Finding Particular Solutions Using Initial Conditions and Separation of Variables · Encontrar Soluciones Particulares Usando Condiciones Iniciales y Separación de Variables
| English | Español |
|---|---|
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | condición inicial |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | solución particular |
Pinning down the one true curve
- The general solution is a family with a constant $C$. Reality wants one curve.
- An initial condition 初始条件 — a known point $\big(x_0,y_0\big)$ — selects that single member.
- Solve the equation generally, then use the point to find $C$.
- The result is the particular solution 特解 for that situation.
Fijando la única curva verdadera
- La solución general es una familia con una constante $C$. La realidad necesita una sola curva.
- Una condición inicial 初始条件 —un punto conocido $\big(x_0,y_0\big)$— selecciona a ese único miembro.
- Resuelve la ecuación en general, luego usa el punto para encontrar $C$.
- El resultado es la solución particular 特解 para esa situación.
The single curve chosen by an initial condition is the ____ solution. · La única curva seleccionada por una condición inicial es la solución ____.
One member of the general family. · Un miembro de la familia general.
The full procedure
- 1. Separate the variables and integrate both sides (with $+C$) — the general solution.
- 2. Substitute the initial condition $\big(x_0,y_0\big)$ to solve for $C$.
- 3. Put that $C$ back in and simplify.
- 4. If asked, solve explicitly for $y$.
El procedimiento completo
- 1. Separa las variables e integra ambos lados (con $+C$) —la solución general.
- 2. Sustituye la condición inicial $\big(x_0,y_0\big)$ para despejar $C$.
- 3. Vuelve a colocar ese $C$ y simplifica.
- 4. Si se pide, despeja explícitamente para $y$.
The initial point picks one curve · El punto inicial selecciona una curva
The general solution is a whole family; the initial condition $y(x_0)=y_0$ selects the single curve through that point. · La solución general es toda una familia; la condición inicial $y(x_0)=y_0$ selecciona la única curva que pasa por ese punto.
You apply the initial condition to find $C$... · Aplica la condición inicial para encontrar $C$...
Get the general solution first, then use the point for $C$. · Obtén primero la solución general, luego usa el punto para hallar $C$.
Order the steps for a particular solution. · Ordena los pasos para una solución particular.
Separate, integrate, apply the point, simplify. · Separa, integra, aplica el punto, simplifica.
A worked particular solution
- Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with $y(0)=3$.
- General solution (from last lesson): $y=A\,e^{x^2/2}$.
- Apply the point: $3 = A\,e^{0}=A$, so $A=3$.
- Particular solution: $y=3\,e^{x^2/2}$.
Una solución particular resuelta
- Resuelve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ con $y(0)=3$.
- Solución general (de la lección anterior): $y=A\,e^{x^2/2}$.
- Aplica el punto: $3 = A\,e^{0}=A$, por lo tanto $A=3$.
- Solución particular: $y=3\,e^{x^2/2}$.
For · A favor $y=x^2+C$ with $y(1)=5$, find $C$. · Para $y=x^2+C$ con $y(1)=5$, encuentra $C$.
$5=1+C\Rightarrow C=4$.
The particular solution is $y=x^2+4$. Find $y(3)$. · La solución particular es $y=x^2+4$. Encuentra $y(3)$.
$3^2+4=13$.
For · A favor $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with $y(0)=3$ (general $y=Ae^{x^2/2}$), the particular solution is... · Para $\dfrac{dy}{dx}=xy$ con $y(0)=3$ (general $y=Ae^{x^2/2}$), la solución particular es...
$y(0)=A=3$, so $y=3e^{x^2/2}$. · $y(0)=A=3$, por lo tanto $y=3e^{x^2/2}$.
Watch the domain
- Solving for $y$ may involve $\ln$, roots, or reciprocals — mind where the solution is valid.
- The particular solution usually lives on an interval containing $x_0$, not necessarily all real $x$.
- A sign or an absolute value may need resolving using the given point (e.g. $y_0>0$ picks the $+$ branch).
- State the domain when the algebra restricts it.
Presta atención al dominio
- Al despejar $y$ puede que haya $\ln$, raíces o recíprocos; ten cuidado de dónde la solución sea válida.
- La solución particular suele estar definida en un intervalo que contiene $x_0$, no necesariamente todos los reales $x$.
- Un signo o un valor absoluto pueden requerir resolución usando el punto dado (p. ej., $y_0>0$ escoge la rama $+$).
- Indica el dominio cuando la algebra lo restrinja.
Apply the initial condition after integrating, to find $C$ — not before. And use the point to resolve any sign/branch ambiguity: if $\ln|y|=\dots$ and $y_0>0$, drop the absolute value as $y>0$. Substituting the point too early (like in separation of variables' warning) loses the general family.
Aplica la condición inicial después de integrar, para encontrar $C$ —no antes. Y usa el punto para resolver cualquier ambigüedad de signo/rama: si $\ln|y|=\dots$ y $y_0>0$, elimina el valor absoluto como $y>0$. Sustituir el punto demasiado pronto (como advierte la separación de variables) hace perder la familia general.
Solve $\dfrac{dy}{dx}=2x$ with $y(1)=5$.
- General solution: $y=x^2+C$.
- Apply $y(1)=5$: $5 = 1^2 + C \Rightarrow C=4$.
- Particular solution: $y=x^2+4$.
Resuelve $\dfrac{dy}{dx}=2x$ con $y(1)=5$.
- Solución general: $y=x^2+C$.
- Aplica $y(1)=5$: $5 = 1^2 + C \Rightarrow C=4$.
- Solución particular: $y=x^2+4$.
A particular solution is the one member of the general family fixed by an initial condition. Solve generally (integrate, keep $+C$), substitute the point $\big(x_0,y_0\big)$ to find $C$, and simplify. Use the point to settle any sign/branch and note the valid domain.
Una solución particular es el único miembro de la familia general determinado por una condición inicial. Resuelva en forma general (integre, conserve $+C$), sustituya el punto $\big(x_0,y_0\big)$ para encontrar $C$ y simplifique. Utilice el punto para determinar el signo/rama correcto y indique el dominio válido.