Second Derivatives of Parametric Equations · Segundas Derivadas de Ecuaciones Paramétricas
The second derivative of a parametric curve
- We found $\tfrac{dy}{dx}$ for a parametric curve. Now: how curved is it? That needs $\tfrac{d^2y}{dx^2}$.
- The catch: you can't just divide the second derivatives in $t$.
- Instead, differentiate the first slope $\tfrac{dy}{dx}$ with respect to $t$, then divide by $\tfrac{dx}{dt}$ again.
- It's the parametric slope rule, applied a second time to $\tfrac{dy}{dx}$.
La segunda derivada de una curva paramétrica
- Encontramos $\tfrac{dy}{dx}$ para una curva paramétrica. Ahora: ¿qué tan curva es? Para eso se necesita $\tfrac{d^2y}{dx^2}$.
- El detalle importante: no puedes simplemente dividir las segundas derivadas con respecto a $t$.
- En su lugar, deriva la pendiente primera $\tfrac{dy}{dx}$ con respecto a $t$, y luego divide nuevamente por $\tfrac{dx}{dt}$.
- Es la regla de la pendiente paramétrica, aplicada una segunda vez a $\tfrac{dy}{dx}$.
The correct formula
- Treat the first derivative $\tfrac{dy}{dx}$ as a new function of $t$, and take its parametric slope:
-
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}$$
- Differentiate $\tfrac{dy}{dx}$ with respect to $t$, then divide by $\tfrac{dx}{dt}$ (same denominator as before).
- The concavity's sign comes from this, just like an ordinary $f''$.
La fórmula correcta
- Trata la primera derivada $\tfrac{dy}{dx}$ como una nueva función de $t$ y calcula su pendiente paramétrica:
-
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}$$
- Deriva $\tfrac{dy}{dx}$ con respecto a $t$, y luego divide por $\tfrac{dx}{dt}$ (el mismo denominador que antes).
- El signo de la concavidad proviene de esto, igual que en una $f''$ ordinaria.
Concavity of a parametric curve · Cóncavidad de una curva paramétrica
y = ax³ + bx
The parametric second derivative tells concavity — computed by differentiating $\tfrac{dy}{dx}$ in · hacia adentro $t$, then dividing by $\tfrac{dx}{dt}$. · La segunda derivada paramétrica indica la cóncavidad — se calcula diferenciando $\tfrac{dy}{dx}$ con respecto a $t$, y luego dividiendo por $\tfrac{dx}{dt}$.
The parametric second derivative $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ equals... · La segunda derivada paramétrica $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ es igual a...
Differentiate $\tfrac{dy}{dx}$ in · hacia adentro $t$, then divide by $\tfrac{dx}{dt}$. · Diferencie $\tfrac{dy}{dx}$ con respecto a $t$, luego divida por $\tfrac{dx}{dt}$.
Order the steps to find the parametric second derivative. · Ordena los pasos para encontrar la segunda derivada paramétrica.
Slope, differentiate in $t$, divide by $\tfrac{dx}{dt}$. · Pendiente, diferencie en $t$, divida por $\tfrac{dx}{dt}$.
Why it isn't the obvious ratio
- It is not $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$ — that shortcut is wrong.
- $\tfrac{dy}{dx}$ is already a quotient of $t$-derivatives, so differentiating it needs the quotient rule (in $t$), not a naive second-derivative ratio.
- The right process always goes through $\tfrac{d}{dt}\big(\tfrac{dy}{dx}\big)$ first.
- Skipping that gives the classic wrong answer.
Por qué no es la razón obvia
- No es $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$ — ese atajo es incorrecto.
- $\tfrac{dy}{dx}$ ya es un cociente de derivadas con respecto a $t$, por lo que al derivarlo necesitas aplicar la regla del cociente (con respecto a $t$), no una simple razón de segundas derivadas.
- El procedimiento correcto siempre pasa primero por $\tfrac{d}{dt}\big(\tfrac{dy}{dx}\big)$.
- Saltar ese paso da la respuesta errónea clásica.
