تغطي هذه الورقة الموضوع 4، الهندسة. الأجزاء المؤشر عليها بـ (متقدمة) تُختبر فقط في أوراق الامتحان المتقدمة؛ ما عدا ذلك مخصص للمستويين. في الامتحان يجب عليك تقديم أسباب باستخدام الأسماء الصحيحة أدناه، وليس الأرقام فقط.
الهندسة
IGCSE الرياضيات · الموضوع 4
13:25
الهندسة
انظر عن قرب إلى خلية نحل. كل خلية عبارة عن مضلع سداسي — ستة أضلاع مستقيمة، كلها متساوية. ليست مربعات. ليست خماسيات. مضاعفات سداسية. النحل لم يدرس الهندسة أبدًا، ولكن…
سرد باللغة الإنجليزية · ترجمة مدمجة بالإنجليزية + الصينية
4.1
الخطوط والزوايا
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 استخدم وفسر المصطلحات الهندسية التالية: • نقطة • رأس • خط • توازٍ • تعامد • اتجاه • زاوية قائمة • زوايا حادة ومنفرجة وممتدة • زوايا داخلية وخارجية • تشابه • تطابق • معامل مقياس. | لا يُتوقع من المرشحين إثبات تطابق شكلين. |
| 2 استخدم وفسر مفردات: • المثلثات • الأشكال الرباعية الخاصة • المضلعات • الشبكات • الأجسام البسيطة. | يتضمن المصطلحات التالية: المثلثات: • متساوي الأضلاع • متساوي الساقين • مختلف الأضلاع • قائم الزاوية. الأشكال الرباعية: • مربع • مستطيل • طائر • معين • متوازي الأضلاع • شبه منحرف. المضلعات: • مضلعات منتظمة وغير منتظمة • خماسي • سداسي • ثماني • عشاري. |
| الأجسام البسيطة: • مكعب • متوازي مستطيلات • منشور • أسطوانة • هرم • مخروط • كرة (لا يُشترط استخدام مصطلح 'نصف كرة') • وجه • سطح • حافة. | |
| 3 استخدم وفسر مفردات الدائرة. | يتضمن المصطلحات التالية: • مركز • نصف قطر (جمع: أنصاف أقطار) • قطر • محيط • نصف دائرة • وتر • مماس • قوس • قطاع • جزء دائري. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 استخدام وتفسير المصطلحات الهندسية التالية: • نقطة • رأس • خط • مستوى • متوازي • عمودي • منصف عمودي • اتجاه (حامل) • زاوية قائمة • زوايا حادة ومنفرجة ومرتدة • زوايا داخلية وخارجية • متشابه • متطابق • معامل مقياس. | لا يُتوقع من المرشحين إثبات تطابق شكلين. |
| 2 استخدام وتفسير مفردات: • مثلثات • رباعيات الأضلاع الخاصة • مضلعات • شبكات • أجسام صلبة. | يشمل المصطلحات التالية. المثلثات: • متساوي الأضلاع • متساوي الساقين • مختلف الأضلاع • قائم الزاوية. الرباعيات: • مربع • مستطيل • طير • متوازي الأضلاع • متوازي الأضلاع • شبه منحرف. |
| المضلعات: • مضلعات منتظمة وغير منتظمة • خماسي • سداسي • ثماني • عشاري. الأجسام الصلبة: • مكعب • متوازي مستطيلات • منشور • أسطوانة • هرم • مخروط • كرة • نصف كرة • قاطع مخروطي • وجه • سطح • ضلع. | |
| 3 استخدام وتفسير مفردات الدائرة. | يشمل المصطلحات التالية: • مركز • نصف قطر (جمع: أنصاف أقطار) • قطر • محيط • نصف دائرة • وتر • مماس • قوس كبير وقوس صغير • قطاع • قطعة دائرية. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
الزاوية التي يلتقي فيها خطان تسمى رأس. يكون خطان متوازيين إذا لم يلتقيا أبدًا، ومتعامدين إذا التقيا بزاوية قائمة. تُمىَّز الزوايا حسب قياسها:
| الاسم | الحجم |
|---|---|
| زاوية حادة | أقل من $90^{\circ}$ |
| زاوية قائمة | تساوي تمامًا $90^{\circ}$ |
| زاوية منفرجة | بين $90^{\circ}$ و$180^{\circ}$ |
| زاوية مرجعية | بين $180^{\circ}$ و$360^{\circ}$ |
نُسمي الزاوية بثلاث أحرف، مثال: الزاوية $ABC$ هي الزاوية عند $B$.
استكشف
مختبر الشكل والزاوية
صنّف حقائق الزوايا حسب السمة الهندسية التي تولدها.
