تطبيقات التكامل

AP التفاضل والتكامل BC · الموضوع 8

عرض الشرائح تدريب

درس فيديو لهذا الموضوع افتح صفحة الفيديو

8.1

إيجاد القيمة المتوسطة لدالة على فترة

المنهج

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.B: تحديد القيمة المتوسطة لدالة باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-4.B.1 القيمة المتوسطة للدالة المتصلة $f$ على الفترة $[a, b]$ هي $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

القيمة المتوسطة لـ $f$ فوق $[a,b]$ هي التكامل مقسوماً على العرض:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

إنها الارتفاع الثابت الذي يجب أن يمتلكه مستطيل ليكون له نفس مساحة المنطقة تحت $f$. لا تخلط بين هذا والمتوسط معدل التغير (والذي يستخدم المشتقة).

مثال محلول. القيمة المتوسطة لـ $f(x)=x^2$ على $[0,3]$ هي $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

استكشف

القيمة المتوسطة لدالة ما

y = ax³ + bx² + cx + d

القيمة المتوسطة لـ $f$ على $[a,b]$ هي تكاملها مقسوماً على العرض — الارتفاع الثابت الذي له مستطيل بنفس المساحة تحت المنحنى.

8.2

ربط الموضع، السرعة، والتسارع باستخدام التكاملات

المنهج

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.C: تحديد قيم الموضع ومعدلات التغير باستخدام التكامل المحدود في المسائل المتعلقة بالحركة المستقيمة.

CHA-4.C.1 بالنسبة لجسيم في حركة مستقيمة على مدى فترة زمنية، يمثل التكامل المحدود للسرعة إزاحة الجسيم خلال تلك الفترة الزمنية، ويمثل التكامل المحدود للسرعة الكلية المسافة الإجمالية التي قطعها الجسيم خلال فترة زمنية.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

للحركة في خط مستقيم، يعكس التكامل الاشتقاق:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

تميزان رئيسيان: الإزاحة هي $\int_a^b v\,dt$ (التغير الصافي في الموضع)، بينما المسافة الكلية هي $\int_a^b |v|\,dt$ (تقسيم حيث $v$ يغير إشارته). السرعة هي $|v|$.

8.3

استخدام دوال التراكم والتكاملات المحددة في سياقات تطبيقية

المنهج

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.D: تفسير معنى التكامل المحدود في مسائل التراكم.

CHA-4.D.1 الدالة المعرفة كتكامل تمثل تراكمًا لمعدل تغير.
CHA-4.D.2 يعطي التكامل المحدود لمعدل تغير كمية ما خلال فترة زمنية التغير الصافي لتلك الكمية خلال تلك الفترة.

هدف التعلم CHA-4.E: تحديد التغير الصافي باستخدام التكاملات المحدودة في السياقات التطبيقية.

CHA-4.E.1 يمكن استخدام التكامل المحدود للتعبير عن معلومات حول التراكم والتغير الصافي في العديد من السياقات التطبيقية.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

عندما يتم إعطاء معدل (معدل التدفق، المبيعات اليومية)، يعطي التكامل المحدد المجموع التراكمي، وتحمل $\int_a^b R(t)\,dt$ وحدات $R$ مضروبة في الوقت. إعداد شائع: الكمية الأولية $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ تعطي الكمية في وقت لاحق. always interpret the answer in context, with units. Always interpret the answer في السياق، مع الوحدات.

8.4

إيجاد المساحة بين منحنيات معبرة بدوال x

المنهج

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.A: حساب المساحات في المستوى باستخدام التكامل المحدود.

CHA-5.A.1 يمكن حساب مساحات المناطق في المستوى باستخدام التكاملات المحدودة.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

صانع الفخار يشكل وعاء: أحجام الدوران تدور منطقة مستوية حول محور

المساحة بين $y=f(x)$ (الأعلى) و$y=g(x)$ (الأسفل) من $a$ إلى $b$ هي

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

أوجد نقاط التقاطع للحدود، وطرح دائماً الأعلى ناقص الأسفل.

المساحة بين منحنيين هي تكامل الأعلى ناقص الأسفل

مثال محلول. بين $y=x$ و$y=x^2$ (يتقاطعان عند $x=0,1$، مع $y=x$ في الأعلى)، المساحة هي $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

8.5

إيجاد المساحة بين منحنيات معربة بدوال y

المنهج

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.A: حساب المساحات في المستوى باستخدام التكامل المحدود.

