Defining and Differentiating Vector-Valued Functions · Definiendo y diferenciando funciones vectoriales
| English | Español |
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| vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/ | función vectorial |
Packaging motion into a single arrow
- A parametric curve gives $x(t)$ and $y(t)$ separately. Bundle them into one object: a vector-valued function 向量值函数.
- $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ is the position vector — an arrow from the origin to the moving point.
- It describes planar motion compactly, tracking both coordinates at once.
- Everything from parametric curves reappears here, in vector form.
Empaquetar el movimiento en una sola flecha
- Una curva paramétrica proporciona $x(t)$ e $y(t)$ por separado. Agrúpalos en un solo objeto: una función vectorial 向量值函数.
- $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ es el vector de posición — una flecha desde el origen hasta el punto en movimiento.
- Describe el movimiento plano de manera compacta, rastreando ambas coordenadas simultáneamente.
- Todo lo aprendido sobre curvas paramétricas reaparece aquí, en forma vectorial.
A path traced by r(t) · Una trayectoria trazada por r(t)
y = ax² + bx
The position vector $\mathbf{r}(t)$ points to the moving particle; its derivative (component-wise) is the velocity vector. · El vector de posición $\mathbf{r}(t)$ apunta a la partícula en movimiento; su derivada (componente a componente) es el vector velocidad.
Differentiate component by component
- To differentiate a vector-valued function, just differentiate each component separately:
-
$$\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$$
- No new rules — the derivative of a vector is the vector of the derivatives.
- $\mathbf{r}'(t)$ is the velocity vector, pointing in the direction of motion.
Diferenciar componente por componente
- Para diferenciar una función vectorial, simplemente differentiate cada componente por separado:
-
$$\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$$
- No hay reglas nuevas — la derivada de un vector es el vector de las derivadas.
- $\mathbf{r}'(t)$ es el vector velocidad, apuntando en la dirección del movimiento.
To differentiate $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$, you... · Para derivar $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$, usted...
$\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$.
Velocity and acceleration vectors
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — the velocity vector.
- $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$ — the acceleration vector.
- Each is found by differentiating the components again.
- The velocity vector is tangent to the path; its length is the speed.
Vectores velocidad y aceleración
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — el vector velocidad.
- $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$ — el vector aceleración.
- Cada uno se encuentra diferenciando nuevamente los componentes.
- El vector velocidad es tangente a la trayectoria; su longitud es la rapidez.
For · A favor $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\sin t\rangle$, the velocity $\mathbf{v}(t)=$ · Para $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\sin t\rangle$, la velocidad $\mathbf{v}(t)=$
Differentiate each component. · Derive cada componente.
The acceleration vector is... · El vector aceleración es...
Differentiate position twice: $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$. · Derive la posición dos veces: $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$.
Speed is the magnitude of velocity
- Speed is not a vector — it's the magnitude $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$.
- That's the same speed integrand as parametric arc length.
- So velocity carries direction and size; speed is just the size.
- Differentiate to go position → velocity → acceleration, component by component.
La rapidez es la magnitud de la velocidad
- La rapidez no es un vector — es la magnitud $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$.
- Es el mismo integrando que aparece en la longitud de arco paramétrica.
- Por tanto, la velocidad lleva dirección y tamaño; la rapidez es solo el tamaño.
- Differentie para pasar de posición → velocidad → aceleración, componente por componente.
For · A favor $\mathbf{v}(0)=\langle 0,1\rangle$, find the speed $|\mathbf{v}(0)|$. · Para $\mathbf{v}(0)=\langle 0,1\rangle$, encuentre la rapidez $|\mathbf{v}(0)|$.
$\sqrt{0^2+1^2}=1$.
Speed is a vector, the same as velocity. · La rapidez es un vector, igual que la velocidad.
Speed is the scalar magnitude $|\mathbf{v}|$. · La rapidez es la magnitud escalar $|\mathbf{v}|$.
Speed equals the ____ of the velocity vector. · La rapidez es igual a la ____ del vector velocidad.
$|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$.
Differentiate a vector component by component — don't try to differentiate the "whole vector" as one messy expression. And keep velocity (a vector) distinct from speed (its magnitude, a scalar): $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$, never just $x'+y'$.
Diferencie un vector componente por componente — no intente diferenciar el "vector completo" como una sola expresión complicada. Y mantenga velocidad (un vector) distinto de rapidez (su magnitud, un escalar): $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$, nunca simplemente $x'+y'$.
For $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\ \sin t\rangle$, find $\mathbf{v}(t)$ and the speed at $t=0$.
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,\ \cos t\rangle$.
- At $t=0$: $\mathbf{v}(0)=\langle 0,\ 1\rangle$.
- Speed $=|\mathbf{v}(0)|=\sqrt{0^2+1^2}=1$.
Para $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\ \sin t\rangle$, encuentre $\mathbf{v}(t)$ y la rapidez en $t=0$.
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,\ \cos t\rangle$.
- En $t=0$: $\mathbf{v}(0)=\langle 0,\ 1\rangle$.
- Rapidez $=|\mathbf{v}(0)|=\sqrt{0^2+1^2}=1$.
A vector-valued function $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ describes planar motion. Differentiate it component by component: $\mathbf{v}=\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$ (velocity), $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (acceleration). Speed is the magnitude $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ — a scalar, distinct from the velocity vector.
Una función vectorial $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ describe el movimiento plano. Diferénciela componente por componente: $\mathbf{v}=\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$ (velocidad), $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (aceleración). La rapidez es la magnitud $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ — un escalar, distinto del vector velocidad.