Integrating Functions Using Long Division and Completing the Square · Integración de Funciones Usando División Larga y Completar el Cuadrado
| English | Español |
|---|---|
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | completar el cuadrado |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | división larga de polinomios |
Reescribir primero, luego integrar
- Algunas funciones racionales no coinciden con ninguna antiderivada básica — hasta que las reescribes.
- Dos herramientas algebraicas preparan un integrando terco: división larga y completar el cuadrado.
- Ninguna es cálculo; ambas simplemente reorganizan la fracción en una forma más amigable.
- Luego, una regla básica o una integral conocida termina el trabajo.
División larga para fracciones "impropias" (numerador de mayor grado)
- Si el grado del numerador es $\ge$ el del denominador, la fracción es impropia.
- Usa división larga de polinomios 多项式长除法 para dividirla en un polinomio más un residuo propio.
- $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$ — ahora cada pieza se integra fácilmente.
- $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
A rational curve to rewrite · Una curva racional para reescribir
y = a / (x − b)
An improper fraction like $\tfrac{x^2}{x+1}$ becomes a line plus a small remainder — each piece integrates easily. · Una fracción impropia como $\tfrac{x^2}{x+1}$ se convierte en una línea más un pequeño resto — cada parte se integra fácilmente.
Use polynomial long division when the numerator's degree is... · Use la división larga de polinomios cuando el grado del numerador sea...
An improper fraction (top-heavy) calls for division. · Una fracción impropia (con numerador mayor) requiere división.
Long division gives $\dfrac{x^2}{x+1}=$ · La división larga da $\dfrac{x^2}{x+1}=$
$x^2=(x+1)(x-1)+1$, so the quotient is $x-1$ remainder $1$. · $x^2=(x+1)(x-1)+1$, por lo tanto el cociente es $x-1$ con residuo $1$.
Completar el cuadrado para formas de trigonometría inversa
- Un denominador como $x^2+4x+5$ oculta un cuadrado perfecto: completa el cuadrado para llevarlo a $(x+2)^2+1$.
- Esa forma $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ coincide con la antiderivada de la función arco tangente.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+4x+5}\,dx=\int\dfrac{1}{(x+2)^2+1}\,dx=\arctan(x+2)+C$.
- Completar el cuadrado transforma un denomiador cuadrático desordenado en el patrón limpio $u^2+a^2$.
Completing the square, $x^2+4x+5=$ · Completando el cuadrado, $x^2+4x+5=$
$(x+2)^2=x^2+4x+4$, so $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$. · $(x+2)^2=x^2+4x+4$, así que $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$.
The form $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ integrates to an ____ function. · La forma $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ se integra a una función de ____.
$\int\tfrac{1}{u^2+1}\,du=\arctan u+C$.
Reconoce la señal
- El grado del numerador $\ge$ el grado del denominador → recurre primero a la división larga.
- Un denominador cuadrático irredactible (sin raíces reales) → intenta completar el cuadrado hacia la arco tangente.
- Estas son jugadas de preparación; la integración real es una regla básica o una sustitución u después.
- Identificar qué reescritura usar es la mitad de la batalla.
---{callout:warn}
Realiza la división larga únicamente cuando la fracción sea impropia (grado del numerador $\ge$ el del denominador) — dividir una fracción propia no conduce a nada. Y después de completar el cuadrado, conserva la constante correctamente: $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$, no $(x+2)^2+5$. Una constante incorrecta rompe la correspondencia con la función arcotangente.
{/callout}
$\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=$
Divide first, then integrate $x-1+\tfrac1{x+1}$. · Divida primero, luego integre $x-1+\tfrac1{x+1}$.
Match the signal to the rewrite: select all · todos true pairings. · Empareje la señal con la reescritura: seleccione todos los emparejamientos verdaderos.
Long division is for improper fractions only; both are pre-integration rewrites. · La división larga es solo para fracciones impropias; ambas son reescrituras previas a la integración.
Integra $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx$.
- División larga: $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$.
- Integra término por término: $\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
- (Cada pieza reescrita utiliza una regla básica de antiderivadas.)
Cuando un integrando racional no se ajusta a ninguna regla básica, reescribelo primero: usa la división larga polinómica en una fracción impropia (grado del numerador $\ge$ el del denominador), o completa el cuadrado en un denominador cuadrático irreducible para alcanzar una forma de arctangente. Luego completa con una antiderivada básica.