Fonctions polynomiales et rationnelles

Objectif d'apprentissage 1.1.A : Décrire comment les valeurs d'entrée et de sortie d'une fonction varient ensemble en comparant les valeurs de la fonction.

• 1.1.A.1 Une fonction est une relation mathématique qui associe un ensemble de valeurs d'entrée à un ensemble de valeurs de sortie de sorte que chaque valeur d'entrée est associée à exactement une valeur de sortie. L'ensemble des valeurs d'entrée est appelé le domaine de la fonction, et l'ensemble des valeurs de sortie est appelé l'image de la fonction. La variable représentant les valeurs d'entrée est appelée la variable indépendante, et la variable représentant les valeurs de sortie est appelée la variable dépendante.
• 1.1.A.2 Les valeurs d'entrée et de sortie d'une fonction varient conjointement selon la règle de fonction, qui peut être exprimée graphiquement, numériquement, analytiquement ou verbalement.
• 1.1.A.3 Une fonction est croissante sur un intervalle de son domaine si, lorsque les valeurs d'entrée augmentent, les valeurs de sortie augmentent toujours. C'est-à-dire, pour tout $a$ et $b$ dans l'intervalle, si $a < b$, alors $f(a) < f(b)$.
• 1.1.A.4 Une fonction est décroissante sur un intervalle de son domaine si, lorsque les valeurs d'entrée augmentent, les valeurs de sortie diminuent toujours. C'est-à-dire, pour tout $a$ et $b$ dans l'intervalle, si $a < b$, alors $f(a) > f(b)$.

Objectif d'apprentissage 1.1.B : Construire un graphique représentant deux quantités qui varient l'une par rapport à l'autre dans un contexte donné.

• 1.1.B.1 Le graphique d'une fonction affiche un ensemble de paires entrée-sortie et montre comment les valeurs d'entrée et de sortie de la fonction varient.
• 1.1.B.2 Une description verbale de la façon dont certains aspects des phénomènes changent ensemble peut servir de base à la construction d'un graphique.
• 1.1.B.3 Le graphique d'une fonction est concave vers le haut sur les intervalles où le taux de variation augmente.
• 1.1.B.4 Le graphique d'une fonction est concave vers le bas sur les intervalles où le taux de variation diminue.
• 1.1.B.5 Le graphique coupe l'axe $x$ lorsque la valeur de sortie est nulle. Les valeurs d'entrée correspondantes sont dites être des zéros de la fonction.

Objectif d'apprentissage 1.2.A : Comparer les taux de variation en deux points à l'aide de taux de variation moyens près des points.

• 1.2.A.1 Le taux de variation moyen d'une fonction sur un intervalle du domaine de cette fonction est le taux de variation constant qui produit le même changement dans les valeurs de sortie que celui obtenu par la fonction sur cet intervalle du domaine. C'est le rapport du changement des valeurs de sortie au changement des valeurs d'entrée sur cet intervalle.
• 1.2.A.2 Le taux de variation d'une fonction en un point quantifie la vitesse à laquelle les valeurs de sortie changeraient si les valeurs d'entrée changeaient à ce point. Le taux de variation en un point peut être approximé par les taux de variation moyens de la fonction sur de petits intervalles contenant ce point, si de telles valeurs existent.
• 1.2.A.3 Les taux de variation en deux points peuvent être comparés à l'aide d'approximations du taux de variation moyen sur des intervalles suffisamment petits contenant chaque point, si de telles valeurs existent.

Objectif d'apprentissage 1.2.B : Décrire comment deux quantités varient ensemble à différents points et sur différents intervalles d'une fonction.

• 1.2.B.1 Les taux de variation quantifient la manière dont deux quantités varient ensemble.
• 1.2.B.2 Un taux de variation positif indique qu'alors qu'une quantité augmente ou diminue, l'autre quantité fait de même.
• 1.2.B.3 Un taux de variation négatif indique qu'alors qu'une quantité augmente, l'autre diminue.

