Interpreting the Behavior of Accumulation Functions Involving Area · Interpretación del Comportamiento de Funciones de Acumulación Involucrando Área
| English | Español |
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| extrema/ekˈstremə/ | extremos |
Reading $g$ from the graph of $f$
- If $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, then by FTC Part 1, $g'=f$ — so $f$ is the derivative of $g$.
- That means everything from Unit 5 applies: use $f$ (as $g'$) to analyze $g$.
- The sign of $f$ tells you where $g$ increases and decreases.
- The zeros of $f$ (where it changes sign) locate the extrema of $g$.
Leer $g$ a partir de la gráfica de $f$
- Si $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, entonces por la Parte 1 del TFC, $g'=f$ — por lo tanto $f$ es la derivada de $g$.
- Esto significa que todo lo visto en la Unidad 5 aplica: use $f$ (como $g'$) para analizar $g$.
- El signo de $f$ le indica dónde $g$ aumenta y disminuye.
- Los ceros de $f$ (donde cambia de signo) ubican los extremos de $g$.
When analyzing $g(x)=\int_a^x f\,dt$, the graph of $f$ acts as the graph of $g'$. · Al analizar $g(x)=\int_a^x f\,dt$, la gráfica de $f$ actúa como la gráfica de $g'$.
FTC Part 1: $g'=f$. · Teorema Fundamental del Cálculo Parte 1: $g'=f$.
Increase/decrease from the sign of $f$
- Where $f(x)>0$: $g$ is increasing (area is being added).
- Where $f(x)<0$: $g$ is decreasing (area is being subtracted).
- So look at the graph of $f$: above the axis → $g$ climbs; below → $g$ falls.
- $g$ is the running total of signed area, so its direction follows $f$'s sign.
Aumento/disminución a partir del signo de $f$
- Donde $f(x)>0$: $g$ está creciendo (se está sumando área).
- Donde $f(x)<0$: $g$ está disminuyendo (se está restando área).
- Por lo tanto, observe la gráfica de $f$: por encima del eje → $g$ sube; por debajo → $g$ baja.
- $g$ es el total acumulado de área con signo, así que su dirección sigue el signo de $f$.
g rises where f is positive · g aumenta donde f es positiva
y = f(t) (the integrand = g′) · y = f(t) (el integrando = g′)
While $f$ (the shaded height) is positive, the accumulated area $g$ increases; when $f$ turns negative, $g$ decreases. · Mientras $f$ (la altura sombreada) es positiva, el área acumulada $g$ aumenta; cuando $f$ se vuelve negativa, $g$ disminuye.
For · A favor $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, $g$ is increasing exactly where... · Para $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, $g$ es creciente exactamente donde...
$g'=f$, so $g$ increases where $f>0$. · $g'=f$, por lo tanto $g$ aumenta donde $f>0$.
Extrema of $g$ where $f$ changes sign
- $g$ has a local max where $f$ (its derivative) changes from positive to negative.
- $g$ has a local min where $f$ changes from negative to positive.
- These are just the First Derivative Test applied to $g$, using $f$ as $g'$.
- The extrema 极值 of the accumulation function sit at the $x$-axis crossings of $f$.
Extremos de $g$ donde $f$ cambia de signo
- $g$ tiene un máximo local donde $f$ (su derivada) cambia de positivo a negativo.
- $g$ tiene un mínimo local donde $f$ cambia de negativo a positivo.
- Estos son simplemente la Prueba de la Primera Derivada aplicada a $g$, usando $f$ como $g'$.
- Los extremos de la función acumulativa se encuentran en las intersecciones con el eje $x$ de $f$.
$g$ has a local maximum where $f$ changes from... · $g$ tiene un máximo local donde $f$ cambia de...
$g'=f$ goes $+\to-$ → local max of $g$. · $g'=f$ pasa de $+\to-$ → máximo local de $g$.
From the graph of $f$, you can read which features of $g=\int_a^x f\,dt$? · A partir de la gráfica de $f$, puedes leer cuáles características de $g=\int_a^x f\,dt$?