4.6
حقائق الزوايا
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 احسب الزوايا المجهولة وقدم的解释ات بسيطة باستخدام الخصائص الهندسية التالية: • مجموع الزوايا حول نقطة = 360° • مجموع الزوايا حول نقطة على خط مستقيم = 180° • الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية • مجموع زوايا المثلث = 180° ومجموع زوايا الشكل الرباعي = 360°. | يُشترط معرفة التدوين ثلاثي الحروف للزوايا، مثل الزاوية $ABC$. يُتوقع من المرشحين استخدام المصطلحات الهندسية الصحيحة عند تقديم الأسباب للإجابات. |
| 2 احسب الزوايا المجهولة وقدم的解释ات هندسية للزوايا المتشكلة داخل خطوط متوازية: • الزوايا المتناظرة متساوية • الزوايا المتبادلة متساوية • مجموع الزوايا الداخلية المتقابلة = 180° (متكاملتان). | |
| 3 اعرف واستخدم خصائص زوايا المضلعات المنتظمة. | يشمل الزوايا الخارجية والداخلية ومجموع الزوايا. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 احسب الزوايا المجهولةقدم تفسيرات بسيطة باستخدام الخصائص الهندسية التالية: • مجموع الزوايا حول نقطة = 360° • مجموع الزوايا حول نقطة على خط مستقيم = 180° • زوايا متقابلة بالرأس متساوية • مجموع زوايا المثلث = 180° ومجموع زوايا الرباعي = 360°. | مطلوب معرفة 3-حرفي لرمز الزوايا، مثل زاوية $ABC$. من المتوقع من المرشحين استخدام المصطلحات الهندسية الصحيحة عند تقديم أسباب للإجابات. |
| 2 احسب الزوايا المجهولة وقدم的解释ات هندسية للزوايا المتشكلة داخل خطوط متوازية: • الزوايا المتناظرة متساوية • الزوايا المتبادلة متساوية • مجموع الزوايا الداخلية المتقابلة = 180° (متكاملتان). | |
| 3 معرفة واستخدام خصائص الزوايا للمضلعات المنتظمة وغير المنتظمة. | يشمل الزوايا الداخلية والخارجية ومجموع الزوايا. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
احفظ هذه الحقائق الأساسية. كل واحدة منها تُعدّ سببًا مقبولاً في الامتحان.
- مجموع الزوايا عند نقطة يساوي $360^{\circ}$.
- مجموع الزوايا على خط مستقيم يساوي $180^{\circ}$.
- الزوايا المتقابلة بالرأس (الناتجة عن تقاطع خطين) متساوية.
مثال محلول. ثلاث زوايا على خط مستقيم هي $x$ و $50^{\circ}$ و $70^{\circ}$. أوجد $x$.
$$x + 50 + 70 = 180 \;\Rightarrow\; x = 60^{\circ}.$$
استكشف
مختبر المستقيم المتوازي والمضلع
اختر قاعدة الزاوية التي تفتح كل مخطط.
4.6
الزوايا في الخطوط المتوازية
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 احسب الزوايا المجهولة وقدم的解释ات بسيطة باستخدام الخصائص الهندسية التالية: • مجموع الزوايا حول نقطة = 360° • مجموع الزوايا حول نقطة على خط مستقيم = 180° • الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية • مجموع زوايا المثلث = 180° ومجموع زوايا الشكل الرباعي = 360°. | يُشترط معرفة التدوين ثلاثي الحروف للزوايا، مثل الزاوية $ABC$. يُتوقع من المرشحين استخدام المصطلحات الهندسية الصحيحة عند تقديم الأسباب للإجابات. |
| 2 احسب الزوايا المجهولة وقدم的解释ات هندسية للزوايا المتشكلة داخل خطوط متوازية: • الزوايا المتناظرة متساوية • الزوايا المتبادلة متساوية • مجموع الزوايا الداخلية المتقابلة = 180° (متكاملتان). | |
| 3 اعرف واستخدم خصائص زوايا المضلعات المنتظمة. | يشمل الزوايا الخارجية والداخلية ومجموع الزوايا. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 احسب الزوايا المجهولةقدم تفسيرات بسيطة باستخدام الخصائص الهندسية التالية: • مجموع الزوايا حول نقطة = 360° • مجموع الزوايا حول نقطة على خط مستقيم = 180° • زوايا متقابلة بالرأس متساوية • مجموع زوايا المثلث = 180° ومجموع زوايا الرباعي = 360°. | مطلوب معرفة 3-حرفي لرمز الزوايا، مثل زاوية $ABC$. من المتوقع من المرشحين استخدام المصطلحات الهندسية الصحيحة عند تقديم أسباب للإجابات. |
| 2 احسب الزوايا المجهولة وقدم的解释ات هندسية للزوايا المتشكلة داخل خطوط متوازية: • الزوايا المتناظرة متساوية • الزوايا المتبادلة متساوية • مجموع الزوايا الداخلية المتقابلة = 180° (متكاملتان). | |
| 3 معرفة واستخدام خصائص الزوايا للمضلعات المنتظمة وغير المنتظمة. | يشمل الزوايا الداخلية والخارجية ومجموع الزوايا. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
عندما يعبر خط عبر خطين متوازيين:
- الزوايا المتناظرة (في مواقع مطابقة، بشكل "F") متساوية.
- الزوايا البديلة (على جانبي خط التقاطع، بشكل "Z") متساوية.
- الزوايا الداخلية المشتركة (شكل "C") مجموعها $180^{\circ}$؛ ونقول إنها متكاملة.
