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Charges électriques, champs et loi de Gauss

AP Physique C : Électricité et Magnétisme · Sujet 8

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9:52

Charges électriques, champs et loi de Gauss

Un éclair frappe une voiture. À l'intérieur, les gens ne ressentent absolument rien. Pourquoi ? La coque métallique autour d'eux est un conducteur. La charge court sur sa surface extérieure…

Narration en anglais · Sous-titres anglais + 中文 incrustés

8.1

Charge électrique et force électrique

Programme

Objectif d'apprentissage 8.1.A : Décrire la force électrique résultant des interactions entre objets ou systèmes chargés.

  • 8.1.A.1 La charge est une propriété fondamentale de toute matière.
    • 8.1.A.1.i La charge est une grandeur scalaire et est décrite comme positive ou négative.
    • 8.1.A.1.ii La magnitude de la charge d'un électron ou d'un proton unique, la charge élémentaire $e$, peut être considérée comme la quantité indivisible la plus petite de charge.
    • 8.1.A.1.iii La charge d'un électron est $-e$ et la charge d'un proton est $+e$, et un neutron n'a aucune charge électrique.
    • 8.1.A.1.iv Une charge ponctuelle est un modèle selon lequel la taille physique d'un objet ou d'un système chargé est négligeable dans le contexte de la situation analysée.
  • 8.1.A.2 La loi de Coulomb décrit la force électrostatique entre deux objets chargés comme étant directement proportionnelle à la magnitude de chacune des charges et inversement proportionnelle au carré de la distance entre les objets.
    • Équation pertinente : $\left| \vec{F}_E \right| = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \dfrac{|q_1 q_2|}{r^2}$
  • 8.1.A.3 La direction de la force électrostatique dépend des signes des charges des objets interagissant et est alignée le long de la ligne de séparation entre les objets.
    • 8.1.A.3.i Deux objets portant des charges de même signe exercent des forces répulsives l'un sur l'autre.
    • 8.1.A.3.ii Deux objets portant des charges de signes opposés exercent des forces attractives l'un sur l'autre.
  • 8.1.A.4 Les forces électriques sont responsables de certaines propriétés macroscopiques des objets rencontrés dans l'expérience quotidienne. Cependant, le grand nombre d'interactions de particules qui se produisent rend plus commode de traiter les forces quotidiennes en termes de forces non fondamentales appelées forces de contact, telles que la force normale, le frottement et la tension.

Objectif d'apprentissage 8.1.B : Décrire les forces électriques et gravitationnelles résultant des interactions entre objets chargés possédant une masse.

  • 8.1.B.1 Les forces électrostatiques peuvent être attractives ou répulsives, tandis que les forces gravitationnelles sont toujours attractives.
  • 8.1.B.2 Pour tout couple d'objets possédant une masse et une charge électrique, la magnitude de la force gravitationnelle est généralement bien inférieure à celle de la force électrostatique.
  • 8.1.B.3 Les forces gravitationnelles dominent aux grandes échelles malgré leur faiblesse relative face aux forces électrostatiques, car les systèmes à grande échelle ont tendance à être électriquement neutres.

Objectif d'apprentissage 8.1.C : Décrire la permittivité électrique d'un matériau ou d'un milieu.

  • 8.1.C.1 La permittivité électrique est une mesure du degré auquel un matériau ou un milieu est polarisé en présence d'un champ électrique.
  • 8.1.C.2 La polarisation électrique peut être modélisée comme le réarrangement induit des électrons par un champ électrique externe, entraînant une séparation de charges positives et négatives au sein d'un matériau ou d'un milieu.
  • 8.1.C.3 Le vide possède une valeur constante de permittivité électrique, $\varepsilon_0$, qui apparaît dans les relations physiques.
  • 8.1.C.4 La permittivité de la matière a une valeur différente de celle du vide, résultat de la composition et de l'agencement de la matière.
    • 8.1.C.4.i Dans un matériau donné, la permittivité électrique est déterminée par la facilité avec laquelle les électrons peuvent changer de configuration au sein du matériau.
    • 8.1.C.4.ii Les conducteurs sont fabriqués à partir de matériaux conducteurs électriques dans lesquels les porteurs de charge se déplacent facilement ; les isolants sont fabriqués à partir de matériaux non conducteurs électriques dans lesquels les porteurs de charge ne peuvent pas se déplacer facilement.