Objectif d'apprentissage 1.3.A : Déterminer les taux de variation moyens pour les suites et les fonctions, y compris les fonctions linéaires, quadratiques et d'autres types de fonctions.

• 1.3.A.1 Pour une fonction linéaire, le taux de variation moyen sur n'importe quel intervalle de longueur de valeur d'entrée est constant.
• 1.3.A.2 Pour une fonction quadratique, les taux de variation moyens sur des intervalles consécutifs de longueur égale de valeurs d'entrée peuvent être donnés par une fonction linéaire.
• 1.3.A.3 Le taux de variation moyen sur l'intervalle fermé $[a, b]$ est la pente de la sécante passant du point $(a, f(a))$ à $(b, f(b))$.

Objectif d'apprentissage 1.3.B : Déterminer le changement des taux de variation moyens pour les fonctions linéaires, quadratiques et d'autres types de fonctions.

• 1.3.B.1 Pour une fonction linéaire, puisque les taux de variation moyens sur des intervalles consécutifs de longueur égale de valeurs d'entrée peuvent être donnés par une fonction constante, ces taux de variation moyens pour une fonction linéaire changent à un taux de zéro.
• 1.3.B.2 Pour une fonction quadratique, puisque les taux de variation moyens sur des intervalles consécutifs de longueur égale de valeurs d'entrée peuvent être donnés par une fonction linéaire, ces taux de variation moyens pour une fonction quadratique changent à un taux constant.
• 1.3.B.3 Lorsque le taux de variation moyen sur des intervalles de valeurs d'entrée de longueur égale augmente pour tous les intervalles de petite longueur, la courbe de la fonction est convexe. Lorsque le taux de variation moyen sur des intervalles de valeurs d'entrée de longueur égale diminue pour tous les intervalles de petite longueur, la courbe de la fonction est concave.

Objectif d'apprentissage 1.4.A : Identifier les caractéristiques clés des fonctions polynomiales liées aux taux de variation.

• 1.4.A.1 Une fonction polynomiale non constante de $x$ est toute représentation fonctionnelle équivalente à la forme analytique $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, où $n$ est un entier positif, $a_i$ est un nombre réel pour chaque $i$ allant de $1$ à $n$, et $a_n$ est non nul. Le polynôme a pour degré $n$, son terme dominant est $a_n x^n$, et son coefficient dominant est $a_n$. Une constante est également une fonction polynomiale de degré zéro.
• 1.4.A.2 Là où une fonction polynomiale change entre croissante et décroissante, ou à l'extrémité incluse d'un polynôme à domaine restreint, la fonction polynomiale aura une valeur de sortie maximale ou minimale locale, ou relative. De tous les maxima locaux, le plus grand est appelé maximum global, ou absolu. De même, le plus petit de tous les minima locaux est appelé minimum global, ou absolu.
• 1.4.A.3 Entre deux zéros réels distincts d'une fonction polynomiale non constante, il doit y avoir au moins une valeur d'entrée correspondant à un maximum local ou un minimum local.
• 1.4.A.4 Les fonctions polynomiales de degré pair auront soit un maximum global, soit un minimum global.
• 1.4.A.5 Les points d'inflexion d'une fonction polynomiale se situent aux valeurs d'entrée où le taux de variation de la fonction passe d'augmentant à décroissant ou de décroissant à croissant. Cela se produit lorsque la courbe d'une fonction polynomiale passe de convexe à concave ou de concave à convexe.

Objectif d'apprentissage 1.5.A : Identifier les caractéristiques clés d'une fonction polynomiale liées à ses zéros lorsque des factorisations appropriées sont disponibles ou avec l'aide d'un logiciel.