مثال محلول. خط مستقيم يعبر خطين متوازيين. إحدى الزوايا تساوي $110^{\circ}$. الزاوية الداخلية المشتركة $y$ تحقق $110 + y = 180$، وبالتالي $y = 70^{\circ}$.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| vertex/ˈvɜːteks/ | القمة (الرأس) |
| parallel/ˈpærəlel/ | التوازي |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | عمودية |
| acute angle/əˈkjuːt ˈæŋɡl/ | زاوية حادة |
| right angle/raɪt ˈæŋɡl/ | زاوية قائمة |
| obtuse angle/ɒbˈtjuːs ˈæŋɡl/ | زاوية منفرجة |
| reflex angle/ˈriːfleks ˈæŋɡl/ | زاوية مرجعة |
| vertically opposite angles/ˈvɜːtɪkli ˈɒpəzɪt ˈæŋɡlz/ | زوايا متقابلتان بالرأس |
| corresponding angles/ˌkɒrɪˈspɒndɪŋ ˈæŋɡlz/ | زوايا نظيرة |
| alternate angles/ɔːlˈtɜːnət ˈæŋɡlz/ | زوايا متبادلة |
| co-interior angles/kəʊ ɪnˈtɪərɪə ˈæŋɡlz/ | زوايا داخلية متجاورة |
| supplementary/ˌsʌplɪˈmentəri/ | متتامتان |
4.1
المثلثات
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 استخدم وفسر المصطلحات الهندسية التالية: • نقطة • رأس • خط • توازٍ • تعامد • اتجاه • زاوية قائمة • زوايا حادة ومنفرجة وممتدة • زوايا داخلية وخارجية • تشابه • تطابق • معامل مقياس. | لا يُتوقع من المرشحين إثبات تطابق شكلين. |
| 2 استخدم وفسر مفردات: • المثلثات • الأشكال الرباعية الخاصة • المضلعات • الشبكات • الأجسام البسيطة. | يتضمن المصطلحات التالية: المثلثات: • متساوي الأضلاع • متساوي الساقين • مختلف الأضلاع • قائم الزاوية. الأشكال الرباعية: • مربع • مستطيل • طائر • معين • متوازي الأضلاع • شبه منحرف. المضلعات: • مضلعات منتظمة وغير منتظمة • خماسي • سداسي • ثماني • عشاري. |
| الأجسام البسيطة: • مكعب • متوازي مستطيلات • منشور • أسطوانة • هرم • مخروط • كرة (لا يُشترط استخدام مصطلح 'نصف كرة') • وجه • سطح • حافة. | |
| 3 استخدم وفسر مفردات الدائرة. | يتضمن المصطلحات التالية: • مركز • نصف قطر (جمع: أنصاف أقطار) • قطر • محيط • نصف دائرة • وتر • مماس • قوس • قطاع • جزء دائري. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 استخدام وتفسير المصطلحات الهندسية التالية: • نقطة • رأس • خط • مستوى • متوازي • عمودي • منصف عمودي • اتجاه (حامل) • زاوية قائمة • زوايا حادة ومنفرجة ومرتدة • زوايا داخلية وخارجية • متشابه • متطابق • معامل مقياس. | لا يُتوقع من المرشحين إثبات تطابق شكلين. |
| 2 استخدام وتفسير مفردات: • مثلثات • رباعيات الأضلاع الخاصة • مضلعات • شبكات • أجسام صلبة. | يشمل المصطلحات التالية. المثلثات: • متساوي الأضلاع • متساوي الساقين • مختلف الأضلاع • قائم الزاوية. الرباعيات: • مربع • مستطيل • طير • متوازي الأضلاع • متوازي الأضلاع • شبه منحرف. |
| المضلعات: • مضلعات منتظمة وغير منتظمة • خماسي • سداسي • ثماني • عشاري. الأجسام الصلبة: • مكعب • متوازي مستطيلات • منشور • أسطوانة • هرم • مخروط • كرة • نصف كرة • قاطع مخروطي • وجه • سطح • ضلع. | |
| 3 استخدام وتفسير مفردات الدائرة. | يشمل المصطلحات التالية: • مركز • نصف قطر (جمع: أنصاف أقطار) • قطر • محيط • نصف دائرة • وتر • مماس • قوس كبير وقوس صغير • قطاع • قطعة دائرية. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
المثلث له ثلاثة أضلاع وزوايا مجموعها $180^{\circ}$.
| النوع | الخاصية |
|---|---|
| متساوي الأضلاع | جميع الأضلاع متساوية، جميع الزوايا $60^{\circ}$ |
| متساوي الساقين | ضلعان متساويان، زاويتان متساويتان |
| متباين الأضلاع | جميع الأضلاع والزوايا مختلفة |
| ذو زاوية قائمة | يحتوي على زاوية قائمة واحدة |
مثال محلول. مثلث له زوايا $x$، $2x$ و$90^{\circ}$. أوجد $x$.
