Solving Motion Problems Using Parametric and Vector-Valued Functions · Resolución de problemas de movimiento usando funciones paramétricas y vectoriales
Full planar motion, start to finish
- Now combine everything: a particle moving in the plane, described by $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$.
- Differentiate for velocity and acceleration; integrate to go the other way.
- Compute speed and distance traveled from the velocity components.
- This lesson is the toolbox for any BC plane-motion problem.
Movimiento plano completo, de principio a fin
- Ahora combina todo: una partícula que se mueve en el plano, descrita por $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$.
- Deriva para obtener la velocidad y la aceleración; integra para hacer lo contrario.
- Calcula la rapidez y la distancia recorrida a partir de las componentes de la velocidad.
- Esta lección es la caja de herramientas para cualquier problema de movimiento plano del BC.
Position, velocity, acceleration
- Position: $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$.
- Velocity: $\mathbf{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — direction of motion, tangent to the path.
- Acceleration: $\mathbf{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$.
- Move up the chain by differentiating, down by integrating with initial conditions.
Posición, velocidad, aceleración
- Posición: $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$.
- Velocidad: $\mathbf{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — dirección del movimiento, tangente a la trayectoria.
- Aceleración: $\mathbf{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$.
- Sube en la cadena derivando, baja integrando con condiciones iniciales.
The velocity vector is tangent to the path; its magnitude is the ____. · El vector velocidad es tangente a la trayectoria; su magnitud es la ____.
Speed = magnitude of velocity. · Rapidez = magnitud de la velocidad.
Speed and distance traveled
- Speed at time $t$: $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$ — a scalar.
- Distance traveled over $[a,b]$: integrate the speed, $\displaystyle\int_a^b |\mathbf{v}(t)|\,dt$.
- That's the same arc-length integral — total path length, never negative.
- Speed answers "how fast right now"; the integral answers "how far overall."
Rapidez y distancia recorrida
- Rapidez en el tiempo $t$: $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$ — un escalar.
- Distancia recorrida sobre $[a,b]$: integra la rapidez, $\displaystyle\int_a^b |\mathbf{v}(t)|\,dt$.
- Es la misma integral de longitud de arco — longitud total del camino, nunca negativa.
- La rapidez responde "qué tan rápido ahora mismo"; la integral responde "qué tan lejos en total".
A velocity component over time · Una componente de velocidad en función del tiempo
y = bx
Speed combines the velocity components; integrating speed over time gives the total distance the particle travels. · La rapidez combina las componentes de la velocidad; integrar la rapidez con respecto al tiempo da la distancia total que recorre la partícula.
For · A favor $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,3\rangle$, find the speed at $t=2$. · Para $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,3\rangle$, encuentre la rapidez en $t=2$.
$\sqrt{4^2+3^2}=5$.
Distance traveled over $[a,b]$ is... · La distancia recorrida sobre $[a,b]$ es...
Integrate the speed (magnitude of velocity). · Integre la rapidez (magnitud de la velocidad).
Position at a later time
- To find where the particle is at time $b$: start from a known position and add the accumulated change.
- $x(b)=x(a)+\displaystyle\int_a^b x'(t)\,dt$, and likewise for $y$ — each component separately.
- This is "final = initial + accumulated change," done per coordinate.
- Combine the two results into the position vector at time $b$.
Posición en un tiempo posterior
- Para encontrar dónde está la partícula en el tiempo $b$: parte de una posición conocida y suma el cambio acumulado.
- $x(b)=x(a)+\displaystyle\int_a^b x'(t)\,dt$, y de igual manera para $y$ — cada componente por separado.
- Esto es "final = inicial + cambio acumulado", hecho por coordenada.
- Combina ambos resultados en el vector de posición en el tiempo $b$.
Which of these are vectors (not scalars)? · ¿Cuáles de estos son vectores (no escalares)?
Velocity and acceleration are vectors; speed and distance are scalars. · La velocidad y la aceleración son vectores; la rapidez y la distancia son escalares.
The · El $x$-position at time $b$ is $x(a)$ plus... · La posición $x$ en el tiempo $b$ es $x(a)$ más...
Final = initial + accumulated change of $x$. · Final = inicial + cambio acumulado de $x$.
Distance traveled equals the magnitude of the displacement vector. · La distancia recorrida es igual a la magnitud del vector desplazamiento.
Distance is $\int|\mathbf{v}|\,dt$; displacement magnitude can be smaller. · La distancia es $\int|\mathbf{v}|\,dt$; la magnitud del desplazamiento puede ser menor.
Keep the vectors and scalars straight: velocity and acceleration are vectors (direction + size); speed and distance are scalars. Distance traveled is $\int|\mathbf{v}|\,dt$ (the speed integral), not the displacement $\int \mathbf{v}\,dt$ or $|\int\mathbf{v}\,dt|$. And find a later position by adding the component integrals to the initial position.
Mantén claros los vectores y escalares: velocidad y aceleración son vectores (dirección + magnitud); rapidez y distancia son escalares. La distancia recorrida es $\int|\mathbf{v}|\,dt$ (la integral de la rapidez), no el desplazamiento $\int \mathbf{v}\,dt$ o $|\int\mathbf{v}\,dt|$. Y encuentra una posición posterior sumando las integrales de componentes a la posición inicial.
A particle has $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,\ 3\rangle$. Find its speed at $t=2$ and set up the distance traveled on $[0,2]$.
- Speed at $t=2$: $|\mathbf{v}(2)|=\sqrt{(4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5$.
- Distance on $[0,2]$: $\displaystyle\int_0^2\sqrt{(2t)^2+3^2}\,dt=\int_0^2\sqrt{4t^2+9}\,dt$ (evaluate numerically).
Una partícula tiene $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,\ 3\rangle$. Encuentra su rapidez en $t=2$ y establece la distancia recorrida en $[0,2]$.
- Rapidez en $t=2$: $|\mathbf{v}(2)|=\sqrt{(4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5$.
- Distancia en $[0,2]$: $\displaystyle\int_0^2\sqrt{(2t)^2+3^2}\,dt=\int_0^2\sqrt{4t^2+9}\,dt$ (evaluar numéricamente).
For plane motion $\mathbf{r}(t)=\langle x,y\rangle$: velocity $\mathbf{v}=\mathbf{r}'$, acceleration $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (vectors); speed $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ and distance traveled $\int_a^b|\mathbf{v}|\,dt$ (scalars). Find a later position by adding the component integrals of $x',y'$ to the initial position.
Para el movimiento plano $\mathbf{r}(t)=\langle x,y\rangle$: velocidad $\mathbf{v}=\mathbf{r}'$, aceleración $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (vectores); rapidez $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ y distancia recorrida $\int_a^b|\mathbf{v}|\,dt$ (escalares). Encuentra una posición posterior sumando las integrales de componentes de $x',y'$ a la posición inicial.