CHA-5.A.2 يمكن حساب مساحات المناطق في المستوى باستخدام دوال إما $x$ أو $y$.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

عندما تكون المنحنيات أسهل في الوصف كـ $x=f(y)$، قم بالتكامل بالنسبة لـ $y$ بدلاً من ذلك، باستخدام اليمين ناقص اليسار:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

اختيار التكامل بالنسبة لـ $y$ قد يتجنب تقسيم المنطقة إلى عدة أجزاء.

8.6

إيجاد المساحة بين منحنيات تتقاطع أكثر من مرتين

المنهج

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.A: حساب المساحات في المستوى باستخدام التكامل المحدود.

CHA-5.A.3 قد تُحسب مساحات بعض المناطق في المستوى باستخدام مجموع تكاملين محددين أو أكثر، أو عن طريق تقييم تكامل محدد لقيمة مطلقة الفرق بين دالتين.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

إذا تضافرت منحنيان، فإن الأعلى والأسفل يتبدلان. قسم المنطقة عند كل نقطة تقاطع وأعد تكامل كل جزء مع الأعلى ناقص الأسفل الصحيح (أو استخدم $\int|f-g|$)، ثم اجمع الأجزاء.

8.7

الحجوم بأقسام عرضية: مربعات ومستطيلات

المنهج

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.B: حساب حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المعلومة باستخدام التكاملات المحدودة.

CHA-5.B.1 يمكن إيجاد حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المربعة والمستطيلة باستخدام التكاملات المحدودة وقوانين مساحة هذه الأشكال.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

إذا كانت المقاطع العرضية لجسم ما عمودية على محور $x$ مربعات أو مستطيلات، فأعد تكامل مساحتها. مع طول ضلع يساوي المسافة بين منحنيين، يعطي المقطع العرضي المربع

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

الطريقة دائماً "إعادة تكامل مساحة المقطع العرضي".

8.8

الحجوم مع المقاطع العرضية: المثلثات والأقواس النصفية

المنهج

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.B: حساب حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المعلومة باستخدام التكاملات المحدودة.

CHA-5.B.2 يمكن إيجاد حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المثلثة باستخدام التكاملات المحددة وقوانين مساحة هذه الأشكال.
CHA-5.B.3 يمكن إيجاد حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية الدائرية النصفية والأشكال الهندسية الأخرى المعرّفة باستخدام التكاملات المحدودة وقوانين مساحة هذه الأشكال.
- أمثلة توضيحية لـ CHA-5.B3:
  - يمكن إيجاد حجم قمع تكون مقاطعه العرضية دوائر باستخدام صيغة مساحة الدائرة والتكاملات المحدودة (انظر 2016 امتحان AB FRQ #5(b)).
  - يمكن إيجاد حجم جسم صلب تكون مساحته المقطعية معرفة بدالة باستخدام دالة المساحة المعروفة والتكامل المحدود (انظر 2009 امتحان AB FRQ #4(c)).

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

نفس الفكرة، صيغة مساحة مختلفة: للمقاطع العرضية المثلثية المتساوية الأضلاع استخدم $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$، وللمقطع الدائري النصف دائري $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (حيث $s$ هي المسافة بين المنحنيين). عوض بصيغة المساحة وأعد التكامل.

8.9

الحجم بطريقة الأقراص: دوران حول محور x أو y

المنهج

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.1 يمكن إيجاد حجوم أجسام الدوران حول محور $x$ أو محور $y$ باستخدام التكاملات المحدودة بطريقة القرص.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

أجسام الدوران: طريقة الأقراص

دوران منطقة حول محور يجعل جسماً تتقاطع معه أقراص. طريقة الأقراص تدمج $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

حيث نصف القطر $R$ هو المسافة من المنحنى إلى المحور. استخدم $dy$ عند الدوران حول محور $y$.