$$x + 2x + 90 = 180 \;\Rightarrow\; 3x = 90 \;\Rightarrow\; x = 30^{\circ}.$$
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | مثلث |
| equilateral/ˌiːkwɪˈlætərəl/ | متساوي الأضلاع |
| isosceles/aɪˈsɒsəliːz/ | متساوي الساقين |
| scalene/ˈskeɪliːn/ | مختلف الأضلاع |
| quadrilateral/ˌkwɒdrɪˈlætərəl/ | رباعي الأضلاع |
4.1
الرباعيات
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 استخدم وفسر المصطلحات الهندسية التالية: • نقطة • رأس • خط • توازٍ • تعامد • اتجاه • زاوية قائمة • زوايا حادة ومنفرجة وممتدة • زوايا داخلية وخارجية • تشابه • تطابق • معامل مقياس. | لا يُتوقع من المرشحين إثبات تطابق شكلين. |
| 2 استخدم وفسر مفردات: • المثلثات • الأشكال الرباعية الخاصة • المضلعات • الشبكات • الأجسام البسيطة. | يتضمن المصطلحات التالية: المثلثات: • متساوي الأضلاع • متساوي الساقين • مختلف الأضلاع • قائم الزاوية. الأشكال الرباعية: • مربع • مستطيل • طائر • معين • متوازي الأضلاع • شبه منحرف. المضلعات: • مضلعات منتظمة وغير منتظمة • خماسي • سداسي • ثماني • عشاري. |
| الأجسام البسيطة: • مكعب • متوازي مستطيلات • منشور • أسطوانة • هرم • مخروط • كرة (لا يُشترط استخدام مصطلح 'نصف كرة') • وجه • سطح • حافة. | |
| 3 استخدم وفسر مفردات الدائرة. | يتضمن المصطلحات التالية: • مركز • نصف قطر (جمع: أنصاف أقطار) • قطر • محيط • نصف دائرة • وتر • مماس • قوس • قطاع • جزء دائري. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 استخدام وتفسير المصطلحات الهندسية التالية: • نقطة • رأس • خط • مستوى • متوازي • عمودي • منصف عمودي • اتجاه (حامل) • زاوية قائمة • زوايا حادة ومنفرجة ومرتدة • زوايا داخلية وخارجية • متشابه • متطابق • معامل مقياس. | لا يُتوقع من المرشحين إثبات تطابق شكلين. |
| 2 استخدام وتفسير مفردات: • مثلثات • رباعيات الأضلاع الخاصة • مضلعات • شبكات • أجسام صلبة. | يشمل المصطلحات التالية. المثلثات: • متساوي الأضلاع • متساوي الساقين • مختلف الأضلاع • قائم الزاوية. الرباعيات: • مربع • مستطيل • طير • متوازي الأضلاع • متوازي الأضلاع • شبه منحرف. |
| المضلعات: • مضلعات منتظمة وغير منتظمة • خماسي • سداسي • ثماني • عشاري. الأجسام الصلبة: • مكعب • متوازي مستطيلات • منشور • أسطوانة • هرم • مخروط • كرة • نصف كرة • قاطع مخروطي • وجه • سطح • ضلع. | |
| 3 استخدام وتفسير مفردات الدائرة. | يشمل المصطلحات التالية: • مركز • نصف قطر (جمع: أنصاف أقطار) • قطر • محيط • نصف دائرة • وتر • مماس • قوس كبير وقوس صغير • قطاع • قطعة دائرية. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
الـرباعي له أربعة أضلاع وزوايا مجموعها $360^{\circ}$.
| الشكل | الخاصية |
|---|---|
| المربع | أربعة أضلاع متساوية، أربع زوايا قائمة |
| المستطيل | أضلاع متقابلة متساوية، أربع زوايا قائمة |
| متوازي الأضلاع | أضلاع متقابلة متوازية ومتساوية |
| المنشور (الزهرية) | أربعة أضلاع متساوية، أضلاع متقابلة متوازية |
| الدرع (الكيت) | زوجان من الأضلاع المتساوية مجاوران لبعضهما |
| الشكل شبه المنحرف | زوج واحد من الأضلاع المتوازية |
4.6
المضلعات
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 احسب الزوايا المجهولة وقدم的解释ات بسيطة باستخدام الخصائص الهندسية التالية: • مجموع الزوايا حول نقطة = 360° • مجموع الزوايا حول نقطة على خط مستقيم = 180° • الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية • مجموع زوايا المثلث = 180° ومجموع زوايا الشكل الرباعي = 360°. | يُشترط معرفة التدوين ثلاثي الحروف للزوايا، مثل الزاوية $ABC$. يُتوقع من المرشحين استخدام المصطلحات الهندسية الصحيحة عند تقديم الأسباب للإجابات. |
| 2 احسب الزوايا المجهولة وقدم的解释ات هندسية للزوايا المتشكلة داخل خطوط متوازية: • الزوايا المتناظرة متساوية • الزوايا المتبادلة متساوية • مجموع الزوايا الداخلية المتقابلة = 180° (متكاملتان). | |
| 3 اعرف واستخدم خصائص زوايا المضلعات المنتظمة. | يشمل الزوايا الخارجية والداخلية ومجموع الزوايا. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 احسب الزوايا المجهولةقدم تفسيرات بسيطة باستخدام الخصائص الهندسية التالية: • مجموع الزوايا حول نقطة = 360° • مجموع الزوايا حول نقطة على خط مستقيم = 180° • زوايا متقابلة بالرأس متساوية • مجموع زوايا المثلث = 180° ومجموع زوايا الرباعي = 360°. | مطلوب معرفة 3-حرفي لرمز الزوايا، مثل زاوية $ABC$. من المتوقع من المرشحين استخدام المصطلحات الهندسية الصحيحة عند تقديم أسباب للإجابات. |
| 2 احسب الزوايا المجهولة وقدم的解释ات هندسية للزوايا المتشكلة داخل خطوط متوازية: • الزوايا المتناظرة متساوية • الزوايا المتبادلة متساوية • مجموع الزوايا الداخلية المتقابلة = 180° (متكاملتان). | |
| 3 معرفة واستخدام خصائص الزوايا للمضلعات المنتظمة وغير المنتظمة. | يشمل الزوايا الداخلية والخارجية ومجموع الزوايا. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
الـمضلع هو شكل له أضلاع مستقيمة. الـمضلع المنتظم له جميع الأضلاع والزوايا متساوية.
| عدد الأضلاع | الاسم |
|---|---|
| 5 | خماسي الأضلاع |
| 6 | سداسي الأضلاع |
| 8 | ثماني الأضلاع |
| 10 | عشرية الأضلاع |
لشبه مضلع له $n$ أضلاع:
$$\text{sum of interior angles} = (n - 2) \times 180^{\circ}, \qquad \text{sum of exterior angles} = 360^{\circ}.$$
يُجمَع الزاوية الداخلية والزاوية الخارجية عند كل زاوية من زواياه لتساوي $180^{\circ}$.