Énoncé de limite : AP Physics C : Électricité & Magnétisme ne demande aux étudiants que d'effectuer des calculs de la force électrique entre quatre objets ou systèmes chargés interagissants maximum. L'analyse de la force électrique résultante provenant de plus de charges est autorisée dans des situations de haute symétrie. Notez que les étudiants sont attendus pour calculer les champs électriques de distributions de charges, comme décrit dans les chapitres 8.4 et 8.6.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La charge électrique 电荷 existe sous forme positive et négative ; les charges similaires se repoussent, les opposées s'attirent. La charge est quantifiée 量子化 – toute charge est un multiple entier de la charge élémentaire 基本电荷 $e=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$ – et obéit à la conservation de la charge 电荷守恒 : la charge n'est ni créée ni détruite, seulement déplacée. La force entre deux charges ponctuelles 点电荷 est régie par la loi de Coulomb 库仑定律 :

$$\vec{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat{r},$$

une force inverse au carré 平方反 longitudinale à la ligne les joignant, avec $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=k=9.0\times10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$. Pour plusieurs charges (AP utilise quatre ou moins, sauf si la symétrie aide), additionnez les vecteurs force agissant sur la charge qui vous intéresse – superposition 叠加.

La charge est une propriété fondamentale 基本属性 de la matière, et une charge ponctuelle est un modèle ignorant la taille d'un objet chargé. La constante $\varepsilon_0$ est la permittivité du vide 真空介电常数 – une propriété matérielle du vide. La permittivité de la matière diffère de $\varepsilon_0$, fixée par la facilité avec laquelle le matériau se polarise, c'est pourquoi un diélectrique entre charges affaiblit la force. Notez aussi que bien que la force électrique soit beaucoup plus forte que la gravité, celle-ci domine aux échelles astronomiques car les grands corps sont presque neutres.

Exemple résolu. Deux charges $+2.0\ \mu\text{C}$ situées à $0.30\ \text{m}$ de distance : force $F=\dfrac{kq_1q_2}{r^2}=\dfrac{9.0\times10^{9}(2.0\times10^{-6})^2}{(0.30)^2}=0.40\ \text{N}$, répulsive.

Exemple résolu (vecteurs). Charges $+3.0\ \mu\text{C}$ et $-3.0\ \mu\text{C}$ placées aux coins d'un angle droit, chacune à $0.30\ \text{m}$ d'une charge $+1.0\ \mu\text{C}$ au coin. Chacune exerce une force de $F=\dfrac{(9.0\times10^{9})(3.0\times10^{-6})(1.0\times10^{-6})}{0.09}=0.30\ \text{N}$ – l'une repousse, l'autre attire, perpendiculairement l'une à l'autre. La force nette est $F_{\text{net}}=\sqrt{0.30^2+0.30^2}=0.42\ \text{N}$, orientée entre elles. N'additionnez jamais les modules aveuglément : composantes d'abord.

Explorer

Explorer le champ d'une charge source

Modifiez le signe et la taille de la charge. Les lignes pointent loin du positif et vers le négatif, et leur $1/r^2$ concentration près de la charge illustre pourquoi la force de Coulomb $F = k\,|q_1 q_2|/r^2$ diminue avec la distance.

