تطبيقات التكامل

AP التفاضل والتكامل AB · الموضوع 8

عرض الشرائح تدريب

درس فيديو لهذا الموضوع افتح صفحة الفيديو

8.1

القيمة المتوسطة للدالة

المنهج

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.B: تحديد القيمة المتوسطة لدالة باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-4.B.1 القيمة المتوسطة للدالة المتصلة $f$ على الفترة $[a, b]$ هي $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

القيمة المتوسطة لدالة متصلة $f$ على $[a,b]$ هي التكامل مقسومًا على طول الفترة:

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

إنها الارتفاع الثابت لمستطيل على $[a,b]$ له نفس المساحة تحت $f$. لا تخلط بينها وبين معدل التغير (الذي يقسم تغير $f$ على الفترة)، أو مع متوسط مجموع ريمان لعدد قليل من القيم – الامتحان يميز بين هذه بدقة. أدرج الوحدات في السياق (مثل معدل المتوسط "بسيارة لكل ساعة").

مثال محلول. القيمة المتوسطة لـ $f(x)=x^2$ على $[0,3]$ هي

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

استكشف

القيمة المتوسطة لدالة ما

y = ax³ + bx² + cx + d

القيمة المتوسطة لـ $f$ على $[a,b]$ هي تكاملها مقسوماً على العرض — الارتفاع الثابت الذي له مستطيل بنفس المساحة تحت المنحنى.

8.2

الموضع، السرعة، والتسارع باستخدام التكاملات

المنهج

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.C: تحديد قيم الموضع ومعدلات التغير باستخدام التكامل المحدود في المسائل المتعلقة بالحركة المستقيمة.

CHA-4.C.1 بالنسبة لجسيم في حركة مستقيمة على مدى فترة زمنية، يمثل التكامل المحدود للسرعة إزاحة الجسيم خلال تلك الفترة الزمنية، ويمثل التكامل المحدود للسرعة الكلية المسافة الإجمالية التي قطعها الجسيم خلال فترة زمنية.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

التكامل يعكس روابط الحركة في الوحدة 4. لجسيم يتحرك في خط مستقيم على $[t_1,t_2]$:

الإزاحة (التغير الصافي في الموضع) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
إجمالي المسافة المقطوعة $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – تكامل السرعة، حتى تتجمع اتجاهات التغير بدلاً من أن تلغي بعضها البعض.
الموضع عند وقت لاحق $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$؛ السرعة من التسارع $= v(t_1)+\int a$.

التمييز بين الإزاحة والمسافة (مع القيمة المطلقة) نقطة تقييم كلاسيكية.

8.3

دوال التراكم والتكاملات المحددة في السياقات التطبيقية

المنهج

الفهم الدائم (CHA-4): التكاملات المحددة تتيح لنا حل المسائل المتعلقة بتراكم التغير على فترة.

هدف التعلم CHA-4.D: تفسير معنى التكامل المحدود في مسائل التراكم.

CHA-4.D.1 الدالة المعرفة كتكامل تمثل تراكمًا لمعدل تغير.
CHA-4.D.2 يعطي التكامل المحدود لمعدل تغير كمية ما خلال فترة زمنية التغير الصافي لتلك الكمية خلال تلك الفترة.

هدف التعلم CHA-4.E: تحديد التغير الصافي باستخدام التكاملات المحدودة في السياقات التطبيقية.

CHA-4.E.1 يمكن استخدام التكامل المحدود للتعبير عن معلومات حول التراكم والتغير الصافي في العديد من السياقات التطبيقية.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

دالة تُعرف كتكامل تجمع معدل تغير. نظرية التغير الصافي هي الأداة اليومية: التكامل المحدد لمعدل على فترة يعطي التغير الصافي للكمية:

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

لذا "كم كمية الماء في الخزان عند $t=5$" = المبدأ + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$. انتبه للإشارات (ناقص خارج زائد داخل) والوحدات. العديد من أسئلة FRQ متعددة الأجزاء مبنية كليًا على هذه الفكرة – غالبًا ما تكون مقترنة بـ "اكتب، لكن لا تحسب، تعبير تكاملي يعطي الإجمالي...".

8.4

إيجاد المساحة بين المنحنيين (دوال x)

المنهج

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.A: حساب المساحات في المستوى باستخدام التكامل المحدود.

CHA-5.A.1 يمكن حساب مساحات المناطق في المستوى باستخدام التكاملات المحدودة.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

المساحة بين منحنيين $y=f(x)$ (الأعلى) و$y=g(x)$ (الأدنى) على $[a,b]$ هي:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

أوجد نقاط التقاطع أولاً لتحديد الحدود، واجمع دائمًا الأدنى من الأعلى.