Increase/decrease, extrema, concavity — all from $f$. Exact values need the actual area. · Aumento/disminución, extremos, concavidad — todo desde $f$. Los valores exactos requieren el área real.
Concavity of $g$ from the slope of $f$
- Since $g'=f$, we get $g''=f'$ — so the concavity of $g$ follows the slope of $f$.
- Where $f$ is increasing, $g$ is concave up; where $f$ is decreasing, $g$ is concave down.
- An inflection point of $g$ sits where $f$ has a local max or min (where $f'$ changes sign).
- One graph of $f$ tells you increase/decrease and concavity of $g$.
Concavidad de $g$ a partir de la pendiente de $f$
- Dado que $g'=f$, obtenemos $g''=f'$ — por lo tanto, la concavidad de $g$ sigue la pendiente de $f$.
- Donde $f$ está creciendo, $g$ es cóncava hacia arriba; donde $f$ está decreciendo, $g$ es cóncava hacia abajo.
- Un punto de inflexión de $g$ se encuentra donde $f$ tiene un máximo o mínimo local (donde $f'$ cambia de signo).
- Una sola gráfica de $f$ le dice tanto el aumento/disminución como la concavidad de $g$.
Since $g''=f'$, $g$ is concave up where $f$ is ____. · Dado que $g''=f'$, $g$ es cóncava hacia arriba donde $f$ es ____.
$g''=f'>0$ where $f$ rises. · $g''=f'>0$ donde $f$ sube.
A large positive value of $f$ at $x$ means that $g$ is... · Un valor positivo grande de $f$ en $x$ significa que $g$ es...
$f=g'$ is the rate · velocidad; a large $f$ means $g$ rises fast, not that $g$ is big. · $f=g'$ es la tasa; un $f$ grande significa que $g$ sube rápido, no que $g$ sea grande.
To analyze $g(x)=\int_a^x f\,dt$, treat the graph of $f$ as the graph of $g'$. Don't read $f$'s height as $g$'s height — read $f$'s sign for $g$'s increase/decrease, and $f$'s sign changes for $g$'s extrema. A big positive $f$ means $g$ is rising fast, not that $g$ is large.
Para analizar $g(x)=\int_a^x f\,dt$, trate la gráfica de $f$ como la gráfica de $g'$. No lea la altura de $f$ como la altura de $g$ — lea el signo de $f$ para el aumento/disminución de $g$, y los cambios de signo de $f$ para los extremos de $g$. Un valor grande y positivo de $f$ significa que $g$ está subiendo rápidamente, no que $g$ es grande.
$g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$, where $f>0$ on $(0,3)$, $f(3)=0$, and $f<0$ on $(3,5)$.
- On $(0,3)$: $f>0$ → $g$ increasing. On $(3,5)$: $f<0$ → $g$ decreasing.
- At $x=3$: $f$ changes $+\to-$ → $g$ has a local maximum.
- So $g$ climbs to a peak at $x=3$, then falls.
$g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$, donde $f>0$ en $(0,3)$, $f(3)=0$, y $f<0$ en $(3,5)$.
- En $(0,3)$: $f>0$ → $g$ crece. En $(3,5)$: $f<0$ → $g$ decrece.
- En $x=3$: $f$ cambia de $+\to-$ → $g$ tiene un máximo local.
- Así, $g$ asciende hasta un pico en $x=3$, luego desciende.
For $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, use $g'=f$: $g$ increases where $f>0$, decreases where $f<0$, and has extrema where $f$ changes sign. Since $g''=f'$, $g$ is concave up where $f$ is increasing. Read the graph of $f$ as the graph of $g'$.
Para $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, use $g'=f$: $g$ crece donde $f>0$, decrece donde $f<0$, y tiene extremos donde $f$ cambia de signo. Dado que $g''=f'$, $g$ es cóncava hacia arriba donde $f$ es creciente. Lea la gráfica de $f$ como la gráfica de $g'$.