Vocabulaire Entrainer
Anglais Chinois Pinyin
Electric charge/ɪˈlektrɪk tʃɑːdʒ/ 电荷 diàn hè
quantized/ˈkwɒntaɪzd/ 量子化 liàng zǐ huà
elementary charge/ˌelɪˈmentəri tʃɑːdʒ/ 基本电荷 jī běn diàn hè
conservation of charge/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv tʃɑːdʒ/ 电荷守恒 diàn hè shǒu héng
point charges/pɔɪnt ˈtʃɑːdʒɪz/ 点电荷 diǎn diàn hè
Coulomb's law/ˈkuːlɒmz lɔː/ 库仑定律 kù lún dìng lǜ
inverse-square/ɪnˈvɜːs skweə/ 平方反比 píng fāng fǎn bǐ
superposition/ˌsuːpəpəˈzɪʃn/ 叠加 dié jiā
fundamental property/ˌfʌndəˈmentl ˈprɒpəti/ 基本属性 jī běn shǔ xìng
permittivity of free space/ˌpɜːmɪˈtɪvəti ɒv friː speɪs/ 真空介电常数 zhēn kōng jiè diàn cháng shù
conductor/kənˈdʌktə/ 导体 dǎo tǐ
insulator/ˈɪnsjuːleɪtə/ 绝缘体 jué yuán tǐ
Charging by friction/ˈtʃɑːdʒɪŋ baɪ ˈfrɪkʃn/ 摩擦起电 mó cā qǐ diàn
Charging by conduction/ˈtʃɑːdʒɪŋ baɪ kənˈdʌkʃn/ 传导起电 chuán dǎo qǐ diàn
Charging by induction/ˈtʃɑːdʒɪŋ baɪ ɪnˈdʌkʃn/ 感应起电 gǎn yìng qǐ diàn
ground/ɡraʊnd/ 接地 jiē dì
polarization/ˌpəʊləraɪˈzeɪʃn/ 极化 jí huà
electroscope/ɪˌlektrəʊˈskəʊp/ 验电器 yàn diàn qì
8.2

Charge électrique et processus de chargement

Programme

Objectif d'apprentissage 8.2.A : Décrire le comportement d'un système en utilisant la conservation de la charge.

  • 8.2.A.1 La charge nette ou la distribution de charge d'un système peut changer en réponse à la présence ou aux changements de la charge nette ou de la distribution de charge d'autres systèmes.
    • 8.2.A.1.i La charge nette d'un système peut changer en raison du frottement ou du contact entre les systèmes.
    • 8.2.A.1.ii La séparation de charge induite se produit lorsque la force électrostatique entre deux systèmes modifie la distribution des charges au sein de ces systèmes, entraînant la polarisation d'un ou des deux systèmes.
    • 8.2.A.1.iii La séparation de charge induite peut se produire dans des systèmes neutres.
  • 8.2.A.2 Tout changement de la charge nette d'un système est dû à un transfert de charge entre le système et son environnement.
    • 8.2.A.2.i La charge d'un système implique généralement le transfert d'électrons vers et depuis ce système.
    • 8.2.A.2.ii La charge nette d'un système reste constante sauf s'il y a un transfert de charge vers ou depuis le système.
  • 8.2.A.3 La mise à la terre consiste à relier électriquement un objet chargé à un système beaucoup plus grand et approximativement neutre (par exemple, la Terre).

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un conducteur 导体 laisse passer la charge librement ; un isolant 绝缘体 la maintient en place. Les objets acquièrent une charge nette de trois façons :

  • Chargement par friction 摩擦起电 : le frottement transfère des électrons d'une surface à l'autre.
  • Chargement par conduction 传导起电 : toucher un objet chargé partage la charge du même signe.
  • Chargement par induction 感应起电 : une charge proche repousse la charge du conducteur ; mettez à la terre 接地 le côté éloigné, retirez le fil de terre en premier, et le conducteur reste avec le signe opposé – tout cela sans contact.

Un isolant ne peut pas transmettre de charge, mais il peut développer une polarisation 极化 : ses molécules s'étirent ou pivotent de sorte qu'une face est légèrement positive et l'autre légèrement négative. C'est pourquoi un peigne chargé attire des morceaux de papier neutres. Un électroscope 验电器 montre une charge nette par la répulsion de ses feuilles ; sur tout conducteur isolé, la charge excédentaire repose entièrement sur la surface extérieure.