مثال محلول. أوجد المساحة بين $y=x$ و$y=x^2$. يتقاطعان عند $x=0$ و$x=1$، وعلى $(0,1)$ الخط $y=x$ يقع في الأعلى، لذا

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

المساحة بين منحنيين هي تكامل الأعلى ناقص الأسفل — المنطقة المظللة تمتد من تقاطع واحد $a$ إلى التقاطع التالي $b$؛ مساحتها هي $\int_a^b(\text{top}-\text{bottom})\,dx$.

8.5

إيجاد المساحة بين المنحنيين (دوال y)

المنهج

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.A: حساب المساحات في المستوى باستخدام التكامل المحدود.

CHA-5.A.2 يمكن حساب مساحات المناطق في المستوى باستخدام دوال إما $x$ أو $y$.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

بعض المناطق أسهل في الوصف شرائح أفقية – تكامل بالنسبة لـ $y$:

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

اختر شرائح $x$- أو $y$- للحفاظ على زوج واحد من الأعلى/الأدنى (أو اليمين/اليسار) على كامل المنطقة.

8.6

المساحة بين المنحنيين مع أكثر من نقطتي تقاطع

المنهج

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.A: حساب المساحات في المستوى باستخدام التكامل المحدود.

CHA-5.A.3 قد تُحسب مساحات بعض المناطق في المستوى باستخدام مجموع تكاملين محددين أو أكثر، أو عن طريق تقييم تكامل محدد لقيمة مطلقة الفرق بين دالتين.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

إذا تقاطع المنحنيان أكثر من مرتين، تكون إحدى الدوال في الأعلى لجزء من المنطقة والأخرى في الأعلى في مكان آخر. قسّم إلى مجموع تكاملات عند كل تقاطع، أو تكامل القيمة المطلقة للفرق:

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

حدد أي منحنى أعلى على كل فترة فرعية قبل كتابة التكاملات.

8.7

الحجوم بأقسام عرضية: مربعات ومستطيلات

المنهج

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.B: حساب حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المعلومة باستخدام التكاملات المحدودة.

CHA-5.B.1 يمكن إيجاد حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المربعة والمستطيلة باستخدام التكاملات المحدودة وقوانين مساحة هذه الأشكال.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

فخّاز يشكّل وعاءً: أجسام الدوران هي أحجام تتشكل بتدوير منطقة مستوية — خياط يصنع وعاءً: أجسام الدوران هي حجوم تتشكل بتدوير منطقة مستوية

إذا كان لجسم ما قسم عرضي معروف عمودي على محور، فإن حجمه هو تكامل مساحة القسم العرضي:

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

للمقاطع العرضية المربعة التي يكون طول ضلعها مساوياً لارتفاع المنطقة $s(x)=f(x)-g(x)$، استخدم $A(x)=[s(x)]^2$؛ وللمستطيل الذي ارتفاعه $k\cdot s(x)$، استخدم $A(x)=k\,[s(x)]^2$. تعبير الامتحان "قاعدة جسم صلب... مقاطعه العرضية مربعات/مستطيلات" يشير إلى هذا بالضبط.

8.8

الحجوم مع المقاطع العرضية: المثلثات والأقواس النصفية

المنهج

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.B: حساب حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المعلومة باستخدام التكاملات المحدودة.

CHA-5.B.2 يمكن إيجاد حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المثلثة باستخدام التكاملات المحددة وقوانين مساحة هذه الأشكال.
CHA-5.B.3 يمكن إيجاد حجوم الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية الدائرية النصفية والأشكال الهندسية الأخرى المعرّفة باستخدام التكاملات المحدودة وقوانين مساحة هذه الأشكال.
- أمثلة توضيحية لـ CHA-5.B3:
  - يمكن إيجاد حجم قمع تكون مقاطعه العرضية دوائر باستخدام صيغة مساحة الدائرة والتكاملات المحدودة (انظر 2016 امتحان AB FRQ #5(b)).
  - يمكن إيجاد حجم جسم صلب تكون مساحته المقطعية معرفة بدالة باستخدام دالة المساحة المعروفة والتكامل المحدود (انظر 2009 امتحان AB FRQ #4(c)).

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

نفس الطريقة، صيغة مساحة مختلفة: للمثلث المتساوي الأضلاع ذو الضلع $s$، $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$؛ وللquarter دائرة (قوس نصفي) قطره $s$، $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. ضع الطول الأساسي للشكل مساوياً لطول شريحة المنطقة $s(x)$، ثم قم بالتكامل $A(x)$.