مثال محلول. أوجد كل زاوية داخلية لمضلع منتظم سداسي.
الزاوية الخارجية هي $\dfrac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$، لذا فإن كل زاوية داخلية تساوي $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| polygon/ˈpɒlɪɡən/ | ضلع |
| regular polygon/ˈreɡjʊlə ˈpɒlɪɡən/ | ضلع منتظم |
| pentagon/ˈpentæɡən/ | خماسي الأضلاع |
| hexagon/ˈheksæɡən/ | سداسي |
| octagon/ˈɒktæɡən/ | ثماني الأضلاع |
| decagon/dɪˈkæɡən/ | عشري الأضلاع |
| interior angle/ɪnˈtɪərɪə ˈæŋɡl/ | زاوية داخلية |
| exterior angle/ekˈstɪərɪə ˈæŋɡl/ | زاوية خارجية |
| line symmetry/laɪn ˈsɪmətri/ | التماثل الخطي |
| rotational symmetry/rəʊˈteɪʃənl ˈsɪmətri/ | التناظر الدوراني |
| plane of symmetry/pleɪn ɒv ˈsɪmətri/ | مستوى التماثل |
| axis of symmetry/ˈæksɪs ɒv ˈsɪmətri/ | محور التماثل |
4.5
التماثل
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| اعرف التناظر الخطي وترتيب التناظر الدوراني في بعدين. | يتضمن خصائص المثلثات والأرباع المضلعات والمضلعات المرتبطة مباشرة بتناظراتها. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 التعرف على تماثل المحاور ودرجة التماثل الدوراني في بعدين. | يشمل خصائص المثلثات والرباعيات والمضلعات المتعلقة مباشرة بتماثلاتها. |
| 2 التعرف على خصائص التماثل للمنشورات والأسطوانات والأهرام والمخاريط. | مثال: تحديد مستويات ومحاور التماثل. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
- الشكل يمتلك تماثلًا خطيًا إذا قسمه خط مرآة إلى نصفين متطابقين.
- الشكل يمتلك تماثلًا دورانيًا إذا تطابق مع نفسه أثناء تدويره. والرتبة هي عدد مرات تطابقه في دورة كاملة واحدة.
بالنسبة للأجسام الصلبة (متقدمة)، الشريحة المسطحة التي تقسم الجسم إلى نصفي مرآة تُسمى مستوى تماثل، والخط الذي يمكن تدويره حوله يُسمى محور تماثل.
استكشف
التناظر كمرآة
الشكل له تناظر خطي إذا تركه الانعكاس كما هو. قم بالانعكاس ولاحظ ما يبقى ثابتاً.
4.1
الدوائر: الأجزاء
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 استخدم وفسر المصطلحات الهندسية التالية: • نقطة • رأس • خط • توازٍ • تعامد • اتجاه • زاوية قائمة • زوايا حادة ومنفرجة وممتدة • زوايا داخلية وخارجية • تشابه • تطابق • معامل مقياس. | لا يُتوقع من المرشحين إثبات تطابق شكلين. |
| 2 استخدم وفسر مفردات: • المثلثات • الأشكال الرباعية الخاصة • المضلعات • الشبكات • الأجسام البسيطة. | يتضمن المصطلحات التالية: المثلثات: • متساوي الأضلاع • متساوي الساقين • مختلف الأضلاع • قائم الزاوية. الأشكال الرباعية: • مربع • مستطيل • طائر • معين • متوازي الأضلاع • شبه منحرف. المضلعات: • مضلعات منتظمة وغير منتظمة • خماسي • سداسي • ثماني • عشاري. |
| الأجسام البسيطة: • مكعب • متوازي مستطيلات • منشور • أسطوانة • هرم • مخروط • كرة (لا يُشترط استخدام مصطلح 'نصف كرة') • وجه • سطح • حافة. | |
| 3 استخدم وفسر مفردات الدائرة. | يتضمن المصطلحات التالية: • مركز • نصف قطر (جمع: أنصاف أقطار) • قطر • محيط • نصف دائرة • وتر • مماس • قوس • قطاع • جزء دائري. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 استخدام وتفسير المصطلحات الهندسية التالية: • نقطة • رأس • خط • مستوى • متوازي • عمودي • منصف عمودي • اتجاه (حامل) • زاوية قائمة • زوايا حادة ومنفرجة ومرتدة • زوايا داخلية وخارجية • متشابه • متطابق • معامل مقياس. | لا يُتوقع من المرشحين إثبات تطابق شكلين. |
| 2 استخدام وتفسير مفردات: • مثلثات • رباعيات الأضلاع الخاصة • مضلعات • شبكات • أجسام صلبة. | يشمل المصطلحات التالية. المثلثات: • متساوي الأضلاع • متساوي الساقين • مختلف الأضلاع • قائم الزاوية. الرباعيات: • مربع • مستطيل • طير • متوازي الأضلاع • متوازي الأضلاع • شبه منحرف. |