• 1.5.A.1 Oui $a$ est un nombre complexe et $p(a) = 0$, alors $a$ est appelé un zéro de la fonction polynomiale $p$, ou une racine de $p(x) = 0$. Si $a$ est un nombre réel, alors $(x - a)$ est un facteur linéaire de $p$ si et seulement si $a$ est un zéro de $p$.
• 1.5.A.2 Si un facteur linéaire $(x - a)$ est répété $n$ fois, le zéro correspondant de la fonction polynomiale a une multiplicité $n$. Une fonction polynomiale de degré $n$ possède exactement $n$ zéros complexes en comptant les multiplicités.
• 1.5.A.3 Oui $a$ est un zéro réel d'une fonction polynomiale $p$, alors la courbe de $y = p(x)$ présente une intersection avec l'axe $x$ au point $(a, 0)$. Par conséquent, les zéros réels d'un polynôme peuvent servir d'extrémités aux intervalles satisfaisant les inégalités polynomiales.
• 1.5.A.4 Oui $a + bi$ est un zéro non réel d'une fonction polynomiale $p$, alors son conjugué $a - bi$ est également un zéro de $p$.
• 1.5.A.5 Si le zéro réel, $a$, d'une fonction polynomiale a une multiplicité paire, alors les signes des valeurs de sortie sont les mêmes pour les valeurs d'entrée proches de $x = a$. Pour ces fonctions polynomiales, la courbe sera tangente à l'axe $x$ au point $x = a$.
• 1.5.A.6 Le degré d'une fonction polynomiale peut être déterminé en examinant les différences successives des valeurs de sortie sur des valeurs d'entrée à intervalles égaux. Le degré de la fonction polynomiale est égal à la plus petite valeur $n$ pour laquelle les différences $n$-ièmes successives sont constantes.

Objectif d'apprentissage 1.5.B : Déterminer si une fonction polynomiale est paire ou impaire.

• 1.5.B.1 Une fonction paire est symétrique graphiquement par rapport à la droite $x = 0$ et possède analytiquement la propriété $f(-x) = f(x)$. Si $n$ est paire, alors un polynôme de la forme $p(x) = a_n x^n$, où $n \geq 1$ et $a_n \neq 0$, est une fonction paire.
• 1.5.B.2 Une fonction impaire est symétrique graphiquement par rapport au point $(0, 0)$ et possède analytiquement la propriété $f(-x) = -f(x)$. Si $n$ est impair, alors un polynôme de la forme $p(x) = a_n x^n$, où $n \geq 1$ et $a_n \neq 0$, est une fonction impaire.

Objectif d'apprentissage 1.6.A : Décrire les comportements asymptotiques des fonctions polynomiales.

• 1.6.A.1 Lorsque les valeurs d'entrée d'une fonction polynomiale non constante augmentent sans limite, les valeurs de sortie augmenteront ou diminueront sans limite. La notation mathématique correspondante est $\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.2 Lorsque les valeurs d'entrée d'une fonction polynomiale non constante diminuent sans limite, les valeurs de sortie augmenteront ou diminueront sans limite. La notation mathématique correspondante est $\lim_{x \to -\infty} p(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to -\infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.3 Le degré et le signe du terme dominant d'un polynôme déterminent le comportement asymptotique de la fonction polynomiale, car lorsque les valeurs d'entrée augmentent ou diminuent sans limite, les valeurs du terme dominant dominent celles de tous les termes de degré inférieur.

Objectif d'apprentissage 1.7.A : Décrire les comportements asymptotiques des fonctions rationnelles.

