonction de transformation additive $g(x) = f(x) + k$ d'une fonction quelconque $f$ sont proportionnelles sur des intervalles de longueur égale pour les valeurs d'entrée, alors $f$ est exponentielle.

Objectif d'apprentissage 2.4.A : Réécrire les expressions exponentielles sous formes équivalentes.

• 2.4.A.1 La propriété du produit pour les exposants stipule que $b^m b^n = b^{(m+n)}$. Graphiquement, cette propriété implique que toute translation horizontale d'une fonction exponentielle, $f(x) = b^{(x+k)}$, est équivalente à une dilatation verticale, $f(x) = b^{(x+k)} = b^x b^k = ab^x$, où $a = b^k$.
• 2.4.A.2 La propriété de puissance pour les exposants stipule que $\left(b^m\right)^n = b^{(mn)}$. Graphiquement, cette propriété implique que toute dilatation horizontale d'une fonction exponentielle, $f(x) = b^{(cx)}$, est équivalente à un changement de la base d'une fonction exponentielle, $f(x) = \left(b^c\right)^x$, où $b^c$ est une constante et $c \neq 0$.
• 2.4.A.3 La propriété de l'exposant négatif stipule que $b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$.
• 2.4.A.4 La valeur d'une expression exponentielle impliquant une fraction unitaire exponentielle, telle que $b^{(1/k)}$ où $k$ est un entier naturel, est la racine $k$ de $b$, lorsqu'elle existe.

Objectif d'apprentissage 2.5.A : Construire un modèle pour des situations impliquant des valeurs de sortie proportionnelles sur des intervalles de longueur égale de valeurs d'entrée.

• 2.5.A.1 Les fonctions exponentielles modélisent les modèles de croissance où les valeurs de sortie successives sur des intervalles de longueur égale de valeurs d'entrée sont proportionnelles. Lorsque les valeurs d'entrée sont des nombres entiers, les fonctions exponentielles modélisent des situations de multiplication répétée d'une constante à une valeur initiale.
• 2.5.A.2 Une constante peut devoir être ajoutée aux valeurs de la variable dépendante d'un ensemble de données pour révéler un modèle de croissance proportionnel.
• 2.5.A.3 Un modèle de fonction exponentielle peut être construit à partir d'un rapport approprié et d'une valeur initiale, ou à partir de deux paires entrée-sortie. La valeur initiale et la base peuvent être trouvées en résolvant un système d'équations résultant des deux paires entrée-sortie.
• 2.5.A.4 Les modèles de fonctions exponentielles peuvent être construits en appliquant des transformations à $f(x) = ab^x$ en se basant sur les caractéristiques d'un scénario contextuel ou d'un ensemble de données.
• 2.5.A.5 Les modèles de fonctions exponentielles peuvent être construits pour un ensemble de données à l'aide de technologies par régression exponentielle.
• 2.5.A.6 La base naturelle $e$, qui est approximativement $2.718$, est souvent utilisée comme base dans les fonctions exponentielles modélisant des scénarios contextuels.

Objectif d'apprentissage 2.6.A : Construire des modèles linéaires, quadratiques et exponentiels basés sur un ensemble de données.

• 2.6.A.1 Deux variables dans un ensemble de données qui démontrent un taux de changement légèrement variable peuvent être modélisées par des modèles de fonctions linéaires, quadratiques et exponentielles.
• 2.6.A.2 Les modèles peuvent être comparés en se basant sur des indices contextuels et leur applicabilité pour déterminer quel modèle est le plus approprié.

Objectif d'apprentissage 2.6.B : Valider un modèle construit à partir d'un ensemble de données.

• 2.6.B.1 Un modèle est justifié comme étant approprié pour un ensemble de données si le graphique des résidus d'une régression, le nuage de points des résidus, apparaît sans motif.
• 2.6.B.2 La différence entre les valeurs prédites et réelles est l'erreur dans le modèle. Selon l'ensemble de données et le contexte, il peut être plus approprié d'avoir une sous-estimation ou une surestimation pour tout intervalle donné.

