Finding the Area Between Curves Expressed as Functions of x · Encontrar el Área entre Curvas Expresadas como Funciones de x
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| area between two curves/ˈeərɪə bɪˈtwiːn tuː kɜːvz/ | área entre dos curvas |
The area trapped between two curves
- A single integral gives the area between a curve and the $x$-axis. What about the area between two curves?
- Slice the region into thin vertical strips; each strip's height is the gap between the curves.
- Add up (integrate) those heights across the interval — that's the area between two curves 曲线间面积.
- The recipe is "top minus bottom, integrated."
El área encerrada entre dos curvas
- Una integral sencilla da el área entre una curva y el eje $x$. ¿Y qué pasa con el área entre dos curvas?
- Divide la región en tiras delgadas verticales; la altura de cada tira es la separación entre las curvas.
- Suma (integra) esas alturas a lo largo del intervalo — ese es el área entre dos curvas 曲线间面积.
- La fórmula es "superior menos inferior, integrado".
Top minus bottom
- If $f$ is the upper curve and $g$ the lower on $[a,b]$:
-
$$A=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$$
- Each vertical strip has height $f(x)-g(x)$ and width $dx$.
- Always subtract upper minus lower, so the height (and the area) stays positive.
Superior menos inferior
- Si $f$ es la curva superior y $g$ la inferior en $[a,b]$:
-
$$A=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$$
- Cada tira vertical tiene altura $f(x)-g(x)$ y ancho $dx$.
- Resta siempre superior menos inferior, para que la altura (y el área) se mantenga positiva.
A line above a parabola · Una recta sobre una parábola
y = ax² + bx + c
Between the intersection points the line sits above the parabola — the vertical gap, integrated, is the enclosed area. · Entre los puntos de intersección, la recta se sitúa por encima de la parábola: la diferencia vertical, integrada, es el área encerrada.
The area between an upper curve $f$ and lower curve $g$ on $[a,b]$ is... · El área entre una curva superior $f$ y una curva inferior $g$ en $[a,b]$ es...
Upper minus lower, integrated. · Superior menos inferior, integrado.
Find the limits from intersections
- The bounds $a$ and $b$ are usually where the curves cross — set $f(x)=g(x)$ and solve.
- Those intersection $x$-values are the left and right edges of the enclosed region.
- Between them, decide which curve is on top (test a point).
- Then integrate the top-minus-bottom difference over $[a,b]$.
Encuentra los límites en las intersecciones
- Los límites $a$ e $b$ suelen ser donde las curvas se cruzan; iguala $f(x)=g(x)$ y resuelve.
- Esos valores de $x$ de intersección son los bordes izquierdo y derecho de la región encerrada.
- Entre ellos, determina cuál curva está arriba (prueba un punto).
- Luego integra la diferencia superior menos inferior sobre $[a,b]$.
Where do $y=x+2$ and · y $y=x^2$ intersect? · ¿Dónde se intersectan $y=x+2$ y $y=x^2$?
$x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
To decide which curve is on top between intersections, you... · Para decidir qué curva está arriba entre las intersecciones, usted...
Plug in a test point to see which is higher. · Sustituya un punto de prueba para ver cuál es más alto.
The limits of integration come from setting the two curves ____. · Los límites de integración provienen de igualar las dos curvas ____.
Solve $f(x)=g(x)$ for the intersection $x$-values. · Resuelva $f(x)=g(x)$ para los valores de $x$ de intersección.
It works even below the axis
- Because you take upper minus lower, the formula handles regions below the $x$-axis automatically.
- The $-g(x)$ term lifts everything, so no separate "signed area" bookkeeping is needed.
- A region entirely under the axis still gives a positive area with top-minus-bottom.
- That's the advantage of the gap-height approach.
Funciona incluso bajo el eje
- Al restar superior menos inferior, la fórmula maneja automáticamente regiones debajo del eje $x$.
- El término $-g(x)$ eleva todo, por lo que no se necesita un registro separado de "área signada".
- Una región completamente bajo el eje sigue dando un área positiva con superior menos inferior.
- Esa es la ventaja del enfoque de altura de separación.
The area between $y=x+2$ and · y $y=x^2$ is $\int_{-1}^2 (x+2-x^2)\,dx$. Compute it (a decimal). · El área entre $y=x+2$ y $y=x^2$ es $\int_{-1}^2 (x+2-x^2)\,dx$. Cómputelo (en decimal).
The integral evaluates to $\tfrac92=4.5$. · La integral da $\tfrac92=4.5$.
Integrating lower minus upper gives the negative of the true area. · Integrar inferior menos superior da el negativo del área real.
Reversing the order flips the sign. · Invertir el orden invierte el signo.
Always subtract upper minus lower — if you reverse it, you get a negative of the true area. Check which curve is on top by testing an $x$-value between the intersections (they can swap, which is the next lesson). And the limits come from setting the curves equal, not from the $x$-axis.
Resta siempre superior menos inferior — si lo inviertes, obtendrás el negativo del área real. Verifica cuál curva está arriba probando un valor de $x$ entre las intersecciones (pueden intercambiarse, tema de la siguiente lección). Y los límites provienen de igualar las curvas, no del eje $x$.
Find the area between $y=x+2$ and $y=x^2$.
- Intersections: $x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
- On $(-1,2)$ the line is on top (test $x=0$: line $=2>0=$ parabola).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^2\big)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}+2x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}=\tfrac{9}{2}$.
Encuentra el área entre $y=x+2$ y $y=x^2$.
- Intersecciones: $x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
- En $(-1,2)$ la recta está arriba (prueba $x=0$: recta $=2>0=$ parábola).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^2\big)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}+2x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}=\tfrac{9}{2}$.
The area between two curves (functions of $x$) is $A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$, integrating upper minus lower over vertical strips. Find $a,b$ where the curves intersect, decide which is on top, and integrate the gap. Top-minus-bottom keeps the area positive automatically.
El área entre dos curvas (funciones de $x$) es $A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$, integrando superior menos inferior sobre tiras verticales. Encuentra $a,b$ donde se intersectan las curvas, decide cuál está arriba e integra la separación. Superior menos inferior mantiene el área positiva automáticamente.