Hyperbolic functions · Funciones hiperbólicas
| English | Español |
|---|---|
| catenary/kæˈtiːnəri/ | catenaria |
| hyperbolic function/ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃn/ | función hiperbólica |
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | exponencial |
| identity/aɪˈdentɪti/ | identidad |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | derivada |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | inverse |
The curves that hang from chains
- A hanging chain forms a catenary 悬链线 curve — not a parabola, but the graph of $\cosh x$.
- Hyperbolic functions 双曲函数 are built from exponentials 指数 and appear everywhere: suspension bridges, power lines, and even the shape of the universe in general relativity.
Las curvas que cuelgan de cadenas
- Una cadena colgante forma una curva catenaria — no una parábola, sino la gráfica de $\cosh x$.
- Las funciones hiperbólicas se construyen a partir de exponenciales y aparecen en todas partes: puentes colgantes, cables eléctricos e incluso la forma del universo en relatividad general.
Definitions
- Built from the exponential function:
Worked example. $\cosh 0 = \dfrac{e^0 + e^0}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$. $\sinh 0 = \dfrac{1 - 1}{2} = 0$. So the catenary passes through $(0, 1)$, not the origin.
cosh and sinh are the average and half-difference of e^x and e^-x
Definiciones
- Construidas a partir de la función exponencial:
Ejemplo resuelto. $\cosh 0 = \dfrac{e^0 + e^0}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$. $\sinh 0 = \dfrac{1 - 1}{2} = 0$. Por lo tanto, la catenaria pasa por $(0, 1)$, no por el origen.
cosh y sinh son el promedio y la semidiferencia de e^x y e^-x
Hyperbolic functions · Funciones hiperbólicas
y = a cosh(x)
cosh is the catenary (a hanging chain) — even, with its minimum at (0, a). · cosh es la catenaria (una cadena colgante) — par, con su mínimo en (0, a).
Using cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2, what is cosh 0? · Usando cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2, ¿cuál es cosh 0?
cosh 0 = (e⁰ + e⁰)/2 = (1 + 1)/2 = 1.
Using sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2, what is sinh 0? · Usando sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2, ¿cuál es sinh 0?
sinh 0 = (1 − 1)/2 = 0.
Key identities
- Main identity 恒等式: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (compare with $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$).
- Addition: $\sinh(A + B) = \sinh A \cosh B + \cosh A \sinh B$.
Minus sign, not plus. The identity is $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (minus), not $\cosh^2 x + \sinh^2 x = 1$. This is the key difference from trigonometric identities.
A hanging cable forms a catenary, the curve of the hyperbolic cosine y = a cosh(x/a)
Identidades clave
- Identidad principal: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (compare con $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$).
- Adición: $\sinh(A + B) = \sinh A \cosh B + \cosh A \sinh B$.
Signo menos, no más. La identidad es $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (menos), no $\cosh^2 x + \sinh^2 x = 1$. Esta es la diferencia clave respecto a las identidades trigonométricas.
Un cable colgante forma una catenaria, la curva del coseno hiperbólico y = a cosh(x/a)
For any x, what does cosh²x − sinh²x equal? · Para cualquier x, ¿a qué es igual cosh²x − sinh²x?
The hyperbolic identity is cosh²x − sinh²x = 1. · La identidad hiperbólica es cosh²x − sinh²x = 1.
The identity cosh²x + sinh²x = 1 is correct. · La identidad cosh²x + sinh²x = 1 es correcta.
The correct identity is cosh²x − sinh²x = 1 (minus, not plus). · La identidad correcta es cosh²x − sinh²x = 1 (menos, no más).
Derivatives 导数
- $\dfrac{d}{dx}\sinh x = \cosh x$, $\quad\dfrac{d}{dx}\cosh x = \sinh x$ (no minus sign!).
- $\dfrac{d}{dx}\tanh x = \text{sech}^2 x$.
Derivadas
- $\dfrac{d}{dx}\sinh x = \cosh x$, $\quad\dfrac{d}{dx}\cosh x = \sinh x$ (¡sin signo menos!).
- $\dfrac{d}{dx}\tanh x = \text{sech}^2 x$.
The derivative of sinh x is: · La derivada de sinh x es:
d/dx(sinh x) = cosh x (no minus sign, unlike the trig derivative d/dx(sin x) = cos x). · d/dx(sinh x) = cosh x (sin signo menos, a diferencia de la derivada trigonométrica d/dx(sin x) = cos x).
The derivative of cosh x is: · La derivada de cosh x es:
d/dx(cosh x) = sinh x (no minus sign, unlike d/dx(cos x) = −sin x). · d/dx(cosh x) = sinh x (sin signo menos, a diferencia de d/dx(cos x) = −sin x).
Inverse 反函数 hyperbolic functions
- Inverse forms are logarithmic:
- $\sinh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$
- $\cosh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ for $x \geq 1$.
Funciones hiperbólicas inversas
- Las formas inversas son logarítmicas:
- $\sinh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$
- $\cosh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ para $x \geq 1$.
You've got it
- $\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
- key identity: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
- inverse hyperbolics have logarithmic forms
Lo has entendido
- $\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
- identidad clave: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
- las funciones hiperbólicas inversas tienen formas logarítmicas