Objectif d'apprentissage 2.7.A : Évaluer la composition de deux ou plusieurs fonctions pour des valeurs données.

• 2.7.A.1 Oui $f$ et $g$ sont des fonctions, la fonction composée $f \circ g$ mappe un ensemble de valeurs d'entrée vers un ensemble de valeurs de sortie tel que les valeurs de sortie de $g$ sont utilisées comme valeurs d'entrée de $f$. Pour cette raison, le domaine de la fonction composée est restreint aux valeurs d'entrée de $g$ pour lesquelles la valeur de sortie correspondante se trouve dans le domaine de $f$. $(f \circ g)(x)$ peut également être représenté comme $f(g(x))$.
• 2.7.A.2 Les valeurs pour la fonction composée $f \circ g$ peuvent être calculées ou estimées à partir des représentations graphiques, numériques, analytiques ou verbales de $f$ et $g$ en utilisant les valeurs de sortie de $g$ comme valeurs d'entrée pour $f$.
• 2.7.A.3 La composition de fonctions n'est pas commutative ; c'est-à-dire que $f \circ g$ et $g \circ f$ sont généralement des fonctions différentes ; par conséquent, $f(g(x))$ et $g(f(x))$ sont généralement des valeurs différentes.
• 2.7.A.4 Si la fonction $f(x) = x$ est composée avec n'importe quelle fonction $g$, la fonction composée résultante est la même que $g$ ; c'est-à-dire, $g(f(x)) = f(g(x)) = g(x)$. La fonction $f(x) = x$ est appelée la fonction identité. Lors de la composition de deux fonctions, la fonction identité agit de la même manière que $0$, l'identité additive, lors de l'addition de deux nombres et $1$, l'identité multiplicative, lors de la multiplication de deux nombres.

Objectif d'apprentissage 2.7.B : Construire une représentation de la composition de deux ou plusieurs fonctions.

• 2.7.B.1 La composition de fonctions est utile pour relier deux quantités qui ne sont pas directement liées par une formule existante.
• 2.7.B.2 Lorsque des représentations analytiques des fonctions $f$ et $g$ sont disponibles, une représentation analytique de $f(g(x))$ peut être construite en substituant $g(x)$ pour chaque occurrence de $x$ dans $f$.
• 2.7.B.3 Une représentation numérique ou graphique de $f \circ g$ peut souvent être construite en calculant ou estimant des valeurs pour $(x, f(g(x)))$.

Objectif d'apprentissage 2.7.C : Réécrire une fonction donnée comme une composition de deux ou plusieurs fonctions.

• 2.7.C.1 Les fonctions données analytiquement peuvent souvent être décomposées en fonctions moins complexes. Lorsqu'elles sont correctement décomposées, la variable dans une fonction doit remplacer chaque occurrence de la fonction avec laquelle elle a été composée.
• 2.7.C.2 Une transformation additive d'une fonction, $f$, qui entraîne des translations verticales et horizontales peut être comprise comme la composition de $g(x) = x + k$ avec $f$.
• 2.7.C.3 Une transformation multiplicative d'une fonction, $f$, qui entraîne des dilatations verticales et horizontales peut être comprise comme la composition de $g(x) = kx$ avec $f$.

Objectif d'apprentissage 2.8.A : Déterminer les paires entrée-sortie de la réciproque d'une fonction.

• 2.8.A.1 Sur un domaine spécifié, une fonction, $f$, possède une fonction réciproque, ou est inversible, si chaque valeur de sortie de $f$ est mappée depuis une valeur d'entrée unique. Le domaine d'une fonction peut être restreint de nombreuses manières pour rendre la fonction inversible.
• 2.8.A.2 Une fonction réciproque peut être considérée comme une mapping inverse de la fonction. Une fonction réciproque, $f^{-1}$, mappe les valeurs de sortie d'une fonction, $f$, sur son domaine inversible vers leurs valeurs d'entrée correspondantes ; c'est-à-dire, si $f(a) = b$, alors $f^{-1}(b) = a$. Alternativement, sur son domaine inversible, si une fonction consiste en des paires entrée-sortie $(a, b)$, alors la fonction réciproque consiste en des paires entrée-sortie $(b, a)$.