Explorer

Explorer le chargement par frottement

Le frottement transfère des électrons sur l'objet, le rendant négatif. Un objet chargé attire ensuite un mur neutre ou des cheveux (par polarisation) mais repousse un autre objet de même charge — le même transfert d'électrons derrière la friction, la conduction et l'induction.

8.3

Champs électriques

Programme

Objectif d'apprentissage 8.3.A : Décrire le champ électrique produit par un objet chargé ou une configuration de charges ponctuelles.

  • 8.3.A.1 Les champs électriques peuvent provenir d'objets chargés.
  • 8.3.A.2 Le champ électrique à un point donné est le rapport de la force électrique exercée sur une charge test placée à ce point à la valeur de cette charge test.
    • Équation pertinente : $\vec{E} = \dfrac{\vec{F}_E}{q}$
    • 8.3.A.2.i Une charge test est une charge ponctuelle de magnitude suffisamment faible pour que sa présence n'affecte pas significativement un champ électrique à proximité.
    • 8.3.A.2.ii Un champ électrique pointe vers l'extérieur des charges positives isolées et vers l'intérieur des charges négatives isolées.
    • 8.3.A.2.iii La force électrique exercée sur une charge test positive par un champ électrique est dans la même direction que le champ électrique.
  • 8.3.A.3 Le champ électrique est une grandeur vectorielle et peut être représenté dans l'espace à l'aide de cartes de champs vectoriels.
    • 8.3.A.3.i Le champ électrique net à un endroit donné est la somme vectorielle des champs électriques individuels créés par des objets chargés proches.
    • 8.3.A.3.ii Les cartes de champ électrique utilisent des vecteurs pour représenter l'amplitude et la direction du champ électrique à de nombreux endroits dans une région donnée.
    • 8.3.A.3.iii Les diagrammes de lignes de champ électrique sont des modèles simplifiés des cartes de champ électrique et permettent de déterminer l'amplitude relative et la direction du champ électrique à n'importe quelle position du diagramme.

Objectif d'apprentissage 8.3.B : Décrire le champ électrique généré par des conducteurs ou des isolants chargés.

  • 8.3.B.1 En équilibre électrostatique, la charge excédentaire d'un conducteur est distribuée à la surface du conducteur, et le champ électrique à l'intérieur du conducteur est nul.
    • 8.3.B.1.i À la surface d'un conducteur chargé, le champ électrique est perpendiculaire à la surface.
    • 8.3.B.1.ii Le champ électrique à l'extérieur d'une sphère isolée avec une distribution de charge sphériquement symétrique est identique au champ électrique créé par une charge ponctuelle ayant la même charge nette que la sphère, située au centre de celle-ci.
  • 8.3.B.2 En équilibre électrostatique, la charge excédentaire d'un isolant est distribuée à travers le volume ainsi qu'à la surface de l'isolant, et le champ électrique à l'intérieur de l'isolant peut avoir une valeur non nulle.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Le champ électrique d'un dipôle
Une bobine Tesla surmontée d'un anneau métallique projetant de longs éclairs violets dans l'air
Une bobine Tesla projette des étincelles : elle élève la tension à un point tel que le champ électrique ionise l'air environnant, et la charge traverse en arc visible

Le champ électrique 电场 en un point est la force par unité de charge qu'un petit charge d'épreuve 检验电荷 positif subirait là :

$$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q},\qquad \vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\hat{r}\ \text{(point charge)}.$$

Une charge placée dans un champ subit $\vec{F}=q\vec{E}$ – les charges positives dans le sens du champ, les charges négatives contre celui-ci. Les champs provenant de plusieurs sources s'additionnent vectoriellement (superposition encore une fois). Les lignes de champ 电场线 rendent le champ visible : elles partent des charges positives et vont vers les négatives, leur densité indique l'intensité, et elles ne se croisent jamais.

Schémas des lignes de champ électrique pour des plaques parallèles, un dipôle et une charge ponctuelle
Schémas des lignes de champ électrique pour des plaques parallèles, un dipôle et une charge ponctuelle
Les lignes de champ électrique d'un dipôle partent de la charge positive vers la charge négative
Les lignes de champ électrique d'un dipôle partent de la charge positive vers la charge négative

Dans un champ uniforme 均匀, une charge subit une force constante, donc elle accélère uniformément – lancée latéralement, elle suit une parabole, exactement comme un projectile sous l'effet de la gravité.

