تطبيقات الاشتقاق السياقية

بمجرد أن تتمكن من حساب المشتقات، تستخدمها لوصف العالم الحقيقي. المشتقة $f'(x)$ هي معدل التغير اللحظي لـ$f$ بالنسبة لمدخلاتها. قراءة وإبلاغ هذا المعدل بشكل صحيح هو مهارة مدرجة في الدرجات.

الوحدات مهمة. وحدة $f'(x)$ هي وحدة $f$ مقسومة على وحدة $x$. إذا كان $C(t)$ يمثل عدد فدان و $t$ بأسابيع، فإن $C'(t)$ يكون بالفدان في الأسبوع. في الامتحان، يطلب "باستخدام الوحدات الصحيحة، افسر معنى $g'(140)$" جملة كاملة: القيمة، الكمية، كلمة المعدل لكل (per)، و اللحظة. مثال: "يعني $g'(140)=2.3$ أنه عند $x=140$، تزداد الكمية بمعدل حوالي $2.3$ وحدة لكل وحدة من $x$."

بالنسبة لجسيم يتحرك على خط، ترتبط ثلاث دوال للزمن عن طريق الاشتقاق:

• الموقع $s(t)$;
• السرعة $v(t)=s'(t)$ – ذات إشارة؛ إشارته تعطي الاتجاه;
• التسارع $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

قراءات رئيسية (أجزاء امتحانات متكررة):

• يكون الجسيم ساكنًا عندما $v(t)=0$.
• يتحرك يمينًا/أعلى عندما $v(t)>0$ ويسارًا/أسفل عندما $v(t)<0$؛ يغير اتجاهه حيث $v$ تتغير إشارتها.
• السرعة هي $|v(t)|$. تتزايد السرعة عندما $v$ و$a$ لهما إشارة متطابقة (يتسارع الجسيم)، وتتناقص عندما يكون لهما إشارات متعاكسة.

مثال محلول. يتحرك جسيم بسرعة $s(t)=t^3-6t^2+9t$. ثم $v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$، لذا فهو في حالة سكون عند $t=1$ و$t=3$، ويتغير اتجاهه عند كل منهما. عند $t=2$، $v(2)=3(1)(-1)=-3<0$ (متحركًا يسارًا) و$a(2)=6(2)-12=0$؛ مباشرة بعد ذلك، $a>0$ بينما $v<0$، لذا فهو يقلل سرعته هناك. افرق بدقة بين السرعة المتجهة (لها اتجاه) والسرعة القياسية (ليس لها) – يختبر الامتحان هذا الفرق تحديداً.

فكرة الاشتقاق نفسها نموذج لأي كمية متغيرة: خزان يُفرغ، عدد سكان ينتشر، كوب يبرد. كلما ذكر مشكلة "المعدل الذي..."، فهي تصف اشتقاقاً. اقرأ الوحدات لتعرف معدل أي كمية لديك، ثم فسر في السياق.

في مسألة معدلات التغير المرتبطة، تتغير عدة كميات معاً بمرور الوقت، وتعرف بعض المعدلات لكنك تريد أخرى. المحرك هو قاعدة السلسلة: اشتق علاقة بالنسبة للزمن $t$. كل متغير يصبح دالة في $t$، لذا يأخذ كل اشتقاق عامل "$\,/\,dt$". قد تكون قواعد الضرب والقسمة ضرورية أيضاً.

إجراء موثوق – وقالب كامل للحصول على الدرجة الكاملة في الامتحان:

1. سمِّ المتغيرات واكتب المعدلات المعطاة والمعدل المجهول (مثل "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ سم/يوم، أوجد $\dfrac{dV}{dt}$").
2. اكتب معادلة تربط الكميات (غالباً معادلة هندسية أو للحجم).
3. اشتق كلا الطرفين بالنسبة لـ $t$ (قاعدة السلسلة) – قبل التعويض بالأرقام.
4. التعويض بالقيم المعروفة عند اللحظة المعنية، وحل للمعدل المجهول.
5. عيّن الإجابة بـ وحدات وإشارة صحيحة (الكمية المتناقصة لها معدل سالب).

مثال محلول. تُضخّ الهواء في بالون كروي بحيث ينمو حجمه بمعدل $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. ما سرعة نمو نصف القطر عندما $r=5\ \text{cm}$؟ ابدأ من $V=\tfrac43\pi r^3$ واشتق بالنسبة لـ $t$ أولاً:

قرب نقطة التماس، تبدو المنحنى الناعم وكأنه خط مماس له – هذا هو الخطية المحلية. لذلك يعطي خط المماس تقريباً خطياً (تقريباً خطياً) للدالة قرب تلك النقطة:

مثال محلول. قدّر $\sqrt{4.1}$. خذ $f(x)=\sqrt{x}$ و $a=4$: $f(4)=2$ و $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ بحيث $f'(4)=\dfrac14$. ثم $L(4.1)=2+\tfrac14(4.1-4)=2.025$ (القيمة الحقيقية هي $2.0248\ldots$). بما أن $\sqrt{x}$ مقعر للأسفل، فإن المماس يقع فوق المنحنى، لذا فهذه تقديرة عالية قليلاً – برر التقدير العالي/المنخفض بإشارة $f''$.

عندما يعطي التعويض المباشر في حاصل قسمة حدود الشكل غير المحدد $\dfrac{0}{0}$ أو $\dfrac{\infty}{\infty}$، يمكنك استخدام قاعدة لوبيتال:

مثال محلول. احسب $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$. التعويض يعطي $\tfrac00$، لذا اشتق البسط والمقام: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$ – مما يؤكد الحد الشهير من الوحدة 1.

• في مسائل الحركة: السرعة المتجهة هي مشتقة الموضع، والتسارع هو مشتقة السرعة؛ تزداد السرعة عندما تتشارك السرعة والتسارع إشارة.
• بالنسبة لـ معدلات التغير المرتبطة، اشتق المعادلة المرتبطة بالنسبة لـ الزمن، ثم عوض بالقيم المعطاة في النهاية.
• استخدم خط المماس لـ تقريب خطي قرب نقطة معروفة؛ إنه دقيق فقط بالقرب منها.
• اقرأ إشارة المعدل: الموجب يعني أن الكميات تتحرك معاً، والسالب يعني عكس الاتجاه.
• عيّن دائماً الوحدات وفسّر الإجابة في السياق.