Integrating Using Integration by Parts · Integración por partes
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| Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | integración por partes |
The product rule, run backward
- The chain rule reversed gave u-substitution. What reverses the product rule? Integration by parts 分部积分法.
- It handles integrals of a product that substitution can't crack — like $\int x e^x\,dx$.
- The trick: trade a hard integral for an easier one by moving the derivative from one factor to the other.
- It's the BC workhorse for products of unlike functions.
La regla del producto, aplicada a la inversa
- La regla de la cadena invertida dio lugar a la sustitución. ¿Qué invierte la regla del producto? La integración por partes 分部积分法.
- Se utiliza para integrales de un producto que la sustitución no puede resolver — como $\int x e^x\,dx$.
- El truco: cambiar una integral difícil por una más sencilla moviendo la derivada de un factor al otro.
- Es la herramienta fundamental en el temario BC para productos de funciones distintas.
Integration by parts is the reverse of which rule? · La integración por partes es la inversa de qué regla?
It undoes the product rule. · Invierte la regla del producto.
The formula
- From the product rule, integrated:
-
$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$
- You pick part of the integrand to be $u$ (which you'll differentiate) and the rest to be $dv$ (which you'll integrate).
- Then $du=u'\,dx$ and $v=\int dv$, and you assemble $uv-\int v\,du$.
La fórmula
- Derivada de la regla del producto, integrada:
-
$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$
- Eliges una parte del integrando para ser $u$ (que vas a derivar) y el resto para ser $dv$ (que vas a integrar).
- Entonces $du=u'\,dx$ y $v=\int dv$, y ensamblas $uv-\int v\,du$.
A product to integrate · Un producto para integrar
y = a·e^{bx}
Integration by parts trades $\int x e^x$ for the easier $\int e^x$ — moving the derivative off the algebraic factor. · La integración por partes sustituye $\int x e^x$ por la más sencilla $\int e^x$, eliminando la derivada del factor algebraico.
The integration by parts formula is $\int u\,dv=$ · La fórmula de integración por partes es $\int u\,dv=$
$\int u\,dv=uv-\int v\,du$ (mind the minus). · $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ (fíjese en el signo menos).
Choosing $u$ and $dv$ wisely
- Aim to make the new integral $\int v\,du$ simpler than the original.
- A helpful priority for $u$ (LIATE): Logarithm, Inverse trig, Algebraic, Trig, Exponential — pick $u$ from earliest on this list.
- So in $\int x e^x\,dx$: $u=x$ (algebraic) and $dv=e^x\,dx$.
- A good choice collapses the problem; a bad choice makes it worse.
Elegir $u$ y $dv$ con inteligencia
- Busca que la nueva integral $\int v\,du$ sea más simple que la original.
- Una prioridad útil para elegir $u$ (LIATE): Logaritmo, Inversa trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial — elige $u$ desde el principio de esta lista.
- Así, en $\int x e^x\,dx$: $u=x$ (algebraica) y $dv=e^x\,dx$.
- Una buena elección simplifica el problema; una mala lo complica aún más.
For · A favor $\int x e^x\,dx$, a good choice is $u=$ · Para $\int x e^x\,dx$, una buena elección es $u=$
By LIATE, the algebraic $x$ is $u$; $dv=e^x\,dx$. · Por LIATE, el algebraico $x$ es $u$; $dv=e^x\,dx$.
A common mnemonic for choosing $u$ is ____ (L-I-A-T-E). · Un mnemotécnico común para elegir $u$ es ____ (L-I-A-T-E).
Logarithm, Inverse trig, Algebraic, Trig, Exponential. · Logaritmo, Trig. inverso, Algebraico, Trigonométrico, Exponencial.
You should choose $u$ and · y $dv$ so the new integral $\int v\,du$ is simpler than the original. · Debe elegir $u$ y $dv$ de modo que la nueva integral $\int v\,du$ sea más sencilla que la original.
That is the whole point of the choice. · Ese es todo el sentido de la elección.
Sometimes repeat, sometimes loop
- If $\int v\,du$ is still a product, apply integration by parts again.
- For $\int x^2 e^x\,dx$ you'd use it twice, peeling one power of $x$ each time.
- A few integrals (like $\int e^x\sin x\,dx$) loop back to the original — solve algebraically for it.
- Keep $u,du,v,dv$ neatly labeled to avoid sign errors.
A veces se repite, a veces se buclea
- Si $\int v\,du$ sigue siendo un producto, aplica la integración por partes de nuevo.
- Para $\int x^2 e^x\,dx$ la aplicarías dos veces, reduciendo un grado de $x$ en cada paso.
- Algunas integrales (como $\int e^x\sin x\,dx$) buclean de vuelta a la original — resuélvela algebraicamente.
- Mantén $u,du,v,dv$ bien etiquetados para evitar errores de signo.
$\displaystyle\int x e^x\,dx=$
$xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x+C$.
Choose $u$ and $dv$ so that $\int v\,du$ is simpler — the wrong pick can make it harder or send you in circles. Don't forget the minus sign: the formula is $uv-\int v\,du$. And $v$ is any antiderivative of $dv$ (drop its $+C$ until the very end of a definite/indefinite result).
Elige $u$ y $dv$ de modo que $\int v\,du$ sea más simple; una mala elección puede complicarla o hacerte dar vueltas sin salir. No olvides el signo negativo: la fórmula es $uv-\int v\,du$. Y $v$ es cualquier antiderivada de $dv$ (omite su $+C$ hasta el final de un resultado definido o indefinido).
Evaluate $\displaystyle\int x e^x\,dx$.
- Let $u=x$, $dv=e^x\,dx$. Then $du=dx$, $v=e^x$.
- $\displaystyle\int x e^x\,dx = uv-\int v\,du = x e^x - \int e^x\,dx$.
- $= x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C$.
Evalúa $\displaystyle\int x e^x\,dx$.
- Sea $u=x$, $dv=e^x\,dx$. Entonces $du=dx$, $v=e^x$.
- $\displaystyle\int x e^x\,dx = uv-\int v\,du = x e^x - \int e^x\,dx$.
- $= x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C$.
Integration by parts reverses the product rule: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$. Choose $u$ (to differentiate) and $dv$ (to integrate) — via LIATE — so that $\int v\,du$ is simpler. Mind the minus sign, and apply it repeatedly (or solve the loop) when needed.
La integración por partes invierte la regla del producto: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$. Elige $u$ (para derivar) y $dv$ (para integrar) — mediante LIATE — de manera que $\int v\,du$ sea más simple. Presta atención al signo negativo y aplícalo repetidamente (o resuelve el bucle) cuando sea necesario.