• 1.7.A.1 Une fonction rationnelle est représentée analytiquement comme un quotient de deux fonctions polynomiales et donne une mesure de la taille relative de la fonction polynomiale au numérateur par rapport à la fonction polynomiale au dénominateur pour chaque valeur dans le domaine de la fonction rationnelle.
• 1.7.A.2 Le comportement asymptotique d'une fonction rationnelle sera le plus affecté par le polynôme ayant le plus grand degré, car ses valeurs domineront celles de la fonction rationnelle pour les valeurs d'entrée de grande magnitude. Pour les valeurs d'entrée de grande magnitude, un polynôme est dominé par son terme dominant. Par conséquent, le comportement asymptotique d'une fonction rationnelle peut être compris en examinant le quotient correspondant des termes dominants.
• 1.7.A.3 Si le polynôme au numérateur domine celui au dénominateur pour les valeurs d'entrée de grande magnitude, alors le quotient des termes dominants est un polynôme non constant, et la fonction rationnelle originale a le comportement asymptotique de ce polynôme. Si ce polynôme est linéaire, alors la courbe de la fonction rationnelle a une asymptote oblique parallèle à la courbe de la droite.
• 1.7.A.4 Si aucun des polynômes d'une fonction rationnelle ne domine l'autre pour les valeurs d'entrée de grande magnitude, alors le quotient des termes dominants est une constante, et cette constante indique l'emplacement d'une asymptote horizontale de la courbe de la fonction rationnelle originale.
• 1.7.A.5 Si le polynôme au dénominateur domine celui au numérateur pour les valeurs d'entrée de grande magnitude, alors le quotient des termes dominants est une fonction rationnelle avec une constante au numérateur et un polynôme non constant au dénominateur, et la courbe de la fonction rationnelle originale a une asymptote horizontale à $y = 0$.
• 1.7.A.6 Lorsque la courbe d'une fonction rationnelle $r$ a une asymptote horizontale à $y = b$, où $b$ est une constante, les valeurs de sortie de la fonction rationnelle se rapprochent arbitrairement de $b$ et restent arbitrairement proches de $b$ lorsque les valeurs d'entrée augmentent ou diminuent sans limite. La notation mathématique correspondante est $\lim_{x \to \infty} r(x) = b$ ou $\lim_{x \to -\infty} r(x) = b$.

Objectif d'apprentissage 1.8.A : Déterminer les zéros des fonctions rationnelles.

• 1.8.A.1 Les zéros réels d'une fonction rationnelle correspondent aux zéros réels du numérateur pour de telles valeurs dans son domaine.
• 1.8.A.2 Les zéros réels des deux fonctions polynomiales d'une fonction rationnelle $r$ sont des extrémités ou des asymptotes pour les intervalles satisfaisant les inégalités de la fonction rationnelle $r(x) \geq 0$ ou $r(x) \leq 0$.

Objectif d'apprentissage 1.9.A : Déterminer les asymptotes verticales des graphes de fonctions rationnelles.

• 1.9.A.1 Si la valeur $a$ est un zéro réel de la fonction polynomiale au dénominateur d'une fonction rationnelle et n'est pas aussi un zéro réel de la fonction polynomiale au numérateur, alors la courbe de la fonction rationnelle a une asymptote verticale à $x = a$. De plus, une asymptote verticale se produit également à $x = a$ si la multiplicité de $a$ en tant que zéro réel dans le dénominateur est supérieure à sa multiplicité en tant que zéro réel dans le numérateur.
• 1.9.A.2 Près d'une asymptote verticale, $x = a$, d'une fonction rationnelle, les valeurs de la fonction polynomiale au dénominateur sont arbitrairement proches de zéro, donc les valeurs de la fonction rationnelle $r$ augmentent ou diminuent sans limite. La notation mathématique correspondante est $\lim_{x \to a^+} r(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to a^+} r(x) = -\infty$ pour les valeurs d'entrée proches de $a$ et supérieures à $a$, et $\lim_{x \to a^-} r(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to a^-} r(x) = -\infty$ pour les valeurs d'entrée proches de $a$ et inférieures à $a$.

Objectif d'apprentissage 1.10.A : Déterminer les trous dans les graphiques de fonctions rationnelles.