| المضلعات: • مضلعات منتظمة وغير منتظمة • خماسي • سداسي • ثماني • عشاري. الأجسام الصلبة: • مكعب • متوازي مستطيلات • منشور • أسطوانة • هرم • مخروط • كرة • نصف كرة • قاطع مخروطي • وجه • سطح • ضلع. | |
| 3 استخدام وتفسير مفردات الدائرة. | يشمل المصطلحات التالية: • مركز • نصف قطر (جمع: أنصاف أقطار) • قطر • محيط • نصف دائرة • وتر • مماس • قوس كبير وقوس صغير • قطاع • قطعة دائرية. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
| المصطلح | المعنى |
|---|---|
| دائرة | جميع النقاط على مسافة متساوية من مركز |
| مركز | النقطة الوسطى |
| نصف قطر | من المركز إلى الحافة (جمع أقطار) |
| قطر | مستقيم عبر المركز بالكامل ($= 2 \times$ ضعف نصف القطر) |
| محيط | المسافة حول الدائرة بالكامل |
| وتر | خط مستقيم يربط نقطتين على الدائرة |
| arc | جزء من المحيط |
| sector | شكل "شريحة بيتزا" محصور بين نصفي قطر |
| segment | المنطقة المحصورة بين وتر ودائرة |
| semicircle | نصف دائرة |
| tangent | مستقيم يلمس الدائرة عند نقطة واحدة فقط |
استكشف
القوس والقطاع
اسحب الزاوية ونصف القطر لرؤية القوس (جزء من المحيط) والقطاع (شكل قطعة الكعكة) الذي يقطعانه.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | دائرة |
| arc/ɑːk/ | قوس |
| sector/ˈsektə/ | القطاع |
| segment/ˈseɡmənt/ | شريحة |
| semicircle/ˈsemɪsɜːkl/ | نصف دائرة |
| tangent/ˈtændʒənt/ | القطري |
| cyclic quadrilateral/ˈsaɪklɪk ˌkwɒdrɪˈlætərəl/ | رباعي دائري |
| alternate segment theorem/ɔːlˈtɜːnət ˈseɡmənt ˈθɪərəm/ | نظرية القطعة البديلة |
4.7 4.8
نظريات الدائرة
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| احسب الزوايا المجهولة وقدم的解释ات باستخدام الخصائص الهندسية التالية للدوائر: • الزاوية في نصف الدائرة = 90° • الزاوية بين المماس ونصف القطر = 90°. | سيُتوقع من المرشحين استخدام الخصائص الهندسية المذكورة في المنهج عند تقديم أسباب الإجابات. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| حساب الزوايا المجهولة وتقديم تفسيرات باستخدام الخصائص الهندسية التالية للدوائر: • الزاوية في نصف الدائرة = 90° • الزاوية بين المماس ونصف القطر = 90° • الزاوية عند المركز ضعف الزاوية عند المحيط • الزوايا في نفس المقطع متساوية • مجموع الزوايا المتقابلة في الرباعي الدائري يساوي 180° (متكاملتان) • نظرية المقطع البديل. | يتوقع من المرشحين استخدام الخصائص الهندسية المدرجة في المنهج عند تقديم أسباب للإجابات. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| استخدام خصائص التماثل التالية للدوائر: • الأوتار المتساوية تبعد مسافات متساوية عن المركز • منصف العمودي للوتر يمر بالمركز • المماسات من نقطة خارجية متساوية الطول. | يتوقع من المرشحين استخدام الخصائص الهندسية المدرجة في المنهج عند تقديم أسباب للإجابات. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
استخدم هذه لإيجاد الزوايا المجهولة، مع ذكر السبب دائماً.
لكلا المستويين:
- الزاوية في نصف الدائرة هي $90^{\circ}$.
- الزاوية بين المماس ونصف القطر هي $90^{\circ}$.
ممتد (النظريات I):
- الزاوية عند المركز تساضع الزاوية عند الحافة (على نفس القوس).
- الزوايا في نفس القطعة المستديرة متساوية.
- زوايا رباعي دائري متقابل مجموعها $180^{\circ}$.
- نظرية القطعة البديلة: الزاوية بين المماس والوتر تساوي الزاوية في القطعة المستديرة الأخرى.
ممتد (النظريات II): الأوتار المتساوية تبعد مسافة متساوية عن المركز؛ المنصف العمودي للوتر يمر بالمركز؛ المماسان اللذان ينطلقان من نفس النقطة الخارجية لهما طول متساوٍ.
مثال محلول. A و B و C تقع على دائرة. الزاوية عند الحافة $ABC$ هي $40^{\circ}$. أوجد الزاوية $AOC$ عند المركز $O$.