طريقة الأقراص: دوران y=f(x) حول المحور ينشئ أقراصاً بنصف قطر f(x)

مثال محلول. دوران المنطقة تحت $y=\sqrt{x}$ من $0$ إلى $4$ حول محور $x$ يعطي أقراصاً بنصف قطر $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

دوران منطقة حول محور ينشئ جسماً للدوران

8.10

الحجم بطريقة الأقراص: دوران حول محاور أخرى

المنهج

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.2 يمكن إيجاد أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران حول أي خط أفقي أو عمودي في المستوى باستخدام التكاملات المحددة بطريقة الأقراص.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

عندما يكون محور الدوران خطاً أفقياً أو عمودياً مثل $y=k$ (وليس محوراً)، فإن نصف القطر يتكيف: $R=|f(x)-k|$. حدد نصف القطر كمسافة من المنحنى إلى ذلك الخط، ثم أعد تكامل $\pi R^2$ كما سبق.

8.11

الحجم بطريقة الحلقات: دوران حول محور x أو y

المنهج

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.3 يمكن إيجاد أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران حول محور $x$ أو $y$ ذات المقاطع العرضية على شكل حلقات باستخدام التكاملات المحددة بطريقة الحلقات.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

الحجم باستخدام طريقة الحلقات

إذا لم تلمس المنطقة المحور، فإن الدوران يترك ثقباً، لذا تكون المقاطع العرضية حلقات. طريقة الحلقات تطرح القرص الداخلي:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

حدد نصف القطر الخارجي والداخلي كمسافات من كل منحنى إلى المحور.

مفردات تدريب

English	العربية
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	القيمة المتوسطة
displacement/dɪˈspleɪsmənt/	إزاحة
total distance/ˈtəʊtl ˈdɪstəns/	المسافة الكلية
cross sections/krɒs ˈsekʃnz/	المقاطع العرضية
disc method/dɪsk ˈmeθəd/	طريقة القرص
washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/	طريقة الخاتم
arc length/ɑːk leŋθ/	طول القوس

8.12

الحجم بطريقة الحلقات: دوران حول محاور أخرى

المنهج

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.4 يمكن إيجاد أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران حول أي خط أفقي أو عمودي ذات المقاطع العرضية على شكل حلقات باستخدام التكاملات المحددة بطريقة الحلقات.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

كما في الأقراص، الدوران حول خط $y=k$ أو $x=k$ يزيح كلا نصفي القطر – يصبح كل منهما المسافة من منحناه إلى ذلك الخط. ارسم المنطقة والمحور، وعلّم $R_{\text{outer}}$ و$R_{\text{inner}}$، ثم أعد تكامل الفرق بين المربعات.

8.13

طول القوس لمنحنى أملس والمسافة المقطوعة

المنهج

الفهم الدائم (CHA-6): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتجميع التغير في الطول عبر فترة ما.

الهدف التعليمي CHA-6.A: تحديد طول منحنى في المستوى مُعرف بدالة، باستخدام تكامل محدد. BC فقط

CHA-6.A.1 يمكن حساب طول منحنى مستوٍ مُعرف بدالة باستخدام تكامل محدد. BC فقط

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

طول القوس لـ $y=f(x)$ من $a$ إلى $b$ هو

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

هذه الصيغة الخاصة بـ BC تأتي من جمع الأوتار الصغيرة $\sqrt{dx^2+dy^2}$. نفس الفكرة تعطي المسافة التي يقطعها جسيم على مسار منحني.

مثال محلول. أوجد طول القوس لـ $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ من $x=0$ إلى $x=3$. هنا $f'(x)=x^{1/2}$، لذا $1+(f')^2=1+x$ و

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

جسر Golden Gate وكابلاته الرئيسية sweeping — يعلق الكابل الرئيسي للجسر كمنحنى أملس؛ يعطي التكامل طوله الدقيق

8.13

نصائح للامتحان

المساحة بين المنحنيات هي $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — أوجد نقاط التقاطع للحدود واحفظ (الأعلى ناقص الأسفل).
لحجم الدوران، اجمع المقاطع العرضية للأقراص/الحلقات ذات المساحة $\pi r^2$ (أو $\pi(R^2-r^2)$).
القيمة المتوسطة لـ $f$ على $[a,b]$ هي $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
التغير المتراكم هو $\int$ لمعدل: المجموع = القيمة الابتدائية $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
التكامل يعني "جمع عدد لا نهائي من القطع الصغيرة" — ضع دالة التكامل كشريحة رقيقة واحدة.

دروس تفاعلية حول هذا الموضوع

ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.

أوراق الامتحانات السابقة

المزيد من المواضيع في AP التفاضل والتكامل BC