Objectif d'apprentissage 2.8.B : Déterminer la réciproque d'une fonction sur un domaine inversible.

• 2.8.B.1 La composition d'une fonction, $f$, et de sa fonction réciproque, $f^{-1}$, est la fonction identité ; c'est-à-dire, $f\left(f^{-1}(x)\right) = f^{-1}(f(x)) = x$.
• 2.8.B.2 Sur le domaine inversible d'une fonction, l'image et le domaine de la fonction sont respectivement le domaine et l'image de la fonction réciproque. La réciproque du tableau de valeurs de $y = f(x)$ peut être trouvée en inversant les paires entrée-sortie ; c'est-à-dire, $(a, b)$ correspond à $(b, a)$.
• 2.8.B.3 La réciproque du graphique de la fonction $y = f(x)$ peut être trouvée en inversant les rôles des axes $x$ et $y$ ; c'est-à-dire, en reflétant le graphique de la fonction sur le graphique de la fonction identité $h(x) = x$.
• 2.8.B.4 La réciproque de la fonction peut être trouvée en déterminant les opérations inverses pour inverser le mapping. Une méthode pour trouver la réciproque de la fonction $f$ consiste à inverser les rôles de $x$ et $y$ dans l'équation $y = f(x)$, puis à résoudre pour $y = f^{-1}(x)$.
• 2.8.B.5 En plus de limiter le domaine d'une fonction pour obtenir une fonction réciproque, des restrictions contextuelles peuvent également limiter l'applicabilité d'une fonction réciproque.

Objectif d'apprentissage 2.9.A : Évaluer des expressions logarithmiques.

• 2.9.A.1 L'expression logarithmique $\log_b c$ est égale à, ou représente, la valeur à laquelle la base $b$ doit être élevée exponentiellement pour obtenir la valeur $c$. C'est-à-dire, $\log_b c = a$ si et seulement si $b^a = c$, où $a$ et $c$ sont des constantes, $b > 0$, et $b \neq 1$. (lorsque la base d'une expression logarithmique n'est pas spécifiée, elle est comprise comme le logarithme commun avec une base de $10$)
• 2.9.A.2 Les valeurs de certaines expressions logarithmiques sont facilement accessibles par l'arithmétique de base tandis que d'autres valeurs peuvent être estimées grâce à l'utilisation de la technologie.
• 2.9.A.3 Sur une échelle logarithmique, chaque unité représente un changement multiplicatif de la base du logarithme. Par exemple, sur une échelle standard, les unités pourraient être $0, \; 1, \; 2, \; \ldots$, tandis que sur une échelle logarithmique, utilisant la base logarithmique $10$, les unités pourraient être $10^0, \; 10^1, \; 10^2, \; \ldots$.

Objectif d'apprentissage 2.10.A : Construire des représentations de l'inverse d'une fonction exponentielle avec une valeur initiale de 1.

• 2.10.A.1 La forme générale d'une fonction logarithmique est $f(x) = a\log_b x$, avec une base $b$, où $b > 0$, $b \neq 1$, et $a \neq 0$.
• 2.10.A.2 La manière dont les valeurs d'entrée et de sortie varient ensemble présente une relation inverse dans les fonctions exponentielles et logarithmiques. Les valeurs de sortie des fonctions exponentielles à forme générale changent proportionnellement lorsque les valeurs d'entrée augmentent par des intervalles de longueur égale. Cependant, les valeurs d'entrée des fonctions logarithmiques à forme générale changent proportionnellement lorsque les valeurs de sortie augmentent par des intervalles de longueur égale. Alternativement, la croissance exponentielle est caractérisée par des valeurs de sortie qui changent multiplicativement alors que les valeurs d'entrée changent additivement, tandis que la croissance logarithmique est caractérisée par des valeurs de sortie qui changent additivement alors que les valeurs d'entrée changent multiplicativement.
• 2.10.A.3 $f(x) = \log_b x$ et $g(x) = b^x$, où $b > 0$ et $b \neq 1$, sont des fonctions inverses. C'est-à-dire, $g(f(x)) = f(g(x)) = x$.
• 2.10.A.4 Le graphique de la fonction logarithmique $f(x) = \log_b x$, où $b > 0$ et $b \neq 1$, est le symétrique du graphique de la fonction exponentielle $g(x) = b^x$, où $b > 0$ et $b \neq 1$, par rapport au graphique de la fonction identité $h(x) = x$.
• 2.10.A.5 Oui $(s, \; t)$ est un couple ordonné de la fonction exponentielle $g(x) = b^x$, où $b > 0$ et $b \neq 1$, alors $(t, \; s)$ est un couple ordonné de la fonction logarithmique $f(x) = \log_b x$, où $b > 0$ et $b \neq 1$.

