Introduction to Optimization Problems · Introducción a los problemas de optimización
| English | Español |
|---|---|
| optimization/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | optimización |
| variable/ˈveərɪəbl/ | variable |
| objective function/ɒbˈdʒektɪv ˈfʌŋkʃn/ | función objetivo |
| constraint/kənˈstreɪnt/ | restricción |
Making something as big (or small) as possible
- Real problems ask: what dimensions give the largest area? the cheapest cost? the shortest time?
- These are optimization 最优化 problems — find the max or min of a quantity.
- Calculus solves them because extrema live where the derivative is zero.
- This lesson is about the setup; the solving comes next.
Maximizar o minimizar algo
- Los problemas reales preguntan: ¿qué dimensiones dan el área más grande? ¿el costo más bajo? ¿el tiempo más corto?
- Estos son problemas de optimización — encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.
- El cálculo los resuelve porque los extremos se encuentran donde la derivada es cero.
- Esta lección trata sobre el planteamiento; la resolución viene en la siguiente.
Name a variable and write the objective
- Choose a variable 变量 for the quantity you can control (a length, a radius, a price).
- Write the thing you want to maximize or minimize as a function of that variable — the objective function 目标函数.
- Example: for a rectangle of fixed perimeter, write the area in terms of one side length.
- Draw a picture and label it — most setup errors are unlabeled diagrams.
Nombrar una variable y escribir el objetivo
- Elige una variable para la cantidad que puedes controlar (una longitud, un radio, un precio).
- Escribe lo que quieres maximizar o minimizar como función de esa variable: la función objetivo.
- Ejemplo: para un rectángulo de perímetro fijo, escribe el área en términos de la longitud de un lado.
- Dibuja una figura y étiquétala; la mayoría de los errores de planteamiento provienen de diagramas sin etiquetas.
In "maximize area with a fixed perimeter," the area is the... · En "maximizar el área con un perímetro fijo", el área es el...
You optimize the objective (area); the perimeter is the constraint. · Optimizas el objetivo (área); el perímetro es la restricción.
Use a constraint to get one variable
- Usually the objective starts with two variables (like length and width).
- A constraint 约束条件 equation relates them (a fixed perimeter, a fixed volume, a budget).
- Solve the constraint for one variable and substitute, so the objective depends on a single variable.
- Now it's an ordinary "find the extremum" problem.
Usar una restricción para obtener una sola variable
- Generalmente, el objetivo comienza con dos variables (como largo y ancho).
- Una ecuación de restricción las relaciona (un perímetro fijo, un volumen fijo, un presupuesto).
- Despeja una variable de la restricción y sustituye, para que el objetivo dependa de una única variable.
- Ahora es un problema ordinario de "encontrar un extremo".
Area as one downward parabola · Área como una parábola hacia abajo
y = ax² + bx
After using the constraint, area becomes $A=10x-x^2$ — a downward parabola with a single peak to find. · Después de usar la restricción, el área se convierte en $A=10x-x^2$ — una parábola con un único pico para encontrar.
A constraint equation is used to... · Una ecuación de restricción se usa para...
Solve the constraint for one variable and substitute. · Despeja una variable de la restricción y sustituye.
The goal of the setup is to write the objective in terms of a ____ variable. · El objetivo del planteamiento es escribir el objetivo en términos de una variable ____.
One variable ⇒ an ordinary extremum problem. · Una variable ⇒ un problema de extremo ordinario.
Order the optimization setup steps. · Ordena los pasos del planteamiento de optimización.
Variable, objective, constraint, substitute. · Variable, objetivo, restricción, sustituir.
A worked setup
- "A farmer has $40$ m of fence for a rectangular pen against a wall (no fence on the wall side)."
- Constraint: fence used $=2x+y=40$, so $y=40-2x$.
- Objective: area $A=xy=x(40-2x)=40x-2x^2$, now a function of $x$ alone.
- Ready to maximize $A(x)$ — that's lesson 5.11.
Un planteamiento resuelto
- "Un granjero tiene $40$ m de valla para cercar un corral rectangular contra una pared (sin valla en el lado de la pared)."
- Restricción: valla usada $=2x+y=40$, por lo tanto $y=40-2x$.
- Objetivo: área $A=xy=x(40-2x)=40x-2x^2$, ahora es una función solo de $x$.
- Listo para maximizar $A(x)$; eso corresponde a la lección 5.11.
With $2x+y=40$ (wall on one side), the area $A=xy$ becomes... · Con $2x+y=40$ (pared en un lado), el área $A=xy$ se convierte en...
$y=40-2x$, so $A=x(40-2x)=40x-2x^2$. · $y=40-2x$, así que $A=x(40-2x)=40x-2x^2$.
Noting the domain of the variable (e.g. $0
The domain bounds where a valid answer can be. · El dominio acota dónde se puede obtener una respuesta válida.
Keep the objective (what you optimize) separate from the constraint (the fixed relationship). You maximize/minimize the objective, and you use the constraint only to eliminate a variable. Also note the domain of the variable (e.g. $x>0$ and $y>0$) — it bounds where a valid answer can lie.
Mantén separado el objetivo (lo que optimizas) de la restricción (la relación fija). Maximizas o minimizas el objetivo, y usas la restricción únicamente para eliminar una variable. También ten en cuenta el dominio de la variable (p. ej., $x>0$ y $y>0$), ya que acota dónde puede estar una respuesta válida.
Set up: maximize the area of a rectangle with perimeter $20$.
- Let the sides be $x$ and $y$. Constraint: $2x+2y=20\Rightarrow y=10-x$.
- Objective: $A=xy=x(10-x)=10x-x^2$.
- Domain: $0
Planteamiento: maximizar el área de un rectángulo con perímetro $20$.
- Sean los lados $x$ e $y$. Restricción: $2x+2y=20\Rightarrow y=10-x$.
- Objetivo: $A=xy=x(10-x)=10x-x^2$.
- Dominio: $0
An optimization problem finds a maximum or minimum. Set it up by naming a variable, writing the objective function to optimize, and using a constraint equation to reduce it to a single variable. Note the domain. Then it becomes a standard extremum problem (next lesson).
Un problema de optimización busca un máximo o un mínimo. Plántalo nombrando una variable, escribiendo la función objetivo a optimizar, y usando una ecuación de restricción para reducirla a una única variable. Observa el dominio. Luego se convierte en un problema estándar de extremos (siguiente lección).