Tài liệu này bao gồm Chủ đề 5: Xác suất & Thống kê. 1. Nội dung liên quan đến việc mô tả dữ liệu, đếm số lựa chọn và tính xác suất của các sự kiện.
Xác suất & Thống kê 1
Toán học A-Level · Chủ đề 5
11:38
Xác suất & Thống kê 1
Xả một con xúc xắc, và kết quả là bất kỳ ai cũng có thể đoán. Nhưng xả hàng ngàn lần, hoặc đo chiều cao của hàng ngàn người, thì điều đáng chú ý…
Giọng đọc tiếng Anh · phụ đề tiếng Anh + 中文 được ghi trực tiếp
5.1
Biểu diễn dữ liệu
Chương trình
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • chọn một cách trình bày dữ liệu thống kê thô phù hợp, và thảo luận về ưu điểm và/hoặc nhược điểm mà các cách trình bày cụ thể có thể có | |
| vẽ và giải thích biểu đồ lá - thân, đồ thị hộp - râu, histogram và đồ thị tần số tích lũy | Bao gồm cả biểu đồ lá - thân ngược nhau. |
| hiểu và sử dụng các thước đo khác nhau về tập trung (trung bình, trung vị, mốt) và phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) | Vd: trong việc so sánh và đối chiếu các tập dữ liệu. |
| • sử dụng biểu đồ tần số lũy kế | ví dụ: để ước lượng trung vị, tứ phân vị, phần trăm位, tỷ lệ của phân phối nằm trên (hoặc dưới) một giá trị cho trước, hoặc giữa hai giá trị. |
| • tính toán và sử dụng trung bình cộng và độ lệch chuẩn của một tập dữ liệu (bao gồm cả dữ liệu phân nhóm) trực tiếp từ chính dữ liệu đó hoặc từ các tổng đã cho $\Sigma x$ và $\Sigma x^2$, hoặc các tổng mã hóa $\Sigma(x - a)$ và $\Sigma(x - a)^2$, và sử dụng các tổng này trong việc giải các bài toán có thể liên quan đến tối đa hai tập dữ liệu. |
Nguồn: Chương trình Cambridge International
Chọn biểu đồ phù hợp với dữ liệu. Bạn cần có khả năng vẽ và đọc:
- biểu đồ thân lá (giữ nguyên giá trị gốc và thể hiện dạng phân bố); hai tập dữ liệu được so sánh bằng phiên bản ngược nhau – một thân trung tâm chung, lá của tập này tăng về bên trái và lá của tập kia tăng về bên phải, giúp bạn dễ dàng so sánh trung vị và độ phân tán ngay lập tức;
- đồ thị hộp và râu (thể hiện giá trị thấp nhất, ba tứ phân vị và giá trị cao nhất);
- histogram (dành cho dữ liệu nhóm, trong đó diện tích của mỗi cột biểu thị tần số);
- đồ thị tần số lũy tiến (tổng lũy kế, dùng để ước lượng trung vị và tứ phân vị).
Giá trị trung bình và độ phân tán
Đo lường xu hướng trung tâm là một giá trị "trung tâm" duy nhất:
- trung bình cộng $\bar{x} = \dfrac{\sum x}{n}$ (giá trị trung bình);
- trung vị (giá trị ở giữa khi dữ liệu đã được sắp xếp);
- mốt (giá trị xuất hiện nhiều nhất).
Đo lường sự biến thiên cho thấy mức độ phân tán của dữ liệu:
- bảng sai số (of data) (cao nhất $-$ thấp nhất);
- khoảng tứ phân vị (tứ phân vị trên $-$ tứ phân vị dưới);
- độ lệch chuẩn $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2}$.
Bạn thường làm việc với các tổng $\sum x$ và $\sum x^2$. Bình phương của độ lệch chuẩn là phương sai.
Ví dụ giải. Với $10$ giá trị, $\sum x = 50$ và $\sum x^2 = 300$. Tìm trung bình cộng và độ lệch chuẩn.
$$\bar{x} = \frac{50}{10} = 5, \qquad \sigma = \sqrt{\frac{300}{10} - 5^2} = \sqrt{30 - 25} = \sqrt{5} = 2.24.$$
Mã hóa giúp việc tính toán với các số lớn dễ dàng hơn. Thay mỗi giá trị bằng $t=x-a$ cho một giả thiết trung bình thuận tiện $a$. Khi đó $\bar{x}=a+\bar{t}$, trong khi độ lệch chuẩn thì không thay đổi (việc dịch chuyển mọi giá trị không làm phân tán dữ liệu). Vì vậy, từ tổng đã mã hóa $\sum(x-a)$ và $\sum(x-a)^2$, bạn có thể lấy trực tiếp $\bar x$ và $\sigma$, và hai tập dữ liệu có thể được so sánh thông qua tổng đã mã hóa của chúng.