• 1.10.A.1 Si la multiplicité d'une racine réelle du numérateur est supérieure ou égale à sa multiplicité dans le dénominateur, alors le graphique de la fonction rationnelle présente un trou à la valeur d'entrée correspondante.
• 1.10.A.2 Si le graphique d'une fonction rationnelle $r$ présente un trou en $x = c$, alors l'emplacement du trou peut être déterminé en examinant les valeurs de sortie correspondant aux valeurs d'entrée suffisamment proches de $c$. Si des valeurs d'entrée suffisamment proches de $c$ correspondent à des valeurs de sortie arbitrairement proches de $L$, alors le trou est situé au point de coordonnées $(c, L)$. La notation mathématique correspondante est $\lim_{x \to c} r(x) = L$. Il convient de noter que $\lim_{x \to c^-} r(x) = \lim_{x \to c^+} r(x) = \lim_{x \to c} r(x) = L$.

Objectif d'apprentissage 1.11.A : Réécrire les expressions polynomiales et rationnelles sous une forme équivalente.

• 1.11.A.1 Puisque la forme factorisée d'un polynôme ou d'une fonction rationnelle fournit facilement des informations sur les racines réelles, elle peut révéler des informations sur les $x$-intercepts, les asymptotes, les trous, le domaine et l'image.
• 1.11.A.2 La forme standard d'un polynôme ou d'une fonction rationnelle peut révéler des informations sur les comportements aux bornes de la fonction.
• 1.11.A.3 Les informations extraites de différentes représentations analytiques du même polynôme ou de la même fonction rationnelle peuvent être utilisées pour répondre à des questions en contexte.

Objectif d'apprentissage 1.11.B : Déterminer le quotient de deux fonctions polynomiales à l'aide de la division longue.

• 1.11.B.1 La division longue de polynômes est un processus algébrique similaire à la division longue numérique impliquant un quotient et un reste. Si le polynôme $f$ est divisé par le polynôme $g$, alors $f$ peut être réécrit comme $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$, où $q$ est le quotient, $r$ est le reste, et le degré de $r$ est inférieur au degré de $g$.
• 1.11.B.2 Le résultat de la division longue de polynômes est utile pour trouver les équations des asymptotes obliques des graphiques de fonctions rationnelles.

Objectif d'apprentissage 1.11.C : Réécrire le produit répété de binômes en utilisant le théorème du binôme.

• 1.11.C.1 Le théorème du binôme utilise les entrées d'une seule ligne du triangle de Pascal pour développer plus facilement des expressions de la forme $(a + b)^n$, y compris des fonctions polynomiales de la forme $p(x) = (x + c)^n$, où $c$ est une constante.

Objectif d'apprentissage 1.12.A : Construire une fonction qui est une transformation additive et/ou multiplicative d'une autre fonction.

• 1.12.A.1 La fonction $g(x) = f(x) + k$ est une transformation additive de la fonction $f$ qui entraîne une translation verticale du graphique de $f$ de $k$ unités.
• 1.12.A.2 La fonction $g(x) = f(x + h)$ est une transformation additive de la fonction $f$ qui entraîne une translation horizontale du graphique de $f$ de $-h$ unités.
• 1.12.A.3 La fonction $g(x) = a f(x)$, où $a \neq 0$, est une transformation multiplicative de la fonction $f$ qui entraîne une dilatation verticale du graphique de $f$ par un facteur de $|a|$. Si $a < 0$, la transformation implique une réflexion par rapport à l'axe $x$.
• 1.12.A.4 La fonction $g(x) = f(bx)$, où $b \neq 0$, est une transformation multiplicative de la fonction $f$ qui entraîne une dilatation horizontale du graphique de $f$ par un facteur de $\left| \dfrac{1}{b} \right|$. Si $b < 0$, la transformation implique une réflexion par rapport à l'axe $y$.
• 1.12.A.5 Les transformations additives et multiplicatives peuvent être combinées, résultant en des combinaisons de translations horizontales et verticales ainsi que de dilations.
• 1.12.A.6 Le domaine et l'image d'une fonction qui est une transformation d'une fonction mère peuvent être différents de ceux de la fonction mère.

Objectif d'apprentissage 1.13.A : Identifier un type de fonction approprié pour construire un modèle fonctionnel pour un scénario donné.