الزاوية عند المركز تساضع الزاوية عند الحافة: $2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| centre/ˈsentə/ | المركز |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | نصف القطر |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | القطر |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | محيط الدائرة |
| chord/kɔːd/ | وتر |
4.4
الأشكال المتشابهة
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| احسب أطوال الأشكال المتشابهة. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 حساب أطوال الأشكال المتشابهة. | |
| 2 استخدام العلاقات بين الأطوال والمساحات للأشكال المتشابهة والأطوال ومساحات الأسطح والحجوم للأجسام الصلبة المتشابهة. | يشمل استخدام معامل المقياس، مثال: $$\frac{\text{Volume of } A}{\text{Volume of } B} = \frac{(\text{Length of } A)^3}{(\text{Length of } B)^3}$$ |
| 3 حل المسائل وتقديم تفسيرات بسيطة تتعلق بالتشابه. | يشمل إظهار تطابق مثلثين باستخدام أسباب هندسية. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
الشكلان متشابهان إذا كان أحدهما تكبيراً للآخر: زوايا متساوية، وأضلاع مضروبة في نفس معامل التحويل $k$. (الأشكال التي تتطابق تماماً في الحجم والشكل تسمى متطابقة.)
بالنسبة للأشكال والأجسام المتشابهة:
$$\frac{\text{area of } A}{\text{area of } B} = k^{2}, \qquad \frac{\text{volume of } A}{\text{volume of } B} = k^{3}.$$
مثال محلول. جسمان متشابهان أطوالهما في النسبة $2 : 3$. الأصغر حجمه $40\text{ cm}^{3}$. أوجد حجم الأكبر.
نسبة الأحجام هي $2^{3} : 3^{3} = 8 : 27$. إذن الحجم الأكبر هو $40 \times \dfrac{27}{8} = 135\text{ cm}^{3}$.
استكشف
الأشكال المشابهة — التكبير
الأشكال المشابهة لها نفس الشكل ولكن بحجم مختلف. التكبير يضرب كل طول في نفس العامل؛ وتبقى الزوايا كما هي.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| similar/ˈsɪmɪlə/ | متشابه |
| scale factor/skeɪl ˈfæktə/ | عامل القياس |
| congruent/ˈkɒŋɡruːənt/ | متطابقة |
4.6
الاتجاهات الجغرافية
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 احسب الزوايا المجهولة وقدم的解释ات بسيطة باستخدام الخصائص الهندسية التالية: • مجموع الزوايا حول نقطة = 360° • مجموع الزوايا حول نقطة على خط مستقيم = 180° • الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية • مجموع زوايا المثلث = 180° ومجموع زوايا الشكل الرباعي = 360°. | يُشترط معرفة التدوين ثلاثي الحروف للزوايا، مثل الزاوية $ABC$. يُتوقع من المرشحين استخدام المصطلحات الهندسية الصحيحة عند تقديم الأسباب للإجابات. |
| 2 احسب الزوايا المجهولة وقدم的解释ات هندسية للزوايا المتشكلة داخل خطوط متوازية: • الزوايا المتناظرة متساوية • الزوايا المتبادلة متساوية • مجموع الزوايا الداخلية المتقابلة = 180° (متكاملتان). | |
| 3 اعرف واستخدم خصائص زوايا المضلعات المنتظمة. | يشمل الزوايا الخارجية والداخلية ومجموع الزوايا. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 احسب الزوايا المجهولةقدم تفسيرات بسيطة باستخدام الخصائص الهندسية التالية: • مجموع الزوايا حول نقطة = 360° • مجموع الزوايا حول نقطة على خط مستقيم = 180° • زوايا متقابلة بالرأس متساوية • مجموع زوايا المثلث = 180° ومجموع زوايا الرباعي = 360°. | مطلوب معرفة 3-حرفي لرمز الزوايا، مثل زاوية $ABC$. من المتوقع من المرشحين استخدام المصطلحات الهندسية الصحيحة عند تقديم أسباب للإجابات. |
| 2 احسب الزوايا المجهولة وقدم的解释ات هندسية للزوايا المتشكلة داخل خطوط متوازية: • الزوايا المتناظرة متساوية • الزوايا المتبادلة متساوية • مجموع الزوايا الداخلية المتقابلة = 180° (متكاملتان). | |
| 3 معرفة واستخدام خصائص الزوايا للمضلعات المنتظمة وغير المنتظمة. | يشمل الزوايا الداخلية والخارجية ومجموع الزوايا. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
الاتجاه الجغرافي يعطي اتجاهاً كزاوية ثلاثية الأرقام، تُقاس باتجاه عقارب الساعة من الشمال، من $000^{\circ}$ إلى $360^{\circ}$. لذا فإن الشرق المباشر هو $090^{\circ}$ والجنوب المباشر هو $180^{\circ}$.
مثال محلول. الاتجاه الجغرافي لـ $B$ من $A$ هو $025^{\circ}$. أوجد الاتجاه الجغرافي لـ $A$ من $B$.
الاتجاه العكسي (الرجعي) يختلف بمقدار $180^{\circ}$: $025^{\circ} + 180^{\circ} = 205^{\circ}$.