Khám phá
Độ phân tán và hình chuông
P(−k < Z < k)
Độ phân tán được đo bằng độ lệch chuẩn — khoảng 68% dữ liệu nằm trong 1 sd, 95% nằm trong 2 sd.
Từ vựng
Luyện tập
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| stem-and-leaf diagram/stem ænd liːf ˈdaɪəɡræm/ | biểu đồ thân lá |
| back-to-back/bæk tə bæk/ | ngược nhau |
| box-and-whisker plot/bɒks ænd ˈwɪskə plɒt/ | biểu đồ hộp và râu |
| histogram/ˈhɪstəɡræm/ | biểu đồ tần số (histogram) |
| cumulative frequency/ˈkjuːmjʊlətɪv ˈfriːkwənsi/ | tần số lũy tiến |
| measure of central tendency/ˈmeʒə ɒv ˈsentrəl ˈtendənsi/ | đo lường xu hướng trung tâm |
| mean/miːn/ | trung bình |
| median/ˈmiːdiːən/ | trung vị |
| mode/məʊd/ | mật độ |
| variation/ˌveərɪˈeɪʃn/ | biến tấu |
5.2
Hoán vị và tổ hợp
Chương trình
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • hiểu các thuật ngữ hoán vị và tổ hợp, và giải quyết các bài toán đơn giản liên quan đến việc chọn lựa | |
| • giải các bài toán về cách sắp xếp các đối tượng trên một đường thẳng, bao gồm cả những bài toán liên quan đến – sự lặp lại (ví dụ: số cách sắp xếp các chữ cái của từ ‘NEEDLESS’) – sự hạn chế (ví dụ: số cách một vài người đứng thành hàng nếu hai người cụ thể phải, hoặc không được, đứng cạnh nhau). | Câu hỏi có thể bao gồm các trường hợp như mọi người ngồi thành hai (hoặc nhiều hơn) hàng. Các câu hỏi về các đối tượng được sắp xếp theo hình tròn sẽ không được bao gồm. |
Nguồn: Chương trình Cambridge International
Hoán vị là cách sắp xếp mà thứ tự quan trọng; tổ hợp là cách chọn mà thứ tự không quan trọng. Các con số là
$${}^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}, \qquad {}^nC_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}.$$
Để sắp xếp các vật thể thành một hàng khi có một số bị lặp lại, hãy chia cho giai thừa của mỗi số lần lặp lại.
Ví dụ giải. Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau của các chữ cái trong từ NEEDLESS?
Có $8$ chữ cái, E lặp lại $3$ lần và S lặp lại $2$ lần:
$$\frac{8!}{3!\,2!} = \frac{40320}{6 \times 2} = 3360.$$
Khám phá
phòng thí nghiệm hoán vị hoặc tổ hợp
Chọn xem thứ tự có quan trọng trong bài toán đếm hay không.
Từ vựng
Luyện tập
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| range (of data)/reɪndʒ/ | phạm vi (dữ liệu) |
| interquartile range/ˌɪntəˈkwɔːtaɪl reɪndʒ/ | khoảng tứ phân vị |
| standard deviation/ˈstændəd ˌdiːvɪˈeɪʃn/ | độ lệch chuẩn |
| variance/ˈveərɪəns/ | độ phân tán |
| Coding/ˈkəʊdɪŋ/ | Viết mã |
| assumed mean/əˈsjuːmd miːn/ | trung bình giả định |
| permutation/ˌpɜːmjuːˈteɪʃn/ | hoán vị |
| combination/ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | sự kết hợp |
| mutually exclusive events/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv ɪˈvents/ | các biến cố loại trừ lẫn nhau |
| independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/ | sự kiện độc lập |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | xác suất có điều kiện |
| discrete random variable/dɪˈskriːt ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | biến ngẫu nhiên rời rạc |
| probability distribution table/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈteɪbl/ | bảng phân phối xác suất |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | kỳ vọng |
| binomial distribution/baɪˈnəʊmɪəl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | phân phối nhị thức |
| geometric distribution/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | phân phối hình học |
5.3
Xác suất
Chương trình
