Finding Antiderivatives and Indefinite Integrals: Basic Rules and Notation · Encontrar primitivas e integrales indefinidas: reglas básicas y notación
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| indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | integral indefinida |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | constante de integración |
Running differentiation backward
- FTC Part 2 needs an antiderivative — so let's learn to find them.
- An antiderivative of $f$ is any function whose derivative is $f$; the whole family is the indefinite integral 不定积分.
- $\displaystyle\int f(x)\,dx$ (no limits) means "the general antiderivative of $f$."
- Every derivative rule, read backward, becomes an antiderivative rule.
Derivación hacia atrás
- La FTC Parte 2 necesita una antiderivada — así que vamos a aprender a encontrarlas.
- Una antiderivada de $f$ es cualquier función cuya derivada sea $f$; la familia completa se llama integral indefinida 不定积分.
- $\displaystyle\int f(x)\,dx$ (sin límites) significa "la antiderivada general de $f$."
- Cada regla de derivación, leída hacia atrás, se convierte en una regla de antiderivada.
The power rule for integration
- Reverse the Power Rule: add one to the exponent, then divide by the new exponent.
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$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\neq-1)$$
- Check: differentiating $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ gives $x^n$. ✓
- (The case $n=-1$ is special: $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$.)
Regla de la potencia para integración
- Invierte la Regla de la Potencia: suma uno al exponente, luego divide por el nuevo exponente.
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$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\neq-1)$$
- Verificación: derivar $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ da como resultado $x^n$. ✓
- (El caso $n=-1$ es especial: $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$.)
What is $\displaystyle\int x^3\,dx$? · ¿Cuál es $\displaystyle\int x^3\,dx$?
Add one to the exponent, divide by it: $\tfrac{x^4}{4}+C$. · Sume uno al exponente, divida por él: $\tfrac{x^4}{4}+C$.
The power rule fails for $n=-1$. What is $\displaystyle\int x^{-1}\,dx$? · La regla de la potencia falla para $n=-1$. ¿Cuál es $\displaystyle\int x^{-1}\,dx$?
$\int\tfrac1x\,dx=\ln|x|+C$.
Never forget $+C$
- Since the derivative of a constant is $0$, any constant can be added — so the antiderivative is a family.
- Always append the constant of integration 积分常数 $+C$ to an indefinite integral.
- Without limits there's no way to pin down which constant, so $+C$ stays.
- (In a definite integral the $+C$ cancels — that's the difference.)
Nunca olvides $+C$
- Dado que la derivada de una constante es $0$, se puede añadir cualquier constante — por lo tanto, la antiderivada es una familia.
- Siempre añade la constante de integración 积分常数 $+C$ a una integral indefinida.
- Sin límites no hay forma de determinar qué constante específica, por lo que $+C$ permanece.
- (En una integral definida la $+C$ se cancela — esa es la diferencia.)
A family shifted by +C · Una familia desplazada por +C
y = ax³ + d
All antiderivatives of $f$ differ only by a vertical shift $+C$ — same slope everywhere. · Todas las primitivas de $f$ difieren solo por un desplazamiento vertical $+C$ — misma pendiente en todas partes.
An indefinite integral should include the constant of integration $+C$. · Una integral indefinida debe incluir la constante de integración $+C$.
The antiderivative is a family; $+C$ is part of the answer. · La primitiva es una familia; $+C$ forma parte de la respuesta.
The standard antiderivatives
- Reverse the elementary derivatives you know:
- $\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$; $\;\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$.
- $\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C$; $\;\displaystyle\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$.
- Combine with linearity to integrate any polynomial or sum term by term.
Antiderivadas estándar
- Invierte las derivadas elementales que ya conoces:
- $\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$; $\;\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$.
- $\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C$; $\;\displaystyle\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$.
- Combínalas con linealidad para integrar cualquier polinomio o suma término por término.
What is $\displaystyle\int \sin x\,dx$? · ¿Cuál es $\displaystyle\int \sin x\,dx$?
$\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (mind the minus). · $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (preste atención al signo menos).
Find $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx$. · Encuentre $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx$.
Reverse power rule term by term, plus $C$. · Regla de la potencia inversa término a término, más $C$.
Select all · todos correct antiderivatives. · Seleccione todas las primitivas correctas.
$\int\cos x\,dx=\sin x+C$ (positive); the last is wrong. · $\int\cos x\,dx=\sin x+C$ (positivo); el último es incorrecto.
Two staples: always add $+C$ to an indefinite integral (it's part of the answer), and the power rule fails for $n=-1$ — $\int x^{-1}\,dx$ is $\ln|x|+C$, not $\frac{x^0}{0}$. Also mind the sign on $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (a minus, mirroring $\cos$'s derivative).
Dos puntos clave: siempre añade $+C$ a una integral indefinida (es parte de la respuesta), y la regla de la potencia falla para $n=-1$ — $\int x^{-1}\,dx$ es $\ln|x|+C$, no $\frac{x^0}{0}$. También ten cuidado con el signo en $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (un menos, que refleja la derivada de $\cos$).
Find $\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx$.
- Term by term (reverse power rule): $6\cdot\dfrac{x^3}{3}=2x^3$; $\;-4\cdot\dfrac{x^2}{2}=-2x^2$; $\;5x$.
- $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx = 2x^3-2x^2+5x+C$.
- Check by differentiating: $6x^2-4x+5$. ✓
Encuentra $\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx$.
- Término por término (regla de la potencia inversa): $6\cdot\dfrac{x^3}{3}=2x^3$; $\;-4\cdot\dfrac{x^2}{2}=-2x^2$; $\;5x$.
- $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx = 2x^3-2x^2+5x+C$.
- Verificación mediante derivación: $6x^2-4x+5$. ✓
An indefinite integral $\int f\,dx$ is the general antiderivative of $f$. The power rule for integration: $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ for $n\neq-1$ (and $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$). Always add the constant of integration $+C$, and integrate sums term by term.
Una integral indefinida $\int f\,dx$ es la antiderivada general de $f$. La regla de la potencia para integración: $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ para $n\neq-1$ (y $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$). Siempre añada la constante de integración $+C$, e integre sumas término a término.