Integrating Using Substitution · Integración por Sustitución
| English | Español |
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| u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | sustitución u |
The chain rule, run in reverse
- The chain rule made derivatives of composite functions. Integration must undo it.
- u-substitution 换元法 (or u-sub) is the reverse of the chain rule.
- It spots a composite function together with its inner derivative and simplifies by renaming.
- Master it and a huge class of otherwise-impossible integrals becomes routine.
La regla de la cadena, aplicada al revés
- La regla de la cadena se utiliza para derivar funciones compuestas. La integración debe deshacer ese proceso.
- La sustitución por u (o u-sub) es el inverso de la regla de la cadena.
- Identifica una función compuesta junto con su derivada interna y simplifica mediante un cambio de nombre.
- Dominarla permite resolver rutinariamente una gran clase de integrales que de otro modo serían imposibles.
u-substitution is the reverse of which differentiation rule? · ¿La sustitución u es el inverso de qué regla de diferenciación?
It undoes the chain rule. · Deshace la regla de la cadena.
Rename the inner function as $u$
- Look for an inner function $g(x)$ whose derivative $g'(x)$ also appears (up to a constant) in the integrand.
- Let $u=g(x)$; then $du=g'(x)\,dx$.
- Rewrite the whole integral in terms of $u$ — the messy $x$-expression turns into a simple $u$-integral.
- Then integrate in $u$ and substitute back $u=g(x)$ at the end.
Renombra la función interna como $u$
- Busca una función interna $g(x)$ cuya derivada $g'(x)$ también aparezca (salvo una constante multiplicativa) en el integrando.
- Sea $u=g(x)$; entonces $du=g'(x)\,dx$.
- Reescribe toda la integral en términos de $u$ — la complicada expresión en $x$ se convierte en una simple integral en $u$.
- Luego integra respecto a $u$ y sustituye de nuevo $u=g(x)$ al final.
A composite ready for u-sub · Una composición lista para u-sustitución
y = ax³ + bx
An integrand like $2x(x^2+1)^3$ hides an inner function and its derivative — the signal to substitute. · Un integrando como $2x(x^2+1)^3$ oculta una función interna y su derivada — la señal para sustituir.
For · A favor $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$, a good choice is $u=$ · Para $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$, una buena elección es $u=$
$u=x^2+1$ has $du=2x\,dx$, which is present. · $u=x^2+1$ tiene $du=2x\,dx$, que está presente.
A clean example of the pattern
- $\displaystyle\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx$. Inner function $u=x^2+1$, so $du=2x\,dx$.
- The $2x\,dx$ in the integral is exactly $du$ — a perfect match.
- The integral becomes $\displaystyle\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C$.
- Substitute back: $\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$.
Un ejemplo claro del patrón
- $\displaystyle\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx$. Función interna $u=x^2+1$, por lo tanto $du=2x\,dx$.
- La $2x\,dx$ en la integral es exactamente $du$ — una coincidencia perfecta.
- La integral se convierte en $\displaystyle\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C$.
- Sustituir de nuevo: $\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$.
$\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ equals... · $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ es igual a...
$\int u^3\,du=\tfrac{u^4}{4}+C$, then back-substitute. · $\int u^3\,du=\tfrac{u^4}{4}+C$, luego sustituir hacia atrás.
Handle the constant, or the limits
- If $du$ is off by a constant factor, just multiply/divide to fix it (e.g. $x\,dx=\tfrac12\,du$).
- For a definite integral, either substitute back to $x$ before evaluating, or change the limits to $u$-values.
- Changing limits is cleaner: convert $a,b$ into $u(a),u(b)$ and never return to $x$.
- Always end an indefinite answer in terms of the original variable $x$.
Manejar la constante, o los límites
- Si $du$ está por un factor constante, simplemente multiplica/divide para corregirlo (por ejemplo, $x\,dx=\tfrac12\,du$).
- Para una integral definida, vuelve a sustituir en términos de $x$ antes de evaluar, o cambia los límites a valores $u$.
- Cambiar los límites es más limpio: convertir $a,b$ en $u(a),u(b)$ y nunca volver a $x$.
- Siempre finaliza una respuesta indefinida en términos de la variable original $x$.
Evaluate · Evaluación $\int_0^1 3x^2(x^3+1)^2\,dx$ (let $u=x^3+1$). Enter a decimal. · Evalúe $\int_0^1 3x^2(x^3+1)^2\,dx$ (sea $u=x^3+1$). Ingrese un decimal.
$\int_1^2 u^2\,du=\tfrac{8-1}{3}=\tfrac73\approx2.333$.
A correct u-substitution converts $dx$ entirely into $du$, leaving no stray $x$. · Una sustitución u correcta convierte $dx$ completamente en $du$, sin dejar $x$ suelto.
A leftover $x$ or $dx$ is the classic mistake. · Dejar un $x$ o $dx$ restante es el error clásico.
u-substitution works when the integrand contains the inner function's... · La sustitución u funciona cuando el integrando contiene la...
The inner derivative $g'(x)$ must be present (times a constant). · La derivada interna $g'(x)$ debe estar presente (por una constante).
u-sub works only when the inner derivative is present (up to a constant). If $g'(x)$ isn't there, you can't just invent it. And don't forget to convert $dx$ into $du$ — leaving a stray $dx$ or a leftover $x$ is the classic error. For definite integrals, either change the limits or back-substitute, not a mix.
El método de sustitución (u-sub) solo funciona cuando la derivada de la parte interna está presente (hasta una constante). Si $g'(x)$ no está, no puedes simplemente inventarla. Y no olvides convertir $dx$ en $du$ — dejar un $dx$ suelto o un residuo de $x$ es el error clásico. Para integrales definidas, cambia los límites o vuelve a sustituir, pero no mezcles ambos métodos.
Evaluate $\displaystyle\int_0^1 3x^2\,(x^3+1)^2\,dx$.
- Let $u=x^3+1$, so $du=3x^2\,dx$. Limits: $x=0\Rightarrow u=1$, $x=1\Rightarrow u=2$.
- Integral becomes $\displaystyle\int_1^2 u^2\,du=\Big[\tfrac{u^3}{3}\Big]_1^2=\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}$.
Evaluar $\displaystyle\int_0^1 3x^2\,(x^3+1)^2\,dx$.
- Sea $u=x^3+1$, entonces $du=3x^2\,dx$. Límites: $x=0\Rightarrow u=1$, $x=1\Rightarrow u=2$.
- La integral se convierte en $\displaystyle\int_1^2 u^2\,du=\Big[\tfrac{u^3}{3}\Big]_1^2=\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}$.
u-substitution reverses the chain rule: set $u=g(x)$ (the inner function), replace $g'(x)\,dx$ with $du$, integrate in $u$, then substitute back (or change the limits for a definite integral). It works when the inner derivative appears up to a constant factor. Always convert $dx\to du$ fully.
La sustitución u invierte la regla de la cadena: defina $u=g(x)$ (la función interna), reemplace $g'(x)\,dx$ con $du$, integre respecto a $u$ y luego vuelva a sustituir (o cambie los límites para una integral definida). Funciona cuando la derivada del término interno aparece hasta un factor constante. Siempre convierta $dx\to du$ completamente.