Verifying Solutions for Differential Equations · Verificación de Soluciones para Ecuaciones Diferenciales
| English | Español |
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| solution/səˈluːʃn/ | disolución |
Is this function actually a solution?
- Before solving a differential equation, you should be able to check a proposed answer.
- A solution 解 of a differential equation is a function that makes the equation true.
- The test is purely mechanical: differentiate the candidate and substitute.
- If both sides match for all $x$, it's a solution; if not, it isn't.
¿Es realmente esta función una solución?
- Antes de resolver una ecuación diferencial, debería poder verificar una propuesta de respuesta.
- Una solución de una ecuación diferencial es una función que hace que la ecuación sea verdadera.
- La prueba es puramente mecánica: diferencie el candidato y sustitúyalo.
- Si ambos lados coinciden para todo $x$, es una solución; si no, no lo es.
The verification recipe
- 1. Take the candidate function and compute its derivative(s).
- 2. Substitute the function and its derivatives into the differential equation.
- 3. Simplify both sides and check that they are equal (as identities in $x$).
- No integration needed — verifying is just differentiating and plugging in.
La receta de verificación
- 1. Tome la función candidata y calcule su(s) derivada(s).
- 2. Sustituya la función y sus derivadas en la ecuación diferencial.
- 3. Simplifique ambos lados y compruebe que son iguales (como identidades en $x$).
- No se necesita integración — verificar es simplemente derivar y sustituir.
To verify a candidate solution, you... · Para verificar una solución candidata, usted...
Differentiate the candidate, substitute, check both sides match. · Diferencie la candidata, sustituya, verifique que ambos lados coincidan.
A worked check
- Does $y=e^{3x}$ solve $\dfrac{dy}{dx}=3y$?
- Differentiate: $\dfrac{dy}{dx}=3e^{3x}$.
- Substitute into the right side: $3y=3e^{3x}$.
- Left $=$ right ($3e^{3x}=3e^{3x}$), so yes, $y=e^{3x}$ is a solution. ✓
Verificación resuelta
- ¿Resuelve $y=e^{3x}$ a $\dfrac{dy}{dx}=3y$?
- Diferencie: $\dfrac{dy}{dx}=3e^{3x}$.
- Sustituya en el lado derecho: $3y=3e^{3x}$.
- Izquierda $=$ derecha ($3e^{3x}=3e^{3x}$), así que sí, $y=e^{3x}$ es una solución. ✓
Solutions of dy/dx = ky · Soluciones de dy/dx = ky
Each exponential $y=Ce^{kx}$ threads the slope field — verifying one just confirms its derivative matches $ky$. · Cada exponencial $y=Ce^{kx}$ atraviesa el campo de pendientes; verificar una solo confirma que su derivada coincide con $ky$.
$y=e^{3x}$ is a solution of $\dfrac{dy}{dx}=3y$. · $y=e^{3x}$ es una solución de $\dfrac{dy}{dx}=3y$.
$\frac{dy}{dx}=3e^{3x}=3y$. ✓
Both sides must be equal for ____ values of $x$, not just one, to confirm a solution. · Ambos lados deben ser iguales para ____ valores de $x$, no solo uno, para confirmar una solución.
A solution satisfies the equation identically. · Una solución satisface la ecuación idénticamente.
General vs. particular solutions
- $y=Ce^{3x}$ (with any constant $C$) also solves $\dfrac{dy}{dx}=3y$ — the whole family is the general solution.
- Pick a specific $C$ and you get a particular solution.
- Verifying works the same for either: differentiate and check the equation holds.
- The constant carries through the differentiation, so the check still balances.
Soluciones generales vs. particulares
- $y=Ce^{3x}$ (con cualquier constante $C$) también resuelve $\dfrac{dy}{dx}=3y$ — toda la familia es la solución general.
- Elija un valor específico para $C$ y obtendrá una solución particular.
- La verificación funciona igual para cualquiera: diferencie y compruebe que se cumple la ecuación.
- La constante pasa a través de la diferenciación, por lo que la verificación sigue balanceándose.
Verifying a given solution requires integrating the differential equation. · Verificar una solución dada requiere integrar la ecuación diferencial.
Verifying is differentiate-and-substitute; no integration. · Verificar significa diferenciar y sustituir; no hay integración.
For which constants $C$ does · hace $y=Ce^{3x}$ solve $\dfrac{dy}{dx}=3y$? · ¿Para qué constantes $C$ resuelve $y=Ce^{3x}$ a $\dfrac{dy}{dx}=3y$?
$\frac{dy}{dx}=3Ce^{3x}=3y$ for all $C$ — the general solution. · $\frac{dy}{dx}=3Ce^{3x}=3y$ para todo $C$ — la solución general.
Is $y=x^2+C$ a solution of $\dfrac{dy}{dx}=2x$? · ¿Es $y=x^2+C$ una solución de $\dfrac{dy}{dx}=2x$?
$\frac{dy}{dx}=2x$ regardless of $C$. · $\frac{dy}{dx}=2x$ independientemente de $C$.
Verifying is not solving — you're only checking a given candidate, so no integration is involved. Substitute the function and its derivative into the equation and confirm both sides are identical for all $x$, not just at one point. A match at a single $x$ isn't enough.
Verificar no es resolver — solo está comprobando un candidato dado, por lo que no hay integración involucrada. Sustituya la función y su derivada en la ecuación y confirme que ambos lados son idénticos para todo $x$, no solo en un punto. Un coincidencia en un único $x$ no es suficiente.
Verify that $y=x^2+C$ solves $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Differentiate: $\dfrac{dy}{dx}=2x$ (the $+C$ vanishes).
- The differential equation says $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Both sides equal $2x$, so $y=x^2+C$ is a solution for every constant $C$. ✓
Verifique que $y=x^2+C$ resuelve $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Diferencie: $\dfrac{dy}{dx}=2x$ (la $+C$ se anula).
- La ecuación diferencial dice $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Ambos lados son iguales a $2x$, así que $y=x^2+C$ es una solución para todo constante $C$. ✓
To verify a solution of a differential equation, differentiate the candidate and substitute it (with its derivatives) into the equation; it's a solution iff both sides are equal for all $x$. No integration required — verifying is differentiate-and-check. A family with a constant $C$ is the general solution.
Para verificar una solución de una ecuación diferencial, diferencie el candidato y sustitúyalo (junto con sus derivadas) en la ecuación; es una solución si y solo si ambos lados son iguales para todo $x$. No se requiere integración — verificar es derivar y comprobar. Una familia con una constante $C$ es la solución general.