8.9

الحجم باستخدام طريقة الأقراص (حول محور x أو y)

المنهج

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.1 يمكن إيجاد حجوم أجسام الدوران حول محور $x$ أو محور $y$ باستخدام التكاملات المحدودة بطريقة القرص.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

أجسام الدوران: طريقة الأقراص

دوران منطقة حول محور ينتج جسم دوران. إذا كانت المنطقة تلمس المحور، تكون كل شريحة قرصاً نصف قطره $r$ = قيمة الدالة:

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

حول محور $x$، $r=f(x)$ و تكامل في $x$؛ حول محور $y$، عبّر عن $x$ بدالة في $y$ و تكامل في $y$.

طريقة الأقراص: دوران y=f(x) حول المحور ينشئ أقراصاً بنصف قطر f(x)

مثال محلول. دوّر المنطقة تحت $y=\sqrt{x}$ من $x=0$ إلى $x=4$ حول محور $x$. كل قرص له نصف قطر $r=\sqrt{x}$، لذا

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

دوران منطقة حول محور ينشئ جسماً للدوران

مفردات تدريب

English	العربية
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	القيمة المتوسطة
Displacement/dɪˈspleɪsmənt/	إزاحة
Total distance travelled/ˈtəʊtl ˈdɪstəns ˈtrævld/	المسافة الكلية المقطوعة
net change/net tʃeɪndʒ/	التغير الصافي
cross section/krɒs ˈsekʃn/	المقطع العرضي
triangle/ˈtraɪæŋɡl/	مثلث
semicircle/ˈsemɪsɜːkl/	نصف دائرة
solid of revolution/ˈsɒlɪd ɒv ˌrevəˈluːʃn/	جسم دوران
disc/dɪsk/	القرص

8.10

الحجم باستخدام طريقة الأقراص (حول محاور أخرى)

المنهج

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.2 يمكن إيجاد أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران حول أي خط أفقي أو عمودي في المستوى باستخدام التكاملات المحددة بطريقة الأقراص.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

حول أي خط أفقي أو عمودي $y=k$ أو $x=k$، نصف القطر هو المسافة من المنحنى إلى ذلك الخط، مثل $r(x)=|f(x)-k|$. ضع نصف القطر بعناية، ثم استخدم $V=\pi\int r^2$.

8.11 8.12

الحجم باستخدام طريقة الحلقات

المنهج

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.3 يمكن إيجاد أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران حول محور $x$ أو $y$ ذات المقاطع العرضية على شكل حلقات باستخدام التكاملات المحددة بطريقة الحلقات.

الفهم الدائم (CHA-5): تسمح التكاملات المحددة بحل المسائل المتعلقة بتراكم التغيير في المساحة أو الحجم على فترة.

هدف التعلم CHA-5.C: حساب أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران باستخدام التكاملات المحددة.

CHA-5.C.4 يمكن إيجاد أحجام الأجسام الناتجة عن الدوران حول أي خط أفقي أو عمودي ذات المقاطع العرضية على شكل حلقات باستخدام التكاملات المحددة بطريقة الحلقات.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

الحجم باستخدام طريقة الحلقات

عندما لا تلمس المنطقة المحور، تكون كل شريحة حلقة (خاتم) بنصف قطر خارجي $R$ ونصف قطر داخلي $r$:

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$ هي المسافة من المحور إلى الحد الأبعد و$r$ إلى الحد الأقرب. حول خط غير المحور، يُقاس كلا نصفي القطرين كمسافات إلى ذلك الخط – وهو تنوع امتحاني شائع جداً (مثل الدوران حول $y=-2$).

مفردات تدريب

English	العربية
washer/ˈwɒʃə/	الخاتم

8.11 8.12

نصائح للامتحان

المساحة بين المنحنيات هي $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — أوجد نقاط التقاطع للحدود واحفظ (الأعلى ناقص الأسفل).
لحجم الدوران، اجمع المقاطع العرضية للأقراص/الحلقات ذات المساحة $\pi r^2$ (أو $\pi(R^2-r^2)$).
القيمة المتوسطة لـ $f$ على $[a,b]$ هي $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
التغير المتراكم هو $\int$ لمعدل: المجموع = القيمة الابتدائية $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
التكامل يعني "جمع عدد لا نهائي من القطع الصغيرة" — ضع دالة التكامل كشريحة رقيقة واحدة.

دروس تفاعلية حول هذا الموضوع

ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.

أوراق الامتحانات السابقة

المزيد من المواضيع في AP التفاضل والتكامل AB