• 1.13.A.1 Les fonctions linéaires modélisent des ensembles de données ou des aspects de scénarios contextuels qui présentent approximativement des taux de variation constants.
• 1.13.A.2 Les fonctions quadratiques modélisent des ensembles de données ou des aspects de scénarios contextuels qui présentent approximativement des taux de variation linéaires, ou des ensembles de données approximativement symétriques avec une valeur maximale ou minimale unique.
• 1.13.A.3 Les contextes géométriques impliquant une aire ou deux dimensions peuvent souvent être modélisés par des fonctions quadratiques. Les contextes géométriques impliquant un volume ou trois dimensions peuvent souvent être modélisés par des fonctions cubiques.
• 1.13.A.4 Les fonctions polynomiales modélisent des ensembles de données ou des scénarios contextuels présentant plusieurs racines réelles ou plusieurs maxima ou minima.
• 1.13.A.5 Une fonction polynomiale de degré $n$ modélise des ensembles de données ou des scénarios contextuels qui présentent approximativement des $n$ièmes différences constantes non nulles.
• 1.13.A.6 Une fonction polynomiale de degré $n$ ou moins peut être utilisée pour modéliser un graphique de $n + 1$ points avec des valeurs d'entrée distinctes.
• 1.13.A.7 Une fonction définie par morceaux consiste en un ensemble de fonctions définies sur des intervalles de domaine non chevauchants et est utile pour modéliser un ensemble de données ou un scénario contextuel qui présente des caractéristiques différentes sur différents intervalles.

Objectif d'apprentissage 1.13.B : Décrire les hypothèses et restrictions liées à la construction d'un modèle fonctionnel.

• 1.13.B.1 Un modèle peut avoir des hypothèses sous-jacentes sur ce qui est constant dans le modèle.
• 1.13.B.2 Un modèle peut avoir des hypothèses sous-jacentes sur la manière dont les quantités varient ensemble.
• 1.13.B.3 Un modèle peut nécessiter des restrictions de domaine basées sur des indices mathématiques, des indices contextuels ou des valeurs extrêmes dans l'ensemble de données.
• 1.13.B.4 Un modèle peut nécessiter des restrictions d'image, telles que l'arrondi des valeurs, basé sur des indices mathématiques, des indices contextuels ou des valeurs extrêmes dans l'ensemble de données.

Objectif d'apprentissage 1.14.A : Construire un modèle linéaire, quadratique, cubique, quartique, polynomiale de degré $n$, ou une fonction définie par morceaux associée.

• 1.14.A.1 Un modèle peut être construit sur la base de restrictions identifiées dans un scénario mathématique ou contextuel.
• 1.14.A.2 Un modèle d'un ensemble de données ou d'un scénario contextuel peut être construit à l'aide de transformations de la fonction mère.
• 1.14.A.3 Un modèle d'un ensemble de données peut être construit à l'aide de technologies et de régressions, y compris des régressions linéaires, quadratiques, cubiques et quartiques.
• 1.14.A.4 Un modèle de fonction définie par morceaux peut être construit par une combinaison de techniques de modélisation.

Objectif d'apprentissage 1.14.B : Construire un modèle de fonction rationnelle basé sur un contexte.

• 1.14.B.1 Les ensembles de données et les aspects de scénarios contextuels impliquant des quantités inversement proportionnelles peuvent souvent être modélisés par des fonctions rationnelles. Par exemple, les grandeurs de la force gravitationnelle et électromagnétique entre des objets sont inversement proportionnelles au carré de la distance entre ces objets.

Objectif d'apprentissage 1.14.C : Appliquer un modèle fonctionnel pour répondre à des questions concernant un ensemble de données ou un scénario contextuel.

• 1.14.C.1 Un modèle peut être utilisé pour tirer des conclusions sur l'ensemble de données ou le scénario contextuel modélisé, y compris répondre à des questions clés et prédire des valeurs, des taux de variation, des taux de variation moyens et des taux de variation changeants. Des unités de mesure appropriées doivent être extraites ou déduites du contexte donné.