The parametric second derivative equals $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. · La segunda derivada paramétrica es igual a $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$.
That naive ratio is wrong. · Esa razón simple es incorrecta.
The two-step routine
- 1. Find $\tfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ and simplify.
- 2. Differentiate that with respect to $t$, then divide by $\tfrac{dx}{dt}$.
- Concave up where $\tfrac{d^2y}{dx^2}>0$, concave down where $<0$ — same as always.
- Keep the same denominator $\tfrac{dx}{dt}$ in both steps.
La rutina de dos pasos
- 1. Encuentra $\tfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ y simplifica.
- 2. Deriva eso con respecto a $t$, y luego divide por $\tfrac{dx}{dt}$.
- Cóncava hacia arriba donde $\tfrac{d^2y}{dx^2}>0$, cóncava hacia abajo donde $<0$ — igual que siempre.
- Mantén el mismo denominador $\tfrac{dx}{dt}$ en ambos pasos.
For · A favor $x=t^2$, $y=t^3$ ($\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{3t}{2}$), $\dfrac{d^2y}{dx^2}=$ · Para $x=t^2$, $y=t^3$ ($\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{3t}{2}$), $\dfrac{d^2y}{dx^2}=$
$\frac{d}{dt}(\tfrac{3t}{2})=\tfrac32$; divide by $2t$: $\tfrac{3}{4t}$. · $\frac{d}{dt}(\tfrac{3t}{2})=\tfrac32$; divida por $2t$: $\tfrac{3}{4t}$.
After differentiating $\tfrac{dy}{dx}$ in · hacia adentro $t$, you divide by $\dfrac{dx}{dt}$, the ____ denominator as the first derivative. · Después de diferenciar $\tfrac{dy}{dx}$ con respecto a $t$, divide por $\dfrac{dx}{dt}$, el ____ denominador que la primera derivada.
Both steps divide by $\tfrac{dx}{dt}$. · Ambos pasos dividen por $\tfrac{dx}{dt}$.
The sign of the parametric second derivative tells you the curve's... · El signo de la segunda derivada paramétrica te indica la... de la curva
Positive → concave up, negative → concave down. · Positivo → cóncava hacia arriba, negativo → cóncava hacia abajo.
The second derivative is not $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. You must differentiate the first derivative $\tfrac{dy}{dx}$ with respect to $t$ and then divide by $\tfrac{dx}{dt}$ again. Using the naive ratio of second derivatives is the single most common parametric mistake.
La segunda derivada no es $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Debes derivar la primera derivada $\tfrac{dy}{dx}$ con respecto a $t$ y luego dividir por $\tfrac{dx}{dt}$ nuevamente. Usar la razón ingenua de las segundas derivadas es el error paramétrico más común.
For $x=t^2,\ y=t^3$ (so $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{3t}{2}$), find $\tfrac{d^2y}{dx^2}$.
- $\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{3t}{2}\right)=\dfrac{3}{2}$.
- Divide by $\dfrac{dx}{dt}=2t$: $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{3/2}{2t}=\dfrac{3}{4t}$.
- (Not $\tfrac{6t}{2}=3t$, which the wrong ratio would give.)
Para $x=t^2,\ y=t^3$ (de modo que $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{3t}{2}$), encuentra $\tfrac{d^2y}{dx^2}$.
- $\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{3t}{2}\right)=\dfrac{3}{2}$.
- Divide por $\dfrac{dx}{dt}=2t$: $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{3/2}{2t}=\dfrac{3}{4t}$.
- (No $\tfrac{6t}{2}=3t$, que daría la razón incorrecta).
The parametric second derivative is $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$ — differentiate the first slope $\tfrac{dy}{dx}$ in $t$, then divide by $\tfrac{dx}{dt}$ again. It is not $\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Its sign gives concavity as usual.
La segunda derivada paramétrica es $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$ — deriva la primera pendiente $\tfrac{dy}{dx}$ con respecto a $t$, y luego divide por $\tfrac{dx}{dt}$ nuevamente. No es $\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Su signo indica la concavidad como de costumbre.