Objectif d'apprentissage 2.11.A : Identifier les caractéristiques clés des fonctions logarithmiques.

• 2.11.A.1 Le domaine d'une fonction logarithmique sous forme générale est tout nombre réel supérieur à zéro, et son image est l'ensemble des nombres réels.
• 2.11.A.2 Puisque les fonctions logarithmiques sont les réciproques des fonctions exponentielles, elles sont toujours croissantes ou toujours décroissantes, et leurs graphiques sont soit toujours concaves vers le haut, soit toujours concaves vers le bas. Par conséquent, les fonctions logarithmiques n'ont pas d'extrema sauf sur un intervalle fermé, et leurs graphiques ne présentent pas de points d'inflexion.
• 2.11.A.3 La fonction de transformation additive $g(x) = f(x + k)$, où $k \neq 0$, d'une fonction logarithmique $f$ sous forme générale ne possède pas de valeurs d'entrée proportionnelles sur des intervalles de longueur égale pour les valeurs de sortie. Cependant, si les valeurs d'entrée de la fonction de transformation additive, $g(x) = f(x + k)$, d'une fonction quelconque $f$ sont proportionnelles sur des intervalles de longueur égale pour les valeurs de sortie, alors $f$ est logarithmique.
• 2.11.A.4 Avec leur domaine limité, les fonctions logarithmiques sous forme générale sont asymptotiques verticalement à $x = 0$, avec un comportement en bout non borné. C'est-à-dire, pour une fonction logarithmique sous forme générale, $\lim\limits_{x \to 0^+} a\log_b x = \pm\infty$ et $\lim\limits_{x \to \infty} a\log_b x = \pm\infty$.

Objectif d'apprentissage 2.12.A : Réécrire les expressions logarithmiques sous formes équivalentes.

• 2.12.A.1 La propriété du produit pour les logarithmes stipule que $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$. Graphiquement, cette propriété implique que toute dilatation horizontale d'une fonction logarithmique, $f(x) = \log_b(kx)$, est équivalente à une translation verticale, $f(x) = \log_b(kx) = \log_b k + \log_b x = a + \log_b x$, où $a = \log_b k$.
• 2.12.A.2 La propriété de puissance pour les logarithmes stipule que $\log_b x^n = n\log_b x$. Graphiquement, cette propriété implique qu'élever l'entrée d'une fonction logarithmique à une puissance, $f(x) = \log_b x^k$, résulte en une dilatation verticale, $f(x) = \log_b x^k = k\log_b x$.
• 2.12.A.3 La propriété de changement de base pour les logarithmes stipule que $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$, où $a > 0$ et $a \neq 1$. Cela implique que toutes les fonctions logarithmiques sont des dilatations verticales les unes des autres.
• 2.12.A.4 La fonction $f(x) = \ln x$ est une fonction logarithmique avec la base naturelle $e$ ; c'est-à-dire, $\ln x = \log_e x$.

Objectif d'apprentissage 2.13.A : Résoudre les équations et inégalités exponentielles et logarithmiques.