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| đánh giá xác suất trong các trường hợp đơn giản bằng cách liệt kê các biến cố sơ cấp đồng khả năng, hoặc bằng cách tính toán sử dụng hoán vị hoặc tổ hợp | ví dụ: tổng điểm khi tung hai con xúc xắc công bằng. ví dụ: rút bóng ngẫu nhiên từ một túi chứa các quả bóng màu sắc khác nhau. |
| sử dụng phép cộng và nhân xác suất, tùy thuộc vào từng trường hợp, trong các tình huống đơn giản | Việc sử dụng rõ ràng công thức tổng quát $\text{P}(A \cup B) = \text{P}(A) + \text{P}(B) - \text{P}(A \cap B)$ là không yêu cầu. |
| hiểu ý nghĩa của các biến cố xung khắc và độc lập, bao gồm việc xác định xem hai biến cố $A$ và $B$ có độc lập hay không bằng cách so sánh giá trị của $\text{P}(A \cap B)$ và $\text{P}(A) \times \text{P}(B)$ | |
| tính toán và sử dụng xác suất có điều kiện trong các trường hợp đơn giản. | ví dụ: các tình huống có thể được biểu diễn bởi không gian mẫu của các biến cố sơ cấp đồng khả năng, hoặc bằng sơ đồ cây. Việc sử dụng $\text{P}(A|B) = \frac{\text{P}(A \cap B)}{\text{P}(B)}$ có thể cần thiết trong các trường hợp đơn giản. |
Nguồn: Chương trình Cambridge International
Tìm xác suất bằng cách đếm các kết quả đồng khả năng, hoặc bằng cách sử dụng hoán vị và tổ hợp. Kết hợp xác suất với các quy tắc sau:
- cộng cho "hoặc": $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$;
- nhân cho "và" khi các sự kiện độc lập: $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$.
Hai biến cố là biến cố loại trừ lẫn nhau nếu chúng không thể xảy ra đồng thời, và biến cố độc lập nếu sự xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất của biến cố kia. Để kiểm tra tính độc lập, hãy xem xét liệu $P(A \cap B) = P(A)\times P(B)$ có đúng hay không. Xác suất điều kiện là xác suất của $A$ khi biết rằng $B$ đã xảy ra: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
Ví dụ giải. Các sự kiện có $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ và $P(A \cap B) = 0.2$. Liệu $A$ và $B$ có độc lập không?
Kiểm tra: $P(A)\times P(B) = 0.5 \times 0.4 = 0.2 = P(A \cap B)$. Các giá trị bằng nhau, vì vậy $A$ và $B$ là độc lập.
Khám phá
Xác suất có điều kiện
Thay đổi xác suất và đọc cây phân nhánh. Đây là cách P(A và B) và xác suất có điều kiện kết hợp với nhau.
5.4
Biến ngẫu nhiên rời rạc
Chương trình
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| lập bảng phân bố xác suất liên quan đến một tình huống cho trước involving một biến ngẫu nhiên rời rạc $X$, và tính $\text{E}(X)$ và $\text{Var}(X)$ | |
| sử dụng các công thức xác suất cho phân bố nhị thức và hình học, và nhận biết các tình huống thực tế mà các phân bố này phù hợp làm mô hình | Bao gồm cả ký hiệu $\text{B}(n, p)$ và $\text{Geo}(p)$. $\text{Geo}(p)$ chỉ phân bố mà $p_r = p(1 - p)^{r-1}$ cho $r = 1, 2, 3, \dots$. |
| sử dụng các công thức kỳ vọng và phương sai của phân bố nhị thức và công thức kỳ vọng của phân bố hình học. | Chứng minh các công thức không yêu cầu. |
Nguồn: Chương trình Cambridge International
Một biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ nhận các giá trị riêng biệt, mỗi giá trị đều có xác suất. Liệt kê chúng trong bảng phân phối xác suất; tổng các xác suất phải bằng $1$. Khi đó kỳ vọng (trung bình) và phương sai là
$$E(X) = \sum x\,P(X = x), \qquad \mathrm{Var}(X) = \sum x^2\,P(X = x) - \big(E(X)\big)^2.$$
Hai mô hình đặc biệt:
- phân phối nhị thức $X \sim B(n, p)$, dành cho số lần thành công trong $n$ phép thử độc lập: $P(X = r) = \binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$, với $E(X) = np$ và $\mathrm{Var}(X) = np(1-p)$;
- phân phối hình học, dành cho phép thử mà tại đó thành công đầu tiên xảy ra: $P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$, với $E(X) = \dfrac{1}{p}$.