Une charge traversant un champ uniforme suit une trajectoire parabolique
Une charge traversant un champ uniforme suit une trajectoire parabolique
Une personne touchant un générateur Van de Graaff avec ses cheveux dressés
La charge se répartit sur la coupole et sur les cheveux ; les charges similaires se repoussent, donc les mèches s'écartent
Explorer

Explorer les lignes de champ d'une charge ponctuelle

Réglez la charge comme positive ou négative. Les lignes de champ partent du positif et aboutissent à la charge négative, ne se croisent jamais, et se resserrent là où $\vec{E}$ est le plus fort — la densité des lignes est proportionnelle à l'amplitude du champ.

Vocabulaire Entrainer
Anglais Chinois Pinyin
electric field/ɪˈlektrɪk fiːld/ 电场 diàn chǎng
test charge/test tʃɑːdʒ/ 检验电荷 jiǎn yàn diàn hè
Field lines/fiːld laɪnz/ 电场线 diàn chǎng xiàn
uniform/ˈjuːnɪfɔːm/ 均匀 jūn yún
continuous charge distribution/kənˈtɪnjuːəs tʃɑːdʒ ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ 连续电荷分布 lián xù diàn hè fēn bù
linear charge density/ˈlɪnɪə tʃɑːdʒ ˈdensɪti/ 线电荷密度 xiàn diàn hè mì dù
surface charge density/ˈsɜːfɪs tʃɑːdʒ ˈdensɪti/ 面电荷密度 miàn diàn hè mì dù
volume charge density/ˈvɒljuːm tʃɑːdʒ ˈdensɪti/ 体电荷密度 tǐ diàn hè mì dù
symmetry/ˈsɪmətri/ 对称性 duì chèn xìng
8.4

Champs électriques de distributions de charge

Programme

Objectif d'apprentissage 8.4.A : Décrire le champ électrique résultant d'une distribution de charge donnée.

  • 8.4.A.1 Les expressions pour le champ électrique de distributions de charge spécifiées peuvent être trouvées en utilisant l'intégration et le principe de superposition.
    • Équation pertinente : $\vec{E} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \displaystyle\int \dfrac{dq}{r^2} \hat{r}$
  • 8.4.A.2 Les considérations de symétrie de certaines distributions de charge peuvent simplifier l'analyse du champ électrique résultant de ces distributions.

Énoncé de portée : AP Physics C : Électricité & Magnétisme attend uniquement que les étudiants utilisent le calcul pour trouver le champ électrique résultant des distributions et emplacements de charge suivants : un fil ou cylindre infiniment long uniformément chargé à une distance de son axe central, un anneau mince de charge à un emplacement le long de l'axe de l'anneau, un arc semi-circulaire ou une partie d'un arc semi-circulaire à son centre, et un fil fini ou une ligne de charge à un point colinéaire avec la ligne de charge ou à un emplacement le long de sa médiatrice.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Pour une distribution continue de charge 连续电荷分布, découpez l'objet en éléments ⟨$dq$⟩ et intégrez leurs champs de charges ponctuelles :

$$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{dq}{r^2}\,\hat{r}.$$

Écrivez $dq$ en utilisant la bonne densité : $\lambda\,dl$ avec la densité linéique de charge 线电荷密度 (une ligne ou un anneau), $\sigma\,dA$ avec la densité surfacique de charge 面电荷密度, ou $\rho\,dV$ avec la densité volumique de charge 体电荷密度. Ensuite, utilisez la symétrie 对称性 pour annuler les composantes avant d'intégrer – cette phrase constitue généralement une étape notée. Cas calculs AP : une ligne finie (point colinéaire ou bissectrice perpendiculaire), un fil ou cylindre infini, un anneau sur son axe, et un arc à son centre.