• 2.13.A.1 Les propriétés des exposants, les propriétés des logarithmes et la relation réciproque entre les fonctions exponentielles et logarithmiques peuvent être utilisées pour résoudre les équations et inégalités impliquant des exposants et des logarithmes.
• 2.13.A.2 Lors de la résolution d'équations exponentielles et logarithmiques obtenues par des méthodes analytiques ou graphiques, les résultats doivent être examinés pour détecter les solutions étrangères exclues par les limites mathématiques ou contextuelles.
• 2.13.A.3 Les logarithmes peuvent être utilisés pour réécrire des expressions impliquant des fonctions exponentielles de différentes manières qui peuvent révéler des informations utiles. Spécifiquement, $b^x = c^{(\log_c b)(x)}$.

Objectif d'apprentissage 2.13.B : Construire la fonction réciproque pour les fonctions exponentielles et logarithmiques.

• 2.13.B.1 La fonction $f(x) = ab^{(x-h)} + k$ est une combinaison de transformations additives d'une fonction exponentielle sous forme générale. L'inverse de $y = f(x)$ peut être trouvé en déterminant les opérations inverses pour annaler la correspondance.
• 2.13.B.2 La fonction $f(x) = a\log_b(x - h) + k$ est une combinaison de transformations additives d'une fonction logarithmique sous forme générale. L'inverse de $y = f(x)$ peut être trouvé en déterminant les opérations inverses pour annaler la correspondance.

Objectif d'apprentissage 2.14.A : Construire un modèle de fonction logarithmique.

• 2.14.A.1 Les fonctions logarithmiques sont les réciproques des fonctions exponentielles et peuvent être utilisées pour modéliser des situations impliquant une croissance proportionnelle, ou une multiplication répétée, où les valeurs d'entrée changent proportionnellement sur des intervalles de longueur égale pour les valeurs de sortie. Alternativement, si la valeur de sortie est un entier, elle indique combien de fois la valeur initiale a été multipliée par la proportion.
• 2.14.A.2 Un modèle de fonction logarithmique peut être construit à partir d'une proportion appropriée et d'un zéro réel, ou à partir de deux couples entrée-sortie.
• 2.14.A.3 Les modèles de fonctions logarithmiques peuvent être construits en appliquant des transformations à $f(x) = a\log_b x$ en se basant sur les caractéristiques d'un contexte ou d'un ensemble de données.
• 2.14.A.4 Les modèles de fonctions logarithmiques peuvent être construits pour un ensemble de données utilisant la technologie via des régressions logarithmiques.
• 2.14.A.5 La fonction logarithme naturel est souvent utile pour modéliser des phénomènes du monde réel.
• 2.14.A.6 Les modèles de fonctions logarithmiques peuvent être utilisés pour prédire des valeurs pour la variable dépendante.

Objectif d'apprentissage 2.15.A : Déterminer si un modèle exponentiel est approprié en examinant un tracé semi-logarithmique d'un ensemble de données.

• 2.15.A.1 Dans un tracé semi-logarithmique, un des axes est gradué logarithmiquement. Lorsque l'axe $y$ d'un tracé semi-logarithmique est gradué logarithmiquement, les données ou fonctions démontrant des caractéristiques exponentielles apparaîtront linéaires.
• 2.15.A.2 Un avantage des tracés semi-logarithmiques est qu'il n'est jamais nécessaire d'ajouter une constante aux valeurs de la variable dépendante pour révéler qu'un modèle exponentiel est approprié.

Objectif d'apprentissage 2.15.B : Construire la linéarisation de données exponentielles.

• 2.15.B.1 Les techniques utilisées pour modéliser des fonctions linéaires peuvent être appliquées à un graphique semi-logarithmique.
• 2.15.B.2 Pour un modèle exponentiel de la forme $y = ab^x$, le modèle linéaire correspondant pour le tracé semi-logarithmique est $y = (\log_n b)x + \log_n a$, où $n > 0$ et $n \neq 1$. Spécifiquement, le taux de variation linéaire est $\log_n b$, et la valeur linéaire initiale est $\log_n a$.