Ví dụ giải. $X \sim B(10, 0.3)$. Tìm $P(X = 2)$ và $E(X)$.
$$P(X = 2) = \binom{10}{2}(0.3)^2(0.7)^8 = 45 \times 0.09 \times 0.05765 = 0.233, \qquad E(X) = 10 \times 0.3 = 3.$$
Khám phá
Phân phối rời rạc
Thay đổi n và p cho phân phối nhị thức và xem các thanh dữ liệu — xác suất của mỗi số lần thành công.
5.5
Phân phối chuẩn
Chương trình
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| hiểu cách sử dụng phân bố chuẩn để mô hình hóa một biến ngẫu nhiên liên tục, và sử dụng bảng phân bố chuẩn | Các bản vẽ phác thảo đường cong chuẩn để minh họa cho phân bố hoặc xác suất có thể được yêu cầu. |
| giải quyết các bài toán liên quan đến một biến $X$, nơi $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, bao gồm: – tìm giá trị của $P(X > x_1)$, hoặc một xác suất liên quan, khi đã biết các giá trị của $x_1$, $\mu$, $\sigma$. – tìm mối quan hệ giữa $x_1$, $\mu$ và $\sigma$ khi đã biết giá trị của $P(X > x_1)$ hoặc một xác suất liên quan | Đối với các phép tính涉及 chuẩn hóa, cần trình bày đầy đủ chi tiết các bước tính. Ví dụ: $Z = \frac{(X - \mu)}{\sigma}$ |
| nhớ lại các điều kiện mà tại đó phân bố chuẩn có thể được sử dụng như một sự xấp xỉ đối với phân bố nhị thức, và sử dụng sự xấp xỉ này, kèm theo sửa chữa liên tục, trong việc giải quyết các bài toán. | $n$ đủ lớn để đảm bảo rằng cả $np > 5$ và $nq > 5$. |
Nguồn: Chương trình Cambridge International
Phân phối chuẩn mô hình hóa một biến ngẫu nhiên liên tục có dạng chuông đối xứng. Viết $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, trong đó $\mu$ là trung bình và $\sigma$ là độ lệch chuẩn. Để sử dụng bảng tra cứu, bằng cách chuẩn hóa, hãy chuyển sang biến $Z \sim N(0, 1)$:
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}.$$
Sau đó là $P(X < x) = P\!\left(Z < \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$, mà bạn đọc từ bảng phân phối chuẩn $\Phi$.
Phân phối chuẩn cũng là một xấp xỉ tốt cho phân phối nhị thức khi $n$ lớn. Vì bạn thay thế biến rời rạc bằng biến liên tục, hãy áp dụng hiệu chỉnh liên tục (chỉnh lại $0.5$).
Ví dụ minh họa. Các bao gạo có khối lượng $X \sim N(\mu, 0.14^2)$. Biết rằng $P(X < 1.48) = 0.22$, tìm $\mu$.
Từ bảng số liệu, $P(Z < z) = 0.22$ cho kết quả $z = -0.772$. Do đó
$$\frac{1.48 - \mu}{0.14} = -0.772 \;\Rightarrow\; \mu = 1.48 + 0.772 \times 0.14 = 1.59\ \text{kg (3 s.f.)}.$$
Khám phá
Phân phối chuẩn
Tô bóng diện tích để tìm xác suất. Một giá trị z đo lường số độ lệch chuẩn mà một điểm nằm cách trung bình bao nhiêu.
Từ vựng
Luyện tập
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | phân phối chuẩn |
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | biến ngẫu nhiên liên tục |
| standardisation/ˌstændədaɪˈzeɪʃn/ | chuẩn hóa |
| approximation/əˌprɒksɪˈmeɪʃn/ | xấp xỉ |
| continuity correction/kɒntɪˈnjuːɪti kəˈrekʃn/ | sửa chữa tính liên tục |
| Probability & Statistics/ˌprɒbəˈbɪlɪti ænd stəˈtɪstɪks/ | Xác suất & Thống kê |
| central tendency/ˈsentrəl ˈtendənsi/ | xu hướng trung tâm |
5.5
Mẹo làm bài thi
- Quyết định xem thứ tự có quan trọng hay không: hoán vị ($^nP_r$) nếu có, tổ hợp ($^nC_r$) nếu không.
- Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, kiểm tra tổng các xác suất bằng $1$ và sử dụng $E(X) = \sum x\,P(X=x)$.
- Đối với phân phối chuẩn, chuẩn hóa bằng $z = (x - \mu)/\sigma$, vẽ sơ đồ và tô đậm vùng, sau đó tra bảng số liệu.
- Áp dụng hiệu chỉnh liên tục khi xấp xỉ biến rời rạc bằng phân phối chuẩn.
Bài học tương tác về chủ đề này
Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.