Exemple résolu (anneau, sur l'axe). Un anneau de rayon $R$ porte une charge $Q$. À un point $z$ le long de l'axe, chaque élément est à une distance $\sqrt{R^2+z^2}$, et par symétrie les composantes latérales s'annulent, ne laissant que la partie axiale ($\cos\alpha=z/\sqrt{R^2+z^2}$) :

$$E_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{R^2+z^2}\cdot\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qz}{(R^2+z^2)^{3/2}}.$$

Vérifiez les limites : $E=0$ au centre ($z=0$), et loin ($z\gg R$) il devient $kQ/z^2$ – une charge ponctuelle, comme il se doit.

8.5

Flux électrique

Programme

Objectif d'apprentissage 8.5.A : Décrire le flux électrique à travers une zone arbitraire ou une forme géométrique.

  • 8.5.A.1 Le flux décrit la quantité d'une grandeur donnée qui traverse une aire donnée.
  • 8.5.A.2 Pour un champ électrique $\vec{E}$ constant à travers une aire $\vec{A}$, le flux électrique à travers cette aire est défini comme $\Phi_E = \vec{E} \bullet \vec{A}$.
    • 8.5.A.2.i La direction du vecteur aire est définie comme étant perpendiculaire au plan de la surface et dirigée vers l'extérieur d'une surface fermée.
    • 8.5.A.2.ii Le signe du flux est donné par le produit scalaire du vecteur champ électrique et du vecteur aire.
  • 8.5.A.3 Le flux électrique total passant à travers une surface est défini par l'intégrale de surface du champ électrique sur cette surface.
    • Équation pertinente : $\Phi_E = \displaystyle\int \vec{E} \cdot d\vec{A}$

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Flux électrique et loi de Gauss

Flux électrique 电通量 mesure combien de champ traverse une surface :

$$\Phi_E=\int \vec{E}\cdot d\vec{A}.$$

Pour un champ uniforme à travers une surface plane, $\Phi_E=EA\cos\theta$, où le vecteur aire 面积矢量 est perpendiculaire à la surface. Le flux est positif là où les lignes de champ sortent d'une surface fermée et négatif là où elles y entrent – seule la composante perpendiculaire de $\vec{E}$ compte.

Le flux électrique à travers une surface dépend de l'angle entre le champ et la normale de la surface
Le flux électrique à travers une surface dépend de l'angle entre le champ et la normale de la surface
Vocabulaire Entrainer
Anglais Chinois Pinyin
Electric flux/ɪˈlektrɪk flʌks/ 电通量 diàn tōng liàng
area vector/ˈeərɪə ˈvektə/ 面积矢量 miàn jī shǐ liàng
Gauss's law/ˈɡaʊsɪz lɔː/ 高斯定律 gāo sī dìng lǜ
8.6

Loi de Gauss

Programme

Objectif d'apprentissage 8.6.A : Décrire les propriétés d'une distribution de charge en appliquant la loi de Gauss.

  • 8.6.A.1 La loi de Gauss relie le flux électrique à travers une surface gaussienne à la charge enfermée par cette surface.
    • Équations pertinentes : $\Phi_E = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$ et $\displaystyle\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$
  • 8.6.A.2 Une surface gaussienne est une surface fermée tridimensionnelle.
  • 8.6.A.3 Le flux électrique total à travers une surface gaussienne est indépendant de la taille de la surface gaussienne si la quantité de charge enfermée reste constante.
  • 8.6.A.4 Les surfaces gaussiennes sont généralement construites de sorte que le champ électrique généré par la charge enfermée soit soit perpendiculaire, soit parallèle à différentes régions de la surface gaussienne, ce qui simplifie l'intégrale de surface.
  • 8.6.A.5 Si une fonction de densité de charge est donnée pour une distribution de charge, la charge totale peut être déterminée en intégrant la densité de charge sur la longueur (une dimension), l'aire (deux dimensions) ou le volume (trois dimensions) de la distribution de charge. Par exemple : $Q_{\text{total}} = \displaystyle\int \rho(\vec{r})\, dV$
  • 8.6.A.6 Les équations de Maxwell constituent l'ensemble des équations décrivant entièrement l'électromagnétisme. La loi de Gauss est la première équation de Maxwell.
    • Équation pertinente : $\displaystyle\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \dfrac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$