استكشف
مسار الاتجاهات الجغرافية
تابع كيفية قياس الاتجاه الجغرافي بشكل صحيح من الشمال.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| bearing/ˈbeərɪŋ/ | اتجاه (الcompass bearing) |
| clockwise/ˈklɒkwaɪz/ | مع عقارب الساعة |
| construct/ˈkɒnstrʌkt/ | ابنِ / صمّم هندسياً |
| compasses/ˈkʌmpəsɪz/ | فرجار |
4.2 4.3
الإنشاءات والمخططات والأجسام الصلبة
المنهج
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 قِس وارسم خطوطاً وزوايا. | يجب استخدام المسطرة لجميع الحواف المستقيمة. لا يُشترط بناء عمود مناصف ومناصفات زوايا. |
| 2 بِن مثلثاً بمعلومية أطوال أضلاعه جميعاً باستخدام المسطرة والمفتاحة فقط. | مثل: بِن معيناً برسم مثلثين. يجب إظهار أقواس البناء. |
| 3 ارسم واستخدم وفسر الشبكات. | أمثلة شاملة: • رسم شبكات المكعبات ومتوازيات المستطيلات والمنشورات والأهرامات • استخدام قياسات من الشبكات لحساب الأحجام والمساحات السطحية. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 ارسم وفسر الرسومات المقياسية. | يجب استخدام المسطرة لجميع الحواف المستقيمة. |
| 2 استخدم وفسر الاتجاهات الثلاثية الأرقام. | تُقاس الاتجاهات في اتجاه عقارب الساعة من الشمال (من 000° إلى 360°). مثل: أوجد الاتجاه من B إلى A إذا كان الاتجاه من A إلى B هو 025°. |
| يشمل فهم المصطلحات شمال وشرق وجنوب وغرب. مثل: النقطة D تقع شرقاً مباشرة للنقطة C. |
| محتوى المادة | ملاحظات وأمثلة |
|---|---|
| 1 ارسم وفسر الرسومات المقياسية. | يجب استخدام المسطرة لجميع الحواف المستقيمة. |
| 2 استخدام وتفسير الاتجاهات ثلاثية الأرقام. | تُقاس الاتجاهات في اتجاه عقارب الساعة من الشمال ($000^{\circ}$ إلى $360^{\circ}$). مثال: أوجد الاتجاه من $A$ إلى $B$ إذا كان الاتجاه من $B$ إلى $A$ هو $025^{\circ}$. يشمل فهم المصطلحات شمال، شرق، جنوب وغرب. مثال: النقطة $D$ تقع تماماً شرق النقطة $C$. |
المصدر: منهج كامبريدج الدولي
- لـ إنشاء مثلث من ثلاثة أضلاع معطاة، ارسم القاعدة بالمسطرة، ثم استخدم زوجاً من الفراغات لتحديد الضلع الآخر بقوس. اترك أقواس الإنشاء ظاهرة.
- المخطط هو شكل مسطح يُطوى ليصبح جسماً صلباً. يمكنك استخدام المخطط لحساب المساحات السطحية.
- الرسم المقياسي يظهر جسماً حقيقياً أصغر (أو أكبر) بمقياس ثابت، مثل $1\text{ cm}$ إلى $5\text{ m}$.
الأجسام الصلبة الشائعة وأجزاؤها:
| جسم صلب | ملاحظة |
|---|---|
| مكعب / صندوق | أشكال صندوقية |
| هرم قاعده مستقيم | نفس الشكل على طول طوله |
| أسطوانة | هرم قاعده مستقيم دائري |
| هرم / مخروط | تنتهي بنقطة |
| كرة / نصف كرة | كرة / نصف كرة |
| قطع مخروطي | مخروط أو هرم تم قطع قمته |
الوجه المسطح للجسم الصلب هو وجه، والتقاء وجهين يكون حافة، والسطح الخارجي كله هو سطحه.
استكشف
إنشاء والجسم الصلب المعمل
صنّف مهام الهندسة حسب الأداة أو التمثيل المطلوب.
مفردات
تدريب
| English | العربية |
|---|---|
| square/skweə/ | مربعه |
| rectangle/ˈrektæŋɡl/ | مستطيل |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | متوازي الأضلاع |
| rhombus/ˈrɒmbəs/ | معين |
| kite/kaɪt/ | لاذية |
| trapezium/trəˈpiːzɪəm/ | شبه منحرف |
| net/net/ | صافي |
| scale drawing/skeɪl ˈdrɔːɪŋ/ | رسم مقياس |
| solids/ˈsɒlɪdz/ | المواد الصلبة |
| cube/kjuːb/ | مكعب |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | متوازي المستطيلات |
| prism/ˈprɪzəm/ | هرم مستقيم |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | أسطوانة |
| pyramid/ˈpɪrəmɪd/ | هرم |
| cone/kəʊn/ | مخروط |
| sphere/sfɪə/ | كرة |
| hemisphere/ˈhemɪsfɪə/ | كرة نصفية |
| frustum/ˈfrʌstəm/ | قطع مخروطي |
| face/feɪs/ | وجه |
| edge/edʒ/ | حافة |
| surface/ˈsɜːfɪs/ | سطحية |
4.2 4.3
نصائح للامتحان
- الزوايا على خط مستقيم مجموعها $180°$، وحول نقطة $360°$، وفي المثلث $180°$. قدّم سبباً لكل خطوة في مسألة زاوية.
- احفظ نظريات الدائرة: الزاوية عند المركز ضعف الزاوية عند الحافة؛ الزاوية في نصف الدائرة هي $90°$؛ الزوايا في نفس القطعة المستديرة متساوية؛ زوايا الرباعي الدائري المتقابل مجموعها $180°$.
- زوايا الضلع الخارجي لأي مضلع مجموعها $360°$، وكل زاوية داخلية + زاوية ضلع خارجية = $180°$.
- الاتجاهات الجغرافية تقاس باتجاه عقارب الساعة من الشمال وتُكتب دائماً بأرقام ثلاثة (مثل $072°$).
دروس تفاعلية حول هذا الموضوع
ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.