Énoncé de portée : AP Physics C : Électricité & Magnétisme attend uniquement que les étudiants appliquent quantitativement la loi de Gauss aux charges ponctuelles et aux distributions de charge présentant une symétrie sphérique, cylindrique ou plane.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Loi de Gauss 高斯定律 – la première des équations de Maxwell – relie le flux à travers n'importe quelle surface fermée à la charge qu'elle renferme :

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.$$

Elle est vraie pour n'importe quelle surface fermée, mais elle résout pour $E$ uniquement lorsque la symétrie permet de choisir une surface gaussienne 高斯面 sur laquelle $E$ est constant et perpendiculaire (ou parallèle, contribuant zéro). Les trois symétries testées en AP sont : symétrie sphérique 球对称 (sphère concentrique), symétrie cylindrique 柱对称 (cylindre coaxial) et symétrie plane 平面对称 (un « pilier » traversant).

Une surface gaussienne est choisie pour correspondre à la symétrie de la charge
Une surface gaussienne est choisie pour correspondre à la symétrie de la charge

Exemple résolu (sphère). À l'extérieur d'une sphère de charge totale $Q$, une surface gaussienne sphérique de rayon $r$ donne $E(4\pi r^2)=Q/\varepsilon_0$, donc $E=\dfrac{kQ}{r^2}$ – identique à une charge ponctuelle au centre. À l'intérieur d'une sphère solide uniformément chargée de rayon $R$, la surface n'enferme que $Q_{\text{enc}}=Q\,r^3/R^3$, donc $E=\dfrac{kQr}{R^3}$ : zéro au centre, croissant linéairement jusqu'à la surface.

Exemple résolu (fil). Pour un fil infini avec charge par longueur $\lambda$, prenez un cylindre coaxial de rayon $r$ et de longueur $L$. Les extrémités ne contribuent rien ($\vec{E}\perp d\vec{A}$), donc $E(2\pi rL)=\dfrac{\lambda L}{\varepsilon_0}$ et $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$. La même méthode du pilier donne le champ d'un plan infini, $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$, uniforme des deux côtés.

Compétence d'examen. Une réponse complète à la loi de Gauss comportant la note maximale a quatre parties : nommer la surface, énoncer l'argument de symétrie (pourquoi $E$ est constant et perpendiculaire dessus), compter $Q_{\text{enc}}$, puis résoudre. Omettre la phrase de symétrie fait perdre le point de raisonnement – et rappelez-vous que la loi de Gauss explique aussi pourquoi $E=0$ à l'intérieur de tout conducteur en équilibre.

Vocabulaire Entrainer
Anglais Chinois Pinyin
Gaussian surface/ˈɡaʊʃn ˈsɜːfɪs/ 高斯面 gāo sī miàn
spherical symmetry/sˈferɪkl ˈsɪmətri/ 球对称 qiú duì chèn
cylindrical symmetry/sɪˈlɪndrɪkl ˈsɪmətri/ 柱对称 zhù duì chèn
planar symmetry/ˈpleɪnə ˈsɪmətri/ 平面对称 píng miàn duì chèn
8.6

Conseils d'examen

  • Utilisez la loi de Coulomb $F=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{q_1 q_2}{r^2}$ et superposez les forces comme des vecteurs (composantes, pas des magnitudes).
  • Pour une charge continue, intégrez $d\vec E$ sur $dq=\lambda\,dl,\ \sigma\,dA,\ \rho\,dV$ ; utilisez la symétrie pour annuler les composantes.
  • Le champ pointe loin de la charge positive et vers la charge négative ; dessinez correctement les lignes de champ.
  • Distinguez la force sur une charge ($\vec F=q\vec E$) du champ créé par cette charge.
  • Gardez la constante $k=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ droite et vérifiez les unités.

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